山西省陽泉市2024屆高三下學(xué)期第三次模擬測試 數(shù)學(xué)試題【含答案】

2024年陽泉市高三年級第三次模擬測試試題數(shù)學(xué)注意事項：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡相應(yīng)的位置．2．全部答案在答題卡上完成，答在本試題上無效．3．考試結(jié)束后，將答題卡交回．4．考試時間120分鐘，滿分150分．一、單項選擇題：（本大題8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1．設(shè)集合，則集合與集合的關(guān)系是（

）A． B． C． D．2．已知是實系數(shù)方程的一個復(fù)數(shù)根，則（

）A． B． C．1 D．93．已知：，：，且是的必要不充分條件，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．已知等差數(shù)列中，是函數(shù)的一個極大值點，則的值為（

）A． B． C． D．5．已知非零向量，滿足，且在上的投影向量為，則（

）A． B． C．2 D．6．已知雙曲線的左、右焦點分別為，雙曲線的右支上有一點與雙曲線的左支交于點，線段的中點為，且滿足，若，則雙曲線的離心率為（

）A．2 B． C． D．7．中國南北朝時期的著作《孫子算經(jīng)》中，對同余除法有較深的研究，設(shè)為整數(shù)，若和被m除得的余數(shù)相同，則稱和對模m同余，記為.如9和21除以6所得的余數(shù)都是3，則記為，若，，則的值可以是（

）A．2019 B．2020 C．2021 D．20228．已知正方體的棱長為為線段上的動點，則三棱錐外接球半徑的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、多項選擇題：（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．）9．已知圓，若圓上僅存在一點使，則正實數(shù)的取值可以是（

）A．2 B．3 C．4 D．510．在一個有限樣本空間中，假設(shè)，且A與B相互獨立，A與C互斥，則（

）A． B．C． D．若，則B與C互斥11．已知定義在上的函數(shù)滿足，則（

）A．是奇函數(shù) B．在上單調(diào)遞減C．是偶函數(shù) D．在在上單調(diào)遞增三、填空題：（本題共3小題，每小題5分，共15分）12．已知，則.13．已知數(shù)列的前項和為，且，則數(shù)列的前100項和．14．已知函數(shù)恰有3個零點，則的取值范圍是.四、解答題：（本題共5個小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15．如圖，某鄉(xiāng)鎮(zhèn)綠化某一座山體，以地面為基面，在基面上選取A，B，C，D四個點，使得，測得，，．(1)若B，D選在兩個村莊，兩村莊之間有一直線型隧道，且，，求A，C兩點間距離；(2)求的值．16．全國“村BA”籃球賽點燃了全民的運動激情，深受廣大球迷的喜愛.每支球隊都有一個或幾個主力隊員，現(xiàn)有一支“村BA”球隊，其中甲球員是其主力隊員，經(jīng)統(tǒng)計該球隊在某個賽季的所有比賽中，甲球員是否上場時該球隊的勝負情況如表.甲球員是否上場球隊的勝負情況合計勝負上場4045未上場3合計42(1)完成列聯(lián)表，并判斷依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認為球隊的勝負與甲球員是否上場有關(guān)；(2)由于隊員的不同，甲球員主打的位置會進行調(diào)整，根據(jù)以往的數(shù)據(jù)統(tǒng)計，甲球員上場時，打前鋒、中鋒、后衛(wèi)的概率分別為0.3，0.5，0.2，相應(yīng)球隊贏球的概率分別為0.7，0.8，0.6.（i）當(dāng)甲球員上場參加比賽時，求球隊贏球的概率；（ii）當(dāng)甲球員上場參加比賽時，在球隊贏了某場比賽的條件下，求甲球員打中鋒的概率.（精確到0.01）附：，.0.150.100.050.0250.0100.0012.0722.7063.8415.0246.63510.82817．在三棱柱中，四邊形是菱形，是等邊三角形，點是線段的中點，．

