高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)講解+真題測(cè)試專題5.1任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)(知識(shí)點(diǎn)講解)(原卷版+解析)

專題5.1任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)（知識(shí)點(diǎn)講解）【知識(shí)框架】【核心素養(yǎng)】1．將象限角及終邊相同的角綜合考查，凸顯數(shù)學(xué)抽象、直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．2．結(jié)合方程、基本不等式、二次函數(shù)的最值及弧度制的應(yīng)用考查弧長(zhǎng)公式、面積公式及最值問(wèn)題，凸顯直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．3．將三角函數(shù)的定義、三角函數(shù)符號(hào)的判斷綜合考查，凸顯數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．【知識(shí)點(diǎn)展示】1．角的概念的推廣(1)定義：角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形．(2)分類eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(按旋轉(zhuǎn)方向不同分為正角、負(fù)角、零角.,按終邊位置不同分為象限角和軸線角.))(3)終邊相同的角：所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．提醒：終邊相同的角不一定相等，但相等的角其終邊一定相同．2．弧度制的定義和公式(1)定義：把長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角，弧度記作rad.(2)公式：角α的弧度數(shù)公式|α|＝eq\f(l,r)(弧長(zhǎng)用l表示)角度與弧度的換算①1°＝eq\f(π,180)rad；②1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))eq\s\up12(°)弧長(zhǎng)公式弧長(zhǎng)l＝|α|r扇形面積公式S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|r2提醒：有關(guān)角度與弧度的兩個(gè)注意點(diǎn)(1)角度與弧度的換算的關(guān)鍵是π＝180°，在同一個(gè)式子中，采用的度量制度必須一致，不可混用．(2)利用扇形的弧長(zhǎng)和面積公式解題時(shí)，要注意角的單位必須是弧度．3．任意角的三角函數(shù)(1)定義設(shè)角α終邊與單位圓交于P(x，y)，則sinα＝y(tǒng)，cosα＝x，tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)．拓展：任意角的三角函數(shù)的定義(推廣)設(shè)P(x，y)是角α終邊上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，其到原點(diǎn)O的距離為r，則sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r)，tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)．(2)三角函數(shù)值在各象限內(nèi)符號(hào)為正的口訣一全正，二正弦，三正切，四余弦．(3)幾何表示：三角函數(shù)線可以看作是三角函數(shù)的幾何表示．正弦線的起點(diǎn)都在x軸上，余弦線的起點(diǎn)都是原點(diǎn)，正切線的起點(diǎn)都是(1,0)．如圖中有向線段MP，OM，AT分別叫做角α的正弦線、余弦線和正切線．【?？碱}型剖析】題型一：象限角及終邊相同的角例1.（2023·山東·高考真題）終邊在軸的正半軸上的角的集合是（）A． B．C． D．【方法技巧】象限角的兩種判斷方法(1)圖象法：在平面直角坐標(biāo)系中，作出已知角并根據(jù)象限角的定義直接判斷已知角是第幾象限角．(2)轉(zhuǎn)化法：先將已知角化為k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式，即找出與已知角終邊相同的角α，再由角α終邊所在的象限判斷已知角是第幾象限角．例2．若是第三象限的角,則是（）A.第一或第二象限的角B.第一或第三象限的角C.第二或第三象限的角D.第二或第四象限的角例3.終邊在直線上的角的集合是.【總結(jié)提升】1.象限角與軸線角(終邊在坐標(biāo)軸上的角)的集合表示(1)象限角：象限角集合表示第一象限角{α|k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z}第二象限角{α|k·360°＋90°<α<k·360°＋180°，k∈Z}第三象限角{α|k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z}第四象限角{α|k·360°＋270°<α<k·360°＋360°，k∈Z}(2)軸線角：角的終邊的位置集合表示終邊落在x軸的非負(fù)半軸上{α|α＝k·360°，k∈Z}終邊落在x軸的非正半軸上{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}終邊落在y軸的非負(fù)半軸上{α|α＝k·360°＋90°，k∈Z}終邊落在y軸的非正半軸上{α|α＝k·360°＋270°，k∈Z}終邊落在y軸上{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}終邊落在x軸上{α|α＝k·180°，k∈Z}終邊落在坐標(biāo)軸上{α|α＝k·90°，k∈Z}2.利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角，方法是先寫出與這個(gè)角的終邊相同的所有角的集合，然后通過(guò)對(duì)集合中的參數(shù)k賦值來(lái)求得所需的角．題型二：弧度制、扇形的弧長(zhǎng)及面積公式例4.(2023·全國(guó)·高考真題（理））沈括的《夢(mèng)溪筆談》是中國(guó)古代科技史上的杰作，其中收錄了計(jì)算圓弧長(zhǎng)度的“會(huì)圓術(shù)”，如圖，是以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓弧，C是AB的中點(diǎn)，D在上，．“會(huì)圓術(shù)”給出的弧長(zhǎng)的近似值s的計(jì)算公式：．當(dāng)時(shí)，（

