2024年福建省中考數(shù)學(xué)真題試卷及答案解析

2024年福建省中考數(shù)學(xué)真題試卷及答案解析一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的。1．（4分）下列實數(shù)中，無理數(shù)是（）A．﹣3 B．0 C． D．2．（4分）據(jù)《人民日報》3月12日電，世界知識產(chǎn)權(quán)組織近日公布數(shù)據(jù)顯示，2023年，全球PCT（《專利合作條約》）國際專利申請總量為27.26萬件，中國申請量為69610件，是申請量最大的來源國．?dāng)?shù)據(jù)69610用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．6961×10 B．696.1×102 C．6.961×104 D．0.6961×1053．（4分）如圖是由長方體和圓柱組成的幾何體，其俯視圖是（）A． B． C． D．4．（4分）在同一平面內(nèi)，將直尺、含30°角的三角尺和木工角尺（CD⊥DE）按如圖方式擺放，若AB∥CD，則∠1的大小為（）A．30° B．45° C．60° D．75°5．（4分）下列運算正確的是（）A．a(chǎn)3?a3＝a9 B．a(chǎn)4÷a2＝a2 C．（a3）2＝a5 D．2a2﹣a2＝26．（4分）哥德巴赫提出“每個大于2的偶數(shù)都可以表示為兩個質(zhì)數(shù)之和”的猜想，我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果．在質(zhì)數(shù)2，3，5中，隨機選取兩個不同的數(shù)，其和是偶數(shù)的概率是（）A． B． C． D．7．（4分）如圖，已知點A，B在⊙O上，∠AOB＝72°，直線MN與⊙O相切，切點為C，且C為的中點，則∠ACM等于（）A．18° B．30° C．36° D．72°8．（4分）今年我國國民經(jīng)濟開局良好，市場銷售穩(wěn)定增長，社會消費增長較快，第一季度社會消費品零售總額120327億元，比去年第一季度增長4.7%，求去年第一季度社會消費品零售總額．若將去年第一季度社會消費品零售總額設(shè)為x億元，則符合題意的方程是（）A．（1+4.7%）x＝120327 B．（1﹣4.7%）x＝120327 C． D．9．（4分）小明用兩個全等的等腰三角形設(shè)計了一個“蝴蝶”的平面圖案，如圖．其中△OAB與△ODC都是等腰三角形，且它們關(guān)于直線l對稱，點E，F(xiàn)分別是底邊AB，CD的中點，OE⊥OF．下列推斷錯誤的是（）A．OB⊥OD B．∠BOC＝∠AOB C．OE＝OF D．∠BOC+∠AOD＝180°10．（4分）已知二次函數(shù)y＝x2﹣2ax+a（a≠0）的圖象經(jīng)過，B（3a，y2）兩點，則下列判斷正確的是（）A．可以找到一個實數(shù)a，使得y1＞a B．無論實數(shù)a取什么值，都有y1＞a C．可以找到一個實數(shù)a，使得y2＜0 D．無論實數(shù)a取什么值，都有y2＜0二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分。11．（4分）因式分解：x2+x＝．12．（4分）不等式3x﹣2＜1的解集是．13．（4分）學(xué)校為了解學(xué)生的安全防范意識，隨機抽取了12名學(xué)生進行相關(guān)知識測試，將測試成績整理得到如圖所示的條形統(tǒng)計圖，則這12名學(xué)生測試成績的中位數(shù)是．（單位：分）14．（4分）如圖，正方形ABCD的面積為4，點E，F(xiàn)，G，H分別為邊AB，BC，CD，AD的中點，則四邊形EFGH的面積為．15．（4分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，反比例函數(shù)的圖象與⊙O交于A，B兩點，且點A，B都在第一象限．若A（1，2），則點B的坐標(biāo)為．16．（4分）無動力帆船是借助風(fēng)力前行的．如圖是帆船借助風(fēng)力航行的平面示意圖，已知帆船航行方向與風(fēng)向所在直線的夾角∠PDA為70°，帆與航行方向的夾角∠PDQ為30°，風(fēng)對帆的作用力F為400N．根據(jù)物理知識，F(xiàn)可以分解為兩個力F1與F2，其中與帆平行的力F1不起作用，與帆垂直的力F2又可以分解為兩個力f1與f2，f1與航行方向垂直，被舵的阻力抵消；f2與航行方向一致，是真正推動帆船前行的動力．在物理學(xué)上常用線段的長度表示力的大小，據(jù)此，建立數(shù)學(xué)模型：F＝AD＝400，則f2＝CD＝．（單位：N）（參考數(shù)據(jù)：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77）三、解答題：本題共9小題，共86分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（8分）計算：．18．（8分）如圖，在菱形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊BC和CD上，且∠AEB＝∠AFD．