(1)證明：平面；(2)若平面平面，求直線與平面所成角的正弦值．18．設(shè)函數(shù).（1）當(dāng)時恒成立，求k的最大值；（2）證明：對任意正整數(shù)n，不等式恒成立.19．已知圓．點在圓上，延長到，使，點在線段上，滿足．(1)求點的軌跡的方程；(2)設(shè)點在直線上運動，．直線與軌跡分別交于兩點，求證：所在直線恒過定點．1．C【分析】求出集合中函數(shù)的值域，集合中函數(shù)的定義域，得到這兩個集合，可判斷集合間的關(guān)系.【詳解】函數(shù)值域為，函數(shù)定義域為，即，，所以有.故選：C.2．A【分析】根據(jù)虛根成對原理也是實系數(shù)方程的一個復(fù)數(shù)根，再由韋達定理計算可得.【詳解】因為是實系數(shù)方程的一個復(fù)數(shù)根，則也是實系數(shù)方程的一個復(fù)數(shù)根，所以，解得，所以.故選：A3．A【分析】利用絕對值不等式的解法化簡，再由充分條件與必要條件的定義，結(jié)合集合的包含關(guān)系列不等式求解即可.【詳解】因為：，所以，記；，記為．因為是的必要不充分條件，所以A，所以，解得．故選:A．4．D【分析】求出函數(shù)的極大值點得，然后由等差數(shù)列性質(zhì)結(jié)合誘導(dǎo)公式可得.【詳解】由正弦函數(shù)性質(zhì)知，當(dāng)，即時，函數(shù)取得極大值，則，由等差數(shù)列性質(zhì)，得，所以.故選：D5．B【分析】設(shè)，的夾角為，由題意可得，，解方程即可得出答案.【詳解】設(shè)，的夾角為，由可得：，，所以，在上的投影向量為，則，所以，即，則.故選：B.6．C【分析】根據(jù)條件得是等邊三角形，設(shè)的邊長為，結(jié)合雙曲線定義得，在中，由余弦定理求得離心率.【詳解】因為是線段的中點，且，所以，又，所以是等邊三角形，設(shè)的邊長為，由雙曲線的定義知，，，所以，又，所以，即，所以，在中，由余弦定理知，

，所以即，所以離心率.故選：C7．A【分析】利用二項式定理化簡為，展開可得到被10除余9，由此可得答案.【詳解】,所以被10除余9，2019,2020,2021,2022除以10余9的是2019，故選：A.8．C【分析】根據(jù)外接球性質(zhì)找到外接球球心位置，通過幾何直觀找到外接球半徑與的外接圓半徑的關(guān)系式；設(shè)，在中根據(jù)面積關(guān)系和正弦定理，得到是關(guān)于的函數(shù)；利用導(dǎo)數(shù)求出范圍，進而得到范圍.【詳解】如圖，連接，交于點，易得為的外心．連接．交于點，易知平面，則三棱錐的外接球球心在上．設(shè)的外接圓圓心為平面，由正方體中棱平面,得,又易得分別是中點，所以．

設(shè)的外接圓半徑為，三棱錐的外接球半徑為．則，設(shè)，，，又，．設(shè)，則，設(shè)，則，在單調(diào)遞增，又，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，又，所以．故選：C．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第一個突破口是找出外接球半徑與的外接圓半徑的關(guān)系，第二步是根據(jù)面積關(guān)系和正弦定理，得到是關(guān)于的函數(shù).9．BD【分析】由題意可得以為直徑的圓與圓相內(nèi)切或外切，得出該圓圓心與半徑后，結(jié)合圓與圓的位置關(guān)系計算即可得.【詳解】若圓上僅存在一點使，則以為直徑的圓與圓相內(nèi)切或外切，由，則以為直徑的圓的圓心為，半徑為，則有或，分別解得或，故或，故B、D正確，A、C錯誤.故選：BD.10．BCD【分析】A與B相互獨立，則,又因為可判斷A選項；由條件概率的運算判斷B選項；因為A與C互斥，即A發(fā)生則C一定不發(fā)生，故可判斷C選項；，即B與C互斥判斷D.【詳解】對于A，A與B相互獨立，則,，A錯誤；對于B，因為A與C互斥，所以,所以,,所以,B正確；對于C，,因為A與C互斥，即A發(fā)生則C一定不發(fā)生，所以,所以，C正確；對于D，顯然，即，由，得，解得，所以B與C互斥，D正確.故選：BCD.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查了互斥事件、獨立事件的概念和條件概率的公式化簡運算，關(guān)鍵在于理解和事件與積事件的求法，并于條件概率運算公式中的項相結(jié)合，進行化簡，進而向各選項表達式靠攏判斷正誤.11．AB【分析】令，求出，令，求出，再分別令和，即可求出函數(shù)的解析式，進而可得函數(shù)性質(zhì).【詳解】定義在上的函數(shù)滿足，令，則，所以，令，則，所以，令，則，所以，令，則，所以，因為，且定義域關(guān)于原點對稱，所以函數(shù)是奇函數(shù)，由反比例函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)在和上單調(diào)遞減.故選：AB.12．【分析】將角度拆分成，再結(jié)合誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化即可得所求.【詳解】因為，所以.故答案為：.13．【分析】由與的關(guān)系求得，用裂項求和法求得.【詳解】因為，所以，故時，兩式相減得，即，因為，即，所以數(shù)列是以2為首項，以2為公比的等比數(shù)列，所以，

