七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)平行線四大模型專項(xiàng)訓(xùn)練（40道）（舉一反三）（人教版）

專題5.3平行線四大模型專項(xiàng)訓(xùn)練（40道）

【人教版】

考卷信息：

本套訓(xùn)練卷共40題，題型針對(duì)性較高，覆蓋面廣，選題有深度，涵蓋了平行線四大模型的

綜合問題的所有類型！

1.（2022?湖南?永州市劍橋?qū)W校七年級(jí)階段練習(xí)）如圖所示，/四2,01=105°,回2=140。,

則回3的度數(shù)為（）

A.55°B.60°C.65°D.70°

【答案】C

【分析】首先過點(diǎn)A作ABM，由/曲小即可得助回勿然后根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角

互補(bǔ)，即可求得回4與自5的度數(shù)，又由平角的定義，即可求得回3的度數(shù).

【詳解】解：

過點(diǎn)A作A8困/,

跖取，

0ABM皿2,

團(tuán)團(tuán)1+回4=180。,團(tuán)2+團(tuán)5=180。，

團(tuán)團(tuán)1=105。,回2=140°,

團(tuán)團(tuán)4二75。,團(tuán)5=40。，

團(tuán)團(tuán)4+團(tuán)5+明二180。，

肥13=65°.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握平行線的性質(zhì).

2.（2022?貴州六盤水?七年級(jí)期中）如圖所示，若AB回EF,用含a、0、y的式子表示％,應(yīng)

為（）

A.a+S+yB.S+y—aC.180°—a—y+/?D.180°+a13—y

【答案】C

【分析】過C作CDI3AB,過M作MNEIEF,推出ABI3CD回MNE1EF,根據(jù)平行線的性質(zhì)得出

a+0BCD=18O°,fflDCM=BCMN,ENMF=y,求出回BCD=180°-a,0DCM=0CMN=^5-y,即可得出答

案.

【詳解】過C作CD0AB,過M作MN0EF,

0AB0EF,

0AB0CD0MN0EF,

回a+EIBCD=180°,E1DCM=EICMN,ElNMF=y,

E0BCD=18O°-a,0DCM=0CMN=^-y,

Ex=fflBCD+0DCM=18O°-a-y+￡,

故選：C.

B

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查了學(xué)生的推理能力.

3.（2022?甘肅?北京師范大學(xué)慶陽實(shí)驗(yàn)學(xué)校七年級(jí)期中）如圖，如果ABIICZ）,那么回2十回廠

【答案】540

【分析】過點(diǎn)E作EMIICD,過點(diǎn)/作FNIICD,再根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)即可作答.

【詳解】過點(diǎn)E作EMIIC。，過點(diǎn)/作FNIICD,如圖，

D

AB

0XFIICD,EMWCD,FN\\CD,

EIABIIFN,EM\\FN,

038+回887=180°,^FEM+^\EFN=180°,0￡>+0Z)EM=18O°,

^\DEF^DEM^FEM9團(tuán)二團(tuán)8F7V+回EFN,

團(tuán)團(tuán)3+團(tuán)3FE+團(tuán)DEF+團(tuán)。二團(tuán)3+團(tuán)5/N+團(tuán)尸EM+B1EFN+回。+回。EM=540。，

故答案為：540.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，即兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ).構(gòu)造輔助線EMIIC。,

FNWCD是解答本題的關(guān)鍵.

4.（2022?全國?七年級(jí)專題練習(xí)）如圖所示，AB//CD,NABE與NCDE的角平分線相較于點(diǎn)

F,ZF=8O°,求NBFD的度數(shù).

B

E

C--------------------

D

【答案】/-BFD=140°.

【分析】先設(shè)N4BE=2x,乙CDE=2y,由題意的NABF=NFBE=x,Z.EDF=Z.CDF=y,

題意得到x+y=140°；由側(cè)M圖ABFDC知，乙BFD=Z.ABF+乙CDF=x+y=140°.

【詳解】設(shè)乙4BE=2久，ACDE=2y,

■.N4BE與NCDE的角平分線相交于點(diǎn)F,

Z.ABF=Z.FBE=x,乙EDF=Z.CDF=y,

由筆尖圖4BEDC知，/.ABE+Z.E+Z.CDE=360°,

即2x+80°+2y=360°,x+y=140°,

由側(cè)M圖4BFDC知，4BFD=Z.ABF+乙CDF=久+y=140°.

【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)和角平分線，解題的關(guān)鍵是設(shè)N4BE=2x,/.CDE=2y,

并由題意得到x,y的關(guān)系式.

5.（2022?全國?七年級(jí)專題練習(xí)）已知如圖所示，AB//CD,UBE=34DCE,乙DCE=28°,

求NE的度數(shù).

【答案】56。.

【分析】由平行線的性質(zhì)可知乙489=乙DFE,由三角形鄰補(bǔ)角可得4E=/.ABE-乙DCE,

帶入題干信息即可得出答案.

【詳解】由平行線的性質(zhì)可知N4BF=NDFE,由三角形鄰補(bǔ)角以及鳥嘴圖DCEFBA知NE=

/.ABE-Z.DCE=3x28°—28°=56°.

【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，知道同位角相等時(shí)解題的關(guān)鍵.

6.（2022?全國?七年級(jí)）⑴問題情景：如圖1,AB//CD,回以8=130。，&PCD=12O°,求0Ape

的度數(shù).

小明想到一種方法，但是沒有解答完：

如圖2,過尸作PE//AB,0a4P￡+0P4B=18O°,

EHAPE=180°-回以8=180°-130°=50°

0AB//C￡）,0PE“CD.

請(qǐng)你幫助小明完成剩余的解答.

(2)問題遷移：請(qǐng)你依據(jù)小明的解題思路，解答下面的問題：

如圖3,AD//BC,當(dāng)點(diǎn)P在A、8兩點(diǎn)之間時(shí)，EL4DP=0a,0BCP=0p,貝帆CP。，Ela,郵之

間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由.