求證：BE＝DF．19．（8分）解方程：．20．（8分）已知A、B兩地都只有甲、乙兩類普通高中學(xué)校．在一次普通高中學(xué)業(yè)水平考試中，A地甲類學(xué)校有考生3000人，數(shù)學(xué)平均分為90分；乙類學(xué)校有考生2000人，數(shù)學(xué)平均分為80分．（1）求A地考生的數(shù)學(xué)平均分；（2）若B地甲類學(xué)校數(shù)學(xué)平均分為94分，乙類學(xué)校數(shù)學(xué)平均分為82分，據(jù)此，能否判斷B地考生數(shù)學(xué)平均分一定比A地考生數(shù)學(xué)平均分高？若能，請給予證明；若不能，請舉例說明．21．（8分）如圖，已知二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，其中A（﹣2，0），C（0，﹣2）．（1）求二次函數(shù)的表達式；（2）若P是二次函數(shù)圖象上的一點，且點P在第二象限，線段PC交x軸于點D，△PDB的面積是△CDB的面積的2倍，求點P的坐標(biāo)．22．（10分）如圖，已知直線l1∥l2．（1）在l1，l2所在的平面內(nèi)求作直線l，使得l∥l1∥l2，且l與l1間的距離恰好等于l與l2間的距離；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）（2）在（1）的條件下，若l1與l2間的距離為2，點A，B，C分別在l，l1，l2上，且△ABC為等腰直角三角形，求△ABC的面積．23．（10分）已知實數(shù)a，b，c，m，n滿足，．（1）求證：b2﹣12ac為非負數(shù)；（2）若a，b，c均為奇數(shù)，m，n是否可以都為整數(shù)？說明你的理由．24．（12分）在手工制作課上，老師提供了如圖1所示的矩形卡紙ABCD，要求大家利用它制作一個底面為正方形的禮品盒．小明按照圖2的方式裁剪（其中AE＝FB），恰好得到紙盒的展開圖，并利用該展開圖折成一個禮品盒，如圖3所示．（1）直接寫出的值；（2）如果要求折成的禮品盒的兩個相對的面上分別印有“吉祥”和“如意”，如圖4所示，那么應(yīng)選擇的紙盒展開圖圖樣是．（3）今有三種不同型號的矩形卡紙，其規(guī)格、單價如表所示：卡紙型號型號Ⅰ型號Ⅱ型號Ⅲ規(guī)格（單位：cm）30×4020×8080×80單價（單位：元）3520現(xiàn)以小明設(shè)計的紙盒展開圖（圖2）為基本樣式，適當(dāng)調(diào)整AE，EF的比例，制作棱長為10cm的正方體禮品盒．如果要制作27個這樣的禮品盒，請你合理選擇上述卡紙（包括卡紙的型號及相應(yīng)型號卡紙的張數(shù)），并在卡紙上畫出設(shè)計示意圖（包括一張卡紙可制作幾個禮品盒，其展開圖在卡紙上的分布情況），給出所用卡紙的總費用．（要求：①同一型號的卡紙如果需要不止一張，只要在一張卡紙上畫出設(shè)計方案；②沒有用到的卡紙，不要在該型號的卡紙上作任何設(shè)計；③所用卡紙的數(shù)量及總費用直接填在答題卡的表格上；④本題將綜合考慮“利用卡紙的合理性”和“所用卡紙的總費用”給分，總費用最低的才能得滿分；⑤試卷上的卡紙僅供作草稿用）25．（14分）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點D，AE⊥OC，垂足為E，BE的延長線交于點F．（1）求的值；（2）求證：△AEB∽△BEC；（3）求證：AD與EF互相平分．

2024年福建省中考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的。1．（4分）下列實數(shù)中，無理數(shù)是（）A．﹣3 B．0 C． D．【分析】無理數(shù)即無限不循環(huán)小數(shù)，據(jù)此即可求得答案．【解答】解：﹣3，0是整數(shù)，是分數(shù)，它們不是無理數(shù)；是無限不循環(huán)小數(shù)，它是無理數(shù)；故選：D．【點評】本題考查無理數(shù)的識別，熟練掌握其定義是解題的關(guān)鍵．2．（4分）據(jù)《人民日報》3月12日電，世界知識產(chǎn)權(quán)組織近日公布數(shù)據(jù)顯示，2023年，全球PCT（《專利合作條約》）國際專利申請總量為27.26萬件，中國申請量為69610件，是申請量最大的來源國．?dāng)?shù)據(jù)69610用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．6961×10 B．696.1×102 C．6.961×104 D．0.6961×105【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對值≥10時，n是正整數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值＜1時，n是負整數(shù)．【解答】解：69610＝6.961×104．故選：C．