高考數(shù)學一輪復習題型講解+專題訓練(新高考專用)專題06函數(shù)的單調(diào)性與最大(小)值(原卷版+解析)

2023高考一輪復習講與練06函數(shù)的單調(diào)性與最大(小)值練高考明方向1、【2022年新高考I卷第7題】2、【2022年全國高考甲卷理科第12題】3．(2023年高考全國乙卷理科)設，，．則 ()A． B． C． D．4．(2023年高考數(shù)學課標Ⅰ卷理科)若，則 ()A． B． C． D．5．(2023年高考數(shù)學課標Ⅱ卷理科)若，則 ()A． B． C． D．6．(2023年高考數(shù)學課標Ⅲ卷理科)已知55<84，134<85．設a=log53，b=log85，c=log138，則 ()Aa<b<cB．b<a<cC．b<c<aD．c<a<b7.【2019年高考全國Ⅰ卷理數(shù)】已知，則A． B．C． D．8.【2019年高考全國Ⅱ卷理數(shù)】若a>b，則A．ln(a?b)>0 B．3a<3bC．a(chǎn)3?b3>0 D．│a│>│b│9．(2023年高考數(shù)學課標Ⅲ卷理科)設是定義域為的偶函數(shù)，且在單調(diào)遞減，則() A． B．C． D．10．【2019年高考北京理數(shù)】設函數(shù)（a為常數(shù)）．若f（x）為奇函數(shù)，則a=________；若f（x）是R上的增函數(shù)，則a的取值范圍是___________．11.【2019年高考浙江】已知，函數(shù)，若存在，使得，則實數(shù)的最大值是___________.12．(2023年高考數(shù)學新課標Ⅰ卷理科)設為正數(shù),且,則 ()A．B． C． D．A． B． C． D．14．(2023高考數(shù)學課標Ⅰ卷理科)若，則 ()(A)(B)(C)(D)15．(2023高考數(shù)學新課標1理科)若函數(shù)=的圖像關于直線=－2對稱，則的最大值是______．講典例備高考函數(shù)的單調(diào)性與最大(小)值函數(shù)的單調(diào)性與最大(小)值單調(diào)函數(shù)的定義單調(diào)區(qū)間的定義素函數(shù)的最值單調(diào)性的判斷單調(diào)性的應用類型一、單調(diào)函數(shù)的定義基礎知識：1、單調(diào)函數(shù)的定義增函數(shù)減函數(shù)定義設函數(shù)f(x)的定義域為I，區(qū)間D?I，如果?x1，x2∈D當x1<x2時，都有f(x1)<f(x2)，那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增，此時稱f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)當x1<x2時，都有f(x1)>f(x2)，那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞減，此時稱f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)圖象描述自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的3、常用結(jié)論：(1)若?x1，x2∈D(x1≠x2)，則①eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0)?f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增．②eq\f(fx1－fx2,x1－x2)<0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0)?f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞減．(2)y＝x＋eq\f(1,x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，－1]和[1，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(－1,0)和(0,1)．(3)y＝ax＋eq\f(b,x)(a>0，b>0)的單調(diào)遞增區(qū)間為eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\r(\f(b,a))))和eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(b,a))，＋∞))，單調(diào)遞減區(qū)間為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\r(\f(b,a))，0))和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\r(\f(b,a)))).(4)在區(qū)間D上，兩個增函數(shù)的和仍是增函數(shù)，兩個減函數(shù)的和仍是減函數(shù)．(5)函數(shù)f(g(x))的單調(diào)性與函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)的單調(diào)性的關系是“同增異減”．4．注意事項：(1)單調(diào)區(qū)間只能用區(qū)間表示，不能用不等式表示．(2)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間或討論函數(shù)的單調(diào)性時，必須先求函數(shù)的定義域．(3)一個函數(shù)的同一種單調(diào)區(qū)間用“和”或“，”連接，不能用“∪”連接．(4)“函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是M”與“函數(shù)在區(qū)間N上單調(diào)”是兩個不同的概念，顯然N?M.(5)并非所有的函數(shù)都具有單調(diào)性．例如：函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，x為有理數(shù)，,0，x為無理數(shù)，))它的定義域為R，但不具有單調(diào)性．(6)單調(diào)區(qū)間D必為定義域的子集，所以函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì)．(7)對于區(qū)間端點，由于它的函數(shù)值是唯一確定的常數(shù)，沒有增減的變化，所以不存在單調(diào)性問題，因此在寫單調(diào)區(qū)間時，可以包括，也可以不包括．(8)函數(shù)y＝f(x)(f(x)>0)在公共定義域內(nèi)與y＝－f(x)，y＝eq\f(1,fx)的單調(diào)性相反．(9)開區(qū)間上的“單峰”函數(shù)一定存在最大值(最小值)．類型一、函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明1．（利用圖象判斷函數(shù)單調(diào)性）函數(shù)的圖象如圖所示，則（）A．函數(shù)在上單調(diào)遞增B．函數(shù)在上單調(diào)遞減C．函數(shù)在上單調(diào)遞減D．函數(shù)在上單調(diào)遞增2、（利用定義判斷函數(shù)單調(diào)性）證明函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)。3、（利用定義判斷函數(shù)單調(diào)性）已知函數(shù)f(x)對于任意x，y∈R，總有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且當x＞0時，f(x)＜0，求證：f(x)在R上是減函數(shù)；【點評】對于抽象函數(shù)的單調(diào)性的判斷仍然要緊扣單調(diào)性的定義，結(jié)合題目所給性質(zhì)和相應的條件，對任意x1，x2在所給區(qū)間內(nèi)比較f(x1)－f(x2)與0的大小，或與1的大?。袝r根據(jù)需要，需作適當?shù)淖冃危喝鐇1＝x2·eq\f(x1,x2)或x1＝x2＋x1－x2等．4、（利用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性）已知函數(shù)f(x)＝2x－eq\f(a,x)－(a＋2)lnx(a∈R)．討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性．【點評】(1)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，要依據(jù)參數(shù)對不等式解集的影響進行分類討論．(2)劃分函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，要在函數(shù)定義域內(nèi)討論，還要確定導數(shù)為零的點和函數(shù)的間斷點．【基本方法】1、利用定義證明函數(shù)單調(diào)性的步驟和變形技巧（1）五個步驟：取值------------------------設且作差-----------------------變形-----------------------對作差的結(jié)果進行變形定號-----------------------確定的符號定論-----------------------由與的大小關系及單調(diào)性的定義下結(jié)論（2）變形技巧：因式分解：當原函數(shù)是多項式函數(shù)時，常進行因式分解，通分：當原函數(shù)是分式函數(shù)時，作差后通分，然后對分子進行因式分解，分子有理化：當原函數(shù)是根式函數(shù)時，作差后往往考慮分子有理化。