【答案】⑴110°,見解析；(2)國CPD=回a+郵，理由見解析

【分析】⑴過P作構(gòu)造同旁內(nèi)角，通過平行線性質(zhì)，可得EIAPCMSOO+GO-EIO。

⑵過P作PE0AD交C。于E點(diǎn)，推出AIXiPESBC,根據(jù)平行線性質(zhì)得到13a=EIOPE,0P=0CPE,

即可得出答案.

【詳解】解：⑴剩余過程：ECPE+0PCD=18O°,

團(tuán)團(tuán)CPE=180°-120°=60°

0APC=5O°+6O°=11O°；

(2)EICPD=0a+0P，理由如下：

如下圖，過尸作PEBAD交CD于點(diǎn)E,

0AD0PE08C,

E0a=EZ)P￡,0P=0CP￡

EEICPD=0￡>PE+[3CPE=0a+0p.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考察學(xué)生的推理能力，解決問題的關(guān)

鍵是作輔助線構(gòu)造內(nèi)錯(cuò)角以及同旁內(nèi)角.

7.(2022?全國?七年級(jí)專題練習(xí))如圖1,四邊形MNBD為一張長方形紙片.

(1)如圖2,將長方形紙片剪兩刀，剪出三個(gè)角QB4E、4EC、NECD),貝UNBAE+乙4EC+

乙ECD=__________

(2)如圖3,將長方形紙片剪三刀，剪出四個(gè)角(4&4E、乙Z.EFC,NFCD),則NB4E+

N4EF+乙EFC+Z.FCD=°.

(3)如圖4,將長方形紙片剪四刀，剪出五個(gè)角C^BAE,^AEF,乙EFG、乙FGC、乙GCD),

則NBAE+/.AEF+乙EFG+ZFGC+乙GCD=°.

(4)根據(jù)前面探索出的規(guī)律，將本題按照上述剪法剪九刀，剪出(n+1)個(gè)角，那么這5+1)

個(gè)角的和是°，

【答案】(1)360；(2)540；(3)720；(4)180n.

【分析】(1)過點(diǎn)E作EH回AB,再根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)即可得到三個(gè)角的和等

于180。的2倍；

(2)分別過E、F分別作AB的平行線，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)即可得到四個(gè)角的

和等于180。的三倍；

(3)分別過E、F、G分別作AB的平行線，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)即可得到四個(gè)

角的和等于180。的三倍；

(4)根據(jù)前三問個(gè)的剪法，剪n刀，剪出n+1個(gè)角，那么這n+1個(gè)角的和是180n度.

【詳解】(1)過E作EHEIAB(如圖②).

團(tuán)原四邊形是長方形，

0AB0CD,

又EIEHI3AB,

0CD0EH(平行于同一條直線的兩條直線互相平行).

0EHEAB,

00A+E1=18O°(兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)).

0CDEIEH,

甌2+恥=180。(兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)).

fflA+ffll+EI2+0C=36O°,

X0I31+02=0AEC,

H3BAE+回AEC+E1ECD=36O°；

(2)分別過E、F分別作AB的平行線，如圖③所示,

用上面的方法可得EIBAE+iaAEF+EIEFC+[3FCD=540°；

(3)分別過E、F、G分別作AB的平行線，如圖④所示,

用上面的方法可得I3BAE+EIAEF+EIEFG+I2FGC+EIGCD=72O°；

(4)由此可得一般規(guī)律：剪n刀，剪出n+l個(gè)角，那么這n+1個(gè)角的和是180n度.

故答案為：(1)360；(2)540；(3)720；(4)180n.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和，作平行線并利用兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)是解

本題的關(guān)鍵，總結(jié)規(guī)律求解是本題的難點(diǎn).

8.(2022?安徽合肥?七年級(jí)期末)問題情景：如圖1,AB0CD,0B4B=14O°,0PCD=135°,

求0APC的度數(shù).

(1)麗麗同學(xué)看過圖形后立即口答出：0Ape=85。，請(qǐng)補(bǔ)全她的推理依據(jù).

如圖2,過點(diǎn)尸作尸

因?yàn)锳施。，所以PE0CD()

所以0A+0APE=18O°,EIC+EICP￡=180o.()

因?yàn)榛豰8=140°,回PCD=135°,所以0APE=4O°,0CPE=45°,

0APC=0AP￡+0CP￡=85°.

問題遷移：

(2)如圖3,ADB\BC,當(dāng)點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，SADP=Sa,勖3=冊(cè)，求回CPD

與國a、班之間有什么數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由.

（3）在（2）的條件下，如果點(diǎn)P在A、2兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)P與點(diǎn)A、B、。三點(diǎn)不重

合），請(qǐng)直接寫出回CPD與國a、冊(cè)之間的數(shù)量關(guān)系.

【答案】（1）平行于同一條直線的兩條直線平行（或平行公理推論），兩直線平行，同旁

內(nèi)角互補(bǔ)；（2）NCP。=za+N￡,理由見解析；（3）乙CPD=乙0—4a或乙CPD=La—乙B

【分析】（1）根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)填寫即可；

（2）過尸作P￡HA￡）交CD于E,推出AZMP￡ERC,根據(jù)平行線的性質(zhì)得出刖=回￡）尸￡,第=EICPE,

即可得出答案；

（3）畫出圖形（分兩種情況①點(diǎn)尸在54的延長線上，②點(diǎn)尸在的延長線上），根據(jù)

平行線的性質(zhì)得出12aE^=0CPE,即可得出答案.

【詳解】解：（1）如圖2,過點(diǎn)P作

圖2

因?yàn)閳F(tuán)CD,所以PS3CD.（平行于同一條直線的兩條直線平行）

所以0A+0APE=18O。，0C+0CPE=18O°.（兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)）

因?yàn)閳F(tuán)出8=：140°,I3PCD=135°,

所以HAPEndO。，EICPE=45°,

SAPC=SAPE+^\CPE=85°.