2024年福建省中考數(shù)學(xué)真題試卷及答案解析【點評】本題考查的是科學(xué)記數(shù)法的概念，即把一個大于10的數(shù)記成a×10n的形式，其中a是整數(shù)數(shù)位只有一位的數(shù)，n是正整數(shù)，這種記數(shù)法叫做科學(xué)記數(shù)法．3．（4分）如圖是由長方體和圓柱組成的幾何體，其俯視圖是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)從上邊看得到的圖形是俯視圖，可得答案．【解答】解：這個立體圖形的俯視圖是一個圓，圓內(nèi)部中間有一個矩形．故選：C．【點評】本題考查了簡單組合體的三視圖，從上邊看得到的圖形是俯視圖是解題關(guān)鍵．4．（4分）在同一平面內(nèi)，將直尺、含30°角的三角尺和木工角尺（CD⊥DE）按如圖方式擺放，若AB∥CD，則∠1的大小為（）A．30° B．45° C．60° D．75°【分析】由平行線的性質(zhì)推出∠CDB＝∠ABF＝60°，由垂直的定義得到∠CDE＝90°，由平角定義求出∠1＝180°﹣60°﹣90°＝30°．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠CDB＝∠ABF＝60°，∵CD⊥DE，∴∠CDE＝90°，∴∠1＝180°﹣60°﹣90°＝30°．故選：A．【點評】本題考查平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是由平行線的性質(zhì)推出∠CDB＝∠ABF．5．（4分）下列運算正確的是（）A．a(chǎn)3?a3＝a9 B．a(chǎn)4÷a2＝a2 C．（a3）2＝a5 D．2a2﹣a2＝2【分析】利用同底數(shù)冪乘法及除法法則，冪的乘方法則，合并同類項法則逐項判斷即可．【解答】解：a3?a3＝a6，則A不符合題意；a4÷a2＝a2，則B符合題意；（a3）2＝a6，則C不符合題意；2a2﹣a2＝a2，則D不符合題意；故選：B．【點評】本題考查同底數(shù)冪乘法及除法，冪的乘方，合并同類項，熟練掌握相關(guān)運算法則是解題的關(guān)鍵．6．（4分）哥德巴赫提出“每個大于2的偶數(shù)都可以表示為兩個質(zhì)數(shù)之和”的猜想，我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果．在質(zhì)數(shù)2，3，5中，隨機選取兩個不同的數(shù)，其和是偶數(shù)的概率是（）A． B． C． D．【分析】列表可得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及和是偶數(shù)的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：列表如下：2352（2，3）（2，5）3（3，2）（3，5）5（5，2）（5，3）共有6種等可能的結(jié)果，其中和是偶數(shù)的結(jié)果有：（3，5），（5，3），共2種，∴和是偶數(shù)的概率為．故選：B．【點評】本題考查列表法與樹狀圖法，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題的關(guān)鍵．7．（4分）如圖，已知點A，B在⊙O上，∠AOB＝72°，直線MN與⊙O相切，切點為C，且C為的中點，則∠ACM等于（）A．18° B．30° C．36° D．72°【分析】根據(jù)C為的中點可求出∠AOC的度數(shù)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠ACO＝72°，再由切線的性質(zhì)可知∠OCM＝90°，即可求出∠ACM的度數(shù)．【解答】解：∵C為的中點，∠AOB＝72°，∴∠AOC＝∠BOC＝36°，∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠OAC＝72°，∵直線MN與⊙O相切，切點為C，∴∠OCM＝90°，∴∠ACM＝∠OCM﹣∠ACO＝90°﹣72°＝18°，故選：A．【點評】本題考查了切線的性質(zhì)、圓周角定理，掌握切線的性質(zhì)、圓周角定理是解題的關(guān)鍵．8．（4分）今年我國國民經(jīng)濟開局良好，市場銷售穩(wěn)定增長，社會消費增長較快，第一季度社會消費品零售總額120327億元，比去年第一季度增長4.7%，求去年第一季度社會消費品零售總額．若將去年第一季度社會消費品零售總額設(shè)為x億元，則符合題意的方程是（）A．（1+4.7%）x＝120327 B．（1﹣4.7%）x＝120327 C． D．【分析】利用今年第一季度社會消費品零售總額＝去年第一季度社會消費品零售總額×（1+4.7%），即可列出關(guān)于x的一元一次方程，此題得解．【解答】解：根據(jù)題意得：（1+4.7%）x＝120327．故選：A．【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元一次方程以及含百分數(shù)的一元一次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．9．（4分）小明用兩個全等的等腰三角形設(shè)計了一個“蝴蝶”的平面圖案，如圖．