高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)點(diǎn)點(diǎn)練27空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系

點(diǎn)點(diǎn)練27__空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系一基礎(chǔ)小題練透篇1．[2023·陜西省寶雞市、漢中市期中聯(lián)考]設(shè)有直線m，n，l和平面α，β，下列四個(gè)命題中，正確的是()A．若m∥α，n∥α，則m∥nB．若l∥α，m∥β，α∥β，則l∥mC．若α⊥β，m?α，則m⊥βD．若α⊥β，m⊥β，m?α，則m∥α2.如圖，α∩β＝l，A、B∈α，C∈β，且C?l，直線AB∩l＝M，過A，B，C三點(diǎn)的平面記作γ，則γ與β的交線必通過()A．點(diǎn)AB．點(diǎn)BC．點(diǎn)C但不過點(diǎn)MD．點(diǎn)C和點(diǎn)M3．[2023·湖北省鄂東南三校聯(lián)考]若a，b是異面直線，直線c∥a，則c與b的位置關(guān)系是()A．相交B．異面C．平行D．異面或相交4．如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是平面ADD1A1的中心，M、N、F分別是B1C1、CC1、AB的中點(diǎn)，則下列說法正確的是()A．MN＝eq\f(1,2)EF，且MN與EF平行B．MN≠eq\f(1,2)EF，且MN與EF平行C．MN＝eq\f(1,2)EF，且MN與EF異面D．MN≠eq\f(1,2)EF，且MN與EF異面5．已知l，m表示兩條不同的直線，α，β表示兩個(gè)不同的平面，l⊥α，m?β，則有下面四個(gè)命題：①若α∥β，則l⊥m；②若α⊥β，則l∥m；③若l∥m，則α⊥β；④若l⊥m，則α∥β.其中所有正確的命題是()A．①③B．①④C．②③D．①②③④6．已知直線l和平面α，若l∥α，P∈α，則過點(diǎn)P且平行于l的直線()A．只有一條，不在平面α內(nèi)B．只有一條，且在平面α內(nèi)C．有無數(shù)條，一定在平面α內(nèi)D．有無數(shù)條，不一定在平面α內(nèi)7．設(shè)a，b，c是空間中的三條直線，下面給出四個(gè)命題：①若a∥b，b∥c，則a∥c；②若a⊥b，b⊥c，則a∥c；③若a與b相交，b與c相交，則a與c相交；④若a?平面α，b?平面β，則a，b一定是異面直線．上述命題中錯(cuò)誤的是________(寫出所有錯(cuò)誤命題的序號(hào)).8.如圖，在四棱錐P-ABCD中，O為CD上的動(dòng)點(diǎn)，VP-OAB恒為定值，且△PDC是正三角形，則直線PD與直線AB所成角的大小是________．二能力小題提升篇1.[2023·遼寧省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三模擬]如圖是正方體的平面展開圖，在這個(gè)正方體中，正確的命題是()A．AB與CF成45°角B．BD與EF成45°角C．AB與EF成60°角D．AB與CD成60°角2．[2023·黑龍江省部分學(xué)校質(zhì)量檢測(cè)]一封閉的正方體容器ABCD-A1B1C1D1，P，Q，R分別是AB，BC和C1D1的中點(diǎn)，由于某種原因，P，Q，R處各有一個(gè)小洞，當(dāng)此容器內(nèi)存水的表面恰好經(jīng)過這三個(gè)小洞時(shí)，容器中水的上表面形狀是()A．三角形B．四邊形C．五邊形D．六邊形3.[2023·浙江省金華高三模擬]已知四面體A-BCD，AB＝eq\r(2)，BC＝BD＝2，AB⊥平面BCD，BE⊥AC于E，BF⊥AD于F，則()A．AC可能與EF垂直，△BEF的面積有最大值B．AC不可能與EF垂直，△BEF的面積有最大值C．AC可能與EF垂直，△BEF的面積沒有最大值D．AC不可能與EF垂直，△BEF的面積沒有最大值4．[2023·山西省大同市高三摸底]如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)P為線段A1C1上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P與A1，C1不重合)，則下列說法不正確的是()A．BD⊥CPB．三棱錐C-BPD的體積為定值C．過P，C，D1三點(diǎn)作正方體的截面，截面圖形為三角形或梯形D．DP與平面A1B1C1D1所成角的正弦值最大為eq\f(1,3)5.如圖所示，在三棱錐A-BCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是棱AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，則當(dāng)AC，BD滿足條件________時(shí)，四邊形EFGH為菱形，當(dāng)AC，BD滿足條件________時(shí)，四邊形EFGH是正方形．6.[2023·西安模擬]如圖是正四面體的平面展開圖，G，H，M，N分別為DE，BE，EF，EC的中點(diǎn)，在這個(gè)正四面體中，①GH與EF平行；②BD與MN為異面直線；③GH與MN成60°角；④DE與MN垂直，以上四個(gè)命題中，正確命題的序號(hào)是____________．三高考小題重現(xiàn)篇1.[2019·全國(guó)卷Ⅲ]如圖，點(diǎn)N為正方形ABCD的中心，△ECD為正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是線段ED的中點(diǎn)，則()A．BM＝EN，且直線BM，EN是相交直線B．BM≠EN，且直線BM，EN是相交直線C．BM＝EN，且直線BM，EN是異面直線D．BM≠EN，且直線BM，EN是異面直線2．[全國(guó)卷Ⅱ]在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為棱CC1的中點(diǎn)，則異面直線AE與CD所成角的正切值為()A．