故答案為：平行于同一條直線的兩條直線平行；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ);

（2）SCPD^a+sp,理由如下：

如圖3所示，過尸作PEI3AD交CD于E,

M

圖3

[ZAMBC,

國4D0PE0BC,

團(tuán)團(tuán)。二回。尸E,0yff=0CPE,

團(tuán)團(tuán)。尸。二團(tuán)。尸￡1+團(tuán)。尸氏加+冊(cè)；

（3）當(dāng)P在BA延長線時(shí)，如圖4所示:

同（2）可知：^a=^DPE,明二團(tuán)CPE,

團(tuán)團(tuán)CPD二船-團(tuán)a；

當(dāng)P在A8延長線時(shí)，如圖5所示：

同（2）可知：回a二回。尸石，附二團(tuán)CPE,

團(tuán)團(tuán)CPD二回a-毆.

綜上所述，回。尸。與加、船之間的數(shù)量關(guān)系為：回CPD二冊(cè)-加或團(tuán)CPIMkx-［邪.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定定理，正確作出輔助線是解答此題的關(guān)鍵.

【模型2“豬蹄”模型】

模型二“豬蹄”模型（〃模型）

結(jié)論1：蘢AB"CD，則/斤

結(jié)論2：若/a=//a0+則/〃夕〃a

9.（2022,全國?七年級(jí)）如圖所示，直角三角板的60。角壓在一組平行線上，4BIICD,乙ABE=

40°,貝ijNEDC=度.

【答案】20

【分析】如圖（見詳解），過點(diǎn)E作EFIIHB,先證明4BIIEFIICD,再由平行線的性質(zhì)定理

得至UNABE=4BEF=40°,Z.EDC=Z.DEF,結(jié)合已知條件/BED=60。即可得至lj.

【詳解】解：由題意可得：/.BED=60°.

如圖，過點(diǎn)E作EFII4B,

又回2B||CD,

SABWEFWCD,

^\Z-ABE=乙BEF=40°,乙EDC=乙DEF,

^BED=60°,

^\Z-DEF+Z-BEF=60°,

^DEF=20°,

即：Z.EDC=20°.

故答案為：20.

【點(diǎn)睛】本題重點(diǎn)考查了平行線的性質(zhì)定理的運(yùn)用.從“基本圖形"的角度看，本題可以看作

是“防，型的簡單運(yùn)用.解法不唯一，也可延長班交于點(diǎn)G,結(jié)合三角形的外角定理來

解決；或連結(jié)結(jié)合三角形內(nèi)角和定理來解決.

10.(2022?河南平頂山?八年級(jí)期末)如圖：

圖1

(1)如圖1,ABWCD,N4BE=45。，乙CDE=21。,直接寫出NBED的度數(shù).

(2)如圖2,ABIICD,點(diǎn)E為直線AB,CD間的一點(diǎn)，BF平分N2BE,OF平分NCDE,寫出NBED

與NF之間的關(guān)系并說明理由.

(3)如圖3,AB與CD相交于點(diǎn)G,點(diǎn)、E為乙BGD內(nèi)一點(diǎn),BF平分NABE,DF平分NCDE,若乙BGD=

60°,Z.BFD=95°,直接寫出NBED的度數(shù).

【答案】⑴EIBE￡>=66°；

(2)0BED=20F,見解析;

(3)0BED的度數(shù)為130°.

【分析】(1)首先作ER3AB,根據(jù)直線ABEICZ),可得￡7迥CD所以&42石=回1=45。，

0C￡)E=02=21°,據(jù)此推得團(tuán)8￡?=01+02=66°；

(2)首先作EG0AB,延長交8F于點(diǎn)H,利用三角形的外角性質(zhì)以及角平分線的定義即

可得至1］回8￡。=2回下；

(3)延長DF交A8于點(diǎn)兒延長GE到/,利用三角形的外角性質(zhì)以及角平分線的定義即可

得到鼬ED的度數(shù)為130°.

(1)

解：(1)如圖，作ER3AB,

團(tuán)直線AB5\CD,

^EF^CD,

EHABE=EI1=45°,ECDE=02=21°,

aaB￡D=IM+EI2=66°；

(2)

解：0BED=2.EF,

理由是：過點(diǎn)E作EG〃AB,延長DE交BF于點(diǎn)H,

^AB//CD,SAB//CD//EG,

回回5=回工+回2,06=回3+04,

又EIBF平分I3A8E,DF平分團(tuán)CDE,

032=02,03=04,貝1|回5=2回2,06=203,

038￡。=2(02+團(tuán)3),

X0F+03=0BHD,0BHD+02.=0BED,

E034-02.+E]F=0BED,

綜上I3BED=I3F+12EI8ED,即回BED=2I3F；

(3)

團(tuán)團(tuán)BGZ)=60°,

ffl3=EH4-EBGD=01+6Oo,國8尸0=02+國3=02+國工+60。=95。,

12團(tuán)2+團(tuán)工=35。，BP2(02.4-01)=70",

IBBF平分蜘8E,OF平分團(tuán)CDE,

回附8￡=202,ECDE=201,

00BE/=EL4BE+I33GE=2I32+回BGE,0DE/=0CDE+0DGE=2[ai+0DG￡,

00BED=08E/+0D￡/=2([?l2.+01)+([?]BGE+0r)GE)=7O°+6Oo=13Oo,

006ED的度數(shù)為130°.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)等知識(shí)，掌握平行線的判定和

性質(zhì)，正確添加輔助線是解題關(guān)鍵.

11.(2022?江蘇常州?七年級(jí)期中)問題情境：如圖①，直線ABIICD,點(diǎn)E,尸分別在直線

⑴猜想：若=130°,42=150°,試猜想AP=。；

(2)探究：在圖①中探究Nl,42,NP之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

⑶拓展：將圖①變?yōu)閳D②，若41+N2=325。，/.EPG=75°,求NPGF的度數(shù).