其中△OAB與△ODC都是等腰三角形，且它們關(guān)于直線l對稱，點E，F(xiàn)分別是底邊AB，CD的中點，OE⊥OF．下列推斷錯誤的是（）A．OB⊥OD B．∠BOC＝∠AOB C．OE＝OF D．∠BOC+∠AOD＝180°【分析】先根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得出△OAB≌△ODC，所以∠AOB＝∠COD，再由等腰三角形三線合一的性質(zhì)可知∠AOE＝∠BOD＝∠AOB，∠COF＝∠DOF＝∠COD，故∠AOE＝∠BOE＝∠COF＝∠DOF，再由OE⊥OF即可判斷A；由軸對稱的性質(zhì)可判斷B；由全等三角形的性質(zhì)可判斷出C；根據(jù)A中的結(jié)論可判斷D．2024年福建省中考數(shù)學(xué)真題試卷及答案解析【解答】解：∵△OAB與△ODC都是等腰三角形，且它們關(guān)于直線l對稱，∴△OAB≌△ODC，∴∠AOB＝∠COD，∵點E，F(xiàn)分別是底邊AB，CD的中點，∴∠AOE＝∠BOE＝∠AOB，∠COF＝∠DOF＝∠COD，∴∠AOE＝∠BOE＝∠COF＝∠DOF，∵OE⊥OF，∴∠BOE+∠BOF＝90°，∵∠BOE＝∠DOF，∴∠DOF+∠BOF＝90°，∴OB⊥OD，故A正確；∵∠AOB與∠BOC的度數(shù)不能確定，∴無法證明∠BOC與∠AOB的關(guān)系，故B錯誤；∵△OAB≌△ODC，點E，F(xiàn)分別是底邊AB，CD的中點，∴OE＝OF，故C正確；∵OB⊥OD，∴∠BOC+∠COD＝90°①，∵OE⊥OF，∴∠COF+∠EOC＝90°，∵∠COF＝∠AOE，∴∠AOE+∠EOC＝90°，∴OC⊥OA，∴∠AOB+∠BOC＝90°②，①+②得，∠BOC+∠COD+∠AOB+∠BOC＝180°，即∠BOC+∠AOD＝180°，故D正確．故選：B．【點評】本題考查的是軸對稱的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)及全等三角形的性質(zhì)，熟知關(guān)于軸對稱的兩個三角形全等是解題的關(guān)鍵．10．（4分）已知二次函數(shù)y＝x2﹣2ax+a（a≠0）的圖象經(jīng)過，B（3a，y2）兩點，則下列判斷正確的是（）A．可以找到一個實數(shù)a，使得y1＞a B．無論實數(shù)a取什么值，都有y1＞a C．可以找到一個實數(shù)a，使得y2＜0 D．無論實數(shù)a取什么值，都有y2＜0【分析】根據(jù)題意得到二次函數(shù)開口向上，且對稱軸為x＝a，頂點坐標(biāo)為（a，a﹣a2），再分情況討論，當(dāng)a＞0時，當(dāng)a0＜時，y1，y2的大小情況，即可解題．【解答】解：∵二次函數(shù)解析式為y＝x2﹣2ax+a（a≠0），∴二次函數(shù)開口向上，且對稱軸為x＝＝a，頂點坐標(biāo)為（a，a﹣a2），當(dāng)a＞0時，0＜＜a，∴a﹣a2＜y1＜a，當(dāng)a＜0時，a＜＜0，∴a﹣a2＜y1＜a，故A、B錯誤，不符合題意；當(dāng)a＞0時，0＜a＜2a＜3a，由二次函數(shù)對稱性可知點（0，a）和點（2a，a）關(guān)于對稱軸對稱，在對稱軸右側(cè)，y隨x的增大而增大，所以當(dāng)x＝3a時，y2＞a＞0；當(dāng)a＜0時，3a＜2a＜a＜0，由二次函數(shù)對稱性可知可知點（0，a）和點（2a，a）關(guān)于對稱軸對稱，在對稱軸左側(cè)，y隨x的增大而減小，所以當(dāng)x＝3a時y2＞a，不一定大于0，故C正確，符合題意；D錯誤，不符合題意；故選：C．【點評】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的對稱軸、頂點坐標(biāo)的求法，以及增減性是解題的關(guān)鍵．二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分。11．（4分）因式分解：x2+x＝x（x+1）．【分析】根據(jù)觀察可知原式公因式為x，直接提取可得．【解答】解：x2+x＝x（x+1）．【點評】本題考查了提公因式法分解因式，通過觀察可直接得出公因式，直接觀察法是解此類題目的常用的方法．12．（4分）不等式3x﹣2＜1的解集是x＜1．【分析】按照解一元一次不等式的一般步驟：移項，合并同類項，系數(shù)化成1，進行計算即可．【解答】解：3x﹣2＜1，3x＜1+2，3x＜3，x＜1，∴不等式3x﹣2＜1的解集是：x＜1，故答案為：x＜1．【點評】本題主要考查了解一元一次不等式，解題關(guān)鍵是熟練掌握解一元一次不等式的一般步驟．13．（4分）學(xué)校為了解學(xué)生的安全防范意識，隨機抽取了12名學(xué)生進行相關(guān)知識測試，將測試成績整理得到如圖所示的條形統(tǒng)計圖，則這12名學(xué)生測試成績的中位數(shù)是90．（單位：分）【分析】根據(jù)條形統(tǒng)計圖和中位數(shù)的定義求解即可．【解答】解：這12名學(xué)生測試成績從小到大排列后，處在中間位置的兩個數(shù)都是90，因此中位數(shù)是＝90．2024年福建省中考數(shù)學(xué)真題試卷及答案解析故答案為：90．