2、判斷函數(shù)的單調(diào)性和求單調(diào)區(qū)間的方法定義法一般步驟為設元—作差—變形—判斷符號—得出結(jié)論圖象法若f(x)是以圖象形式給出的，或者f(x)的圖象易作出，則可由圖象的上升或下降確定單調(diào)性導數(shù)法先求導數(shù)，再利用導數(shù)值的正負確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間性質(zhì)法對于由基本初等函數(shù)的和、差構(gòu)成的函數(shù)，根據(jù)各基本初等函數(shù)的增減性及“增＋增＝增，增－減＝增，減＋減＝減，減－增＝減”進行判斷復合法對于復合函數(shù)，先將函數(shù)f(g(x))分解成f(t)和t＝g(x)，然后討論(判斷)這兩個函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)復合函數(shù)“同增異減”的規(guī)則進行判斷提醒求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，應先求定義域，在定義域內(nèi)求解類型二、求函數(shù)的單調(diào)性區(qū)間基礎知識：1、單調(diào)區(qū)間的定義如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，那么就說函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間具有(嚴格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間．基本題型：1、（利用復合法求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間）函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為A． B．C． D．2．（利用復合法求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間）定義在上的增函數(shù)，則函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是（）A． B． C． D．3．（利用圖象求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A． B．和C． D．和4．（利用導數(shù)法求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間）已知函數(shù)f(x)＝x2－5x＋2lnx，則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是________．基本方法：1、判斷函數(shù)的單調(diào)性和求單調(diào)區(qū)間的方法定義法一般步驟為設元—作差—變形—判斷符號—得出結(jié)論圖象法若f(x)是以圖象形式給出的，或者f(x)的圖象易作出，則可由圖象的上升或下降確定單調(diào)性導數(shù)法先求導數(shù)，再利用導數(shù)值的正負確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間性質(zhì)法對于由基本初等函數(shù)的和、差構(gòu)成的函數(shù)，根據(jù)各基本初等函數(shù)的增減性及“增＋增＝增，增－減＝增，減＋減＝減，減－增＝減”進行判斷復合法對于復合函數(shù)，先將函數(shù)f(g(x))分解成f(t)和t＝g(x)，然后討論(判斷)這兩個函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)復合函數(shù)“同增異減”的規(guī)則進行判斷提醒求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，應先求定義域，在定義域內(nèi)求解2、確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟(1)確定函數(shù)f(x)的定義域；(2)求f′(x)；(3)解不等式f′(x)>0，解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞增區(qū)間；(4)解不等式f′(x)<0，解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞減區(qū)間．類型三、由函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的范圍基礎知識：1、若f(x)在定義域上(或某一區(qū)間上)是增(減)函數(shù)，x1，x2是定義域上(或該區(qū)間上)任意兩個自變量的值，則f(x1)<f(x2)?x1<x2(x1>x2)．2、已知可導函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增(或遞減)轉(zhuǎn)化為f′(x)≥0(或f′(x)≤0)對x∈D恒成立問題，要注意“＝”是否取到基本題型：1、已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且在區(qū)間上為減函數(shù)，若，求實數(shù)的取值范圍。2、設定義在上的偶函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，若，求實數(shù)的取值范圍。【點評】此類問題考察了函數(shù)單調(diào)性的應用：（1）正向應用：若在給定區(qū)間上是增函數(shù)，則有：當時，有；當時，有；（2）逆向應用：若在給定區(qū)間上是增函數(shù)，則有：當時，有；當時，有；【小結(jié)】利用奇偶性與單調(diào)性解抽不等式的步驟：（1）轉(zhuǎn)化：利用奇偶性把已知不等式轉(zhuǎn)化為的形式；（2）定性：確定已知函數(shù)的單調(diào)性，（3）去“”：根據(jù)單調(diào)性去掉“”，不等式轉(zhuǎn)化為或；（4）求解：解不等式（組）3．（以二次函數(shù)為情境命題）已知函數(shù)，若對任意，且，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．4．（以反比例函數(shù)為情境命題）函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．5．（以分段函數(shù)為情境命題）已知函數(shù)，對于任意兩個不相等的實數(shù)，，都有不等式成立，則實數(shù)a取值范圍是（）A． B． C． D．6．（以含絕對值函數(shù)為情境命題）已知函數(shù)，若對任意的，不等式恒成立，則實數(shù)t的取值范圍是（）A． B．C． D．7．（利用導數(shù)轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題）若函數(shù)f(x)＝x2－ax＋lnx在區(qū)間(2，e)上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)，＋∞)) B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(9,2)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(9,2)，e2＋1)) D．[e2＋1，＋∞)8、（利用導數(shù)轉(zhuǎn)化為不等式能成立問題）若f(x)＝ax2＋x－lnx存在增區(qū)間，則實數(shù)a的取值范圍為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,4))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，＋∞))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,8)，＋∞)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,8)))9．（利用單調(diào)性進行轉(zhuǎn)化）已知函數(shù)的定義域為，且對于，都有（），則不等式的解集為______.基本方法：1、利用函數(shù)的單調(diào)性求解不等式的方法在解決“與抽象函數(shù)有關的不等式”問題時，可通過“脫去”函數(shù)符號“f”化為一般不等式求解，但必須在同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)進行．需要說明的是，若不等式一邊沒有“f”，而是常數(shù)，則應將常數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)值．如若已知0＝f(1)，f(x－1)<0，則f(x－1)<f(1)．2、利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的策略(1)視參數(shù)為已知數(shù)，依據(jù)函數(shù)的圖象或單調(diào)性定義，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，與已知單調(diào)區(qū)間比較求參數(shù)．