黑龍江省百師聯(lián)盟2024屆高三沖刺卷（五） 數(shù)學(xué)試卷【含答案】

2024屆高三沖刺卷（五）數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上．2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上．寫(xiě)在本試卷上無(wú)效．3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．考試時(shí)間為120分鐘，滿(mǎn)分150分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．設(shè)為虛數(shù)單位，則（

）A．i B． C． D．2．設(shè)集合，則（

）A． B． C． D．3．函數(shù)的大致圖象為（

）A． B． C． D．4．已知向量，則（

）A． B． C． D．5．已知角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸正半軸重合，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．6．已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P為拋物線C上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足為M，且，則（

）A．2 B．4 C． D．7．某校組織校慶活動(dòng)，負(fù)責(zé)人將任務(wù)分解為編號(hào)為的四個(gè)子任務(wù)，并將任務(wù)分配給甲、乙、丙3人，且每人至少分得一個(gè)子任務(wù)，則甲沒(méi)有分到編號(hào)為的子任務(wù)的分配方法共有（

）A．12種 B．18種 C．24種 D．36種8．若定義在上的偶函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知命題“，”為真命題，則實(shí)數(shù)m的可能取值是（

）A． B．0 C．1 D．10．分形幾何學(xué)是美籍法國(guó)數(shù)學(xué)家伯努瓦·曼德?tīng)柌剂_特在20世紀(jì)70年代創(chuàng)立的一門(mén)新學(xué)科，它的創(chuàng)立為解決傳統(tǒng)科學(xué)領(lǐng)域的眾多難題提供了全新的思路.下圖展示了如何按照?qǐng)D①的分形規(guī)律生長(zhǎng)成一個(gè)圖②的樹(shù)形圖，設(shè)圖②中第n行白心圈的個(gè)數(shù)為，黑心圈的個(gè)數(shù)為，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．B．C．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列D．圖②中第2023行的黑心圈的個(gè)數(shù)是11．某導(dǎo)航通訊的信號(hào)可以用函數(shù)近似模擬，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．函數(shù)的最小正周期為B．將曲線向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后所得圖象與原圖象重合C．若，則的最小值為D．若在上恰有3個(gè)極大值點(diǎn)，則三、填空題（每小題5分，共15分）12．的展開(kāi)式中，含項(xiàng)的系數(shù)為．（用數(shù)字作答）13．設(shè)，是雙曲線：的左、右焦點(diǎn)，以為直徑的圓與雙曲線在第一象限交于點(diǎn)，且，則雙曲線C的離心率為.若內(nèi)切圓圓心I的橫坐標(biāo)為2，則的面積為.14．已知，若存在，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.四、解答題（15題13分，16、17每題15分，18、19每題17分，共77分）15．某校為了了解學(xué)生每周參加課外興趣班的情況，隨機(jī)調(diào)查了該校1000名學(xué)生在2023年最后一周參加課外興趣班的時(shí)長(zhǎng)（單位：分鐘），得到如圖所示的頻率分布直方圖．若直方圖中成等差數(shù)列，時(shí)長(zhǎng)落在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)為200．(1)求出直方圖中的值；(2)估計(jì)樣本時(shí)長(zhǎng)的中位數(shù)（精確到0.1）和平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替）；(3)從參加課外興趣班的時(shí)長(zhǎng)在和的學(xué)生按照分層抽樣的方法隨機(jī)抽取6人進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，再?gòu)倪@6人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行參加興趣班情況的深入調(diào)查，求被抽到的2人中參加課外興趣班的時(shí)長(zhǎng)在的人數(shù)的分布列及期望．16．已知函數(shù).(1)若，求在處的切線方程；(2)者，討論函數(shù)的單調(diào)性.17．如圖，在以為頂點(diǎn)的五面體中，四邊形為正方形，四邊形為等腰梯形，，且平面平面．(1)證明：平面平面；(2)求平面和平面夾角的余弦值．18．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)為為橢圓上一點(diǎn)，的面積的最大值為4，直線與橢圓交于兩點(diǎn)．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)點(diǎn)，設(shè)直線和的斜率分別為，若，求的面積的最大值．19．已知n行n列的數(shù)表中，滿(mǎn)足：，.若數(shù)表滿(mǎn)足當(dāng)時(shí)，總有，則稱(chēng)此數(shù)表為典型數(shù)表，此時(shí)記.(1)若數(shù)表，，請(qǐng)直接寫(xiě)出M，N是否是典型數(shù)表；(2)當(dāng)時(shí)，是否存在典型數(shù)表A使得，若存在，請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)數(shù)表A；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)若數(shù)表A為典型數(shù)表，求的最小值（直接寫(xiě)出結(jié)果，不需要證明）.1．A【分析】考查復(fù)數(shù)乘除運(yùn)算，先根據(jù)復(fù)數(shù)乘除運(yùn)算將復(fù)數(shù)化簡(jiǎn)得，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)為得結(jié)果.【詳解】由題意可得，所以.故選：A.2．D【分析】解不等式化簡(jiǎn)集合B，再利用補(bǔ)集、交集的定義求解即得.【詳解】依題意，，所以.故選：D3．B【分析】根據(jù)定義域、特殊值可以對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行排除，從而得到正確選項(xiàng).【詳解】因?yàn)榈亩x域?yàn)?，故排除；又，故排除；，故排除D．故選：B．4．B【分析】根據(jù)題意先求出，然后由向量的數(shù)量積公式計(jì)算即可.【詳解】解：因?yàn)?，所以，所以．故選：B．5．D【分析】利用三角函數(shù)的定義可求出的值，再根據(jù)誘導(dǎo)公式求解即可.【詳解】因?yàn)榻堑慕K邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，所以.故選：D.6．D【分析】根據(jù)題意，由拋物線的定義可得為等腰三角形，，然后代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】