【答案】⑴80。

(2)zP=360°-zl-z2；證明見詳解

⑶140°

【分析】(1)過點(diǎn)P作MNII4B,利用平行的性質(zhì)就可以求角度，解決此問；

(2)利用平行線的性質(zhì)求位置角的數(shù)量關(guān)系，就可以解決此問；

(3)分別過點(diǎn)P、點(diǎn)G作MNIIAB、KRWAB,然后利用平行線的性質(zhì)求位置角的數(shù)量關(guān)系即

可.

(1)

解：如圖過點(diǎn)P作MNII4B,

0XFHCD,

^\AB\\MN\\CD.

0Z1+/.EPN=180°,

乙2”FPN=180°.

0Z1=130°,z2=150°,

0Z1+Z2+Z.EPN+乙FPN=360°

國乙EPN+FPN=360°-130°-150°=80°.

團(tuán)4P=乙EPN+乙FPN,

00P=8O°.

故答案為：80°；

(2)

解：Z.P=360°-zl-z2,理由如下：

如圖過點(diǎn)尸作MNIMB,

財(cái)B||CD,

^1AB\\MN\\CD.

團(tuán)41+乙EPN=180°,

42+乙FPN=180°.

團(tuán)41+22+乙EPN+乙FPN=360°

國乙EPN+乙FPN=乙P,

乙P=360°-zl-z2.

(3)

如圖分別過點(diǎn)P、點(diǎn)G作MNII48、KRWAB

^AB\\MN\\KR\\CD.

團(tuán)41+(EPN=180°,

乙NPG+乙PGR=180°,

/.RGF+Z2=180°.

EZ1+Z.EPN+乙NPG+乙PGR+RGF+z2=540°

0ZFPG=乙EPN+4NPG=75°,

4PGR+乙RGF=4PGF,

Z1+Z2=325°,

回“GF+Z1+Z2+乙EPG=540°

0ZPGF=540°-325°-75°=140°

故答案為：140°.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)定理，準(zhǔn)確的作出輔助線和正確的計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵.

12.(2022?山東聊城?七年級(jí)階段練習(xí))已知直線A8〃CD跖是截線，點(diǎn)M在直線A3、

之間.

(1)如圖1,連接GM,HM.求證：EIM=EIAGM+0CHM；

(2)如圖2,在EIGHC的角平分線上取兩點(diǎn)M、Q,使得她GM=EI//G。.試判斷EIM與回GQ8

之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

【答案】⑴證明見詳解

(2)ZG(?H=180°-ZM；理由見詳解

【分析】(1)過點(diǎn)M作MNII4B,由力BIICD,可知MN||4B||CD.由此可知：4AGM=4GMN,

乙CHM=乙HMN,故乙4GM+乙CHM=4GMN+乙HMN=^M；

(2)由(1)可知N4GM+乙CHM=￡M.再由NCHM=乙GHM,^AGM=^HGQ,可知：乙M=

乙HGQ+乙GHM,利用三角形內(nèi)角和是180。，可得NGQH=180。一NM.

(1)

圖1

解：如圖：過點(diǎn)M作MNIIAB,

SMNWABWCD,

回乙4GM=4GMN,乙CHM=Z.HMN,

回NM=4GMN+乙HMN,

回NM="GM+NCHM.

(2)

解：AGQH=180°-ZM,理由如下:

如圖：過點(diǎn)M作MNII4B,

由(1)知Z_M=N4GM+NCHM,

EIHM平分NGHC,

S/.CHM=乙GHM,

^BAGM^HGQ,

0ZM=乙HGQ4-乙GHM,

團(tuán)NHGQ+乙GHM+乙GQH=180°,

回NGQH=180°-ZM.

【點(diǎn)睛】本題考查了利用平行線的性質(zhì)求角之間的數(shù)量關(guān)系，正確的作出輔助線是解決本題

的關(guān)鍵，同時(shí)這也是比較常見的幾何模型"豬蹄模型"的應(yīng)用.

13.(2022?廣東韶關(guān)?七年級(jí)期中)如圖1,點(diǎn)力、B分別在直線GH、MN上，^GAC=乙NBD,

Z.C—Z.D.

圖1圖2圖3

(1)求證：GH//MN-,(提示：可延長力C交MN于點(diǎn)P進(jìn)行證明)

(2)如圖2,4E平分NG4C,DE平分4BDC,若N4ED=NG4C,求NG4C與N4CD之間的數(shù)

量關(guān)系；

(3)在(2)的條件下，如圖3,BF平分NDBM,點(diǎn)K在射線BF上，^KAG=|zGXC,若

乙AKB=LACD,直接寫出NGAC的度數(shù).

【答案】⑴見解析；（2）乙4CD=341C,見解析；⑶償）°或卷，.

【分析】（1）根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)求證即可；

（2）根據(jù)三角形的內(nèi)角和為180。和平角定義得到乙4QD=/E+Z.EAQ,結(jié)合平行線的性質(zhì)

得到NBDQ=NE+Z.EAQ,再根據(jù)角平分線的定義證得NCDB=2乙E+AGAC,結(jié)合已知即

可得出結(jié)論；

（3）分當(dāng)K在直線GH下方和當(dāng)K在直線GH上方兩種情況，根據(jù)平行線性質(zhì)、三角形外角性

質(zhì)、角平分線定義求解即可.