(2)需注意若函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是單調(diào)的，則該函數(shù)在此區(qū)間的任意子集上也是單調(diào)的．(3)分段函數(shù)的單調(diào)性需要分段研究，既要保證每一段函數(shù)的單調(diào)性，還要注意每段端點值的大小．3、解決分段函數(shù)的單調(diào)性問題常不會對分段點左右兩端函數(shù)的單調(diào)性進行分析，對函數(shù)的單調(diào)性理解不夠透徹．對于分段函數(shù)的單調(diào)性，要考慮分段點左右單調(diào)性一致，注意端點處的銜接情況．類型四、函數(shù)的最值基礎知識：前提設函數(shù)y＝f(x)的定義域為I，如果存在實數(shù)M滿足條件?x∈I，都有f(x)≤M；?x0∈I，使得f(x0)＝M?x∈I，都有f(x)≥M；?x0∈I，使得f(x0)＝M結(jié)論M為最大值M為最小值基本題型：1．（利用換元法求最值）已知函數(shù)，則函數(shù)有（）A．最小值1，無最大值 B．最大值，無最小值C．最小值，無最大值 D．無最大值，無最小值2、（利用單調(diào)性求最值）已知a>0，設函數(shù)f(x)＝eq\f(2018x＋1＋2016,2018x＋1)(x∈[－a，a])的最大值為M，最小值為N，那么M＋N＝()A．2016 B．2018C．4032 D．40343、（利用單調(diào)性求最值）（多選題）下列關于函數(shù)的說法正確的是（）A．當時，此函數(shù)的最大值為1，最小值為2a+1B．當時，此函數(shù)的最大值為2a+1，最小值為1C．當時，此函數(shù)的最大值為1，最小值為2a+1D．當時，此函數(shù)的最大值為2a+1，最小值為14．（利用基本不等式求最值）函數(shù)（）的最小值為（）A． B． C． D．5、（利用圖象求最值）對于任意實數(shù)a，b，定義min{a，b}＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，a≤b，,b，a>b.))設函數(shù)f(x)＝－x＋3，g(x)＝log2x，則函數(shù)h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是________．6．（利用導數(shù)求最值）函數(shù)f(x)＝|2x－1|－2lnx的最小值為________．基本方法：1、求函數(shù)最值的5種常用方法單調(diào)性法先確定函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性結(jié)合端點值求最值圖象法先作出函數(shù)的圖象，再觀察其最高點、最低點，求出最值基本不等式法先對解析式變形，使之具備“一正二定三相等”的條件，然后用基本不等式求出最值導數(shù)法先求出導函數(shù)，然后求出在給定區(qū)間上的極值，最后結(jié)合端點值，求出最值換元法對于比較復雜的函數(shù)，可通過換元轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)，再用相應的方法求最值2、求函數(shù)f(x)在[a，b]上的最值的方法(1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增(或遞減)，則f(a)為最小(大)值，f(b)為最大(小)值．(2)若函數(shù)在區(qū)間[a，b]內(nèi)有極值，則要先求出函數(shù)在(a，b)內(nèi)的極值，再與f(a)，f(b)比較，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成．(3)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上有唯一一個極值點，這個極值點就是最大(或最小)值點，此結(jié)論在導數(shù)的實際應用中經(jīng)常用到．類型五、利用最值求參數(shù)的值或范圍基礎題型：1．（多選題）已知函數(shù)，當時，y取得最小值b，則（）A． B． C． D．2．函數(shù)在區(qū)間上既有最大值又有最小值，則實數(shù)a的取值范圍是（）A． B．C． D．3．（多選題）已知函數(shù)，若的最小值為，則實數(shù)的值可以是（）A．1 B． C．2 D．44．已知函數(shù)f(x)＝－eq\f(1,3)x3＋x在(a,10－a2)上有最大值，則實數(shù)a的取值范圍是________．新預測破高考1．下列四個函數(shù)中，在上為增函數(shù)的是（）．A． B． C． D．2．下列函數(shù)中，最大值為的是（）A． B．C． D．3、已知是定義在上的減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．4、若函數(shù)在區(qū)間[1,5]上單調(diào)遞增，則m的取值范圍為（）A．[﹣2,+∞) B．(﹣∞,﹣2] C．[﹣10,+∞) D．(﹣∞,﹣10]5．函數(shù)f(x)＝eq\f(lnx,x2)的最大值為()A.eq\f(1,e) B.eq\f(1,2e)C．e D．06．若函數(shù)與在區(qū)間上都是減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（）A．B． C． D．7．若函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，則實數(shù)（）A． B． C． D．或8、已知函數(shù)的定義域為,為偶函數(shù)，且對，滿足.若，則不等式的解集為A． B．C． D．9、已知是偶函數(shù)，在上單調(diào)遞減，，則的解集是A． B．C． D．10．已知二次函數(shù)f(x)滿足f(2＋x)＝f(2－x)，且f(x)在[0,2]上是增函數(shù)，若f(a)≥f(0)，則實數(shù)a的取值范圍是()A．[0，＋∞) B．(－∞，0]C．[0,4] D．(－∞，0]∪[4，＋∞)11．（多選題）定義一種運算.設（為常數(shù)），且，則使函數(shù)最大值為4的值可以是（）A．-2 B．6 C．4 D．-412．已知a>，則函數(shù)f(x)=x2+|x-a|的最小值是（）A．a(chǎn)2+1 B．a(chǎn)+C．a(chǎn)- D．a(chǎn)-13．已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m為常數(shù))在[－2,2]上有最大值3，那么此函數(shù)在[－2,2]上的最小值是________．14．設函數(shù)f(x)＝eq\f(x＋12＋sinx,x2＋1)的最大值為M，最小值為m，則M＋m＝________.15．不等式的解集為，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是_______16．工廠需要建造一個倉庫，根據(jù)市場調(diào)研分析，運費與工廠和倉庫之間的距離成正比，倉儲費與工廠和倉庫之間的距離成反比，當工廠和倉庫之間的距離為4千米時，運費為20萬元，倉儲費為5萬元.則工廠和倉庫之間的距離為___________千米時，運費與倉儲費之和最小.17．已知函數(shù)的定義域為，，對任意兩個不等的實數(shù)，都有，則不等式的解集為_________.18、對于任意實數(shù)a，b，定義min{a，b}＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，a≤b，,b，a>b。))函數(shù)f(x)＝－x＋3，g(x)＝log2x，則函數(shù)h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值為________。19．已知函數(shù)，，的最大值，表示m,n中的最大值，若，且當時，恒成立，則的最大值為__________．20．設函數(shù)．（1）當時，求函數(shù)的最小值的表達式；（2）求函數(shù)的最大值．21．設函數(shù)．（1）當時，求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若，設在上的最大值為，求的表達式．22．設函數(shù)．（1）當時，求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若函數(shù)在R上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；（3）若對，不等式恒成立，求a的取值范圍．23．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(x2－1－2axlnx,x)，討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性．2023高考一輪復習講與練06函數(shù)的單調(diào)性與最大(小)值練高考明方向1、【2022年新高考I卷第7題】2、【2022年全國高考甲卷理科第12題】3．(2023年高考全國乙卷理科)設，，．則 ()A． B． C． D．答案：B解析：,所以;下面比較與的大小關系．記,則,，由于，所以當0<x<2時，,即,,所以在上單調(diào)遞增，所以,即,即;令,則,,由于，在x>0時,,所以,即函數(shù)在[0,+∞)上單調(diào)遞減，所以,即,即b<c;綜上，,【點睛】本題考查比較大小問題，難度較大，關鍵難點是將各個值中的共同的量用變量替換，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)研究相應函數(shù)的單調(diào)性，進而比較大小，這樣的問題，憑借近似估計計算往往是無法解決的．