）A． B． C． D．例5.（2023·海南·高考真題）某中學(xué)開展勞動(dòng)實(shí)習(xí)，學(xué)生加工制作零件，零件的截面如圖所示．O為圓孔及輪廓圓弧AB所在圓的圓心，A是圓弧AB與直線AG的切點(diǎn)，B是圓弧AB與直線BC的切點(diǎn)，四邊形DEFG為矩形，BC⊥DG，垂足為C，tan∠ODC=，，EF=12cm，DE=2cm，A到直線DE和EF的距離均為7cm，圓孔半徑為1cm，則圖中陰影部分的面積為________cm2．例6.（2023·江蘇·高一課時(shí)練習(xí)）一扇形的周長(zhǎng)為20cm，當(dāng)扇形的半徑和圓心角各取何值時(shí)，這個(gè)扇形的面積最大？并求此扇形的最大面積．【總結(jié)提升】應(yīng)用弧度制解決問(wèn)題的方法(1)利用扇形的弧長(zhǎng)和面積公式解題時(shí)，要注意角的單位必須是弧度；(2)求扇形面積最大值的問(wèn)題時(shí)，常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問(wèn)題，利用配方法使問(wèn)題得到解決；(3)在解決弧長(zhǎng)問(wèn)題和扇形面積問(wèn)題時(shí)，要合理地利用圓心角所在的三角形．題型三：三角函數(shù)的定義及其應(yīng)用例7．（2023·全國(guó)·高考真題（理））若α為第四象限角，則（

）A．cos2α>0 B．cos2α<0 C．sin2α>0 D．sin2α<0例8．(2023·北京·高考真題（文））在平面直角坐標(biāo)系中，是圓上的四段?。ㄈ鐖D），點(diǎn)P在其中一段上，角以O(shè)??為始邊，OP為終邊，若，則P所在的圓弧是（）A． B．C． D．例9．(2023·全國(guó)·高考真題（文））已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則=（）A． B． C． D．例10.（2023·北京·高考真題）若點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱點(diǎn)為，寫出的一個(gè)取值為___．例11.(2023·廣西·桂林市第十九中學(xué)高一期中）已知點(diǎn)是角終邊上一點(diǎn)，且，則__________．例12．(2023·貴州·遵義四中高一期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)角，的終邊分別與單位圓交于，兩點(diǎn)，且原點(diǎn)為單位圓的圓心．設(shè)角的終邊繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后與單位圓交于點(diǎn)．(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)記，求證：．【總結(jié)提升】1.三角函數(shù)的定義中常見的三種題型及解決方法(1)已知角α的終邊上的一點(diǎn)P的坐標(biāo)，求角α的三角函數(shù)值．方法：先求出點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離，再利用三角函數(shù)的定義求解．(2)已知角α的一個(gè)三角函數(shù)值和終邊上一點(diǎn)P的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)，求與角α有關(guān)的三角函數(shù)值．方法：先求出點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離(帶參數(shù))，根據(jù)已知三角函數(shù)值及三角函數(shù)的定義建立方程，求出未知數(shù)，從而求解問(wèn)題．(3)已知角α的終邊所在的直線方程(y＝kx，k≠0)，求角α的三角函數(shù)值．方法：先設(shè)出終邊上一點(diǎn)P(a，ka)，a≠0，求出點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離(注意a的符號(hào)，對(duì)a分類討論)，再利用三角函數(shù)的定義求解．2.已知一角的三角函數(shù)值sinα，cosα，tanα)中任意兩個(gè)的符號(hào)，可分別確定出角的終邊所在的可能位置，二者的交集即為該角終邊的位置，注意終邊在坐標(biāo)軸上的特殊情況．3.三角函數(shù)線可幫助比較三角函數(shù)值的大小.專題5.1任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)（知識(shí)點(diǎn)講解）【知識(shí)框架】【核心素養(yǎng)】1．將象限角及終邊相同的角綜合考查，凸顯數(shù)學(xué)抽象、直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．2．結(jié)合方程、基本不等式、二次函數(shù)的最值及弧度制的應(yīng)用考查弧長(zhǎng)公式、面積公式及最值問(wèn)題，凸顯直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．3．