【點評】本題考查條形統(tǒng)計圖和中位數(shù)，理解條形統(tǒng)計圖和中位數(shù)的定義是正確解答的關(guān)鍵．14．（4分）如圖，正方形ABCD的面積為4，點E，F(xiàn)，G，H分別為邊AB，BC，CD，AD的中點，則四邊形EFGH的面積為2．【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)推出BE＝AF，BE∥AF得到平行四邊形BHFA，推出AB∥HF，AB＝HF，同理得到BC＝EG，BC∥EG，推出HF⊥EG，根據(jù)三角形的面積公式求出即可．【解答】解：連接HF、EG，∵正方形ABCD的面積為4，∴BC∥AD，BC＝AD，∵H、F分別為邊BC、DA的中點，∴四邊形BFHA是平行四邊形，∴AB＝HF，AB∥HF，同理BC＝EG，BC∥EG，∵AB⊥BC，∴HF⊥EG，∴四邊形EFGH的面積是EG×HF＝×2×2＝2．故答案為：2．【點評】本題主要考查中點四邊形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)和判定，三角形的面積等知識點的理解和掌握，能求出HF、EG的長和HF⊥EG是解此題的關(guān)鍵．15．（4分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，反比例函數(shù)的圖象與⊙O交于A，B兩點，且點A，B都在第一象限．若A（1，2），則點B的坐標(biāo)為（2，1）．【分析】根據(jù)反比例函數(shù)圖象中心對稱性質(zhì)先求出直線AB解析式和反比例函數(shù)解析式，聯(lián)立兩個函數(shù)解析式求出交點坐標(biāo)即可．【解答】解：根據(jù)圓和反比例函數(shù)都是中心對稱圖形，點A與B關(guān)于直線y＝x對稱，設(shè)直線AB的解析式為y＝﹣x+b，將點A（1，2）坐標(biāo)代入得，2＝﹣1+b，解得b＝3，∴直線AB解析式為y＝﹣x+3，∵點A（1，2）在反比例函數(shù)圖象上，∴反比例函數(shù)解析式為y＝，聯(lián)立方程組，解得，．∴B（2，1）．故答案為：（2，1）．【點評】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，反比例函數(shù)的中心對稱性質(zhì)是關(guān)鍵．16．（4分）無動力帆船是借助風(fēng)力前行的．如圖是帆船借助風(fēng)力航行的平面示意圖，已知帆船航行方向與風(fēng)向所在直線的夾角∠PDA為70°，帆與航行方向的夾角∠PDQ為30°，風(fēng)對帆的作用力F為400N．根據(jù)物理知識，F(xiàn)可以分解為兩個力F1與F2，其中與帆平行的力F1不起作用，與帆垂直的力F2又可以分解為兩個力f1與f2，f1與航行方向垂直，被舵的阻力抵消；f2與航行方向一致，是真正推動帆船前行的動力．在物理學(xué)上常用線段的長度表示力的大小，據(jù)此，建立數(shù)學(xué)模型：F＝AD＝400，則f2＝CD＝128．（單位：N）（參考數(shù)據(jù)：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77）【分析】先求出∠ADQ＝40°，∠1＝∠PDQ＝30°，由AB//QD得∠BAD＝∠ADQ＝40°，求出F2＝BD＝AD?sin∠BAD＝256，求出∠BDC＝90°﹣∠1＝60°，在Rt△BCD中，根據(jù)f2＝CD＝BD?cos∠BDC即可求出答案．【解答】解：如圖，∵∠PDA＝70°，∠PDQ＝30°，∴∠ADQ＝∠PDA﹣∠PDQ＝70°﹣30°＝40°，∠1＝∠PDQ＝30°，∵AB//QD，2024年福建省中考數(shù)學(xué)真題試卷及答案解析∴∠BAD＝∠ADQ＝40°，在Rt△ABD中，F(xiàn)＝AD＝400，∠ABD＝90°，∴F2＝BD＝AD?sin∠BAD＝400?sin40°＝400×0.64＝256，由題意可知，BD⊥DQ，∴∠BDC+∠1＝90°，∴∠BDC＝90°﹣∠1＝60°，在Rt△BCD中，BD＝256，∠BCD＝90°，∴f2＝CD＝BD?cos∠BDC＝256×cos60°＝256×＝128，故答案為：128．【點評】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用，讀懂題意，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義解直角三角形是解題的關(guān)鍵．三、解答題：本題共9小題，共86分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（8分）計算：．【分析】利用零指數(shù)冪，絕對值的性質(zhì)，算術(shù)平方根的定義計算即可．【解答】解：原式＝1+5﹣2＝6﹣2＝4．【點評】本題考查實數(shù)的運算，零指數(shù)冪，絕對值，算術(shù)平方根，熟練掌握相關(guān)運算法則是解題的關(guān)鍵．18．（8分）如圖，在菱形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊BC和CD上，且∠AEB＝∠AFD．