專題9.1直線與直線方程2

專題9.1直線與直線方程【核心素養(yǎng)】1.通過考查直線的斜率與傾斜角、考查直線方程的幾種形式，凸顯直觀想象、數(shù)學(xué)運算、邏輯推理的核心素養(yǎng)．2.通過考查兩直線的平行與垂直的判斷、兩直線的平行與垂直的條件的應(yīng)用、考查與充要條件、基本不等式、導(dǎo)數(shù)的幾何意義等相結(jié)合，以及考查直線與圓、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系.凸顯直觀想象、數(shù)學(xué)運算、邏輯推理、數(shù)學(xué)應(yīng)用的核心素養(yǎng)．知識點知識點一直線的傾斜角與斜率1．直線的傾斜角①定義．當(dāng)直線l與x軸相交時，我們?nèi)軸作為基準，x軸的正方向與直線l向上的方向之間所成的角叫做直線l的傾斜角．當(dāng)直線l與x軸平行或重合時，規(guī)定它的傾斜角為0°.②范圍：傾斜角的范圍為．2．直線的斜率①定義．一條直線的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率，斜率常用小寫字母k表示，即，傾斜角是90°的直線沒有斜率．當(dāng)直線與x軸平行或重合時,,.②過兩點的直線的斜率公式．經(jīng)過兩點的直線的斜率公式為.3.每一條直線都有唯一的傾斜角，但并不是每一條直線都存在斜率．傾斜角為90°的直線斜率不存在．、斜率k之間的大小變化關(guān)系：（1）當(dāng)時，越大，斜率越大；（2）當(dāng)時，越大，斜率越大.知識點知識點二直線的方程：直線經(jīng)過點，且斜率為，則直線的方程為：.這個方程就叫做直線點斜式方程.特別地，直線過點，則直線的方程為：.這個方程叫做直線的斜截式方程.直線過兩點其中，則直線的方程為：.這個方程叫做直線的兩點式方程.當(dāng)時，直線與軸垂直，所以直線方程為：；當(dāng)時，直線與軸垂直，直線方程為：.特別地，若直線過兩點，則直線的方程為：，這個方程叫做直線的截距式方程.關(guān)于的二元一次方程（A，B不同時為0）叫做直線的一般式方程.由一般式方程可得，B不為0時，斜率，截距.知識點知識點三兩條直線平行與垂直1．兩直線的平行關(guān)系(1)對于兩條不重合的直線，其斜率為，有.(2)對于兩條直線，有.2．兩條直線的垂直關(guān)系(1)對于兩條直線，其斜率為，有.(2)對于兩條直線，有.知識點知識點四距離問題1．兩點間的距離公式設(shè)兩點，則.2．點到直線的距離公式設(shè)點，直線，則點到直線的距離.3．兩平行線間的距離公式設(shè)兩條平行直線，則這兩條平行線之間的距離.知識點知識點五兩條直線的交點1.兩條直線相交：對于兩條直線，若，則方程組有唯一解，兩條直線就相交，方程組的解就是交點的坐標.2.兩條直線，聯(lián)立方程組，若方程組有無數(shù)組解，則重合．知識點知識點六對稱問題2．兩條直線的垂直關(guān)系(1)對于兩條直線，其斜率為，有.(2)對于兩條直線，有.3.中心對稱：點A(x0，y0)關(guān)于點P(m，n)的對稱點坐標為(2m－x0,2n－y0)；曲線(直線)f(x，y)＝0關(guān)于點P(m，n)對稱的曲線(直線)方程為f(2m－x,2n－y)＝0；特別地，點P(x0，y0)關(guān)于原點的對稱點為(－x0，－y0)．4.軸對稱：（1）點P(x，y)關(guān)于直線Ax＋By＋C＝0的對稱點P0(x0，y0)，滿足如下關(guān)系：（2）特殊的軸對稱：（i）點P(x0，y0)關(guān)于x軸、y軸，x＝m，y＝n，y＝x，y＝－x，y＝x＋m，y＝－x＋n的對稱點的坐標依次為(x0，－y0)、(－x0，y0)、(2m－x0，y0)、(x0,2n－y0)、(y0，x0)、(－y0，－x0)、(y0－m，x0＋m)、(－y0＋n，－x0＋n)（ii）曲線(直線)f(x，y)＝0關(guān)于x軸，y軸，x＝m、y＝n、y＝x、y＝－x、y＝x＋m、y＝－x＋n對稱的曲線(直線)方程依次為：f(x，－y)＝0、f(－x，y)＝0、f(2m－x，y)＝0、f(x,2n－y)＝0、f(y，x)＝0、f(－y，－x)＝0、f(y－m，x＋m)＝0、f(－y＋n，－x＋n)＝0．?？碱}型剖析常考題型剖析題型一：直線的傾斜角與斜率【典例分析】例11．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）圖1是中國古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)，是桁，相鄰桁的水平距離稱為步，垂直距離稱為舉，圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖．其中是舉，是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為．已知成公差為0.1的等差數(shù)列，且直線的斜率為0.725，則（