故答案為:.14．【分析】將函數(shù)零點問題轉(zhuǎn)化為與的交點問題，數(shù)形結(jié)合即可求解范圍.【詳解】令，得或.作出的大致圖象，如圖所示，這兩個函數(shù)圖象的交點為，因為，，所以由圖可知的取值范圍是.故答案為：15．(1)(2)【分析】（1）由正弦定理證得為等腰直角三角形，再由余弦定理求即可；（2）設(shè)，利用正弦定理可得，展開化簡即可得其正切值.【詳解】（1）在中，由正弦定理得，即，解得，所以，則為等腰直角三角形，所以，則．在中，由余弦定理得，故．故A，C兩點間距離為．（2）設(shè)，則由題意可知，，．在中，由正弦定理得，即，在中，由正弦定理得，即，又，所以，解得，所以．16．(1)列聯(lián)表見解析；有99%的把握認為球隊的勝負與甲球員是否上場有關(guān).(2)（i）；（ii）【分析】（1）根據(jù)題意，得出的列聯(lián)表，求得，結(jié)合附表，即可求解；（2）設(shè)事件：甲球員上場打前鋒，事件：甲球員上場打中鋒，事件：甲球員上場打后衛(wèi)，事件：球隊贏球，結(jié)合全概率公式，即可求解；（ii）根據(jù)題意，利用條件概率的計算公式和貝葉斯公式，即可求解.【詳解】（1）解：根據(jù)題意，可得的列聯(lián)表：甲球員是否上場球隊的勝負情況合計勝負上場40545未上場235合計42850零假設(shè)：球隊的勝負與甲球員是否上場無關(guān)此時，所以，有99%的把握認為球隊的勝負與甲球員是否上場有關(guān).（2）解：由甲球員上場時，打前鋒、中鋒、后衛(wèi)的概率分別為0.3，0.5，0.2，相應(yīng)球隊贏球的概率分別為0.7，0.8，0.6.（i）設(shè)事件：甲球員上場打前鋒，事件：甲球員上場打中鋒，事件：甲球員上場打后衛(wèi)，事件：球隊贏球，則,所以，當(dāng)甲球員上場參加比賽時，球隊贏球的概率：.（ii）當(dāng)甲球員上場參加比賽時，在球隊贏了某場比賽的條件下，甲球員打中鋒的概率為.17．(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)四邊形是菱形，可得；在中，根據(jù)題意可證，又是的中點，得，即可得到結(jié)論.（2）根據(jù)題意，建立空間直角坐標系，求得平面的法向量，利用線面角公式即可.【詳解】（1）設(shè)與交點為，連接．

四邊形是菱形，是的中點．在中，是等邊三角形，．在中，是的中點，．又平面，平面．（2）連接，是等邊三角形，是線段的中點，又平面平面，平面平面，平面，平面．以為原點，所在直線分別為軸，軸如圖建立空間直角坐標系，不妨設(shè)，則，，于是，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，得，所以平面的一個法向量為．設(shè)直線與平面所成角大小為，則，故直線與平面所成角的正弦值為.18．（1）k的最大值為2（2）證明見解析【解析】(1）由知,設(shè),求出的導(dǎo)數(shù)，討論得出的單調(diào)性，求出的最小值，從而得出答案.（2）當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，這個不等式等價于,由此能夠證明不等式.【詳解】解（1）由知，設(shè)，則令，得.當(dāng)時，有成立，在單調(diào)遞增，，滿足題意.當(dāng)時，有，，所以，，于是有時，.所以在單調(diào)遞減，結(jié)合，知時，舍去.綜上，k的最大值為2.（2）由（1）知，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，于是有：，，，累加可得：.證畢！【點睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法，考查實數(shù)的取值范圍的求法，考查不等式恒成立的證明．注意導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)和分類討論思想的靈活運用，屬于難題.19．(1)(2)證明