求證：BE＝DF．【分析】由菱形的性質(zhì)推出AB＝AD，∠B＝∠D．由AAS推出△ABE≌△ADF，即可證明BE＝DF．【解答】證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠B＝∠D．在△ABE和△ADF中，∴△ABE≌△ADF（AAS），∴BE＝DF．【點評】本題考查菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是由菱形的性質(zhì)推出△ABE≌△ADF．19．（8分）解方程：．【分析】利用去分母將原方程化為整式方程，解得x的值后進行檢驗即可．【解答】解：原方程兩邊都乘（x+2）（x﹣2），去分母得：3（x﹣2）+（x+2）（x﹣2）＝x（x+2），整理得：3x﹣10＝2x，解得：x＝10，檢驗：當(dāng)x＝10時，（x+2）（x﹣2）≠0，故原方程的解為x＝10．【點評】本題考查解分式方程，熟練掌握解方程的方法是解題的關(guān)鍵．20．（8分）已知A、B兩地都只有甲、乙兩類普通高中學(xué)校．在一次普通高中學(xué)業(yè)水平考試中，A地甲類學(xué)校有考生3000人，數(shù)學(xué)平均分為90分；乙類學(xué)校有考生2000人，數(shù)學(xué)平均分為80分．（1）求A地考生的數(shù)學(xué)平均分；（2）若B地甲類學(xué)校數(shù)學(xué)平均分為94分，乙類學(xué)校數(shù)學(xué)平均分為82分，據(jù)此，能否判斷B地考生數(shù)學(xué)平均分一定比A地考生數(shù)學(xué)平均分高？若能，請給予證明；若不能，請舉例說明．【分析】（1）根據(jù)加權(quán)平均數(shù)公式解答即可；（2）根據(jù)題意舉例解答即可．【解答】解：（1）由題意，得A地考生的數(shù)學(xué)平均分為＝86（分）．（2）不能．舉例如下：如B地甲類學(xué)校有考生1000人，乙類學(xué)校有考生3000人，則B地考生的數(shù)學(xué)平均分為（分），因為85＜86，所以不能判斷B地考生數(shù)學(xué)平均分一定比A地考生數(shù)學(xué)平均分高（答案不唯一，只要學(xué)生能作出正確判斷，并且所舉的例子能說明其判斷即可）．【點評】本題考查了加權(quán)平均數(shù)，眾掌握加權(quán)平均數(shù)的計算公式是解答本題的關(guān)鍵．21．（8分）如圖，已知二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，其中A（﹣2，0），C（0，﹣2）．（1）求二次函數(shù)的表達式；（2）若P是二次函數(shù)圖象上的一點，且點P在第二象限，線段PC交x軸于點D，△PDB的面積是△CDB的面積的2倍，求點P的坐標(biāo)．【分析】（1）依據(jù)題意，將A（﹣2，0），C（0，﹣2）代入y＝x2+bx+c建立方程組求出b，c即可得解；（2）依據(jù)題意，設(shè)P（m，n）（m＜0，n＞0），又△PDB的面積是△CDB的面積的2倍，從而可得，．，進而可得．，又CO＝2，可得n＝2CO＝4，進而建立方程求出m即可得解．【解答】解：（1）由題意，將A（﹣2，0），C（0，﹣2）代入y＝x2+bx+c得∴∴二次函數(shù)的表達式為y＝x2+x﹣2．（2）由題意，設(shè)P（m，n）（m＜0，n＞0），又△PDB的面積是△CDB的面積的2倍，∴，．∴．又CO＝2，∴n＝2CO＝4．由m2+m﹣2＝4，∴m1＝﹣3，m2＝2（舍去）．∴點P坐標(biāo)為（﹣3，4）．【點評】本題主要考查拋物線與x軸的交點、二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征和待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，解題時要熟練掌握并能靈活運用是關(guān)鍵．22．（10分）如圖，已知直線l1∥l2．（1）在l1，l2所在的平面內(nèi)求作直線l，使得l∥l1∥l2，且l與l1間的距離恰好等于l與l2間的距離；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）（2）在（1）的條件下，若l1與l2間的距離為2，點A，B，C分別在l，l1，l2上，且△ABC為等腰直角三角形，求△ABC的面積．【分析】（1）利用尺規(guī)作圖方法，過直線l1上任意一點作l1的垂線，再根據(jù)垂直平分線的作法即可作出直線l；（2）分三種情況畫出圖形分別計算即可．【解答】解：（1）如圖1，直線l即為所求作的直線；（2）①當(dāng)∠BAC＝90°，AB＝AC時，如圖2，∵l∥l1∥l2，直線l1與l2間的距離為2，且l與l1間的距離等于l與l2間的距離，根據(jù)圖形的對稱性可知：BC＝2，∴，∴，②當(dāng)∠ABC＝90°，BA＝BC時，如圖3，分別過點A，C作直線l1的垂線，垂足為M，N，∴∠AMB＝∠BNC＝90°，2024年福建省中考數(shù)學(xué)真題試卷及答案解析∵l∥l1∥l2，直線l1與l2間的距離為2，且l與l1間的距離等于l與l2間的距離，∴CN＝2，AM＝1，∵∠MAB+∠ABM＝90°，∠NBC+∠ABM＝90°，∴∠MAB＝∠NBC，∴△AMB≌△BNC（AAS），∴BM＝CN＝2，在Rt△ABM中，由勾股定理得AB2＝AM2+BM2＝12+22＝5，∴，∴，③當(dāng)∠ACB＝90°，CA＝CB時，同理②可得，，綜上所述，△ABC的面積為1或．