江蘇省南通市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期6月期末數(shù)學(xué)試題【含答案】

2024年南通市高二學(xué)年度質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上指定位置上，在其他位置作答一律無效．3．本卷滿分為150分，考試時(shí)間為120分鐘．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知隨機(jī)變量，且，則（

）A．0.02 B．0.03 C．0.07 D．0.082．已知一個(gè)圓錐底面半徑為，其側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則該圓錐的母線長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．3．已知函數(shù)，則（

）A．1 B．2 C．4 D．64．電視臺(tái)有6個(gè)不同的節(jié)目準(zhǔn)備當(dāng)天播出，每半天播出3個(gè)節(jié)目，其中某電視劇和某專題報(bào)道必須在上午播出，則不同播出方案的種數(shù)為（

）A．24 B．36 C．72 D．1445．函數(shù)，的單調(diào)增區(qū)間為（

）A． B． C． D．6．在三棱錐中，已知，是線段的中點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．7．已知函數(shù)，若，，，都有，則實(shí)數(shù)的最大值為（

）A． B． C． D．8．甲箱中有2個(gè)紅球和2個(gè)黑球，乙箱中有1個(gè)紅球和3個(gè)黑球．先從甲箱中等可能地取出2個(gè)球放入乙箱，再?gòu)囊蚁渲械瓤赡艿厝〕?個(gè)球，記事件“從甲箱中取出的球恰有個(gè)紅球”為，“從乙箱中取出的球是黑球”為，則（