【詳解】解：（1）如圖1,延長AC交MN于點(diǎn)P,

由AP”BD,

團(tuán)4NBD=4NPA,

^\Z-GAC=Z.NBD,

^GAC=乙NPA,

0GH//MN；

(2)延長/C交MN于點(diǎn)P,交DE于點(diǎn)Q,

圖2

回4E+/-EAQ+^AQE=180°,Z.AQE+Z.AQD=180°,

回4AQO=ZE+Z.EAQ,

^AP//BD,

^AQD=乙BDQ,

團(tuán)4BDQ=NE+4EZQ,

團(tuán)ZE平分NGAC,DE平分乙BDC,

^Z-GAC=2Z.EAQ,Z-CDB=2(BDQ,

團(tuán)4COB=2zE+^LGAC,

^\Z-AED=Z.GAC,Z.ACD=乙CDB,

^ACD=2/LGAC+AGAC=3/.GAC；

（3）當(dāng)K在直線G”下方時(shí)，如圖，設(shè)射線BF交GH于/,

團(tuán)GH〃MN,

團(tuán)乙4/B=Z.FBM,

團(tuán)BF平分乙M80,

^DBF=乙FBM=j(180°一乙DBN),

團(tuán)NZ/B=乙DBF,

^AIB+乙KAG=乙AKB,乙AKB=/.ACD,

^\Z-ACD=乙DBF+乙KAG,

i

^AKAG=-Z.GAC,乙GAC=CNBD,

3

乙乙

團(tuán)［NG/CH-i(180°-DBN)=ACD=3^GACf

i-1

即、GAC+90°—底GAC=3NG4C,

32

解得：AGAC=

當(dāng)K在直線GH上方時(shí)，如圖，同理可證得乙4/B=3180。-4DBN)=乙4KB+^KAG,

則有3zGaC+*AC=1(180°-ZG/1C),

綜上，故答案為（詈）?；颍T）;

【點(diǎn)睛】本題考查平行線的判定與性質(zhì)、角平分線的定義、三角形的外角性質(zhì)、三角形的內(nèi)

角和定理、平角定義、角度的運(yùn)算，熟練掌握相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系與運(yùn)用是解答的關(guān)鍵.

14.(2022?全國?九年級(jí)專題練習(xí))如圖所示，已知力B〃CD,BE平分4IBC,DE平分乙4DC,

【答案】見解析

【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)得出0A=0AOC,EIC=EA8C,再由BE平分EABC,OE平分她QC

可知回1=|EL4￡)C,E2=|EABC,根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論.

00A=0ADC,fflC=0ABC.

EIBE平分EIABC,OE平分0AOC,

E01=i[a4DC,EI2=^L4BC.

22

003是三角形的外角，

E03=E￡+E2=EC+01,

Z.EH—Z-ABC=Z.CH—Z.ADC>

22

-1i

即I3E+-EIC=EIC+-E]A,

22

1

I2BE=-(ElA+iaC).

2

【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)，三角形的外角，以及角平分線等知識(shí)點(diǎn)，熟知以上知

識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

15.(2022,浙江工業(yè)大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)學(xué)校七年級(jí)期中)已知AB〃CD

(1)如圖1,E為AB,CO之間一點(diǎn)，連接BE,DE,得至膽求證：0BED=0B+0D；

(2)如圖，連接AD,BC,BF平分0ABC,。尸平分0AOC,且8R。尸所在的直線交于點(diǎn)尸.

①如圖2,當(dāng)點(diǎn)2在點(diǎn)A的左側(cè)時(shí)，若0ABe=50。，0A￡)C=6O。，求團(tuán)2尸。的度數(shù).

②如圖3,當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)時(shí)，設(shè)0ABe=a,0A￡)C=B，請(qǐng)你求出aBF。的度數(shù).(用

含有a,B的式子表示)

【答案】（1）見解析；（2）55。；（3）180°-|a+|/?

【分析】（1）根據(jù)平行線的判定定理與性質(zhì)定理解答即可；

（2）①如圖2,過點(diǎn)F作FE〃4B,當(dāng)點(diǎn)8在點(diǎn)4的左側(cè)時(shí)，根據(jù)乙4BC=50°,UDC=60°,

根據(jù)平行線的性質(zhì)及角平分線的定義即可求ABFD的度數(shù);

②如圖3,過點(diǎn)F作當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)4的右側(cè)時(shí)，乙4BC=a,乙ADC=0,根據(jù)平行線

的性質(zhì)及角平分線的定義即可求出N8FD的度數(shù).

【詳解】解：（1）如圖1,過點(diǎn)E作

AB

圖1

則有NBEF=NB,

AB“CD,

：.EF//CD,

???Z-FED=Z-D,

???乙BED=Z.BEF+乙FED=乙B+乙D；

（2）①如圖2,過點(diǎn)F作

圖2

有乙BFE=Z.FBA.

AB//CD,

：.EV/1CD.

???乙EFD=Z.FDC,

???乙BFE+Z.EFD=Z-FBA+Z-FDC.

BPzBFZ）=Z.FBA+乙FDC,

???BF平分UBC,DF平分N&OC,

???AFBA=-^ABC=25°,4FDC=-AADC=30°,

22

Z.BFD=/.FBA+乙FDC=55°.

答：NBF。的度數(shù)為55。；

②如圖3,過點(diǎn)尸作FE〃/8,

^Z-BFE+/-FBA=180°.

???乙BFE=180°-乙FBA,

???ABUCD,

???EF//CD.

???乙EFD=Z.FDC.

???（BFE+乙EFD=180°-MBA+乙FDC.

即NBFO=180°-^FBA+乙FDC,

???8尸平分OF平分4/OC,

Ii11

/.^LFBA=-/-ABC=-a,Z.FDC=-Z-ADC=-B,

2222/

1i

???乙BFD=180°—Z.FBA+Z.FDC=180°--cr+-/?.

22L

答：NBFC的度數(shù)為180。-7+].

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的判定與性質(zhì).

16.（2022?全國?七年級(jí)）如圖1,AB//CD,E是4B,CC之間的一點(diǎn).

圖1圖2圖3

⑴判定BBAE,回COE與0AEO之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

(2)如圖2,若aBAE,團(tuán)CDE的角平分線交于點(diǎn)P,直接寫出她即與0AE。之間的數(shù)量關(guān)系;

⑶將圖2中的射線。C沿。E翻折交AF于點(diǎn)G得圖3,若0AG。的余角等于2SE的補(bǔ)角，

求I3BAE的大小.

