運動的守恒量和守恒定律

關(guān)于運動的守恒量和守恒定律§2-1質(zhì)點系的內(nèi)力和外力質(zhì)心質(zhì)心運動定理一、質(zhì)點系的內(nèi)力與外力（1）系統(tǒng)內(nèi)，內(nèi)力是成對出現(xiàn)的。每對內(nèi)力大小相等、

方向相反，沿兩質(zhì)點連線方向。內(nèi)力:質(zhì)點系內(nèi)各個質(zhì)點間的相互作用。外力:質(zhì)點系外物體對系統(tǒng)內(nèi)質(zhì)點所施加的力。質(zhì)點系內(nèi)力的特點：（2）質(zhì)點系內(nèi)所有內(nèi)力之和為0。第2頁,共57頁，星期六，2024年，5月§2-1質(zhì)點系的內(nèi)力和外力質(zhì)心質(zhì)心運動定理二、質(zhì)心質(zhì)心:與質(zhì)量分布有關(guān)的一個代表點，它的位置在平均意義上代表著質(zhì)量分布的中心。第3頁,共57頁，星期六，2024年，5月如拋擲的物體、跳水的運動員、爆炸的焰火等，其質(zhì)心的運動都是拋物線。第4頁,共57頁，星期六，2024年，5月對于N個質(zhì)點組成的質(zhì)點系：直角坐標(biāo)系中的分量式：質(zhì)心的位矢：第5頁,共57頁，星期六，2024年，5月對于質(zhì)量連續(xù)分布的物體:分量式：面分布體分布線分布質(zhì)心的位矢：第6頁,共57頁，星期六，2024年，5月（2）質(zhì)量均勻分布的規(guī)則物體，質(zhì)心在幾何中心。（1）質(zhì)心是諸質(zhì)點位置的加權(quán)平均，質(zhì)量相當(dāng)于權(quán)重。質(zhì)心處不一定有質(zhì)量。說明（3）質(zhì)心與重心是兩個不同的概念。重心是地球?qū)ξ矬w各部分引力的合力(即重力)的作用點，質(zhì)心與重心的位置不一定重合。第7頁,共57頁，星期六，2024年，5月例題2-1

求腰長為a的等腰直角三角形均勻薄板的質(zhì)心位置。取寬度為dx的面積元，設(shè)薄板每單位面積的質(zhì)量為

，則此面積元的質(zhì)量為解：取坐標(biāo)軸如圖，根據(jù)對稱性分析可知第8頁,共57頁，星期六，2024年，5月例題2-2

求一段質(zhì)量為m的均勻鐵絲，彎成如圖所示120?

弧形的質(zhì)心坐標(biāo)。(其中鐵絲每單位長度的質(zhì)量為

)。解：建立坐標(biāo)系，將d

所對弧旋作為為積分的微元，由對稱性可知，mxyO第9頁,共57頁，星期六，2024年，5月三、質(zhì)心運動定理由質(zhì)心位矢公式：質(zhì)心的速度為質(zhì)心的加速度為第10頁,共57頁，星期六，2024年，5月由牛頓第二定律得對于系統(tǒng)內(nèi)成對的內(nèi)力

質(zhì)心的運動等同于一個質(zhì)點的運動，這個質(zhì)點具有質(zhì)點系的總質(zhì)量，它受到的外力為質(zhì)點系所受的所有外力的矢量和。質(zhì)心運動定理：第11頁,共57頁，星期六，2024年，5月（1）質(zhì)心處的質(zhì)點（質(zhì)點系總質(zhì)量）代替質(zhì)點系整體的平動。（2）若，不變。（3）只要外力確定，不管作用點怎樣，質(zhì)量如何分布，質(zhì)心的加速度就確定，質(zhì)心的運動軌跡就確定，即質(zhì)點系的平動就確定。（4）系統(tǒng)內(nèi)力不會影響質(zhì)心的運動，這對解決比較復(fù)雜的機(jī)械運動問題會很便利。說明第12頁,共57頁，星期六，2024年，5月§2-2動量定理動量守恒定律一、動量定理由牛頓運動定律：