）例12.（2023秋·四川遂寧·高三校考階段練習(xí)）直線的傾斜角是，則的值是（

）A． B． C． D．1【規(guī)律方法】1.求直線的斜率與傾斜角.若已知兩點的坐標，則直接利用斜率公式求斜率；若條件中給出一條直線，則求出直線上的兩點的坐標，然后利用斜率公式求斜率.求直線的傾斜角，則先求出直線的斜率，再利用求傾斜角.2.k是含參數(shù)的一個式子，則利用函數(shù)或不等式的方法求其范圍；若是給出圖形求斜率與傾斜角的范圍，則采用數(shù)開結(jié)合的方法求其范圍．3.從高考題看，對直線斜率的考查，越側(cè)重其應(yīng)用.【變式訓(xùn)練】變式11.（2023·全國·高三專題練習(xí)）若直線l的一個方向向量，則直線l的傾斜角是.變式12.（2020·北京·高考真題）為滿足人民對美好生活的向往，環(huán)保部門要求相關(guān)企業(yè)加強污水治理，排放未達標的企業(yè)要限期整改，設(shè)企業(yè)的污水排放量W與時間t的關(guān)系為，用的大小評價在這段時間內(nèi)企業(yè)污水治理能力的強弱，已知整改期內(nèi)，甲、乙兩企業(yè)的污水排放量與時間的關(guān)系如下圖所示.給出下列四個結(jié)論：①在這段時間內(nèi)，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強；②在時刻，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強；③在時刻，甲、乙兩企業(yè)的污水排放都已達標；④甲企業(yè)在這三段時間中，在的污水治理能力最強．其中所有正確結(jié)論的序號是____________________．題型二：直線的方程例21.（2023·全國·高三專題練習(xí)）如果，，那么直線不通過（

）．A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限例22.【多選題】（2023秋·山西大同·高三大同市第三中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）直線經(jīng)過點，且在兩坐標軸上的截距的絕對值相等，則直線的方程可能是（

）A． B．C． D．【規(guī)律方法】求直線方程的常用方法：1.直接法：根據(jù)已知條件靈活選用直線方程的形式，寫出方程．2.待定系數(shù)法：先根據(jù)已知條件設(shè)出直線方程，再根據(jù)已知條件構(gòu)造關(guān)于待定系數(shù)的方程(組)求系數(shù)，最后代入求出直線方程．x(y)軸上的截距是直線與x(y)軸交點的橫(縱)坐標，所以截距是一個實數(shù)，可正、可負，也可為0，而不是距離．4.從高考命題看，側(cè)重于直線與圓、直線與圓錐曲線位置關(guān)系的考查.【變式訓(xùn)練】變式21.（2020·山東·統(tǒng)考高考真題）已知直線的圖像如圖所示，則角是（

