2024河南中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)微專題 一線三等角模型 課件

一線三等角模型1.模型及方法類微專題3一線三等角模型(9年3考)一階

模型應(yīng)用模型回顧1．如圖，一線三等角模型的特點(diǎn)有：(1)∠1，∠2，∠3的頂點(diǎn)在同一條直線上；(2)∠1，∠2，∠3之間的關(guān)系是________________．∠1＝∠2＝∠3.2．一線三等角模型的結(jié)論：(1)△APC和△BDP的關(guān)系是________________；(2)若在(1)中的條件下，增加條件____________________________，可以得到△APC≌△BDP.△APC∽△BDPCP＝PD或AP＝BD或AC＝BP1.(北師八下P35第17題改編)如圖，在等邊△ABC中，AB＝6，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在AB，BC，AC邊上，連接DE，EF，且∠DEF＝60°.若BD＝4，E為BC的中點(diǎn)，求CF的長(zhǎng)．第1題圖解：∵△ABC為等邊三角形，∴∠B＝∠C＝60°，∴∠BDE＋∠BED＝120°，∵∠DEF＝60°，∴∠CEF＋∠BED＝120°，∴∠BDE＝∠CEF，∴△BDE∽△CEF，∴，∵E為BC的中點(diǎn)，∴BE＝CE＝3，且BD＝4，∴＝

，解得CF＝

.2.如圖，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝10，點(diǎn)E是CD邊上一點(diǎn)，連接BE，將△BCE沿BE翻折，使點(diǎn)C恰好落在AD邊上的點(diǎn)F處，求FE的長(zhǎng)．第2題圖解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝∠C＝∠D＝90°，∴由折疊性質(zhì)得EF＝EC，BF＝BC＝10，∠BFE＝∠C＝90°，在Rt△AFB中，AB2＋AF2＝BF2，AB＝5，BF＝10，∴52＋AF2＝102，∴AF＝5(負(fù)值已舍去)，∵∠AFB＋∠EFD＝90°，∠EFD＋∠DEF＝90°，∴∠AFB＝∠DEF，∴△AFB∽△DEF，∴＝

，即

＝

，解得DE＝10－15，∴FE＝CE＝DC－DE＝20－10.二階

模型構(gòu)造構(gòu)造方法(1)若圖中存在一條直線上有一個(gè)直角時(shí)，根據(jù)一線三等角的特點(diǎn)，從直角的兩邊上的已知點(diǎn)向直角頂點(diǎn)所在直線作垂線，構(gòu)造一線三等角模型；(2)若圖中存在一條線上有兩個(gè)等角時(shí)，根據(jù)一線三等角的特點(diǎn)，補(bǔ)上一個(gè)與前兩個(gè)角相等的角．3.(人教八下P69第14題改編)如圖，在正方形ABCD中，AB＝6，E是BC上一點(diǎn)，連接DE，將線段DE繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段EF，連接BF，BE＝4.(1)求△BEF的面積；由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠DEF＝90°，DE＝EF，∵四邊形ABCD是正方形，∴BC＝AB＝6，∠C＝90°，∵∠DEC＋∠CDE＝90°，∠DEC＋∠GEF＝90°，∴∠CDE＝∠GEF.第3題圖解：(1)如圖，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥BC交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，則∠FGE＝90°，G∟在△CDE和△GEF中，∴△CDE≌△GEF(AAS)，∴CE＝GF.∵BE＝4，∴CE＝BC－BE＝2，∴GF＝CE＝2，∴S△BEF＝

BE·GF＝

×4×2＝4；第3題圖G(2)由(1)知：△CDE≌△GEF，F(xiàn)G＝EC＝2，GE＝CD＝6，∵BE＝4，∴BG＝2，∴BG＝FG，∵∠FGB＝90°，∴∠FBG＝∠GFB＝45°，∵∠ABG＝90°，∴∠FBA＝45°.(2)求∠FBA的度數(shù)．G第3題圖4.如圖，點(diǎn)D，C，E在直線l上，點(diǎn)A，B在l的同側(cè)，AC⊥BC，若AD＝AC＝BC＝BE＝5，CD＝6，求CE的長(zhǎng)．∵AD＝AC，AG⊥CD，∴CG＝

CD＝3，在Rt△ACG中，由勾股定理得，AG＝

＝

＝4，∵AC⊥BC，∴∠CAG＋∠GCA＝∠GCA＋∠BCH＝90°，∴∠CAG＝∠BCH.第4題圖解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AG⊥CD于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥CE于點(diǎn)H，∟∟GH在△ACG和△CBH中，∴△ACG≌△CBH(AAS)，∴CH＝AG＝4.∵BC＝BE，BH⊥CE，∴CE＝2CH＝8.第4題圖∟∟GH5.如圖，在?ABCD中，AB＝3，BC＝4，∠B＝60°，點(diǎn)E是AB邊上一點(diǎn)，連接DE，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥DE，交BC邊于點(diǎn)F，且∠EFD＝60°，求AE的長(zhǎng)．一題多解法∵∠B＝∠EFD＝60°，∴∠BFE＋∠BEF＝∠BFE＋∠GFD＝120°，∴∠BEF＝∠GFD，∵∠B＝∠G＝60°，∴△BEF∽△GFD，∴＝

