初中八年級數(shù)學重點學習課件：菱形（測試）（解析版）

專題09菱形

專題測試

1.（2018春?定州市期末）如圖坐標系，四邊形ABCD是菱形，頂點A、B在x軸上，AB=5,點C在第一

A坐標為（-2,0）,則頂點C的坐標為（）

C.(6,4)D.(7,3)

【答案】C

x軸的垂線，垂足為E,

.\AB?CE=20,即5CE=20,

；.CE=4,

在RSBCE中，BC=AB=5,CE=4,

；.BE=3,

；.AE=AB+BE=5+3=8.

XVA(-2,0),

；.OA=2,

；.OE=AE-OA=8-2=6,

AC(6,4),

故選：C.

2.（2018春?長安區(qū)期末）數(shù)學課上探究“菱形的兩條對角線互相垂直”時，甲乙兩同學分別給出各自的證明:

已知：如圖，四邊形ABCD是菱形，對角線AC,BD交于點O.

求證：AC1BD

甲的證法：乙的證）去：

?.?四郵ABCDM形，，AB=ADQB=OD

又「AOAO,.?.iAOB^-AOD..AB=ADQB=OD,

.,.zAOB=zAOD.

.AO±OB;

?.1ZAOB+ZAOD=180°S.-.ZAOB=90°>.,AC±BD.

.-.AC±BD.

A

則關于兩人的證明過程，說法正確的是（）

A.甲、乙兩人都對B.甲對，乙不對

C.乙對，甲不對D.甲、乙兩人都不對

【答案】A

【解析】解：甲乙兩同學分別給出各自的證明都是正確的，

甲是利用全等三角形的性質(zhì)證明NAOB=/AOD=90。的.

乙是利用等腰三角形的三線合一的性質(zhì)證明AC1BD的.

故選：A.

3.（2018春?蜀山區(qū)期末）在菱形ABCD中，ZADC=60°,點E為AB邊的中點，點P與點A關于DE對

稱，連接DP、BP、CP,下列結(jié)論：①DP=CD；?AI^+BP^CD2；③/DCP=75。；?ZCPA=150°,

其中正確的是（）

A.①②B.①②④C.③④D.①②③④

【答案】B

【解析】解：如圖，設DE交AP于O.

O

AEB

...四邊形ABCD是菱形,

/.DA=DC=AB,

,:A、P關于DE對稱，

ADEIAP,OA=OP,

ADA=DP,

，DP=CD,故①正確，

VAE=EB,AO=OP,

.?.OE〃PB,

.*.PB±PA,

AZAPB=90°,

.?.PA2+PB2=AB2=CD2,故②正確，

若/DCP=75°,則ZCDP=30°,

:NADC=60。，

；.DP平分NADC,顯然不符合題意，故③錯誤，

VZADC=60°,DA=DP=DC,

.*.ZDAP=ZDPA,ZDCP=ZDPC,

1

AZCPA2（360°-60°）=150°,故④正確，

故選：B.

4.（2018春?江油市期末）如圖，四邊形ABCD是菱形，對角線AC,BD相交于點O,DHJ_AB于點H,

連接OH,ZCAD=20°,則NDHO的度數(shù)是（）

A.20°B.25°C.30°D.40°

【答案】A

【解析】解：；四邊形ABCD是菱形，

.,.OD=OB,AB//CD,BD1AC.

VDH±AB,

/.DH1CD,NDHB=90。，

.'.OH為RtADHB的斜邊DB上的中線,

??.OH=OD=OB,

VDH1CD,

/.Zl+Z2=90°,

VBD±AC,

???N2+NDCO=90。，

.\Z1=ZDCO,

???NDHO=NDCA,

???四邊形ABCD是菱形，

ADA=DC,

.'.ZCAD=ZDCA=20°,

???NDHO=20。，

故選：A.

7

5.（2018春?莘縣期末）菱形ABCD的邊長1,面積為9,則AC+BD的值為（）

481632

A.3B.3c.9D.9

【答案】B

【解析】解：?.?四邊形ABCD是菱形，

C

_1_1

；.AC_LBD,AO2AC,BO2BD,

7

...面積為9,

1_7

/.2?AC?DB9,

14

AC?BD9,

VAO2+BO2;-12,

11

二.（2AC）2+（2BD）2=1,

AC2+BD2=4,

2864

+-------

AC2+BD2+2AC?BD=499,

_8

AAC+BD3,

故選：B.