將三角函數(shù)的定義、三角函數(shù)符號(hào)的判斷綜合考查，凸顯數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．【知識(shí)點(diǎn)展示】1．角的概念的推廣(1)定義：角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形．(2)分類eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(按旋轉(zhuǎn)方向不同分為正角、負(fù)角、零角.,按終邊位置不同分為象限角和軸線角.))(3)終邊相同的角：所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．提醒：終邊相同的角不一定相等，但相等的角其終邊一定相同．2．弧度制的定義和公式(1)定義：把長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角，弧度記作rad.(2)公式：角α的弧度數(shù)公式|α|＝eq\f(l,r)(弧長(zhǎng)用l表示)角度與弧度的換算①1°＝eq\f(π,180)rad；②1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))eq\s\up12(°)弧長(zhǎng)公式弧長(zhǎng)l＝|α|r扇形面積公式S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|r2提醒：有關(guān)角度與弧度的兩個(gè)注意點(diǎn)(1)角度與弧度的換算的關(guān)鍵是π＝180°，在同一個(gè)式子中，采用的度量制度必須一致，不可混用．(2)利用扇形的弧長(zhǎng)和面積公式解題時(shí)，要注意角的單位必須是弧度．3．任意角的三角函數(shù)(1)定義設(shè)角α終邊與單位圓交于P(x，y)，則sinα＝y(tǒng)，cosα＝x，tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)．拓展：任意角的三角函數(shù)的定義(推廣)設(shè)P(x，y)是角α終邊上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，其到原點(diǎn)O的距離為r，則sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r)，tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)．(2)三角函數(shù)值在各象限內(nèi)符號(hào)為正的口訣一全正，二正弦，三正切，四余弦．(3)幾何表示：三角函數(shù)線可以看作是三角函數(shù)的幾何表示．正弦線的起點(diǎn)都在x軸上，余弦線的起點(diǎn)都是原點(diǎn)，正切線的起點(diǎn)都是(1,0)．如圖中有向線段MP，OM，AT分別叫做角α的正弦線、余弦線和正切線．【?？碱}型剖析】題型一：象限角及終邊相同的角例1.（2023·山東·高考真題）終邊在軸的正半軸上的角的集合是（）A． B．C． D．答案：A分析：利用終邊落在坐標(biāo)軸上角的表示方法即可求解【詳解】終邊在軸正半軸上的角的集合是故選：A【方法技巧】象限角的兩種判斷方法(1)圖象法：在平面直角坐標(biāo)系中，作出已知角并根據(jù)象限角的定義直接判斷已知角是第幾象限角．(2)轉(zhuǎn)化法：先將已知角化為k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式，即找出與已知角終邊相同的角α，再由角α終邊所在的象限判斷已知角是第幾象限角．例2．若是第三象限的角,則是（）A.第一或第二象限的角B.第一或第三象限的角C.第二或第三象限的角D.第二或第四象限的角答案：B【解析】是第三象限角，，，，故當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，是第一象限角；故當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，是第三象限角，故選B.例3.終邊在直線上的角的集合是.答案：【解析】終邊在直線y＝eq\r(3)x上且在第一象限的角為α＝2kπ＋eq\f(π,3)(k∈Z)，終邊在直線y＝eq\r(3)x上且在第三象限的角為β＝2kπ＋π＋eq\f(π,3)＝(2k＋1)π＋eq\f(π,3)(k∈Z)．則終邊在直線y＝eq\r(3)x上的角的集合為【總結(jié)提升】1.象限角與軸線角(終邊在坐標(biāo)軸上的角)的集合表示(1)象限角：象限角集合表示第一象限角{α|k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z}第二象限角{α|k·360°＋90°<α<k·360°＋180°，k∈Z}第三象限角{α|k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z}第四象限角{α|k·360°＋270°<α<k·360°＋360°，k∈Z}(2)軸線角：角的終邊的位置集合表示終邊落在x軸的非負(fù)半軸上{α|α＝k·360°，k∈Z}終邊落在x軸的非正半軸上{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}終邊落在y軸的非負(fù)半軸上{α|α＝k·360°＋90°，k∈Z}終邊落在y軸的非正半軸上{α|α＝k·360°＋270°，k∈Z}終邊落在y軸上{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}終邊落在x軸上{α|α＝k·180°，k∈Z}終邊落在坐標(biāo)軸上{α|α＝k·90°，k∈Z}2.利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角，方法是先寫出與這個(gè)角的終邊相同的所有角的集合，然后通過(guò)對(duì)集合中的參數(shù)k賦值來(lái)求得所需的角．題型二：弧度制、扇形的弧長(zhǎng)及面積公式例4.(2023·全國(guó)·高考真題（理））沈括的《夢(mèng)溪筆談》是中國(guó)古代科技史上的杰作，其中收錄了計(jì)算圓弧長(zhǎng)度的“會(huì)圓術(shù)”，如圖，是以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓弧，C是AB的中點(diǎn)，D在上，．“會(huì)圓術(shù)”給出的弧長(zhǎng)的近似值s的計(jì)算公式：．當(dāng)時(shí)，（