表示力對時間的累積量，叫沖量。其中，

質(zhì)點在運動過程中，所受合外力的沖量等于質(zhì)點動量的增量。動量定理：第13頁,共57頁，星期六，2024年，5月說明(1)沖量的方向一般不是某一瞬時力的方向，而是所有元沖量的合矢量的方向，即物體始末動量的矢量差。動量定理反映了力在時間上的累積作用對質(zhì)點產(chǎn)生的效果。逆風(fēng)行舟的分析：第14頁,共57頁，星期六，2024年，5月(2)

動量定理中的動量和沖量都是矢量，符合矢量疊加原理，或以分量形式進(jìn)行計算：第15頁,共57頁，星期六，2024年，5月(3)

在

沖擊、

碰撞問題中估算平均沖力。(4)動量定理是牛頓第二定律的積分形式，只適用于慣性系。F(t)Ft(5)動量定理在處理變質(zhì)量問題時很方便。第16頁,共57頁，星期六，2024年，5月

研究錘對工件的作用過程，在豎直方向利用動量定理，取豎直向上為正。例題2-3

質(zhì)量m=0.3t的重錘，從高度h=1.5m處自由落到受鍛壓的工件上，工件發(fā)生形變。如果作用的時間(1)

=0.1s，(2)

=0.01s。試求錘對工件的平均沖力。以重錘為研究對象，分析受力，作受力圖。解：解法一：第17頁,共57頁，星期六，2024年，5月解法二：研究錘從自由下落到靜止的整個過程，其動量變化為零。重力作用時間為支持力的作用時間為

由動量定理：第18頁,共57頁，星期六，2024年，5月例題2-4

一繩跨過一定滑輪，兩端分別拴有質(zhì)量為m及m'的物體A和B，m'大于m。B靜止在地面上，當(dāng)A自由下落距離h后，繩子才被拉緊。求繩子剛被拉緊時兩物體的速度，以及能上升的最大高度。

作繩拉緊時的受力圖。繩子剛好拉緊前的瞬間，物體A的速度為解：經(jīng)過短暫的沖擊過程，兩物體速率相等，對兩物體分別應(yīng)用動量定理（取向上為正）：第19頁,共57頁，星期六，2024年，5月考慮到繩不可伸長，有：繩子拉緊后，A、B系統(tǒng)的加速度為即為繩子剛被拉緊時兩物體的速度。速度為零時，物體B達(dá)到最大高度H：平均沖力、>>重力，因而忽略重力。（P35,例題1-9）第20頁,共57頁，星期六，2024年，5月

如圖所示兩塊并排的木塊A和B，質(zhì)量分別為m1和m2，靜止放置在光滑的水平面上，一子彈水平穿過木塊，設(shè)子彈穿過兩木塊所用的時間分別為和，木塊對子彈的阻力為恒力F，試求子彈穿出后，木塊AB的速率。[作業(yè)1]P1032-3[作業(yè)2]P1032-7水力采煤是高壓水槍噴出的強(qiáng)力水柱沖擊煤層。設(shè)水柱直徑D=30mm,水速v=56m/s,水柱垂直射在煤層表面上，沖擊煤層后的速度為零。求水柱對煤的平均沖力。第21頁,共57頁，星期六，2024年，5月=常矢量=常矢量根據(jù)質(zhì)心運動定理：若三、動量守恒定律即動量守恒定律：則