【答案】(l)NBAE+乙CDE=AAED-,

(2)z4F￡)=|zAF￡)；

⑶NB4E=60°

【分析】(1)作ERMB,如圖1,則E/naCD利用平行線的性質(zhì)得E11=EI￡AE,S2=SCDE,

從而得到回BAE+EICZ)E=0AE。

(2)如圖2,由⑴的結(jié)論得1W昨揶AE,SCDF^CDE,則血4月￡嚀^BAE+BCDE),

加上(1)的結(jié)論得到EIA尸。=扣AED；

(3)由(1)的結(jié)論得0AGD=l38AP+iaC￡)G,禾傭折疊性質(zhì)得EICr)G=4回CD尸，再利用等量代

換得到EL4GO=20AE￡)*IBAE,力口上90。-朋6。=180。-2財(cái)￡￡),從而計(jì)算出的1E的度數(shù).

(1)

SBAE+^CDE=^iAED

理由如下：

作EF^AB,如圖1

0AB0CD

SEF^CD

E01=[3BAE,02=ECDE

^EBAE+^\CDE=^AED

(2)

如圖2,由(1)的結(jié)論得

^AFD=^BAF+SCDF

EIEBAE、EICDE的兩條平分線交于點(diǎn)月

11

團(tuán)團(tuán)5A廠二一回BAE,0CZ)F=-0C￡>E

22

1

^\AFE=-(^BAE+^CDE)

2

^\BAE+^CDE=^\AED

^\AFD=^\AED

2

⑶

由(1)的結(jié)論得fflAGZWaBAP+EICOG

而射線DC沿DE翻折交AP于點(diǎn)G

EIEICDG=40CDF

-11Q

^\AGD=^\BAF+^CDF=-^BAE+2^CDE=-^BAE+2(團(tuán)4ED-R13AE)=2^\AED-^BAE

222

09O°-aAG￡)=18Oo-20AEZ)

回90°-2aAE0+巳回3AE=180°-2她EO

2

團(tuán)團(tuán)3AE=60°

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；

兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等.

17.(2022?廣東?高州市第一中學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí))如圖1,已知A3回C￡),國2

=30°,回￡)=120°；

圖1圖2

⑴若跖=60。，則團(tuán)廣=；

(2)請(qǐng)?zhí)剿鱏E與ar之間滿足的數(shù)量關(guān)系？說明理由；

⑶如圖2,已知EP平分回FG平分回￡7*,反向延長PG交EP于點(diǎn)P,求"的度數(shù).

【答案】⑴90。

(2)/F=NE+30。，理由見解析

(3)15°

【分析】(1)如圖1,分別過點(diǎn)E,尸作EM〃/IB,FN//AB,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到=

乙BEM=30°,乙MEF=乙EFN,乙D+4DFN=180%代入數(shù)據(jù)即可得到結(jié)論；

(2)如圖1,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到48=N8EM=30。，4MEF=AEFN,由48〃。。，

AB//FN,得到CD〃/N,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到4。+NDFN=180。，于是得到結(jié)論；

(3)如圖2,過點(diǎn)F作/H〃EP,設(shè)NBEF=2x。，則ZEF。=(2x+30)。，根據(jù)角平分線的

定義得至UNPEF=[NB￡T=X。，NEFG=(乂+15)。，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到

乙PEF=LEFH=x°,/-P=AHFG,于是得至悌論.

(1)

解：如圖1,分別過點(diǎn)E,F^EM//AB,FN//AB,

EM//AB//FN,

???NB=4BEM=30°,4MEF=乙EFN,

XvAB//CD,AB//FN,

CD//FN,

：.4。+Z.DFN=180°,

又???乙D=120°,

???乙DFN=60°,

???乙BEF=乙MEF+30°,乙EFD=4EFN+60°,

???乙EFD=Z.MEF+60°

???乙EFD=乙BEF+30。=90。；

故答案為：90°；

(2)

解：如圖1,分別過點(diǎn)E,F作EM〃AB,FN//AB,

??.EM//AB//FN,

???乙B=(BEM=30°,AMEF=乙EFN,

又AB“CD,AB//FN,

???CD//FN.

???乙D+乙DFN=180°,

又???乙D=120°,

???乙DFN=60°,

???乙BEF=4MEF+30°,乙EFD=乙EFN+60°,

???Z-EFD=Z.MEF+60°,

???乙EFD=乙BEF+30。；

(3)

解：如圖2,過點(diǎn)F作FH〃EP,

由(2)知，Z.EFD=2LBEF+30°,

i^Z-BEF=2%°,則4￡7叨=(2%+30)°,

???EP平分4BE尸，G尸平分4EFO,

11

???(PEF=-/-BEF=x°,Z.EFG=^EFD=(%+15)°,

???FH//EP,

Z.PEF=乙EFH=%°,4P=(HFG,

???乙HFG=Z.EFG一乙EFH=15°,

???乙P=15°.

圖1圖2

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，熟練掌握平行線的性質(zhì)定理是解題的

關(guān)鍵.

18.（2022?河南?商丘市第十六中學(xué)七年級(jí)期中）已知AB團(tuán)CD,線段Eb分別與A3,CD相

交于點(diǎn)E,F.

圖1圖2圖3

(1)請(qǐng)?jiān)跈M線上填上合適的內(nèi)容，完成下面的解答：

如圖1,當(dāng)點(diǎn)P在線段EF上時(shí)，已知0A=35。，0C=62°,求EIAPC的度數(shù)；

解：過點(diǎn)P作直線P//0A8,

所以0A=0APH,依據(jù)是；

因?yàn)?8回C￡),P/ffiAB,

所以尸H0CQ,依據(jù)是；

所以EIC=(),

所以財(cái)PC=()+()=0A+EIC=97°.