由拋物線定義可知，所以為等腰三角形，記原點(diǎn)為，因?yàn)?，所以，則，所以.故選：D7．C【分析】可以考慮用間接法先不考慮限制求出共有種方法，進(jìn)一步由分類(lèi)原理即可求解.【詳解】不考慮限制條件則共有種方法，若甲分到編號(hào)子任務(wù)，有兩種情況：甲分到一個(gè)子任務(wù)（即只有編號(hào)子任務(wù)），此時(shí)共有種方法；甲分到兩個(gè)子任務(wù)（即包含編號(hào)子任務(wù)），此時(shí)共有種方法；則所求的分配方法共有種.故選：C.8．A【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性，先得，從而得，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性可判斷大小.【詳解】因?yàn)槭嵌x在上偶函數(shù)，所以，因?yàn)椋?，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，故選：A.9．AB【分析】先利用題給條件求得實(shí)數(shù)m的取值范圍，進(jìn)而得到實(shí)數(shù)m的可能取值.【詳解】因?yàn)槊}“，”為真命題，所以，，令，，則，可知為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，有最小值，故實(shí)數(shù)m的取值范圍為，故選：AB.10．ACD【分析】求得，的值判斷選項(xiàng)AB；利用等比數(shù)列定義判斷選項(xiàng)C；求得圖②中第2023行的黑心圈的個(gè)數(shù)判斷選項(xiàng)D.【詳解】由題可得，，故A正確，B錯(cuò)誤；，，，且有，，故有所以是以為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，為常數(shù)列，且，所以是以為首項(xiàng)，1為公比的等比數(shù)列，故C正確；由上可得故所以，故D正確.故選：ACD.11．BC【分析】結(jié)合對(duì)稱(chēng)性知周期縮小一半，圖象平移“左加右減”，利用三角函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性求解，極值問(wèn)題利用三角函數(shù)的極值為三角函數(shù)的頂點(diǎn)處的取值求解自變量的值即可.【詳解】因?yàn)榈淖钚≌芷跒椋蔄錯(cuò)誤；將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到，故B正確；因?yàn)榈闹涤驗(yàn)?，若，則的最小值為，故C正確；結(jié)合圖象，令，，得，，即，若在上恰有3個(gè)極大值點(diǎn)，則，故D不正確.故選：BC.12．208【分析】求展開(kāi)式中的項(xiàng)，即可求出結(jié)果.【詳解】展開(kāi)式中含項(xiàng)為，所以展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)為208．故答案為：208.13．6【分析】利用題給條件結(jié)合雙曲線定義求得關(guān)系，進(jìn)而求得雙曲線C的離心率；利用題給條件求得的值，進(jìn)而求得的面積.【詳解】設(shè)以為直徑的圓與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)設(shè)為，則，由雙曲線的定義可得，所以，，由勾股定理得，即有，∴.設(shè)內(nèi)切圓與x軸相切于M，M點(diǎn)橫坐標(biāo)為t，則，則,解之得又由內(nèi)切圓圓心的橫坐標(biāo)為2，得，故.