如果系統(tǒng)所受的外力之和為零，則系統(tǒng)的總動量保持不變，質(zhì)心保持勻速直線運動狀態(tài)。第22頁,共57頁，星期六，2024年，5月（2）當(dāng)外力遠(yuǎn)小于內(nèi)力時，可近似認(rèn)為系統(tǒng)的總動量守恒。（如：爆炸、碰撞、打擊過程等）（1）內(nèi)力的存在只改變系統(tǒng)內(nèi)動量的分配，而不能改變系統(tǒng)的總動量。說明（3）分量式（4）定律不僅適合宏觀物體，同樣也適合微觀領(lǐng)域。（5）動量定理及動量守恒定律只適用于慣性系。外力在某方向的分量之和為零，則動量在該方向的分量守恒。第23頁,共57頁，星期六，2024年，5月例題2-5

如圖所示,設(shè)炮車以仰角

發(fā)射一炮彈，炮車和炮彈的質(zhì)量分別為m'

和m，炮彈的出口速度為v，求炮車的反沖速度v'。炮車與地面間的摩擦力不計。解：選炮車和炮彈組成系統(tǒng)，外力分析如圖。炮車與地面間的摩擦力不計，系統(tǒng)水平方向動量守恒。思考：豎直方向動量守恒嗎？第24頁,共57頁，星期六，2024年，5月得炮車的反沖速度為由水平方向動量守恒定律，得：第25頁,共57頁，星期六，2024年，5月

炸裂時爆炸力是物體內(nèi)力，內(nèi)力遠(yuǎn)大于重力，故在爆炸中，可認(rèn)為動量守恒。例題2-6

一個靜止物體炸成三塊，其中兩塊質(zhì)量相等，且以相同速度30m/s沿相互垂直的方向飛開，第三塊的質(zhì)量恰好等于這兩塊質(zhì)量的總和。試求第三塊的速度（大小和方向）。解：第26頁,共57頁，星期六，2024年，5月即和及都成，且三者都在同一平面內(nèi)第27頁,共57頁，星期六，2024年，5月一、功的概念

物體在力的作用下發(fā)生一無限小的位移(元位移)時，此力對它做的功定義為力在位移方向的投影和元位移大小的乘積，即：可以寫成兩個矢量的標(biāo)積：功是標(biāo)量，沒有方向，但有正負(fù)。單位：Nm=J(焦耳)功率：單位：J/s(W)§2-3功動能動能定理（

為力與位移的夾角）第28頁,共57頁，星期六，2024年，5月（1）能量是反映各種運動形式共性的物理量，各種運動形式的相互轉(zhuǎn)化可以用能量來量度。各種運動形式的相互轉(zhuǎn)化遵守能量守恒定律。（3）與機(jī)械運動直接相關(guān)的能量是機(jī)械能，它是物體機(jī)械運動狀態(tài)（即位置和速度）的單值函數(shù)，包括動能和勢能。二、能量（2）能量是物體狀態(tài)的單值函數(shù)。物體狀態(tài)發(fā)生變化，它的能量也隨之變化。第29頁,共57頁，星期六，2024年，5月三、動能定理設(shè)質(zhì)點在變力的作用下沿曲線從a點移動到b點，變力所做的功為：由牛頓第二定律：第30頁,共57頁，星期六，2024年，5月質(zhì)點的動能：則有

合外力對質(zhì)點所做的功等于質(zhì)點動能的增量。（4）功是一個過程量，而動能是一個狀態(tài)量。(2)

與參考系有關(guān)，動能定理只在慣性系中成立。（3）(5)微分形式：說明(6)

內(nèi)力的功可改變系統(tǒng)的動能，如炮彈爆炸。(1)功是物體在某過程中能量改變的量度。動能定理：第31頁,共57頁，星期六，2024年，5月例題2-7

利用動能定理重做P40例題1-13。

解：如圖所示，細(xì)棒下落過程中，合外力對它作的功為應(yīng)用動能定理，因初速度為0，末速度v可求得如下第32頁,共57頁，星期六，2024年，5月Lv0OxLs