）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．若，則（

）A． B．C． D．10．在空間中，，是不重合的直線，，是不重合的平面，則下列說法正確的是（

）A．若，，則B．若，，，則C．若，，，則D．若，，，則11．已知函數(shù)，則下列說法正確的有（

）A．曲線恒過定點(diǎn)B．若，則的極小值為0C．若，則D．若，則的最大值大于三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．某小吃店的日盈利（單位：百元）與當(dāng)天平均氣溫（單位：℃）之間有如下數(shù)據(jù)：012百元54221由表中數(shù)據(jù)可得回歸方程中．試預(yù)測(cè)當(dāng)天平均氣溫為時(shí)，小吃店的日盈利約為百元．13．設(shè)隨機(jī)變量，且，則；若，則的方差為．14．已知六棱錐的底面是邊長(zhǎng)為1正六邊形，且頂點(diǎn)均在同一球面上，若該棱錐體積的最大值為，則其外接球的表面積為．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．如圖，在直三棱柱中，，．(1)求證：平面；(2)求直線與所成角的余弦值．16．為調(diào)查喜歡山地自行車項(xiàng)目是否和性別有關(guān)，某自行車店隨機(jī)發(fā)放了30份問卷，并全部收回，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，得到如下列聯(lián)表：男性女性喜歡124不喜歡68(1)能否有的把握認(rèn)為喜歡山地自行車項(xiàng)目和性別有關(guān)?(2)在上述喜歡山地自行車項(xiàng)目的受訪者中隨機(jī)抽取3人，記其中男性的人數(shù)為，求的分布列．附：0.0500.0100.001k3.8416.63510.82817．已知函數(shù)，，，(1)設(shè)曲線在處的切線為，若與曲線相切，求；(2)設(shè)函數(shù)，討論的單調(diào)性．18．如圖，在四棱錐中，平面，，，，．點(diǎn)在棱上且與，不重合，平面交棱于點(diǎn)．(1)求證：；(2)若為棱的中點(diǎn)，求二面角的正弦值；(3)記點(diǎn)，到平面的距離分別為，，求的最小值．19．箱子中有大小和質(zhì)地相同的紅球、白球和黑球共個(gè)，其中紅球的個(gè)數(shù)為，現(xiàn)從箱子中不放回地隨機(jī)摸球，每次摸出一個(gè)球，并依次編號(hào)為1，2，3，……，，直到箱子中的球被摸完為止．(1)求2號(hào)球?yàn)榧t球的概率（用與表示）；(2)若，，記隨機(jī)變量為最后一個(gè)紅球被摸出時(shí)的編號(hào)，求；(3)若箱子中白球、黑球的個(gè)數(shù)分別為，，求紅球先于白球和黑球被摸完（紅球被全部摸出，白球和黑球都有剩余）的概率．1．B【分析】利用正態(tài)分布的性質(zhì)求解即可.【詳解】由于隨機(jī)變量，且，所以,故選：B2．D【分析】運(yùn)用弧長(zhǎng)等于圓錐底面周長(zhǎng)，扇形半徑為母線長(zhǎng)，聯(lián)立方程，解出即可．【詳解】設(shè)圓錐母線長(zhǎng)為l,扇形半徑為R,則,，解得l=10.故選：D.3．C【分析】利用導(dǎo)數(shù)的定義和求導(dǎo)公式進(jìn)行求解.【詳解】由題意，因?yàn)?，所以，?故選：C.4．D【分析】先把某電視劇和某專題報(bào)道排在上午，再結(jié)合全排列計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)槟畴娨晞『湍硨ｎ}報(bào)道必須在上午播出，所以種排法,其他4個(gè)節(jié)目有種排法，所以不同播出方案的種數(shù)為.故選：D.5．A【分析】先求導(dǎo)函數(shù)，再令導(dǎo)函數(shù)大于等于0，即可求出單調(diào)增區(qū)間.【詳解】因?yàn)?，所?即，.單調(diào)增區(qū)間為.故選：A.6．D【分析】連接,利用空間向量的基本定理求解即可.【詳解】連接，因?yàn)槭蔷€段的中點(diǎn)，所以因?yàn)椋运怨蔬x：D7．B【分析】先化簡(jiǎn)不等式得出函數(shù)單調(diào)性，再把單調(diào)遞增轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)恒為正即可求出參數(shù)最值.【詳解】假設(shè),又因?yàn)?可得,設(shè),,單調(diào)遞增，,恒成立,所以,即可得.故選：B.8．D【分析】根據(jù)題意，先求出，，，判斷A，由條件概率公式和全概率公式依次判斷B、C、D選項(xiàng)即可.【詳解】根據(jù)題意，甲箱中有2個(gè)紅球和2個(gè)黑球，則，，，故A不正確；乙箱中有1個(gè)紅球和3個(gè)黑球，則，，，故B不正確；則有，故C正確；則，故D正確；故選：D9．ACD【分析】應(yīng)用賦值法判斷A,C,D選項(xiàng)，根據(jù)二項(xiàng)式展開式判斷B選項(xiàng).【詳解】令,可得,A選項(xiàng)正確；令,可得,令,可得，兩式相加可得,C選項(xiàng)正確；是的各項(xiàng)系數(shù)和，所以，D選項(xiàng)正確；的展開式的系數(shù)是,B選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ACD.10．BD【分析】運(yùn)用線面平行垂直的性質(zhì)和判定逐個(gè)分析即可.【詳解】對(duì)于A,若，，則或者，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B,可以用法向量來思考.，所在的方向取，的法向量，法向量垂直可推出面面垂直.故B正確;對(duì)于C,若，，，則或者相交，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，過直線分別作兩平面與分別相交于直線和直線，因?yàn)?，過直線的平面與平面的交線為直線，則根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理知，同理可得，則，因?yàn)槠矫妫矫?，則平面，因?yàn)槠矫?，，則，又因?yàn)?，則，故D正確．故選：BD.11．ACD【分析】對(duì)于A，求出即可；對(duì)于B，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求出的極值即可；對(duì)于C，利用導(dǎo)數(shù)求出的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性比較和的大小即可；對(duì)于D，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求出的最大值為，令，利用導(dǎo)數(shù)的最值即可.【詳解】對(duì)于A，令，可得，所以曲線恒過，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，則，令，解得：，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，所以的極大值為，故B不正確；對(duì)于C，，當(dāng)，則，所以在上單調(diào)遞增，又，即，則，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，由，解得：，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，當(dāng)，，則在上單調(diào)遞減，所以，令，則，所以當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，所以，即的最大值大于，而，故，即，所以D正確；故選:ACD12．