初中數(shù)學(xué)易錯(cuò)題5 .1 相交線

5.1相交線

一.填空題（共2小題）

1.如果兩個(gè)角的兩條邊分別垂直，而其中一個(gè)角比另一個(gè)角的4倍少60°,則

這兩個(gè)角的度數(shù)分別為.

【分析】分兩種情況進(jìn)行討論，依據(jù)兩個(gè)角的兩條邊分別垂直畫出圖形，而其中

一個(gè)角比另一個(gè)角的4倍少60。，即可得到這兩個(gè)角的度數(shù).

【解答】解:如圖，a+p=180°,p=4a-60°,

解得a=48°,0=132°；

如圖，a=0,|3=4a-60",

解得a邛=20。；

綜上所述，這兩個(gè)角的度數(shù)分別為48。、132?；?0。、20°.

故答案為：48。、132?；?0。、20°.

【點(diǎn)評】本題考查了垂線，當(dāng)兩條直線相交所成的四個(gè)角中，有一個(gè)角是直角時(shí),

就說這兩條直線互相垂直.

2.在一平面中，兩條直線相交有一個(gè)交點(diǎn)；三條直線兩兩相交最多有3個(gè)交點(diǎn);

四條直線兩兩相交最多有6個(gè)交點(diǎn)......當(dāng)相交直線的條數(shù)從2至n變化時(shí)，最

多可有的交點(diǎn)數(shù)P與直線條數(shù)n之間的關(guān)系如下表：

直線條數(shù)n/條2345678…

最多交點(diǎn)個(gè)數(shù)p/13610

個(gè)

則n與p的關(guān)系式為：.

【分析】根據(jù)題意，3條直線相交最多有3個(gè)交點(diǎn)，4條直線相交最多有6個(gè)交

點(diǎn)，5條直線相交最多有10個(gè)交點(diǎn).而3=1+2,6=1+2+3,10=1+2+3+4,故可

猜想，n條直線相交，最多有1+2+3+...+(n-1)=ln(n-1)個(gè)交點(diǎn).

2

【解答】解：???3條直線相交最多有3個(gè)交點(diǎn)，4條直線相交最多有6個(gè)交點(diǎn).

而3=1+2,6=1+2+3,10=1+2+3+4,

...可猜想，n條直線相交，最多有1+2+3+...+(n-1)=ln(n-1)個(gè)交點(diǎn).

2

即p=.Ln(n-1),

2

故答案為:p=ln(n-1).

2

【點(diǎn)評】本題主要考查了相交線，此題著重培養(yǎng)學(xué)生的觀察、實(shí)驗(yàn)和猜想、歸納

能力，掌握從特殊向一般猜想的方法.

二.解答題(共8小題)

3.已知直線AB和CD相交于。點(diǎn)，CO±OE,OF平分NAOE,Z2=26°.

(1)寫出圖中所有N4的余角.

(2)寫出圖中相等的三對角：①②③.

(3)求N5的度數(shù).

【分析】(1)依據(jù)垂直的定義以及對頂角相等，即可得到所有N4的余角；

(2)依據(jù)對頂角相等，角平分線的定義以及垂直的定義，即可得到相等的三對

角；

(3)根據(jù)垂直的定義可得NCOE=90。，然后求出NEOF,再根據(jù)角平分線的定義

求出NAOF,然后求出NAOC,再根據(jù)對頂角相等解答即可.

【解答】解：(1)VCO±OE,

/.Z4+Z5=90o,

又

AZl+Z5=90°,

，N4的余角為Nl,Z5,

故答案為：Nl,N5；

(2)直線AB和CD相交于0點(diǎn),

AZ1=Z5,

VOF平分NAOE,

，NAOF=NEOF,

CO1OE,

/.ZCOE=ZDOE；

故答案為：Z1=Z5,ZAOF=ZEOF,ZCOE=ZDOE；

(3)VCO±OE,

，NCOE=90°,

XVZCOF=26",

AZEOF=90°-26°=64°,

VOF平分NAOE,

NAOF=EOF=64°,

，ZAOC=64°-26°=38°,

?.,NAOC與N5是對頂角，

AZ5=38°.