(2)當(dāng)點(diǎn)P,Q在線段EP上移動(dòng)時(shí)(不包括E,尸兩點(diǎn))：

①如圖2,0ApQ+EIPQC=a4+EIC+180。成立嗎？請(qǐng)說明理由；

②如圖3,!3APM=2!3MPQ,^CQM=23\MQP,^\M+^MPQ+^\PQM=180",請(qǐng)直接寫出回Af,

0A與EIC的數(shù)量關(guān)系.

【答案】(1)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；平行于同一條直線的兩條直線平行；回CPH；EAPH,

0CPH；(2)①囿4尸。+團(tuán)「。。=園4+[1^+180。成立，理由見解答過程；(2)30PM2+0A+0C=360°.

【分析】(1)根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)即可完成填空；

(2)結(jié)合(1)的輔助線方法即可完成證明；

(3)結(jié)合(1)(2)的方法，根據(jù)a4PM=2?MP。，SCQM^l^MQP,SPMQ+SMPQ+SPQM

=180°,即可證明EIPM。，0A與EIC的數(shù)量關(guān)系.

【詳解】解：過點(diǎn)P作直線PH0AB,

所以0A=0AP〃，依據(jù)是兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；

因?yàn)锳8回CD,PH^AB,

所以「形C。，依據(jù)是平行于同一條直線的兩條直線平行；

所以E1C=(EICPH),

所以0Ape=(0APH)+(fflCP/7)=0A+0C=97°.

故答案為：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；平行于同一條直線的兩條直線平行；0CPH；SAPH,

ECPH；

(2)①如圖2,a4PQ+[3PQC=EIA+EIC+180°成立，理由如下：

圖2

過點(diǎn)尸作直線PHEL4B,QG0AB,

BABSCD,

SABS\CDS\PH5\QG,

EEIA=EAPH,SC=BCQG,WPQ+^\GQP=180°,

團(tuán)EL4PQ+EIPQC=EL4P//+0//P2+0G2P+0C2G=0A+0C+18O°.

^BAPQ+SPQC=EA+EIC+180°成立；

②如圖3,

圖3

過點(diǎn)P作直線PH3A8,QG^AB,MN^AB,

0AB0C￡),

0AB0CD0P//02G0W,

H3A=0AP”，SC=SCQG,^HPQ+^GQP=180°,^HPM=SPMN,^\GQM=SQMN,

^PMQ=^HPM+^GQM,

fflAPM=2IWPQ,SCQM^2^\MQP,SPMQ+^MPQ+SPQM^180°,

^EAPM+SCQM=^A+SC+^PMQ=2SMPQ+2^iMQP=2(180°-0PA/Q),

030PM2+0A+0C=36O°.

【點(diǎn)睛】考核知識(shí)點(diǎn)：平行線的判定和性質(zhì).熟練運(yùn)用平行線性質(zhì)和判定，添加適當(dāng)輔助線

是關(guān)鍵.

19.(2022?湖北武漢?七年級(jí)期末)如圖1,點(diǎn)4在直線MN上，點(diǎn)B在直線S7上，點(diǎn)C在MN,

ST之間，且滿足/MAC+N4CB+NS8C=360。.

(1)證明：MN//ST；

(2)如圖2,若NACB=60。，AD//CB,點(diǎn)E在線段BC上，連接4E,S.ADAE=2ACBT,

試判斷a4E與44V的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

(3)如圖3,若N4CB=笆(n為大于等于2的整數(shù))，點(diǎn)E在線段8c上，連接4E,若NM2E=

n

n乙CBT,貝!UC4E:NC4N=

圖1圖2圖3

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）n-1

【分析】（1）連接AB,根據(jù)已知證明回肱48+回0%=180。，即可得證；

（2）作CE3ST,設(shè)EICBT=a,表示出EICA7V,E1ACF,0BCF,根據(jù)AO3BC,得至靦ZMC=120°,

求出回C4E即可得到結(jié)論；

（3）作CR3ST,設(shè)回CBT=/，得至靦CBT=EIBCF=4，分別表示出EIOW和EICAE,即可得到比

值.

【詳解】解：（1）如圖，連接4B,

???AMAC+乙ACB+乙SBC=360°,

乙ACB+乙ABC+ABAC=180°,

???/.MAB+^SBA=180°,

MN//ST

(2)A.CAE=2乙CAN,

理由：作CF//ST,則MN〃CF〃ST,如圖，

設(shè)NCBT=a,貝"miE=2a.

乙BCF=4CBT=a,MAN=zACF=60°-a,

■■■ADIIBC,/.DAC=180°-Z.ACB=120°,

???/.CAE=120°-/.DAE=1200-2a=2(60°-a)=2乙CAN.

SPzCXE=2乙CAN.

(3)作CF//ST,貝!JMN//CF//ST,如圖，設(shè)乙CBT=0,貝Ij/MAE=

?-?CF//ST,

：.Z.CBT=乙BCF=B，

^ACF=乙CAN=--)?=呼-%

nn

/.CAE=180°-^.MAE-乙CAN=180°一印一弓+0=等(180°-印)，

n—11

^CAE-.^CAN==n-l

nnf

故答案為n—1.

【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)和判定，解題關(guān)鍵是角度的靈活轉(zhuǎn)換，構(gòu)建數(shù)量關(guān)系式.

20.(2022?重慶江北?七年級(jí)期末)如圖1,AB//CD,點(diǎn)E、F分別在AB、CD上，點(diǎn)。在直

線2B、CD之間，MzEOF=100°.

圖1圖2

圖3

(1)求NBE。+NOFD的值；

(2)如圖2,直線MN分另IJ交ABE。、NOFC的角平分線于點(diǎn)M、N,直接寫出NEMN-NFNM

的值；

(3)如圖3,EG在NAEO內(nèi)，^AEG=m4EG；FH在NDF。內(nèi)，ZDFH=m^OFH,直線MN

分別交EG、FH分別于點(diǎn)M、N,且NFMN-NENM=50。，直接寫出m的值.