）A． B． C． D．答案：B【解析】分析：連接，分別求出，再根據(jù)題中公式即可得出答案.【詳解】解：如圖，連接，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，又，所以三點(diǎn)共線，即，又，所以，則，故，所以.故選：B.例5.（2023·海南·高考真題）某中學(xué)開展勞動(dòng)實(shí)習(xí)，學(xué)生加工制作零件，零件的截面如圖所示．O為圓孔及輪廓圓弧AB所在圓的圓心，A是圓弧AB與直線AG的切點(diǎn)，B是圓弧AB與直線BC的切點(diǎn)，四邊形DEFG為矩形，BC⊥DG，垂足為C，tan∠ODC=，，EF=12cm，DE=2cm，A到直線DE和EF的距離均為7cm，圓孔半徑為1cm，則圖中陰影部分的面積為________cm2．答案：【解析】分析：利用求出圓弧所在圓的半徑，結(jié)合扇形的面積公式求出扇形的面積，求出直角的面積，陰影部分的面積可通過(guò)兩者的面積之和減去半個(gè)單位圓的面積求得.【詳解】設(shè)，由題意，，所以，因?yàn)?所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)榕c圓弧相切于點(diǎn)，所以，即為等腰直角三角形；在直角中，，，因?yàn)?，所以，解得；等腰直角的面積為；扇形的面積，所以陰影部分的面積為.故答案為：.例6.（2023·江蘇·高一課時(shí)練習(xí)）一扇形的周長(zhǎng)為20cm，當(dāng)扇形的半徑和圓心角各取何值時(shí)，這個(gè)扇形的面積最大？并求此扇形的最大面積．答案：當(dāng)扇形的半徑為5cm和圓心角為2rad時(shí)，扇形的面積最大，最大值為25cm2．分析：設(shè)扇形的半徑為r，弧長(zhǎng)為l，可得，然后可求出答案.【詳解】設(shè)扇形的半徑為r，弧長(zhǎng)為l，則l＋2r＝20，即l＝20－2r，從而可得0<r<10．又當(dāng)r＝5時(shí)，S有最大值25，此時(shí)l＝20－2×5＝10，圓心角．答：當(dāng)扇形的半徑為5cm和圓心角為2rad時(shí)，扇形的面積最大，最大值為25cm2．【總結(jié)提升】應(yīng)用弧度制解決問(wèn)題的方法(1)利用扇形的弧長(zhǎng)和面積公式解題時(shí)，要注意角的單位必須是弧度；(2)求扇形面積最大值的問(wèn)題時(shí)，常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問(wèn)題，利用配方法使問(wèn)題得到解決；(3)在解決弧長(zhǎng)問(wèn)題和扇形面積問(wèn)題時(shí)，要合理地利用圓心角所在的三角形．題型三：三角函數(shù)的定義及其應(yīng)用例7．（2023·全國(guó)·高考真題（理））若α為第四象限角，則（

）A．cos2α>0 B．cos2α<0 C．sin2α>0 D．sin2α<0答案：D【解析】分析：由題意結(jié)合二倍角公式確定所給的選項(xiàng)是否正確即可.【詳解】方法一：由α為第四象限角，可得，所以此時(shí)的終邊落在第三、四象限及軸的非正半軸上，所以故選：D.方法二：當(dāng)時(shí)，，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；由在第四象限可得：，則，選項(xiàng)C錯(cuò)誤，選項(xiàng)D正確；故選：D.例8．(2023·北京·高考真題（文））在平面直角坐標(biāo)系中，是圓上的四段?。ㄈ鐖D），點(diǎn)P在其中一段上，角以O(shè)??為始邊，OP為終邊，若，則P所在的圓弧是（）A． B．C． D．答案：C【解析】【詳解】分析：逐個(gè)分析A、B、C、D四個(gè)選項(xiàng)，利用三角函數(shù)的三角函數(shù)線可得正確結(jié)論.詳解：由下圖可得：有向線段為余弦線，有向線段為正弦線，有向線段為正切線.A選項(xiàng)：當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，，，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，，，，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，，，，故C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)：點(diǎn)在上且在第三象限，，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.綜上，故選C.點(diǎn)睛：此題考查三角函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是能夠利用數(shù)形結(jié)合思想，作出圖形，找到所對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)線進(jìn)行比較.例9．(2023·全國(guó)·高考真題（文））已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則=（）A． B． C． D．答案：D【解析】【詳解】試題分析：由題意可知x=-4，y=3，r=5，所以.故選D.例10.（2023·北京·高考真題）若點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱點(diǎn)為，寫出的一個(gè)取值為___．答案：（滿足即可）【解析】分析：根據(jù)在單位圓上，可得關(guān)于軸對(duì)稱，得出求