【點評】本題是三角形綜合題，考查作圖﹣基本作圖，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積，線段的垂直平分線作法、勾股定理等基礎(chǔ)知識，解決本題的關(guān)鍵是利用分類討論思想與整合思想．23．（10分）已知實數(shù)a，b，c，m，n滿足，．（1）求證：b2﹣12ac為非負數(shù)；（2）若a，b，c均為奇數(shù)，m，n是否可以都為整數(shù)？說明你的理由．【分析】（1）根據(jù)題意，可得b＝a（3m+n），c＝amn，將其代入原式中，再利用公式法與提公因式法進行因式分解，可得原式＝a2（3m﹣n）2，根據(jù)a，m，n是實數(shù)，可知a2（3m﹣n）2≥0，即可證b2﹣12ac為非負數(shù)．（2）m，n不可能都為整數(shù)．理由如下：若m，n都為整數(shù)，其可能情況有：①m，n都為奇數(shù)；②m，n為整數(shù)，且其中至少有一個為偶數(shù)，分別進行論證討論即可．【解答】解：（1）證明：∵，∴b＝a（3m+n），c＝amn，則b2﹣12ac＝[a（3m+n）]2﹣12a2mn＝a2（9m2+6mn+n2）﹣12a2mn＝a2（9m2﹣6mn+n2）＝a2（3m﹣n）2，∵a，m，n是實數(shù)，∴a2（3m﹣n）2≥0，∴b2﹣12ac為非負數(shù)．（2）m，n不可能都為整數(shù)．理由如下：若m，n都為整數(shù)，其可能情況有：①m，n都為奇數(shù)；②m，n為整數(shù)，且其中至少有一個為偶數(shù)，①當(dāng)m，n都為奇數(shù)時，則3m+n必為偶數(shù)，又∵，∴b＝a（3m+n），∵a為奇數(shù)，∴a（3m+n）必為偶數(shù)，這與b為奇數(shù)矛盾；②當(dāng)m，n為整數(shù)，且其中至少有一個為偶數(shù)時，則mn必為偶數(shù)，又∵，∴c＝amn，∵a為奇數(shù)，∴amn必為偶數(shù)，這與c為奇數(shù)矛盾；綜上所述，m，n不可能都為整數(shù)．【點評】本題考查的是因式分解的應(yīng)用和整式的混合運算，熟練掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．24．（12分）在手工制作課上，老師提供了如圖1所示的矩形卡紙ABCD，要求大家利用它制作一個底面為正方形的禮品盒．小明按照圖2的方式裁剪（其中AE＝FB），恰好得到紙盒的展開圖，并利用該展開圖折成一個禮品盒，如圖3所示．（1）直接寫出的值；（2）如果要求折成的禮品盒的兩個相對的面上分別印有“吉祥”和“如意”，如圖4所示，那么應(yīng)選擇的紙盒展開圖圖樣是C．（3）今有三種不同型號的矩形卡紙，其規(guī)格、單價如表所示：卡紙型號型號Ⅰ型號Ⅱ型號Ⅲ規(guī)格（單位：cm）30×4020×8080×80單價（單位：元）3520現(xiàn)以小明設(shè)計的紙盒展開圖（圖2）為基本樣式，適當(dāng)調(diào)整AE，EF的比例，制作棱長為10cm的正方體禮品盒．如果要制作27個這樣的禮品盒，請你合理選擇上述卡紙（包括卡紙的型號及相應(yīng)型號卡紙的張數(shù)），并在卡紙上畫出設(shè)計示意圖（包括一張卡紙可制作幾個禮品盒，其展開圖在卡紙上的分布情況），給出所用卡紙的總費用．（要求：①同一型號的卡紙如果需要不止一張，只要在一張卡紙上畫出設(shè)計方案；②沒有用到的卡紙，不要在該型號的卡紙上作任何設(shè)計；③所用卡紙的數(shù)量及總費用直接填在答題卡的表格上；④本題將綜合考慮“利用卡紙的合理性”和“所用卡紙的總費用”給分，總費用最低的才能得滿分；⑤試卷上的卡紙僅供作草稿用）【分析】（1）由折疊和題意可知，GH＝AE+FB，AH＝DH，四邊形EFNM是正方形，得到EM＝EF，即AG＝EF，即可求解；（2）根據(jù)幾何體的展開圖即可求解；（3）由題意可得，每張型號Ⅲ卡紙可制作10個正方體，每張型號Ⅱ卡紙可制作2個正方體，每張型號Ⅰ卡紙可制作1個正方體，即可求解．【解答】解：（1）如圖2：上述圖形折疊后變成如圖3：2024年福建省中考數(shù)學(xué)真題試卷及答案解析由折疊和題意可知，GH＝AE+FB，AH＝DH，∵四邊形EFNM是正方形，∴EM＝EF，即AG＝EF，∴GH+AG＝AE+FB+EF，即AH＝AB，∵AH＝DH，∴，∴的值為2；（2）根據(jù)幾何體的展開圖可知，“吉”和“如”在對應(yīng)面上，“祥”和“意”在對應(yīng)面上，而對應(yīng)面上的字中間相隔一個幾何圖形，且字體相反，∴C選項符合題意，故答案為：C；（3）需要卡紙如表所示；理由如下：卡紙型號型號Ⅰ型號Ⅱ型號Ⅲ需卡紙的數(shù)量（單位：張）132所用卡紙總費用（單位：元）58根據(jù)（1）和題意可得：卡紙每格的邊長為5cm，如圖4，則要制作一個邊長為10cm的正方體的展開圖形為：∴型號Ⅲ卡紙，每張卡紙可制作10個正方體，如圖5：型號Ⅱ卡紙，每張這樣的卡紙可制作2個正方體，如圖6：型號Ⅰ卡紙，每張這樣的卡紙可制作1個正方體，如圖7：∴可選擇型號Ⅲ卡紙2張，型號Ⅱ卡紙3張，型號Ⅰ卡紙1張，則10×2+2×3+1×1＝27（個），∴所用卡紙總費用為：20×2+5×3+3×1＝58（元）．