【答案】(1)NBE。+NDF。=260°；(2)NEMN-NFNM的值為40。；(3)|.

【分析】(1)過點(diǎn)。作OG0AB,可得A施。G0CD,利用平行線的性質(zhì)可求解；

(2)過點(diǎn)M■作MK0AB,過點(diǎn)N作M70CD,由角平分線的定義可設(shè)EIBEA/=EIOEM=x,

^CFN=^\OFN=y,由EIBEO+E!。尸。=260°可求*y=40°,進(jìn)而求解；

(3)設(shè)直線/K與EG交于點(diǎn)H,FK與AB交于前K,根據(jù)平行線的性質(zhì)即三角形外角的

性質(zhì)及NFMN-Z.ENM=50°,可得NKFD-/.AEG=50°,結(jié)合Z71EG=n乙OEG,DFK=

M0FK,4BE0+乙DF0=260°,可得N4EG+-/.AEG+180°-乙KFD--/LKFD=100°,

nn

即可得關(guān)于幾的方程，計(jì)算可求解〃值.

【詳解】證明：過點(diǎn)。作。笳A3,

她比］CZ),

^AB^OG^CD,

^BEO+Z,E0G=180%乙DFO+Z.F0G=180%

^BEO+乙EOG+乙DFO+么FOG=360%

即/BE。+4EOF+乙DFO=360%

團(tuán)團(tuán)￡04100°,

回團(tuán)BE。+Z.DF0=260°；

(2)解：過點(diǎn)M作MRMB,過點(diǎn)N作AMCZ),

E

B

cf~7

F

圖2

團(tuán)EM平分團(tuán)5E0,平分團(tuán)O,

設(shè)/BEM=4OEM=x,乙CFN=LOFN=y,

團(tuán)乙BE。+乙DFO=260°

團(tuán)4BE。+乙DFO=2%+180°-2y=260%

0x-y=4O°,

tWKMB,Nl^CD,AB0CD,

她施M雁1NH0CZ),

^EMK=/.BEM=x,乙HNF=^CFN=y,乙KMN=^HNM,

國乙EMN+乙FNM=乙EMK+Z.KMN-"HNM+乙HNF)

=%+乙KMN-乙HNM-y

=x-y

=40°,

故乙EMN一乙FNM的值為40°；

(3)如圖，設(shè)直線尸K與EG交于點(diǎn)"尸K與AB交于點(diǎn)K,

0AB0CZ),

^AKF=乙KFD,

^AKF=乙EHK+乙HEK=乙EHK+Z.AEG,

回4KFO=乙EHK+Z-AEG.

團(tuán)4EHK=乙NMF-乙ENM=50%

回匕KFD=50°+^AEG,

^Z.KFD一/LAEG=50%

團(tuán)乙4EG=n乙OEG,FK^.BDFO內(nèi)，乙DFK=n乙OFK.

i

^Z.CFO=180°-乙DFK-乙OFK=180°-乙KFD--Z.KFD,

n

1

Z-AEO=Z-AEG+Z.OEG=Z.AEGH—Z-AEG,

n

團(tuán)匕BEO+NOF。=260%

^AEO+乙CFO=100%

SZ.AEG+-Z.AEG+180°-/.KFD--Z.KFD=100°,

nn

即（1+9］乙KFD-/.AEG）=80。，

E（1+i）X50。=80。，

解得幾=j.

經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意，

故答案為：|.

【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，靈活運(yùn)用平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)

鍵.

21.（2022?黑龍江哈爾濱?七年級(jí)期末）已知，ABI3CZ）,點(diǎn)E在C。上，點(diǎn)G,尸在A8上，

點(diǎn)”在48,。之間，連接FE,EH,HG,SAGH=^iFED,FE3\HE,垂足為E.

（1）如圖1,求證：HGHHE；

（2）如圖2,GM平分EIHG2,平分EIHED,GM,交于點(diǎn)M,求證：EIGH￡=20GME；

(3)如圖3,在(2)的條件下，尸K平分EL4FE交CD于點(diǎn)K,若EIKFE：0MG//=13：5,

求回HED的度數(shù).

GAFGGB

、H田M田

CEEE

圖1圖2圖3

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）40°

【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定解答即可;

（2）過點(diǎn)〃作印包短，根據(jù)平行線的性質(zhì)解答即可;

（3）過點(diǎn)H作H/包48,根據(jù)平行線的性質(zhì)解答即可.

【詳解】證明：（1）她施CD,

^\AFE=^FED,

WAGH=^\FEDf

釀AbE=0AG”，

回￡7祖G〃，

團(tuán)團(tuán)FEH+團(tuán)H=180°,

團(tuán)尸瓦HE,

00FEH=9O°,

團(tuán)團(tuán)”=180°-團(tuán)bEH=90°,

WG^HE^

(2)過點(diǎn)M作MQMB,

0A施CO,

0MQ21CZ),

過點(diǎn)〃作“甩45,

她施CQ,

團(tuán)H汽ICO,

回GM平分回”G3,

釀3GM=團(tuán)HGM=%3GH,

2

回EM平分團(tuán)HED,

^\HEM=^\DEM=^\HED,

2

團(tuán)A@L45,

mBGM=^\GMQf

團(tuán)”。團(tuán)CD,

mQME=^\MED,

^1GME=^GMQ+^\QME=^BGM^MED,

WP^AB,

團(tuán)團(tuán)3GH=回GH尸=2回3GM,

詢唱CD,

^PHE=WED=2BMED,

^\GHE=^\GHP^PHE=2^\BGM+2^\MED=2(0BGM+IWED),

mGHE=^12GME；

(3)過點(diǎn)M作MQ0A8,過點(diǎn)H作/

圖3

由EIKT石：團(tuán)0GH=13：5,設(shè)EIKfE=13x,SMGH=5x,

由(2)可知：［32GH=2E