4．(2023年高考數(shù)學課標Ⅰ卷理科)若，則 ()A． B． C． D．答案：B【解析】設，則為增函數(shù)，因為所以，所以，所以．，當時，，此時，有當時，，此時，有，所以C、D錯誤．故選：B．【點晴】本題主要考查函數(shù)與方程的綜合應用，涉及到構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小，是一道中檔題．5．(2023年高考數(shù)學課標Ⅱ卷理科)若，則 ()A． B． C． D．答案：A【解析】由得：，令，為上的增函數(shù)，為上的減函數(shù)，為上的增函數(shù)，，，，，則A正確，B錯誤；與的大小不確定，故CD無法確定．【點睛】本題考查對數(shù)式的大小的判斷問題，解題關鍵是能夠通過構(gòu)造函數(shù)的方式，利用函數(shù)的單調(diào)性得到的大小關系，考查了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學思想．6．(2023年高考數(shù)學課標Ⅲ卷理科)已知55<84，134<85．設a=log53，b=log85，c=log138，則 ()Aa<b<cB．b<a<cC．b<c<aD．c<a<b答案：A【解析】由題意可知、、，，；由，得，由，得，，可得；由，得，由，得，，可得．綜上所述，．故選：A．【點睛】本題考查對數(shù)式的大小比較，涉及基本不等式、對數(shù)式與指數(shù)式的互化以及指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應用，考查推理能力，屬于中等題．7.【2019年高考全國Ⅰ卷理數(shù)】已知，則A． B．C． D．答案：B【解析】即則．【名師點睛】本題考查指數(shù)和對數(shù)大小的比較，考查了數(shù)學運算的素養(yǎng)．采取中間量法，根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可比較大?。?.【2019年高考全國Ⅱ卷理數(shù)】若a>b，則A．ln(a?b)>0 B．3a<3bC．a(chǎn)3?b3>0 D．│a│>│b│答案：C【解析】取，滿足，但，則A錯，排除A；由，知B錯，排除B；取，滿足，但，則D錯，排除D；因為冪函數(shù)是增函數(shù)，，所以，即a3?b3>0，C正確.故選C．【名師點睛】本題主要考查對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、冪函數(shù)的性質(zhì)及絕對值的意義，滲透了邏輯推理和運算能力素養(yǎng)，利用特殊值排除即可判斷．9．(2023年高考數(shù)學課標Ⅲ卷理科)設是定義域為的偶函數(shù)，且在單調(diào)遞減，則() A． B．C． D．答案：C【解析】是上的偶函數(shù)，．，又在(0，+∞)單調(diào)遞減，，，故選C．【點評】本題主要考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，考查學生轉(zhuǎn)化與化歸及分析問題解決問題的能力．由已知函數(shù)為偶函數(shù)，把，轉(zhuǎn)化為同一個單調(diào)區(qū)間上，再比較大小是解決本題的關鍵．10．【2019年高考北京理數(shù)】設函數(shù)（a為常數(shù)）．若f（x）為奇函數(shù)，則a=________；若f（x）是R上的增函數(shù)，則a的取值范圍是___________．答案：【解析】首先由奇函數(shù)的定義得到關于的恒等式，據(jù)此可得的值，然后利用可得a的取值范圍.若函數(shù)為奇函數(shù)，則即，即對任意的恒成立，則，得.若函數(shù)是R上的增函數(shù)，則在R上恒成立即在R上恒成立，又，則，即實數(shù)的取值范圍是.【名師點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性?單調(diào)性?利用單調(diào)性確定參數(shù)的范圍.解答過程中，需利用轉(zhuǎn)化與化歸思想，轉(zhuǎn)化成恒成立問題.注重重點知識?基礎知識?基本運算能力的考查.11.【2019年高考浙江】已知，函數(shù)，若存在，使得，則實數(shù)的最大值是___________.答案：【解析】存在，使得，即有，化，可得，即，由，可得.則實數(shù)的最大值是.【名師點睛】本題考查函數(shù)的解析式及二次函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的解析式可得，去絕對值化簡，結(jié)合二次函數(shù)的最值及不等式的性質(zhì)可求解.12．(2023年高考數(shù)學新課標Ⅰ卷理科)設為正數(shù),且,則 ()A．B． C． D．答案：D【解析】令,則,,,∴,則,,則,故選D．【點評】對于連等問題,常規(guī)的方法是令該連等為同一個常數(shù),在用這個常數(shù)表示出對應的,通過作差或作商進行比較大?。畬?shù)運算要記住對數(shù)運算中常見的運算法則,尤其是換底公式和與的對數(shù)表示．13．(2023高考數(shù)學課標Ⅲ卷理科)已知,,,則 ()A． B． C． D．答案：A【解析】因為,,故選A.14．(2023高考數(shù)學課標Ⅰ卷理科)若，則 ()(A)(B)(C)(D)答案：C 【解析】對A： 由于，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此，A錯誤；對B：由于，∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，∴，B錯誤；對C： 要比較和，只需比較和，只需比較和，只需和構(gòu)造函數(shù)，則，在上單調(diào)遞增，因此，又由得，∴，C正確，對D： 要比較和，只需比較和而函數(shù)在上單調(diào)遞增，故又由得，∴，D錯誤15．(2023高考數(shù)學新課標1理科)若函數(shù)=的圖像關于直線=－2對稱，則的最大值是______．答案：16【解析】由圖像關于直線=－2對稱，則0==，0==，解得=8，=15，∴=，∴===當∈(－∞,)∪(－2,)時，＞0，當∈(,－2)∪(,+∞)時，＜0，∴在（－∞，）單調(diào)遞增，在（，－2）單調(diào)遞減，在（－2，）單調(diào)遞增，在（，+∞）單調(diào)遞減，故當=和=時，取極大值，==16．講典例備高考函數(shù)的單調(diào)性與最大(小)值函數(shù)的單調(diào)性與最大(小)值單調(diào)函數(shù)的定義單調(diào)區(qū)間的定義素函數(shù)的最值單調(diào)性的判斷單調(diào)性的應用類型一、單調(diào)函數(shù)的定義基礎知識：1、單調(diào)函數(shù)的定義增函數(shù)減函數(shù)定義設函數(shù)f(x)的定義域為I，區(qū)間D?I，如果?x1，x2∈D當x1<x2時，都有f(x1)<f(x2)，那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增，此時稱f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)當x1<x2時，都有f(x1)>f(x2)，那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞減，此時稱f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)圖象描述自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的3、常用結(jié)論：(1)若?x1，x2∈D(x1≠x2)，則①eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0)?f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增．②eq\f(fx1－fx2,x1－x2)<0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0)?f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞減．(2)y＝x＋eq\f(1,x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，－1]和[1，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(－1,0)和(0,1)．(3)y＝ax＋eq\f(b,x)(a>0，b>0)的單調(diào)遞增區(qū)間為eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\r(\f(b,a))))和eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(b,a))，＋∞))，單調(diào)遞減區(qū)間為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\r(\f(b,a))，0))和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\r(\f(b,a)))).