）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角變式22.（2022·全國·高三專題練習(xí)）點到直線的距離最大時，其最大值以及此時的直線l方程分別為（

）A．； B．；C．； D．；題型三：兩條直線平行與垂直【典例分析】例31.（2022春·北京密云·高三校考開學(xué)考試）設(shè)直線的方向向量為，的法向量為，則“”是“”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件例32.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知直線：，：，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【易錯提醒】當(dāng)直線方程中存在字母參數(shù)時，不僅要考慮到斜率存在的一般情況，也要考慮到斜率不存在的特殊情況．同時還要注意x，y的系數(shù)不能同時為零這一隱含條件．【變式訓(xùn)練】變式31.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知直線，，若且，則的值為（

）A． B． C． D．2變式32.（2021·臺州市書生中學(xué)高二期中）已知直線：，直線：，若，則_________若，則________題型四：距離問題例41.（2023·全國·高三專題練習(xí)）曲線上的點到直線的距離的最小值為（

）A． B．2 C． D．4例42.（2023秋·貴州貴陽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在平面直角坐標系中，點到直線距離的取值范圍是.【規(guī)律方法】兩種距離的求解思路(1)點到直線的距離的求法可直接利用點到直線的距離公式來求，但要注意此時直線方程必須為一般式．(2)兩平行線間的距離的求法①利用“轉(zhuǎn)化法”將兩條平行線間的距離轉(zhuǎn)化為一條直線上任意一點到另一條直線的距離．②利用兩平行線間的距離公式(利用公式前需把兩平行線方程中x，y的系數(shù)化為相同的形式)．【變式訓(xùn)練】變式41.（2019·江蘇高考真題）在平面直角坐標系xOy中，P是曲線y=x+4x(x>0)上的一個動點，則點P到直線x變式42.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知兩條平行直線：，：間的距離為，則．題型五：兩條直線的交點問題例51.（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知點P，Q的坐標分別為，，直線l：與線段PQ的延長線相交，則實數(shù)m的取值范圍是.例52.（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知在中，點，的角平分線為，邊上的中線所在直線的為，求邊所在直線l的一般式方程.【規(guī)律方法】求兩直線的交點坐標，就是解由兩直線方程聯(lián)立組成的方程組，得到的方程組的解，即交點的坐標．求過兩直線交點的直線方程，先解方程組求出兩直線的交點坐標，再結(jié)合其他條件寫出直線方程．也可借助直線系方程，利用待定系數(shù)法求出直線方程，這樣能簡化解題過程．3.涉及兩直線的交點問題，往往需借助于圖形，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，探索解題思路，這也是解析幾何中分析問題、解決問題的重要特征.【變式訓(xùn)練】變式51.（2023·福建南平·統(tǒng)考模擬預(yù)測）對于任意實數(shù)，直線恒過定點A，且點，則直線的一個方向向量為．變式52.（2020秋·河北衡水·高三河北武強中學(xué)校考階段練習(xí)）已知直線經(jīng)過點，且點，到直線的距離相等，則直線的方程為.題型六：中心對稱問題例61.（2020·山東·統(tǒng)考高考真題）直線關(guān)于點對稱的直線方程是（

）A． B．C． D．例62.（2023秋·北京·高三北京市陳經(jīng)綸中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知直線，點與點關(guān)于原點對稱，若直線上存在點滿足，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【總結(jié)提升】1.以已知點與對稱點為端點的線段的中點在對稱軸上2.已知點與對稱點的連線與對稱軸垂直．【變式訓(xùn)練】變式61.（2023·全國·高三專題練習(xí)）點在直線上，直線與關(guān)于點對稱，則一定在直線上的點為（