6【分析】求出樣本中心點(diǎn)，代入得到值，再令即可.【詳解】由已知數(shù)據(jù)，，因?yàn)?，則，代入，則，則，令，則.故答案為：613．##【分析】(1)用二項(xiàng)分布的概率公式可解；(2)用二項(xiàng)分布的方差結(jié)論即可解決.【詳解】(1),則，則，解得(2)，由(1)得，則．，則故答案為：；．14．【分析】根據(jù)幾何知識(shí)可知，當(dāng)六棱錐為正六棱錐時(shí)，體積最大，即可求出棱錐的高，進(jìn)而得到外接球的半徑，得出球的表面積．【詳解】根據(jù)幾何知識(shí)可知，當(dāng)六棱錐為正六棱錐時(shí)，體積最大，因?yàn)榈酌嬲呅蔚倪呴L(zhǎng)為，所以底面外接圓的半徑為，六棱錐的底面積，設(shè)六棱錐的高為，所以，即，解得．設(shè)外接球的半徑為，可得，，解得．故球的表面積為．故答案為：．15．(1)證明見解析；(2).【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法證明，再根據(jù)線面垂直判定定理證明線面垂直即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解.【詳解】（1）由題意以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)，則，則，所以，所以，所以，即，又因?yàn)槠矫妫矫?，所以平?（2）由（1）知，，所以，記直線與所成角為，則，故直線與所成角的余弦值為.16．(1)沒有的把握認(rèn)為喜歡山地自行車項(xiàng)目和性別有關(guān)(2)的分布列見解析【分析】（1）根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)計(jì)算判斷結(jié)論；（2）根據(jù)題意求出離散型隨機(jī)變量可能取值以及對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列.【詳解】（1）由題可得，所以沒有的把握認(rèn)為喜歡山地自行車項(xiàng)目和性別有關(guān)；（2）由題可得男性的人數(shù)可能取值為：0，1，2，3，，，,所以的分布列為：012317．(1)(2)答案見解析【分析】（1）求出曲線在處的切線為，與聯(lián)立方程組，由解得；（2）先求的定義域，求導(dǎo)數(shù)，對(duì)進(jìn)行分類討論，求解即可.【詳解】（1），，且，所以曲線在處的切線為，則，得，因?yàn)榕c相切，所以，得（舍），或；（2）的定義域?yàn)?，，因?yàn)?，令，得或，?dāng)時(shí)，，所以當(dāng)和時(shí)，，則函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)單調(diào)遞減增，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)和時(shí)，，則函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)單調(diào)遞減增，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)取等號(hào)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，綜上所述，時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為，，單調(diào)減區(qū)間為，時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為，沒有減區(qū)間，時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為，，單調(diào)減區(qū)間為.18．(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）先證平面，在根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理可得.（2）先證，，兩兩垂直，再以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求平面和平面的法向量，用向量法求二面角的三角函數(shù)值.（3）設(shè)，求平面的法向量，利用點(diǎn)到平面的距離的向量求法表示出，再結(jié)合不等式求它的最小值.【詳解】（1）因?yàn)椋矫?，平面，所以平?又平面，平面平面.所以.（2）如圖：取中點(diǎn)，連接.因?yàn)槠矫?，平面，所?在四邊形中，，且，所以四邊形為矩形.所以平面.又在和中，，，.所以（）.所以，.故，，兩兩垂直，所以以為原點(diǎn)，建立如圖空間直角坐標(biāo)系.當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，，，，，.所以，，.設(shè)平面的法向量為，則，取.設(shè)平面的法向量為，則，取.所以.所以二面角的正弦值為：.（3）設(shè)，（），則，，.設(shè)平面的法向量為，則，取.則到平面的距離為：，到平面的距離為：，所以設(shè)，則那么（當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取“”）所以.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：點(diǎn)為平面外一點(diǎn)，點(diǎn)為平面內(nèi)一點(diǎn)，平面的法向量為，則點(diǎn)到平面的距離為：.19．(1)(2)(3)【分析】（1）設(shè)事件：第號(hào)球?yàn)榧t球，利用全概率公式求；（2）根據(jù)題意，先得出的可能取值為：，結(jié)合題意，求出對(duì)應(yīng)的概率，進(jìn)而可得出分布列，再由期望的計(jì)算公式，即可求出結(jié)果；（3）將箱子中紅球、白球、黑球的個(gè)數(shù)分別為，，，按照比例轉(zhuǎn)化為，紅球1個(gè)、白球1個(gè)、黑球2個(gè)進(jìn)行考察再進(jìn)行全排列，利用概率公式求解答案.【詳解】（1）設(shè)事件：第號(hào)球?yàn)榧t球，則；（2）根據(jù)題意，隨機(jī)變量的取值為，從袋中個(gè)紅球和個(gè)其他顏色球中，將紅球全部摸出，共有種情況；則，，，，，，，所以的分布列為：因此其數(shù)學(xué)期望為：；（3）根據(jù)題目本題主要關(guān)注的問題是最后一球是什么顏色的球.問題1：如果最后一球?yàn)榧t球，即紅球摸完時(shí)，白球、黑求已經(jīng)全部摸完，此時(shí)的概率為，同理可得，最后一球?yàn)榘浊虻母怕蕿?，最后一球?yàn)楹谇虻牡母怕蕿?，將箱子中紅球、白球、黑球的個(gè)數(shù)分別為，，，按照比例轉(zhuǎn)化為，紅球1個(gè)、白球1個(gè)、黑球2個(gè)進(jìn)行考查.問題2：發(fā)現(xiàn)最后一球是紅的概率