【點評】本題考查了幾何體的展開與折疊，空間觀念、推理能力、模型觀念、創(chuàng)新意識等知識，掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．25．（14分）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點D，AE⊥OC，垂足為E，BE的延長線交于點F．（1）求的值；（2）求證：△AEB∽△BEC；（3）求證：AD與EF互相平分．【分析】（1）分別利用銳角三角函數(shù)，，代入數(shù)據(jù)解答即可得解；（2）過點B作BM∥AE，交EO延長線于點M，如圖1，首先證明△AOE≌△BOM（AAS），得到AE＝BM，OE＝OM，進一步推導(dǎo)出∠AEB＝∠BEC，∠BAE＝∠CBE，進而得證；（3）連接DE，DF．如圖2，首先推導(dǎo)出△AOE∽△BDE，得到∠BED＝∠AEO＝90°，∠DEF＝90°，∠AFB＝∠DEF，AF∥DE，進一步推導(dǎo)出AE∥FD，進而得證．【解答】解：（1）∵AB＝AC，且AB是⊙O的直徑，∴AC＝2AO，2024年福建省中考數(shù)學(xué)真題試卷及答案解析∵∠BAC＝90°，在Rt△AOC中，，∵AE⊥OC，在Rt△AOE中，，∴，∴；（2）證明：過點B作BM∥AE，交EO延長線于點M，如圖1，∴∠BAE＝∠ABM，∠AEO＝∠BMO＝90°．∵AO＝BO，∴△AOE≌△BOM（AAS），∴AE＝BM，OE＝OM，∵，∴BM＝2OE＝EM，∴∠MEB＝∠MBE＝45°，∠AEB＝∠AEO+∠MEB＝135°，∠BEC＝180°﹣∠MEB＝135°，∴∠AEB＝∠BEC．∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝45°，∴∠ABM＝∠CBE，∴∠BAE＝∠CBE，∴△AEB∽△BEC；（3）連接DE，DF．如圖2，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝∠AFB＝90°，AB＝2AO．∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴BC＝2BD，∠DAB＝45°，由（2）知，△AEB∽△BEC，，∠EAO＝∠EBD，∴△AOE∽△BDE，∴∠BED＝∠AEO＝90°，∴∠DEF＝90°，∴∠AFB＝∠DEF，∴AF∥DE，由（2）知，∠AEB＝135°，∴∠AEF＝180°﹣∠AEB＝45°．∵∠DFB＝∠DAB＝45°，∴∠DFB＝∠AEF，∴AE∥FD，∴四邊形AEDF是平行四邊形，∴AD與EF互相平分．【點評】本題屬于圓的綜合題，主要考查等腰三角形及直角三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等，解答本題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造全等三角形或相似三角形．1、一次函數(shù)（包括正比例函數(shù)）和常值函數(shù)，它們所對應(yīng)的圖像是直線；2、反比例函數(shù)，它所對應(yīng)的圖像是雙曲線；3、二次函數(shù)，它所對應(yīng)的圖像是拋物線。求已知函數(shù)的解析式主要方法是待定系數(shù)法，關(guān)鍵是求點的坐標(biāo)，而求點的坐標(biāo)基本方法是幾何法（圖形法）和代數(shù)法（解析法）。常聽人說“中考數(shù)學(xué)壓軸題”，特別是18、24、25題，久而久之，都讓大家有點“聞風(fēng)色變”了。

中考既是初中的學(xué)業(yè)結(jié)業(yè)考試，又承擔(dān)著為高中選拔人才的任務(wù)。所以考試性質(zhì)決定了，它不能太難，還必須要有區(qū)分度。

其中，擔(dān)任“篩人”任務(wù)的就是18、24、25這三道壓軸題（上海中考），其他題目，中等水平的初中畢業(yè)生都問題不大（但是要細心、手穩(wěn)）。

有人說，18題考“旋轉(zhuǎn)、翻折”，一般有兩個答案。24題考二次函數(shù)的圖像，結(jié)合相似。25題是幾何綜合大題。如果我們把相關(guān)“題型”研究透了，是不是就能“搞定壓軸題”呢？

其實不然，中考壓軸題，它不是一種題型，而是一種能力。

首先告訴各位同學(xué)二次函數(shù)是中考必考內(nèi)容之一，往往也是中考數(shù)學(xué)的壓軸大戲。涉及題目數(shù)量一般3-4題，其中有1-2道大題．所占分值大約25分左右．

二次函數(shù)在中考數(shù)學(xué)中常常作為壓軸題，而在壓軸題中，一般都設(shè)計成三至四小問，其中第一、二小問比較簡單，最后一至兩問難度很大。

二次函數(shù)在考查時，往往會與一次函數(shù)、反比例函數(shù)、圓、三角形、四邊形相結(jié)合，綜合性