(4)在區(qū)間D上，兩個增函數(shù)的和仍是增函數(shù)，兩個減函數(shù)的和仍是減函數(shù)．(5)函數(shù)f(g(x))的單調(diào)性與函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)的單調(diào)性的關系是“同增異減”．4．注意事項：(1)單調(diào)區(qū)間只能用區(qū)間表示，不能用不等式表示．(2)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間或討論函數(shù)的單調(diào)性時，必須先求函數(shù)的定義域．(3)一個函數(shù)的同一種單調(diào)區(qū)間用“和”或“，”連接，不能用“∪”連接．(4)“函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是M”與“函數(shù)在區(qū)間N上單調(diào)”是兩個不同的概念，顯然N?M.(5)并非所有的函數(shù)都具有單調(diào)性．例如：函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，x為有理數(shù)，,0，x為無理數(shù)，))它的定義域為R，但不具有單調(diào)性．(6)單調(diào)區(qū)間D必為定義域的子集，所以函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì)．(7)對于區(qū)間端點，由于它的函數(shù)值是唯一確定的常數(shù)，沒有增減的變化，所以不存在單調(diào)性問題，因此在寫單調(diào)區(qū)間時，可以包括，也可以不包括．(8)函數(shù)y＝f(x)(f(x)>0)在公共定義域內(nèi)與y＝－f(x)，y＝eq\f(1,fx)的單調(diào)性相反．(9)開區(qū)間上的“單峰”函數(shù)一定存在最大值(最小值)．類型一、函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明1．（利用圖象判斷函數(shù)單調(diào)性）函數(shù)的圖象如圖所示，則（）A．函數(shù)在上單調(diào)遞增B．函數(shù)在上單調(diào)遞減C．函數(shù)在上單調(diào)遞減D．函數(shù)在上單調(diào)遞增答案：A【詳解】由圖像可知，圖像在上從左到右是“上升”的，則函數(shù)在上是單調(diào)遞增的；圖像在上從左到右是“下降”的，則函數(shù)在上是單調(diào)遞減的.2、（利用定義判斷函數(shù)單調(diào)性）證明函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)。證明:任取且---------------------------------------------------第一步：取值----------------------------------------------第二步：作差-------------------------------第三步：變形∵-1<x1<x2<1,∴|x1|<1,|x2|<1,x2-x1>0,即-1<x1x2<1,∴x1x2+1>0，-------------------------------第四步：定號因此，f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),此時函數(shù)為減函數(shù)--------------------------第五步：定論3、（利用定義判斷函數(shù)單調(diào)性）已知函數(shù)f(x)對于任意x，y∈R，總有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且當x＞0時，f(x)＜0，求證：f(x)在R上是減函數(shù)；證明：方法一：任取且-----------------------------------第一步：取值則＝f(x1－x2＋x2)－f(x2)-----------------------------------------第二步：作差＝f(x1－x2)＋f(x2)－f(x2)＝f(x1－x2)-------------------------------------------第三步：變形又∵x＞0時，f(x)＜0，而x1－x2＞0，∴f(x1－x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．-----------------------------------------------第四步：定號∴f(x)在R上為減函數(shù)．----------------------------------------------------第五步：定論方法二：∵函數(shù)f(x)對于任意x，y∈R總有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，∴令x＝y(tǒng)＝0，得f(0)＝0.再令y＝－x，得f(－x)＝－f(x)．在R上任取x1＞x2，則x1－x2＞0，＝f(x1)＋f(－x2)＝f(x1－x2)．又∵x＞0時，f(x)＜0，而x1－x2＞0，∴f(x1－x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．因此，f(x)在R上是減函數(shù)．【點評】對于抽象函數(shù)的單調(diào)性的判斷仍然要緊扣單調(diào)性的定義，結(jié)合題目所給性質(zhì)和相應的條件，對任意x1，x2在所給區(qū)間內(nèi)比較f(x1)－f(x2)與0的大小，或與1的大?。袝r根據(jù)需要，需作適當?shù)淖冃危喝鐇1＝x2·eq\f(x1,x2)或x1＝x2＋x1－x2等．4、（利用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性）已知函數(shù)f(x)＝2x－eq\f(a,x)－(a＋2)lnx(a∈R)．討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性．【解析】∵f(x)＝2x－eq\f(a,x)－(a＋2)lnx，則f′(x)＝2＋eq\f(a,x2)－eq\f(a＋2,x)＝eq\f(2x2－a＋2x＋a,x2)＝eq\f(2x－ax－1,x2).①當eq\f(a,2)≤0，即a≤0時，由f′(x)<0，得0<x<1，由f′(x)>0，得x>1，此時函數(shù)f(x)的減區(qū)間為(0,1)，增區(qū)間為(1，＋∞)；②當eq\f(a,2)＝1，即a＝2時，對任意的x>0，f′(x)≥0，此時函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；③當0<eq\f(a,2)<1，即0<a<2時，由f′(x)>0，得0<x<eq\f(a,2)或x>1，由f′(x)<0，得eq\f(a,2)<x<1，此時，函數(shù)f(x)的增區(qū)間為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(a,2)))，(1，＋∞)，減區(qū)間為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，1))；④當eq\f(a,2)>1，即a>2時，由f′(x)>0，得0<x<1或x>eq\f(a,2)，由f′(x)<0，得1<x<eq\f(a,2)，此時，函數(shù)f(x)的增區(qū)間為(0,1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，＋∞))，減區(qū)間為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(a,2))).綜上所述，當a≤0時，函數(shù)f(x)的減區(qū)間為(0,1)，增區(qū)間為(1，＋∞)；當0<a<2時，函數(shù)f(x)的增區(qū)間為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(a,2)))，(1，＋∞)，減區(qū)間為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，1))；當a＝2時，函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；當a>2時，函數(shù)f(x)的增區(qū)間為(0,1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，＋∞))，減區(qū)間為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(a,2))).【點評】(1)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，要依據(jù)參數(shù)對不等式解集的影響進行分類討論．(2)劃分函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，要在函數(shù)定義域內(nèi)討論，還要確定導數(shù)為零的點和函數(shù)的間斷點．