【點(diǎn)評】本題考查了余角和補(bǔ)角的定義，角平分線的定義，準(zhǔn)確識圖，找出各角

度之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

4.如圖，直線AB與CD相交于點(diǎn)O,OE是NAOC的平分線OFLCD,OG±OE,

ZBOD=52°.

（1）求NAOF的度數(shù)；

（2）NEOF與NBOG是否相等呢？請說明理由;

（3）直接寫出圖中NAOE的所有余角.

【分析】（1）直接利用垂直的定義結(jié)合對頂角的定義得出NAOF的度數(shù)；

（2）分別求出NEOF與NBOG的度數(shù)進(jìn)而得出答案.

（3）依據(jù)0E是NAOC的平分線，OF±CD,OG1OE,即可得到圖中NAOE的所

有余角.

【解答】解:（1）VOF1CD,

/.ZCOF=90o,

又VZAOC與ZBOD是對頂角，

ZAOC=ZBOD=52°,

:.ZAOF=ZCOF-ZAOC=90°-52°=38°；

（2）相等，

理由：?.'NAOC與NBOD是對頂角，

，ZAOC=ZBOD=52°,

VOE是NAOC的平分線，

，NAOE」NAOC=26°,

2

又?.'OGLOE,

，NEOG=90°,

AZBOG=180°-ZAOE-ZEOG=64°,

而/EOF=NAOF+NAOE=38°+26°=64°,

/.ZEOF=ZBOG.

(3)：OE是ZAOC的平分線，

，ZAOE=ZCOE=26°,

又'.。丈口，

/.ZEOF+ZCOE=900,即NEOF+NAOE=90°,

又YOFLCD,OG1OE,

/.ZCOG=ZEOF,

.?.ZCOG+ZAOE=90°,

VZBOG+ZAOE=90°,ZCOG+ZCOE=90°,ZAOE=ZCOE,

.?.ZBOG=ZCOG,

/.ZBOG+ZAOE=90°,

，圖中NAOE的所有余角為NEOF,ZCOG,ZBOG.

【點(diǎn)評】此題主要考查了垂線的定義以及角平分線的定義和對頂角定義，正確把

握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵.

5.如圖，OALOB,引射線0C（點(diǎn)C在NAOB外），0D平分NBOC,0E平分N

AOD.

（1）若NBOC=40。，請依題意補(bǔ)全圖，并求NBOE的度數(shù)；

（2）若NBOC=a（0°<a<90o）,請直接寫出NBOE的度數(shù)（用含a的代數(shù)式表

示）.

BB

【分析】（1）首先根據(jù)角平分線的定義求得NBOD的度數(shù)，然后求得NAOD的

度數(shù)，根據(jù)角平分線的定義求得NDOE,然后根據(jù)NBOE=NDOE-NBOD；

（2）與（1）解法相同.

【解答】解:（1）如圖，:OD是NBOC的平分線，

/.ZCOD=ZBOD=20o,

，ZAOD=ZBOD+ZAOB=20o+90°=110°,

又,.?0E是NAOD的平分線，

/.ZDOE=1ZAOD=55°,

2

/.ZBOE=ZDOE-ZBOD=55°-20°=35°；

(2)同(1)可得NCOD=NBOD=La,

2

ZAOD=la+90°,

2

ZDOE=1ZAOD=1(la+90°)=la+45°,

2224

貝11|/80￡=L6(+45。-la=45°-la.

備用圖

【點(diǎn)評】本題考查了角度的計(jì)算，解題時(shí)注意：從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角

分成相等的兩個(gè)角的射線叫做這個(gè)角的平分線，理解角平分線的定義是關(guān)鍵.