故答案為：，614．【分析】先用導(dǎo)數(shù)證明不等式，然后對(duì)和分類(lèi)討論，即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)，則，從而當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí).所以在上遞減，在上遞增，故對(duì)任意有，即.一方面，當(dāng)時(shí)，由于，故存在使得成立；另一方面，當(dāng)時(shí)，由于對(duì)任意都有（這里用到，，），所以對(duì)任意都有.綜上，的取值范圍是.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對(duì)于求取值范圍問(wèn)題，本質(zhì)上就是要確定一個(gè)集合，使得命題成立的充要條件是參數(shù)屬于該集合.故本題中我們從兩個(gè)方面入手，證明了存在使得的充要條件是，即可解決問(wèn)題.15．(1)，(2)中位數(shù)為71.7，平均數(shù)為73(3)分布列見(jiàn)解析，【分析】（1）由時(shí)長(zhǎng)落在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)可求出，由成等差數(shù)列且各組頻率之和為1可得的值；（2）由中位數(shù)的計(jì)算方法以及平均數(shù)計(jì)算公式直接計(jì)算即可求解；（3）首先得出參加課外興趣班的時(shí)長(zhǎng)在內(nèi)的有4（人），參加課外興趣班的時(shí)長(zhǎng)在內(nèi)的有2（人），然后根據(jù)超幾何分布的概率公式求出相應(yīng)的概率即可得分布列以及數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）由已知可得，則，即．又成等差數(shù)列，，解得．（2），設(shè)中位數(shù)為，且，，解得，即中位數(shù)為71.7，平均數(shù)為．（3）由（1）知，所以按照分層的方法抽樣隨機(jī)抽取的6人中，參加課外興趣班的時(shí)長(zhǎng)在內(nèi)的有（人），參加課外興趣班的時(shí)長(zhǎng)在內(nèi)的有（人）．參加課外興趣班的時(shí)長(zhǎng)在內(nèi)的人數(shù)的可能取值為．，所以的分布列為012期望．16．(1)(2)答案見(jiàn)解析【分析】（1）求出、后可得在處切線方程.（2）就、、分類(lèi)討論導(dǎo)數(shù)的符號(hào)后可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【詳解】（1），則，，，，∴在處切線方程為，即.（2）函數(shù)的定義域?yàn)椋?因?yàn)椋?，由得或?①當(dāng)時(shí)，，所以或，，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；③當(dāng)時(shí)，，所以或，，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.17．(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）有題意根據(jù)面面垂直性質(zhì)可得平面，故，再由邊長(zhǎng)關(guān)系勾股定理可得，故平面，從而得證；（2）建立空間坐標(biāo)系，求出平面和平面法向量，然后根據(jù)向量夾角公式求解即可.【詳解】（1）四邊形為正方形，．平面平面，且平面平面，平面．又平面，．在梯形中，作于，則，則，，即．平面，平面，又平面，平面平面．（2）如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，作于點(diǎn)，分別以為軸正向建立空間直角坐標(biāo)系．則．由（1）知，平面的一個(gè)法向量為．設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則,即，則．所以平面和平面夾角的余弦值為．18．(1)(2)【分析】（1）由的面積的最大值聯(lián)立方程組解得的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）聯(lián)立直線和橢圓方程，由韋達(dá)定理以及直線和橢圓的位置關(guān)系求得，得出的面積的表達(dá)式并利用基本不等式可求得最大值.【詳解】（1）（1）設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，半焦距為，由已知可得，解得故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）如下圖所示：設(shè)點(diǎn)，聯(lián)立可得，由題意知直線不過(guò)點(diǎn)，即．，可得且．由韋達(dá)定理可得，，同理可得，，化簡(jiǎn)得，；所以，即，設(shè)直線過(guò)定點(diǎn)，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．故的面積存在最大值，且最大值為.19．(1)不是典型數(shù)表，N是典型數(shù)表(2)不存在，理由見(jiàn)解析(3)【分析】（1）根據(jù)典型數(shù)表的定義即可判斷.（2）假設(shè)存在這樣的典型數(shù)表，求解當(dāng)取得最小時(shí)，即中數(shù)字需要最少，利用定義求解即可.（3）結(jié)合（2）及定義分類(lèi)討論為奇數(shù)和為偶數(shù)時(shí)求解即可.【詳解】（1）M不是典型數(shù)表，N是典型數(shù)表.因?yàn)閿?shù)表，所以，此時(shí)，，所以，不滿(mǎn)足當(dāng)時(shí)，總有，故數(shù)表不是典型數(shù)表；因?yàn)閿?shù)表，所以當(dāng)時(shí)，，，所以，由于數(shù)表N的數(shù)據(jù)具有對(duì)稱(chēng)性，所以當(dāng)時(shí)，總有，故數(shù)表N是典型數(shù)表.（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)，存在典型數(shù)表A使得，則需滿(mǎn)足取得最小，即典型數(shù)表A中的“1”需要最少，由典型數(shù)表的定義可知：當(dāng)時(shí)，總有，所以需要使得盡量多的橫列和，所以將表分成4個(gè)4×4數(shù)表，對(duì)角的兩個(gè)數(shù)表數(shù)值相同，但上下左右對(duì)稱(chēng)的數(shù)表數(shù)值不同，此時(shí)可保證取得最小，而滿(mǎn)足上述條件的典型數(shù)表A如，此時(shí)滿(mǎn)足取得最小，但是的最小值為32，故不存在典型數(shù)表，使得.