解：由于物體是柔軟勻質(zhì)的，在物體完全滑上臺面之前，對臺面的正壓力與滑上臺面的質(zhì)量成正比，所受臺面的摩擦力Ff是變化的，可表示為例題2-8

傳送機(jī)通過滑道將長為L，質(zhì)量為m的柔軟勻質(zhì)物體以初速向右送上水平臺面，物體前端在臺面上滑動s距離后停下來（如圖）。已知滑道上的磨擦可不計，物體與臺面的摩擦系數(shù)為μ，而且s>L，試計算物體的初速度。第33頁,共57頁，星期六，2024年，5月當(dāng)物體前端在s處停止時，摩擦力做的功為由動能定理得即得第34頁,共57頁，星期六，2024年，5月一、保守力

根據(jù)各種力做功的特點，可將力分為保守力和非保守力。保守力：如：重力、萬有引力、彈性力以及靜電力等。非保守力：如：摩擦力、回旋力等。做功與路徑無關(guān)，只與始末位置有關(guān)的力。做功不僅與始末位置有關(guān)，還與路徑有關(guān)的力?！?-4保守力成對力的功勢能第35頁,共57頁，星期六，2024年，5月重力的功

重力做功只與質(zhì)點的始末位置有關(guān)，而與所經(jīng)過的路徑無關(guān)，重力是保守力！設(shè)物體m從a點沿任一曲線移動到b點。在元位移中，重力所做的元功為第36頁,共57頁，星期六，2024年，5月如果物體沿閉合路徑adbca運動一周，容易計算重力所做的功為：討論

表明保守力沿任何閉合路徑做功等于零。（L為任意閉合路徑）或第37頁,共57頁，星期六，2024年，5月彈性力的功

彈性力做功只與質(zhì)點的始末位置有關(guān)，而與質(zhì)點運動的路徑無關(guān)，彈性力是保守力！設(shè)光滑水平桌面一端固定的輕彈簧(k)，另一端連接質(zhì)點

m，當(dāng)質(zhì)點由a點運動到b點的過程中：第38頁,共57頁，星期六，2024年，5月萬有引力的功設(shè)質(zhì)量為m'的質(zhì)點固定，另一質(zhì)量為m的質(zhì)點在m'

的引力場中從a點運動到b點。

萬有引力的功僅由物體的始末位置決定，與路徑無關(guān)，萬有引力是保守力！第39頁,共57頁，星期六，2024年，5月摩擦力的功

摩擦力做功與路徑有關(guān)，摩擦力是非保守力！質(zhì)量為m的物體在桌面上沿曲線路徑從a點運動到b點，設(shè)物體與桌面的摩擦因數(shù)為

，其中sab為物體經(jīng)過的路程，與物體的運動路徑有關(guān)。第40頁,共57頁，星期六，2024年，5月三、勢能保守力作功與路徑無關(guān)重力勢能彈性勢能引力勢能重力作功彈性力作功萬有引力作功——引入與物體的位置相聯(lián)系的系統(tǒng)能量稱為勢能Ep第41頁,共57頁，星期六，2024年，5月保守力的功是勢能變化的量度：物體在保守力場中a、b兩點的勢能Epa、Epb之差等于質(zhì)點由a點移動到b點過程中保守力做的功Aab：說明（1）勢能是屬于物體系統(tǒng)的。（2）勢能差有絕對意義，勢能的量值只有相對意義。（3）引入勢能的一個重要目的是為了簡化保守力功的計算。這點將在系統(tǒng)功能原理中得到體現(xiàn)。（4）對于非保守力不能引入勢能的概念。第42頁,共57頁，星期六，2024年，5月四、勢能曲線（1）根據(jù)勢能曲線可以討論物體的運動。保守力沿坐標(biāo)軸的分量等于勢能對此坐標(biāo)的導(dǎo)數(shù)的負(fù)值。（2）利用勢能曲線可以判斷物體在各個位置所受保守力的大小和方向。第43頁,共57頁，星期六，2024年，5月一、質(zhì)點系的動能定理設(shè)系統(tǒng)由兩個質(zhì)點m1