【基本方法】1、利用定義證明函數(shù)單調(diào)性的步驟和變形技巧（1）五個步驟：取值------------------------設且作差-----------------------變形-----------------------對作差的結(jié)果進行變形定號-----------------------確定的符號定論-----------------------由與的大小關系及單調(diào)性的定義下結(jié)論（2）變形技巧：因式分解：當原函數(shù)是多項式函數(shù)時，常進行因式分解，通分：當原函數(shù)是分式函數(shù)時，作差后通分，然后對分子進行因式分解，分子有理化：當原函數(shù)是根式函數(shù)時，作差后往往考慮分子有理化。2、判斷函數(shù)的單調(diào)性和求單調(diào)區(qū)間的方法定義法一般步驟為設元—作差—變形—判斷符號—得出結(jié)論圖象法若f(x)是以圖象形式給出的，或者f(x)的圖象易作出，則可由圖象的上升或下降確定單調(diào)性導數(shù)法先求導數(shù)，再利用導數(shù)值的正負確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間性質(zhì)法對于由基本初等函數(shù)的和、差構(gòu)成的函數(shù)，根據(jù)各基本初等函數(shù)的增減性及“增＋增＝增，增－減＝增，減＋減＝減，減－增＝減”進行判斷復合法對于復合函數(shù)，先將函數(shù)f(g(x))分解成f(t)和t＝g(x)，然后討論(判斷)這兩個函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)復合函數(shù)“同增異減”的規(guī)則進行判斷提醒求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，應先求定義域，在定義域內(nèi)求解類型二、求函數(shù)的單調(diào)性區(qū)間基礎知識：1、單調(diào)區(qū)間的定義如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，那么就說函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間具有(嚴格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間．基本題型：1、（利用復合法求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間）函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為A． B．C． D．答案：A【解析】函數(shù)，則或，故函數(shù)的定義域為或，由是單調(diào)遞增函數(shù)，可知函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間即的單調(diào)減區(qū)間，當時，函數(shù)單調(diào)遞減，結(jié)合的定義域，可得函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為.故選A.【名師點睛】本題考查了復合函數(shù)的單調(diào)性，要注意的是必須在定義域的前提下，去找單調(diào)區(qū)間.2．（利用復合法求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間）定義在上的增函數(shù)，則函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是（）A． B． C． D．答案：A【詳解】函數(shù)可以寫成內(nèi)外層函數(shù)，，內(nèi)層函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，外層函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)，根據(jù)復合函數(shù)“同增異減”判斷單調(diào)性可知函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減.3．（利用圖象求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A． B．和C． D．和答案：B【詳解】，作出其圖象如圖所示：由圖象可知，函數(shù)的增區(qū)間為和.4．（利用導數(shù)法求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間）已知函數(shù)f(x)＝x2－5x＋2lnx，則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是________．答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))和(2，＋∞)【解析】由題可得，f′(x)＝2x－5＋eq\f(2,x)＝eq\f(2x2－5x＋2,x)(x>0)．令f′(x)＝eq\f(2x2－5x＋2,x)＝eq\f(2x－1x－2,x)>0(x>0)，解得x>2或0<x<eq\f(1,2).綜上所述，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))和(2，＋∞)．基本方法：1、判斷函數(shù)的單調(diào)性和求單調(diào)區(qū)間的方法定義法一般步驟為設元—作差—變形—判斷符號—得出結(jié)論圖象法若f(x)是以圖象形式給出的，或者f(x)的圖象易作出，則可由圖象的上升或下降確定單調(diào)性導數(shù)法先求導數(shù)，再利用導數(shù)值的正負確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間性質(zhì)法對于由基本初等函數(shù)的和、差構(gòu)成的函數(shù)，根據(jù)各基本初等函數(shù)的增減性及“增＋增＝增，增－減＝增，減＋減＝減，減－增＝減”進行判斷復合法對于復合函數(shù)，先將函數(shù)f(g(x))分解成f(t)和t＝g(x)，然后討論(判斷)這兩個函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)復合函數(shù)“同增異減”的規(guī)則進行判斷提醒求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，應先求定義域，在定義域內(nèi)求解2、確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟(1)確定函數(shù)f(x)的定義域；(2)求f′(x)；(3)解不等式f′(x)>0，解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞增區(qū)間；(4)解不等式f′(x)<0，解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞減區(qū)間．類型三、由函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的范圍基礎知識：1、若f(x)在定義域上(或某一區(qū)間上)是增(減)函數(shù)，x1，x2是定義域上(或該區(qū)間上)任意兩個自變量的值，則f(x1)<f(x2)?x1<x2(x1>x2)．2、已知可導函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增(或遞減)轉(zhuǎn)化為f′(x)≥0(或f′(x)≤0)對x∈D恒成立問題，要注意“＝”是否取到基本題型：1、已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且在區(qū)間上為減函數(shù)，若，求實數(shù)的取值范圍?！窘馕觥坑梢阎茫?，--------------轉(zhuǎn)化因為奇函數(shù)在對稱的區(qū)間上單調(diào)性相同，所以在R上單調(diào)遞減，------------------------定性則有------------------------------------------------------------------去“”解得--------------------------------------------------------------------------求解2、設定義在上的偶函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，若，求實數(shù)的取值范圍。【解析】由偶函數(shù)的定義知，所以原不等式可化為------轉(zhuǎn)化因為偶函數(shù)在對稱的區(qū)間上單調(diào)性相反，所以在上單調(diào)遞增----------------------定性-----------------------------------------------------------------去“”解得---------------------------------------------------------------------求解【點評】此類問題考察了函數(shù)單調(diào)性的應用：（1）正向應用：若在給定區(qū)間上是增函數(shù)，則有：當時，有；當時，有；（2）逆向應用：若在給定區(qū)間上是增函數(shù)，則有：當時，有；當時，有；【小結(jié)】利用奇偶性與單調(diào)性解抽不等式的步驟：（1）轉(zhuǎn)化：利用奇偶性把已知不等式轉(zhuǎn)化為的形式；（2）定性：確定已知函數(shù)的單調(diào)性，（3）去“”：根據(jù)單調(diào)性去掉“”，不等式轉(zhuǎn)化為或；（4）求解：解不等式（組）3．