6.（2018秋?焦作期末）菱形ABCD的周長為52cm,一條對角線的長為24cm,則該菱形的面積為<

【答案】120

【解析】解：；菱形ABCD的周長等于52cm,

，邊長=52=4=13cm.

VAC1BD,AO=CO,BO=DO,BD=24,

，OA=5,

AAC=10,

工菱形的面積為10x24=2=120cm2.

故答案為：120.

7.（2018春?姜堰區(qū)期末）如圖，菱形ABCD的對角線AC、BD相交于點O,DH1.AB于點H,連接OH,

【解析】解：VAH=DH,DH±AB,

.,.ZDAH=ZADH=45°,

?.?四邊形ABCD是菱形，

1

ZDAO2/DAB=22.5。，AC1BD,

.,.ZAOD=90°,ZADO=67.5°,

.,.ZHDO=ZADO-NADH=22.5。,

VZDHB=90°,DO=OB,

，OH=OD,

ZDHO=ZHDO=22.5°

故答案為22.5°.

8.（2018春?寧城縣期末）如圖，將兩條寬度都為3的紙條重疊在一起，使NABC=60。，則四邊形ABCD

的面積為

【答案】6火

【解析】解：???紙條的對邊平行，即AB〃CD,AD〃BC,

:.四邊形ABCD是平行四邊形，

?兩張紙條的寬度都是3,

AS四邊形ABCD=ABx3=BCx3,

，AB=BC,

平行四邊形ABCD是菱形，即四邊形ABCD是菱形.

如圖，過A作AEJ_BC,垂足為E,

...NBAE=90°-60°=30°,

；.AB=2BE,

在AABE中，AB2=BE2+AE2,

_1

即AB24AB2+32,

解得AB=2\/3,

AS叫邊彩ABCD=BOAE=2\后、3=60.

故答案是：6G.

9.（2018春?高新區(qū)期末）如圖，在AABC中，NABC=90。，BD為AC的中線，過點C作CE_LBD于點E,

過點A作BD的平行線，交CE的延長線于點F,在AF的延長線上截取FG=BD,連接BG、DF.若

【答案】5

【解析】解：：AG〃BD,BD=FG,

四邊形BGFD是平行四邊形，

VCF1BD,

ACFXAG,

乂?.?點D是AC中點,

_1

；.BD=DF2AC,

四邊形BGFD是菱形，

設GF=x,則AF=13-x,AC=2x,

;在RlAACF中，/CFA=90°,

/.AF2+CF2=AC2,即（13-x）2+62=（2x）2,

解得：x=5,

即BG=5.

故答案是：5.

10.（2018春?黔東南州期末）如圖是由6個形狀大小完全相同菱形組成的網(wǎng)格，若菱形的邊長為1,一個內(nèi)

角（NO）為60。，AABC的各頂點都在格點上，則BC邊上的高為.

【答案】G

【解析】解：如圖，連接EA,EC,

:菱形的邊長為1,由題意得/AEF=30。，/BEF=60。，AE=W,

.?./AEC=90°,

■:/ACE=/ACG=NBCG=60。，

；.NECB=180°,

，E、C、B共線，

AAE即為AACB的BC邊上的高，

:.AE=?

故答案為W.

11.（2018春?白山期末）如圖，ABCD為矩形紙片，E、F分別為AB、DC上的點，將此矩形兩次翻折，EM

和FN為折痕，其中A，、D，分別為A、D的對應點，且點A在射線EF上；B\。分別為B、C的對應點，

且點C在射線FE±.

(1)求證：四邊形ENFM為平行四邊形；

(2)若四邊形ENFM為菱形，求NEMF的度數(shù).

【解析】證明：(1)???矩形ABCD,

???AB〃CD,

AZCFE=ZAEF,

由翻折可得：NAEM=NMEF,NCFN=NEFN,

???NMEF=NEFN,

AME/7FN,

???四邊形ENFM是平行四邊形；

(2),?,四邊形ENFM為菱形，

???MF=ME,

.'.ZMFE=ZMEF,

VAB/7CD,

???NMFE=NFEN,

VZAEM=ZMEF,

ZAEM+ZMEF+ZFEN=180°,

.\ZAEM=60°,

.'.ZEMF=60°.

12.(2018春?宜賓期末)如圖，在菱形ABCD中，ZA=60°.點E、F分別是邊AB、AD上的點，且滿足

ZBCE=ZDCF,連結(jié)EF.

(1)求證：4CEF為等腰三角形；

(2)若AF=2,求4AEF的面積；

(3)若G是CE的中點，連結(jié)BG并延長交DC于點H,連結(jié)FH,求證：BF=FH.