）A． B． C． D．變式62.（2020·全國·高三專題練習(xí)）平面直角坐標系中直線y＝2x＋1關(guān)于點(1,1)對稱的直線方程是．題型七：軸對稱問題例71.（浙江·高考真題（理））直線關(guān)于直線對稱的直線方程是（）A． B．C． D．例72.（2023·全國·高三對口高考）點關(guān)于直線的對稱點的坐標為．【總結(jié)提升】1.若直線與對稱軸平行，則在直線上取一點，求出該點關(guān)于軸的對稱點，然后用點斜式求解．2.若直線與對稱軸相交，則先求出交點，然后再取直線上一點，求該點關(guān)于軸的對稱點，最后由兩點式求解【變式訓(xùn)練】變式71.（安徽·高考真題）已知直線．若直線與關(guān)于l對稱，則的方程是（

）A． B． C． D．變式72.（2023·全國·高三專題練習(xí)）與圓關(guān)于直線對稱的圓的標準方程是.題型八：對稱有關(guān)的最值問題例81.（2023·全國·高三專題練習(xí)）以為一個頂點，試在x軸上找一點B，直線l：上找一點C，構(gòu)成，則的最小周長為.例82.（2023·全國·高三對口高考）已知點，在直線和軸上各找一點和，使的周長最小，并求出和兩點的坐標．【概率方法】對稱有關(guān)的最值問題解法：（1）在直線l上找一點P到直線兩側(cè)兩定點A、B的距離之和最小，則點P必在線段AB上，所以要將l同側(cè)的點利用對稱轉(zhuǎn)化為異側(cè)的點．（2）在直線l上找一點P到直線同側(cè)兩點A，B的距離之差最大，則點P必定在線段AB(或BA)的延長線上，所以要將l異側(cè)的點利用對稱轉(zhuǎn)化為同側(cè)的點．簡記為：異側(cè)和最小，同側(cè)差最大【變式訓(xùn)練】變式81.（2023春·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在平面直角坐標系中，已知點，點為直線上一動點，則的最小值是（

）A． B．4 C．5 D．6變式82.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知點，，點A關(guān)于直線的對稱點為點B，在中，，則面積的最大值為（

）A． B． C． D．題型九：光線的反射問題例91.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，，從點處射出的光線經(jīng)x軸反射后，反射光線與平行，且點B到該反射光線的距離為，則實數(shù)．例92.（2023春·河南周口·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知直線，一束光線從原點射出，經(jīng)反射．(1)寫出原點到反射光線距離的取值范圍（只寫結(jié)果即可，不需要寫出求解過程）；(2)若反射光線平分，求入射光線對應(yīng)的直線方程．【變式訓(xùn)練】變式91.（湖南·高考真題）在等腰直角三角形中，點是邊上異于的一點，光線從點出發(fā)，經(jīng)發(fā)射后又回到原點（如圖）.若光線經(jīng)過的重心，則等于（）A． B．C． D．變式92.，直線：(1)直線關(guān)于點A的對稱直線的方程；(2)若光線沿直線照射到直線上后反射，求反射光線所在的直線的方程.一、單選題1．（2023·重慶·重慶南開中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知直線的一個方向向量為，則直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．2．（2023秋·安徽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知曲線在點處的切線與直線垂直，則實數(shù)的值為（

）A． B． C． D．3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）斜拉橋是將梁用若干根斜拉索拉在塔柱上的橋，它由梁、斜拉索和塔柱三部分組成.如圖1，這是一座斜拉索大橋，共有10對永久拉索，在索塔兩側(cè)對稱排列.如圖2，已知拉索上端相鄰兩個錨的間距約為4m，拉索下端相鄰兩個錨的間距，滿足，，以所在直線為軸，所在直線為軸，則最長拉索所在直線的斜率為（

）A． B． C． D．二、多選題4．（2023秋·江西宜春·高三江西省宜豐中學(xué)校考階段練習(xí)）已知直線，則（）A．若，則B．若，則C．若與坐標軸圍成的三角