（以二次函數(shù)為情境命題）已知函數(shù)，若對任意，且，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．答案：C【詳解】因為對任意，且，不等式恒成立，所以在上是增函數(shù)，所以，解得，所以實數(shù)的取值范圍是，4．（以反比例函數(shù)為情境命題）函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．答案：D【詳解】，函數(shù)在遞減，而在遞增，故，解得：或，但，故，故的取值范圍是，，，5．（以分段函數(shù)為情境命題）已知函數(shù)，對于任意兩個不相等的實數(shù)，，都有不等式成立，則實數(shù)a取值范圍是（）A． B． C． D．答案：C【詳解】因為，所以在R上為單調(diào)遞增函數(shù)，當時，的圖象如圖所示：因為在R上為單調(diào)遞增函數(shù)，所以，當時，為增函數(shù)，所以，且在x=a處，解得，綜上，6．（以含絕對值函數(shù)為情境命題）已知函數(shù)，若對任意的，不等式恒成立，則實數(shù)t的取值范圍是（）A． B．C． D．答案：B【詳解】，函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，所以對，不等式恒成立，即不等式恒成立，令，，即又在上單調(diào)遞增，，所以實數(shù)t的取值范圍是7．（利用導數(shù)轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題）若函數(shù)f(x)＝x2－ax＋lnx在區(qū)間(2，e)上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)，＋∞)) B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(9,2)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(9,2)，e2＋1)) D．[e2＋1，＋∞)答案：B【詳解】因為函數(shù)f(x)＝x2－ax＋lnx在區(qū)間(2，e)上單調(diào)遞增，所以f′(x)＝2x－a＋eq\f(1,x)≥0在(2，e)上恒成立，即a≤2x＋eq\f(1,x)在(2，e)上恒成立，令g(x)＝2x＋eq\f(1,x)，x∈(2，e)，因為g′(x)＝2－eq\f(1,x2)>0在x∈(2，e)上恒成立，所以g(x)在(2，e)上單調(diào)遞增，又g(2)＝eq\f(9,2)，所以a≤eq\f(9,2)，即a∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(9,2))).8、（利用導數(shù)轉(zhuǎn)化為不等式能成立問題）若f(x)＝ax2＋x－lnx存在增區(qū)間，則實數(shù)a的取值范圍為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,4))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，＋∞))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,8)，＋∞)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,8)))答案：C【詳解】若函數(shù)f(x)不存在增區(qū)間，則函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，此時f′(x)＝2ax＋1－eq\f(1,x)≤0在區(qū)間(0，＋∞)恒成立，可得2a≤eq\f(1,x2)－eq\f(1,x)，由eq\f(1,x2)－eq\f(1,x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－\f(1,2)))2－eq\f(1,4)≥－eq\f(1,4)，可得a≤－eq\f(1,8)，故函數(shù)f(x)存在增區(qū)間時，實數(shù)a的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,8)，＋∞)).9．（利用單調(diào)性進行轉(zhuǎn)化）已知函數(shù)的定義域為，且對于，都有（），則不等式的解集為______.答案：【詳解】因為函數(shù)的定義域為，且對于，都有，（），所以函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，由，可得，解得所以不等式的解集為.基本方法：1、利用函數(shù)的單調(diào)性求解不等式的方法在解決“與抽象函數(shù)有關的不等式”問題時，可通過“脫去”函數(shù)符號“f”化為一般不等式求解，但必須在同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)進行．需要說明的是，若不等式一邊沒有“f”，而是常數(shù)，則應將常數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)值．如若已知0＝f(1)，f(x－1)<0，則f(x－1)<f(1)．2、利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的策略(1)視參數(shù)為已知數(shù)，依據(jù)函數(shù)的圖象或單調(diào)性定義，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，與已知單調(diào)區(qū)間比較求參數(shù)．(2)需注意若函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是單調(diào)的，則該函數(shù)在此區(qū)間的任意子集上也是單調(diào)的．(3)分段函數(shù)的單調(diào)性需要分段研究，既要保證每一段函數(shù)的單調(diào)性，還要注意每段端點值的大?。?、解決分段函數(shù)的單調(diào)性問題常不會對分段點左右兩端函數(shù)的單調(diào)性進行分析，對函數(shù)的單調(diào)性理解不夠透徹．對于分段函數(shù)的單調(diào)性，要考慮分段點左右單調(diào)性一致，注意端點處的銜接情況．類型四、函數(shù)的最值基礎知識：前提設函數(shù)y＝f(x)的定義域為I，如果存在實數(shù)M滿足條件?x∈I，都有f(x)≤M；?x0∈I，使得f(x0)＝M?x∈I，都有f(x)≥M；?x0∈I，使得f(x0)＝M結(jié)論M為最大值M為最小值基本題型：1．（利用換元法求最值）已知函數(shù)，則函數(shù)有（）A．最小值1，無最大值 B．最大值，無最小值C．最小值，無最大值 D．無最大值，無最小值答案：C【詳解】因為，令，所以，所以，因為的對稱軸為，所以在上遞增，所以，無最大值，所以的最小值為，無最大值，2、（利用單調(diào)性求最值）已知a>0，設函數(shù)f(x)＝eq\f(2018x＋1＋2016,2018x＋1)(x∈[－a，a])的最大值為M，最小值為N，那么M＋N＝()A．2016 B．2018C．4032 D．4034答案：D【解析】由題意得f(x)＝eq\f(2018x＋1＋2016,2018x＋1)＝2018－eq\f(2,2018x＋1)。因為y＝2018x＋1在[－a，a]上是單調(diào)遞增的，所以f(x)＝2018－eq\f(2,2018x＋1)在[－a，a]上是單調(diào)遞增的，所以M＝f(a)，N＝f(－a)，所以M＋N＝f(a)＋f(－a)＝4036－eq\f(2,2018a＋1)－eq\f(2,2018－a＋1)＝4034。3、（利用單調(diào)性求最值）下列關于函數(shù)的說法正確的是（）A．當時，此函數(shù)的最大值為1，最小值為2a+1B．當時，此函數(shù)的最大值為2a+1，最小值為1C．當時，此函數(shù)的最大值為1，最小值為2a+1D．當時，此函數(shù)的最大值為2a+1，最小值為1答案：AD【詳解】當時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，當時，函數(shù)取得最大值為1；當時，函數(shù)取得最小值為．當時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，當時，函數(shù)取得最小值為1，當時，函數(shù)取得最大值為．4．（利用基本不等式求最值）函數(shù)（）的最小值為（）A． B． C． D．答案：B【詳解】因為，所以，所以，當且僅當，即時取等號，所以函數(shù)（）的最小值為，5、（利用圖象求最值）對于任意實數(shù)a，b，定義min{a，b}＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，a≤b，,b，a>b.))設函數(shù)f(x)＝－x＋3，g(x)＝log2x，則函數(shù)h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是________．答案：1【解析】在同一坐標系中作出函數(shù)f(x)，g(x)的圖象，依題意，h(x)的圖象如圖中實線所示．易知點A(2,1)為圖象的最高點，因此h(x)的最大值為h(2)＝1.6．（利用導數(shù)求最值）函數(shù)f(x)＝|2x－1|－2lnx的最小值為________．