6.如圖，直線CD與EF相交于點(diǎn)0,ZCOE=60°,將一直角三角尺AOB的直角

頂點(diǎn)與0重合，OA平分NCOE.

（1）求NBOD的度數(shù)；

（2）將三角尺AOB以每秒3。的速度繞點(diǎn)0順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，同時(shí)直線EF也以每秒

9。的速度繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0WtW40）.

①當(dāng)t為何值時(shí)，直線EF平分NAOB；

②若直線EF平分NBOD,直接寫出t的值.

【分析】（1）依據(jù)NCOE=60。，0A平分NCOE,可得NAOC=30。，再根據(jù)NAOB=90。,

即可得到NBOD=180°-30°-90°=60°；

（2）①分兩種情況進(jìn)行討論：當(dāng)OE平分NAOB時(shí)，ZAOE=45°；當(dāng)OF平分N

AOB時(shí)，AOF=45°；分別依據(jù)角的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可得到t的值；

②分兩種情況進(jìn)行討論：當(dāng)OE平分NBOD時(shí)，ZBOE=1ZBOD；當(dāng)OF平分/

2

BOD時(shí)，ZDOF=1ZBOD；分別依據(jù)角的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可得出t的值.

2

【解答】解：（1）VZCOE=60°,0A平分NCOE,

；.NAOC=30。，

又?.?NAOB=90°,

ZBOD=180°-30°-90°=60°；

（2）①分兩種情況：

當(dāng)0E平分NAOB時(shí)，ZAOE=45°,

IE

A.___L._/B

cD

o

即9t+30°-3t=45°,

解得t=2.5；

當(dāng)OF平分NAOB時(shí)，AOF=45",

即9t-150°-3t=45°,

解得t=32.5；

綜上所述，當(dāng)t=2.5s或32.5s時(shí)，直線EF平分NAOB；

②t的值為12s或36s.

分兩種情況:

當(dāng)OE平分NBOD時(shí)，ZBOE=1ZBOD,

即9t-60°-3t=l(60°-3t),

2

解得t=12；

當(dāng)OF平分NBOD時(shí)，ZDOF=1ZBOD,

2

解得t=36；

綜上所述，若直線EF平分NBOD,t的值為12s或36s.

【點(diǎn)評】本題主要考查了角平分線的定義，旋轉(zhuǎn)的速度，角度，時(shí)間的關(guān)系，應(yīng)

用方程的思想是解決問題的關(guān)鍵，還需要通過計(jì)算進(jìn)行初步估計(jì)位置，掌握

分類思想，注意不能漏解.

7.直線AB、CD相交于點(diǎn)0,0E平分NBOD,0F1CD,垂足為0.

(1)若NEOF=54。，求NA0C的度數(shù)；

(2)①在NA0D的內(nèi)部作射線0G_L0E；

②試探索NA0G與NE0F之間有怎樣的關(guān)系？并說明理由.

【分析】(1)依據(jù)OFLCD,ZEOF=54°,可得NDOE=90°-54°=36°,再根據(jù)0E

平分NB0D,即可得出NBOD=2NDOE=72。，依據(jù)對頂角相等得到NAOC=72。；

(2)依據(jù)0E平分NB0D,可得NB0E=ND0E,再根據(jù)0F，CD,0G10E,即可

得到ZEOF+ZDOE=90°,ZAOG+ZBOE=90°,依據(jù)等角的余角相等，可得/EOF=

ZA0G.

【解答】解：(1)VOF±CD,ZEOF=54°,

AZDOE=90--54°=36°,

XV0E平分NB0D,

/.ZB0D=2ZD0E=72o,

,ZAOC=72°；

(2)①如圖所示：

D

G

②/AOG=NEOF；

理由：?..OE平分NBOD,

/.ZBOE=ZDOE,

VOF±CD,OG±OE,

/.ZEOF+ZDOE=90°,ZAOG+ZBOE=90°,

/.ZEOF=ZAOG.