【解析】解：(1)證明：：四邊形ABCD為菱形,

，CD=CB,ZCDF=ZCBE,

在ACDF和ACBE中

fZ-CDF=Z.CBE

\/.DCF=Z.BCE

[CD=CB

/.△CDF^ACBE(AAS),

ACF=CE,

/.△CEF為等腰三角形；

(2)VACDF^ACBE,

；.DF=BE,

VAD=AB,

；.AF=AE,

又?../A=60°,

/.△AEF為等邊三角形，

；.AE=AF=2,

作FM1AB于點M,

1

AM=-AE=1

???2，

/.FM12=*SAF2-AM2,

,FM=ylAF2-AM2=yj?2-I2=A/3,

11

S△AEF=_4E?FM=—x2x5y5=y/3

(3)證明：???G是CE中點,

???CG=EG,

VAB/7CD,

AZHCG=ZBEG,

在ZkCHG和ZkEBG中

(Z-HCG=乙BEG

CG=EG

/.CGH=Z.EGB

/.△CHG^AEBG(ASA),

AHC=BE,

由(1)知：ACDF^ACBE,

，DF=BE,

VDC=AB,HC=BE,

:.DH=AE,

又?.?AE=EF,

???DH=EF,

又???NBEF=180。-ZFEA=120°,

AZD=ZFEB=120°,

在ADFH和aEFB中

fDH=EF

\z.D=^FEB

[DF=BE

/.△DFH^AEFB(SAS),

???BF=FH.

13.(2018春?錦江區(qū)期末)如圖，菱形ABCD的對角線AC,BD相交于點O,延長AC到E,使CE=CO,

連接EB,ED.

(1)求證：EB=ED；

(2)過點A作AF,AD,交BC于點G,交BE于點F,若NAEB=45。，

①試判斷4ABF的形狀，并加以證明；

②設CE=m,求EF的長(用含m的式子表示).

【答案】見解析

【解析】解：（1）證明：???四邊形ABCD是菱形，

AEA1BD,OB=OD,

，EB=ED

（2）①結(jié)論：ZkABF是等腰三角形（AB=AF）；

理由：VZAEB=45°,EO±OB,

???△BOE是等腰直角三角形，

???NOBE=NOEB=45。，

VAG±BC,

，NAGB=NBOC=90。，

AZGAC+ZACB=90°,ZACB+ZOBC=90°,

:.ZCAG=ZCBO=ZABO,

,:ZABF=ZABO+ZOBE=ZABO+450,ZAFB=ZCAG+ZAEB=ZCAG+45%

AZAFB=ZABF,

???AB=AF,

???△ABF是等腰三角形.

②作EH±AF交AF的延長線于H.

由題意CE=OC=OA=m,OB=AC=OD=2m,AE=3m,AB=AF=\

_1EH

tanZCBO=tanZCAG2AH,

=3j5=6j5

.?.EH5m,AH5m,

=電

.*.FH=AH-AF5m,

=yjFH2+EH2=K—m)2+=*

在RSEFH中，EF/55m.

14.(2018春?房山區(qū)期末)如圖，在R3ABC中，ZACB=90°,CD是斜邊AB上的中線，分別過點A,

C作AE〃DC,CE〃AB,兩線交于點E.

(1)求證：四邊形AECD是菱形；

(2)如果NB=60。，BC=2,求四邊形AECD的面積.

【答案】見解析

【解析】解：(1)證明：VAE/7DC,CE/7AB,

...四邊形AECD是平行四邊形，

：RSABC中，NACB=90。，CD是斜邊AB上的中線,

；.CD=AD,

四邊形AECD是菱形；

(2)連接DE.

VZACB=90°,ZB=60°,

.?.NBAC=30°

AAB=4,AC=28,

；四邊形AECD是菱形，

；.EC=AD=DB,

又：EC〃DB

四邊形ECBD是平行四邊形，

；.ED=CB=2,

1

=—X

，S菱形AECD2ACXED=2A/?.

15.(2018春?鎮(zhèn)原縣期末)如圖，在QABCD中，對角線AC,BD交于點O,點E,點F在BD上，且BE

=DF連接AE并延長，交BC于點G,連接CF并延長，交AD于點H.

(1)求證：ZkAOE四△COF；

(2)若AC平分NHAG,求證：四邊形AGCH是菱形.

【答案】見解析

【解析】證明：（1）???四邊形ABCD是平行四邊形,

AOA=OC