答案：1【解析】當x＞eq\f(1,2)時，f(x)＝2x－1－2lnx，f′(x)＝2－eq\f(2,x)＝eq\f(2x－2,x).令f′(x)＞0，得x＞1，令f′(x)＜0，得eq\f(1,2)＜x＜1，所以f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，所以f(x)min＝f(1)＝1.當0＜x≤eq\f(1,2)時，f(x)＝1－2x－2lnx，f′(x)＝－2－eq\f(2,x)＝eq\f(－2x－2,x)＜0，所以f(x)在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))上單調(diào)遞減，所以f(x)min＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝－2lneq\f(1,2)＝2ln2＞1.所以f(x)的最小值為1.基本方法：1、求函數(shù)最值的5種常用方法單調(diào)性法先確定函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性結(jié)合端點值求最值圖象法先作出函數(shù)的圖象，再觀察其最高點、最低點，求出最值基本不等式法先對解析式變形，使之具備“一正二定三相等”的條件，然后用基本不等式求出最值導數(shù)法先求出導函數(shù)，然后求出在給定區(qū)間上的極值，最后結(jié)合端點值，求出最值換元法對于比較復雜的函數(shù)，可通過換元轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)，再用相應的方法求最值2、求函數(shù)f(x)在[a，b]上的最值的方法(1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增(或遞減)，則f(a)為最小(大)值，f(b)為最大(小)值．(2)若函數(shù)在區(qū)間[a，b]內(nèi)有極值，則要先求出函數(shù)在(a，b)內(nèi)的極值，再與f(a)，f(b)比較，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成．(3)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上有唯一一個極值點，這個極值點就是最大(或最小)值點，此結(jié)論在導數(shù)的實際應用中經(jīng)常用到．類型五、利用最值求參數(shù)的值或范圍基礎題型：1．（多選題）已知函數(shù)，當時，y取得最小值b，則（）A． B． C． D．答案：AD【詳解】，因為，所以，所以，當且僅當，即時，等號成立，此時.2．函數(shù)在區(qū)間上既有最大值又有最小值，則實數(shù)a的取值范圍是（）A． B．C． D．答案：D【詳解】由題意，函數(shù)，函數(shù)的圖象開口朝下，對稱軸為，函數(shù)的圖象開口朝上，對稱軸為，當時，，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，不合題意；當時，作出函數(shù)圖象，如圖，易得函數(shù)在區(qū)間上無最值；當，作出函數(shù)圖象，如圖，若要使函數(shù)在區(qū)間上既有最大值又有最小值，則即，解得；綜上，實數(shù)a的取值范圍是.3．（多選題）已知函數(shù)，若的最小值為，則實數(shù)的值可以是（）A．1 B． C．2 D．4答案：BCD【詳解】由題意可得二次函數(shù)的對稱軸，且在上恒成立，所以在上恒成立，因為，當且僅當時，等號成立，即在上的最小值為，所以，解得.4．已知函數(shù)f(x)＝－eq\f(1,3)x3＋x在(a,10－a2)上有最大值，則實數(shù)a的取值范圍是________．答案：[－2,1)【解析】由f′(x)＝－x2＋1，知f(x)在(－∞，－1)上單調(diào)遞減，在[－1,1]上單調(diào)遞增，在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，故函數(shù)f(x)在(a,10－a2)上存在最大值的條件為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<1，,10－a2>1，,f1≥fa，))其中f(1)≥f(a)，即為－eq\f(1,3)＋1≥－eq\f(1,3)a3＋a，整理得a3－3a＋2≥0，即a3－1－3a＋3≥0，即(a－1)(a2＋a＋1)－3(a－1)≥0，即(a－1)(a2＋a－2)≥0，即(a－1)2(a＋2)≥0，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<1，,10－a2>1，,a－12a＋2≥0，))解得－2≤a<1.新預測破高考1．下列四個函數(shù)中，在上為增函數(shù)的是（）．A． B． C． D．答案：C【詳解】是上的減函數(shù)；在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)；在上遞減，在上遞增，因此在上也遞增；的定義域是，而．2．下列函數(shù)中，最大值為的是（）A． B．C． D．答案：C【詳解】由于，因此無最大值，A錯；，最小值為0，最大值為1，B錯；，，無最大值，D錯，只有C正確、3、已知是定義在上的減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．答案：A分析：由函數(shù)的單調(diào)性，得到每段都是單調(diào)遞減，并注意分界點處的取值，列出不等式求解，即可得出結(jié)果.【詳解】因為函數(shù)是上的減函數(shù)，所以，解得.4、若函數(shù)在區(qū)間[1,5]上單調(diào)遞增，則m的取值范圍為（）A．[﹣2,+∞) B．(﹣∞,﹣2] C．[﹣10,+∞) D．(﹣∞,﹣10]答案：A【詳解】由題意，函數(shù)的圖象為開口朝上的拋物線，且對稱軸，因為函數(shù)在區(qū)間[1,5]上單調(diào)遞增，所以，解得，所以m的取值范圍為.5．函數(shù)f(x)＝eq\f(lnx,x2)的最大值為()A.eq\f(1,e) B.eq\f(1,2e)C．e D．0答案：B【詳解】由題得f′(x)＝eq\f(\f(1,x)·x2－2x·lnx,x4)＝eq\f(1－2lnx,x3)(x>0)．令f′(x)>0，解得0<x<eq\r(e)；令f′(x)<0，解得x>eq\r(e).所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，eq\r(e))，單調(diào)遞減區(qū)間為(eq\r(e)，＋∞)，所以函數(shù)f(x)＝eq\f(lnx,x2)的最大值f(eq\r(e))＝eq\f(ln\r(e),e)＝eq\f(1,2e).故選B.6．若函數(shù)與在區(qū)間上都是減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（）A．B． C． D．答案：B【詳解】函數(shù)的圖象開口朝下，且以直線為對稱軸，若在區(qū)間上是減函數(shù)，則的圖象由的圖象左移一個單位得到，若在區(qū)間上是減函數(shù)，則綜上可得：的取值范圍是.7．若函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，則實數(shù)（）A． B． C． D．或答案：B【詳解】函數(shù)，即，，當時，不成立；當，即時，在遞減，可得為最大值，即，解得成立；當，即時，在遞增，可得為最大值，即，解得不成立；綜上可得．8、已知函數(shù)的定義域為,為偶函數(shù)，且對，滿足.若，則不等式的解集為A． B．C． D．答案：A【解析】因為對，滿足，所以當時，是單調(diào)遞減函數(shù)，又因為為偶函數(shù)，所以關于直線對稱，所以函數(shù)當時，是單調(diào)遞增函數(shù)，又因為，所以有，當，即當時，；當，即當時，，綜上所述：不等式的解集為.9、已知是偶函數(shù)，在上單調(diào)遞減，，則的解集是A． B．C． D．答案：D【解析】因為是偶函數(shù)，所以的圖象關于直線對稱，因此，由得，又在上單調(diào)遞減，則在上單調(diào)遞增，所以，當即時，由得，所以，解得；當即時，由得，所以，解得，因此，的解集是.10．已知二次函數(shù)f(x)滿足f(2＋x)＝f(2－x)，且f(x)在[0,2]上是增函數(shù)，若f(a)≥f(0)，則實數(shù)a的取值范圍是()A．[0，＋∞) B．(－∞，0]C．[0,4] D．(－∞，0]∪[4，＋∞)答案：C【解析】由f(2＋x)＝f(2－x)可知，函數(shù)f(x)圖象的對稱軸為x＝eq\f(2＋x＋2－x,2)＝2，又函數(shù)f(x)在[0,2]上單調(diào)遞增，所以由f(a)≥f(0)可得0≤a≤4.11．（多選題）定義一種運算.設（為常數(shù)），且，則使函數(shù)最大值為4的值可以是（）A．-2 B．6 C．4 D．-4答案：AC【詳解】在，上的最大值為5，所以由，解得或，所以時，，所以要使函數(shù)最大值為4，則根據(jù)定義可知，當時，即時，，此時解得，符合題意；當時，即時，，此時解得，符合題意；故或4，12．已知a>，則函數(shù)f(x)=x2+|x-a|的最小值是（）A．a(chǎn)2+1 B．a(chǎn)+C．a(chǎn)- D．a(chǎn)-答案：D【詳解】函數(shù)f(x)=x2+|x-a|=當x≥a>時，函數(shù)f(x)=x2+x-a的對稱軸方程為x=-，函數(shù)在[a，+∞)上單調(diào)遞增，其最小值為a2；當x<