【點(diǎn)評】本題主要考查了垂線，角平分線的定義以及余角的綜合運(yùn)用，當(dāng)兩條直

線相交所成的四個(gè)角中，有一個(gè)角是直角時(shí)，就說這兩條直線互相垂直，其

中一條直線叫做另一條直線的垂線，解決問題的關(guān)鍵是掌握：等角的余角相

等.

8.如圖，直線AB與CD相交于點(diǎn)0,ZBOE=ZDOF=90°.

(1)寫出圖中與NCOE互補(bǔ)的所有的角(不用說明理由).

(2)問：NCOE與NAOF相等嗎？請說明理由；

(3)如果NAOC=L/EOF,求/AOC的度數(shù).

【分析】(1)依據(jù)直線AB與CD相交于點(diǎn)。，可得NCOE+NDOE=180。，依據(jù)/

BOE=ZDOF=90°,可得NDOE=NBOF,即可得出與NCOE互補(bǔ)的所有的角；

(2)依據(jù)NAOE=NCOF,可得NAOE-ZAOC=ZCOF-ZAOC,進(jìn)而得至【J/COE=

ZAOF；

(3)設(shè)NAOC=x,則NE0F=5x,依據(jù)NAOE=90。，可得x+2x=90。，進(jìn)而得出NAOC

的度數(shù).

【解答】解：(1)?.?直線AB與CD相交于點(diǎn)0,

/.ZCOE+ZDOE=180o,

XVZBOE=ZDOF=90°,

AZDOE=ZBOF,

.?.與NCOE互補(bǔ)的所有的角為NDOE,ZBOF；

(2)NCOE與NAOF相等，

理由：VZBOE=ZDOF=90",

，ZAOE=ZCOF,

,ZAOE-ZAOC=ZCOF-ZAOC,

/.ZCOE=ZAOF；

(3)設(shè)NAOC=x,則NEOF=5x,

VZCOE=ZAOF,

，ZCOE=ZAOF=1(5x-x)=2x,

2

,/NAOE=90。，

，x+2x=90°,

.,.x=30",

ZAOC=30°.

【點(diǎn)評】本題考查了對頂角、鄰補(bǔ)角，余角和補(bǔ)角計(jì)算的應(yīng)用，常常與等式的性

質(zhì)、等量代換相關(guān)聯(lián).

9.如圖，已知直線AB與CD相交于點(diǎn)。，0E是NBOD的平分線，ZEOF=90°.若

ZBOD=58°,求NCOF的度數(shù).

A

OB

C

【分析】根據(jù)角平分線的定義求出/DOE,再求出NDOF,然后根據(jù)鄰補(bǔ)角的定

義列式計(jì)算即可得解.

【解答】解：:0E是NBOD的平分線,ZBOD=58°,

二ZDOE=1ZBOD=1X58°=29°,

22

VZEOF=90°,

/.ZDOF=ZEOF-ZDOE=90°-29°=61°,

ZCOF=180°-ZDOF=180°-61°=119°.

【點(diǎn)評】本題考查了角平分線的定義，鄰補(bǔ)角的兩個(gè)角的和等于180°,熟記概

念并準(zhǔn)確識圖，理清圖中各角度之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

10.已知直線AB和CD交于點(diǎn)0,ZA0C的度數(shù)為x,ZBOE=90°,OF平分NAOD.

(1)當(dāng)x=19°48z,求NEOC與NFOD的度數(shù).

(2)當(dāng)x=60。，射線OE、OF分別以10為，4%的速度同時(shí)繞點(diǎn)。順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，

求當(dāng)射線0E與射線OF重合時(shí)至少需要多少時(shí)間？

(3)當(dāng)x=60°,射線0E以107s的速度繞點(diǎn)0順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng),同時(shí)射線OF也以4%

的速度繞點(diǎn)。逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)射線0