和m2組成，對質(zhì)點1和2分別應(yīng)用動能定理：相加，得系統(tǒng)外力的功Ae系統(tǒng)內(nèi)力的功Ai§2-5質(zhì)點系的功能原理機(jī)械能守恒定律

系統(tǒng)的外力和內(nèi)力做功的總和等于系統(tǒng)動能的增量。質(zhì)點系的動能定理：第44頁,共57頁，星期六，2024年，5月二、質(zhì)點系的功能原理內(nèi)力的功可分為保守內(nèi)力的功和非保守內(nèi)力的功：

當(dāng)系統(tǒng)從狀態(tài)1變化到狀態(tài)2時，它的機(jī)械能的增量等于外力的功與非保守內(nèi)力的功的總和。與動能定理比較，運用功能原理時由于保守力所做的功已為系統(tǒng)勢能的變化所代替，因此不必再計算保守內(nèi)力的功。質(zhì)點系的功能原理：第45頁,共57頁，星期六，2024年，5月

解法一：用功能原理，把物體和地球作為研究系統(tǒng)。例題2-8

如圖所示，一質(zhì)量m=2kg的物體從靜止開始，沿四分之一的圓周從A滑到B，已知圓的半徑R=4m，設(shè)物體在B處的速度v=6m/s，求在下滑過程中，摩擦力所作的功。解：摩擦力和正壓力都是變力。正壓力不做功。解法二：用動能定理，把物體作為研究對象。第46頁,共57頁，星期六，2024年，5月三、機(jī)械能守恒定律若由質(zhì)點系的功能原理：則

如果一個系統(tǒng)內(nèi)只有保守力做功，非保守內(nèi)力與一切外力做的功都為零，則系統(tǒng)內(nèi)各物體的動能和勢能可以互相轉(zhuǎn)化，但機(jī)械能的總值保持不變。機(jī)械能守恒定律：第47頁,共57頁，星期六，2024年，5月◆功是能量傳遞或轉(zhuǎn)換的一種量度！即：能量只能傳遞或轉(zhuǎn)換，而不能創(chuàng)生。四、能量守恒定律

內(nèi)力的功的作用：保守內(nèi)力作功：相應(yīng)勢能和系統(tǒng)動能間轉(zhuǎn)換；非保守內(nèi)力作功：系統(tǒng)機(jī)械能與系統(tǒng)其他形式能量間轉(zhuǎn)換。

外力的功的作用：系統(tǒng)機(jī)械能與外界能量的轉(zhuǎn)換?！魴C(jī)械能守恒定律是能量守恒定律在機(jī)械運動中的體現(xiàn)。能量守恒定律：一個孤立系統(tǒng)經(jīng)歷任何變化時，該系統(tǒng)所有能量的總和是不變的，能量只能從一種形式變化為另外一種形式，或從系統(tǒng)內(nèi)一個物體傳給另一個物體。第48頁,共57頁，星期六，2024年，5月例題2-9

有一輕彈簧，一端系在鉛直放置的圓環(huán)的頂點P,另一端系一質(zhì)量為m的小球,小球穿過圓環(huán)并在圓環(huán)上運動(不計摩擦)。開始小球靜止于點A,彈簧處于自然狀態(tài),其長度為圓環(huán)半徑R；當(dāng)小球運動到圓環(huán)的底端點B時,小球?qū)A環(huán)沒有壓力，求彈簧的彈性系數(shù)。只有保守內(nèi)力做功系統(tǒng)機(jī)械能守恒取圖中點為重力勢能零點解：以彈簧、圓環(huán)、小球和地球為一系統(tǒng)，第49頁,共57頁，星期六，2024年，5月又所以即第50頁,共57頁，星期六，2024年，5月引入質(zhì)點對參考點O的角動量：大?。?/p>