＝

，解：解法一：如圖，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)G，連接DG，使∠G＝60°，第5題圖G∵∠EFD＝60°，∠DEF＝90°，∴DF＝

＝2EF，∴＝

＝

＝

，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB＝CD＝3，∴∠DCG＝∠B＝∠G＝60°，∴△DCG是等邊三角形，∴CG＝DG＝CD＝3，∴＝

＝

，∴BF＝

，∴BE＝

，∴AE＝AB－BE＝

.第5題圖G∵∠MEF＋∠DEN＝∠NDE＋∠DEN＝90°，∴∠MEF＝∠NDE，∵∠EMF＝∠DNE＝90°，∴△EMF∽△DNE，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∠B＝60°，∴AD∥BC，AD＝BC＝4，∴∠NAD＝∠B＝60°，∴AN＝

AD＝2，DN＝

AD＝2，解法二：如圖，過(guò)點(diǎn)F作FM⊥AB于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)D作DN⊥AB，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，第5題圖MN∵∠EFD＝60°，∠DEF＝90°，∴＝

，∴＝

＝

＝

，∴EM＝2，設(shè)AE＝x，則BM＝AB－AE－EM＝1－x，NE＝AN＋AE＝2＋x，在Rt△BMF中，MF＝

BM＝

－

x，∴＝

，解得x＝

，∴AE＝

.第5題圖MN三階

綜合提升1.如圖，在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三點(diǎn)都在直線m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，若DE＝10，BD＝3，則CE的長(zhǎng)為_(kāi)_____．2.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AC邊上，點(diǎn)F在BC的延長(zhǎng)線上，且∠EDF＝∠A＝45°，連接EF.若AE＝2，CF＝3，則EF的長(zhǎng)為_(kāi)_______．第1題圖第2題圖

753.(人教八上P52第7題改編)如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直線m經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點(diǎn)D，E.求證：DE＝BD＋CE.第3題圖證明：∵BD⊥m，CE⊥m，∴∠ADB＝∠CEA＝90°，∴∠ABD＋∠BAD＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAD＋∠CAE＝90°，∴∠ABD＝∠CAE，在△BDA和△AEC中，∴△BDA≌△AEC(AAS)，∴BD＝AE，AD＝CE，∴DE＝AE＋DA＝BD＋CE.第3題圖4.如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝

，E為CD邊上一點(diǎn)，將△BCE沿BE折疊，使得點(diǎn)C落到矩形內(nèi)點(diǎn)F的位置，連接AF，若tan∠BAF＝

，求CE的長(zhǎng)．解：如圖，過(guò)點(diǎn)F作MN∥AD，分別交AB，CD于點(diǎn)M，N，則MN⊥AB，MN⊥CD.第4題圖M∟∟N由折疊的性質(zhì)得，EC＝EF，BC＝BF＝

，∠C＝∠BFE＝90°.∵tan∠BAF＝

＝

，設(shè)FM＝x，則AM＝2x，BM＝4－2x.在Rt△BFM中，由勾股定理得x2＋(4－2x)2＝()2，解得x1＝1，x2＝

＞2(舍去)，∴FM＝1，AM＝BM＝2，∴FN＝

－1，易證△BMF∽△FNE，∴＝

，即

＝

，解得FE＝

，∴CE＝

.第4題圖M∟∟N5.如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，點(diǎn)E是線段BC上一點(diǎn)，連接AE，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AE，交CD于點(diǎn)F.(1)如圖①，求證：△ABE∽△ECF；(1)證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°，∴∠BAE＋∠AEB＝90°.∵EF⊥AE，∴∠AEF＝90°，∴∠AEB＋∠CEF＝90°，∴∠BAE＝∠CEF，∴△ABE∽△ECF；第5題圖①則EH∥AB，∴＝

.解得EH＝

，(2)如圖②，連接AC交EF于點(diǎn)G.若BE＝3，求EG的長(zhǎng)；(2)解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BCD＝90°.由(1)得△ABE∽△ECF，∴＝

，∵AB＝6，BE＝3，BC＝8，∴＝

，解得CF＝

，第5題圖②H如圖，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥BC交AC于點(diǎn)H，又∵EH∥CF，∴△CGF∽△HGE，∴＝

，在Rt△ECF中，EF＝

＝

，設(shè)EG＝x，則FG＝

－x，∵＝

，即

＝

，解得x＝

，即解得EG