eq\f(\r(2),2)B．eq\f(\r(3),2)C．eq\f(\r(5),2)D．eq\f(\r(7),2)3．[2020·全國(guó)卷Ⅱ]設(shè)有下列四個(gè)命題：p1：兩兩相交且不過同一點(diǎn)的三條直線必在同一平面內(nèi)．p2：過空間中任意三點(diǎn)有且僅有一個(gè)平面．p3：若空間兩條直線不相交，則這兩條直線平行．p4：若直線l?平面α，直線m⊥平面α，則m⊥l.則下述命題中所有真命題的序號(hào)是________．①p1∧p4②p1∧p2③?p2∨p3④?p3∨?p44．[2019·北京卷]已知l，m是平面α外的兩條不同直線．給出下列三個(gè)論斷：①l⊥m；②m∥α；③l⊥α.以其中的兩個(gè)論斷作為條件，余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫出一個(gè)正確的命題：________．(答案不唯一)四經(jīng)典大題強(qiáng)化篇1.已知在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為D1C1，C1B1的中點(diǎn)，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求證：(1)D，B，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面；(2)若A1C交平面DBFE于R點(diǎn)，則P，Q，R三點(diǎn)共線；(3)DE，BF，CC1三線交于一點(diǎn)．2．圖①是由矩形ABGF，Rt△ADE和菱形ABCD組成的一個(gè)平面圖形，其中AB＝2，AE＝AF＝1，∠BAD＝60°，將該圖形沿AB，AD折起使得AE與AF重合，連接CG，如圖②.(1)證明：圖②中的C，D，E，G四點(diǎn)共面；(2)求圖②中三棱錐C-BDG的體積．點(diǎn)點(diǎn)練27空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系一基礎(chǔ)小題練透篇1．答案：D解析：由直線m、n和平面α、β，知：對(duì)于A，若m∥α，n∥α，則m與n相交、平行或異面，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若l∥α，m∥β，α∥β，l與m不一定平行，有可能相交，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若α⊥β，m?α，則m⊥β或m∥β或m與β相交，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若α⊥β，m⊥β，m?α，則由直線與平面垂直的性質(zhì)與判定定理得m∥α，故D正確．故選D.2．答案：D解析：∵A、B∈γ，M∈AB，∴M∈γ.又α∩β＝l，M∈l，∴M∈β.根據(jù)公理3可知，M在γ與β的交線上．同理可知，點(diǎn)C也在γ與β的交線上．3．答案：D解析：若a，b是異面直線，直線c∥a，則c與b不可能是平行直線．否則，若c∥b，則有c∥a∥b，得出a,b是共面直線．與已知a，b是異面直線矛盾，故c與b的位置關(guān)系為異面或相交，故選D.4．答案：D解析：設(shè)正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2a，則MN＝eq\r(MCeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋C1N2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2a,2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2a,2)))\s\up12(2))＝eq\r(2)a，作點(diǎn)E在平面ABCD內(nèi)的射影點(diǎn)G，可得G為AD的中點(diǎn)，連接EG，GF，所以EF＝eq\r(EG2＋GF2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2a,2)))\s\up12(2)＋（\r(2)a）2)＝eq\r(3)a，所以MN≠eq\f(1,2)EF，故選項(xiàng)A，C錯(cuò)誤；連接DE，因?yàn)镋為平面ADD1A1的中心，所以DE＝eq\f(1,2)A1D，又因?yàn)镸，N分別為B1C1，CC1的中點(diǎn)，所以MN∥B1C，又因?yàn)锽1C∥A1D，所以MN∥ED，且DE∩EF＝E，所以MN與EF異面，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤．5．答案：A解析：因?yàn)閘⊥α，α∥β，根據(jù)面面平行的性質(zhì)知l⊥β，又m?β，則l⊥m，故①正確；若α⊥β，l⊥α，則l可能在β內(nèi)或與β平行，則l可能與m相交、平行或異面，故②錯(cuò)誤；由l∥m，l⊥α可推出m⊥α，又m?β，根據(jù)面面垂直的判定定理可知α⊥β，故③正確；若α，β的交線為m，則l⊥m，推不出α∥β，故④錯(cuò)誤．6．答案：B解析：假設(shè)過點(diǎn)P且平行于l的直線有兩條分別為m與n，則m∥l且n∥l.由平行公理得m∥n，這與兩條直線m與n相交于點(diǎn)P相矛盾，故過點(diǎn)P且平行于l的直線只有一條．又因?yàn)辄c(diǎn)P在平面內(nèi)，所以過點(diǎn)P且平行于l的直線只有一條且在平面內(nèi)．7．答案：②③④解析：由公理4知①正確；當(dāng)a⊥b，b⊥c時(shí)，a與c可以相交、平行或異面，故②錯(cuò)；當(dāng)a與b相交，b與c相交時(shí)，a與c可以相交、平行，也可以異面，故③錯(cuò)；a?α，b?β，并不能說明a與b“不同在任何一個(gè)平面內(nèi)”，故④錯(cuò)．8．答案：60°解析：因?yàn)閂P-OAB為定值，所以S△ABO為定值，即O到線AB的距離為定值．因?yàn)镺為CD上的動(dòng)點(diǎn)，所以CD∥AB.所以∠PDC即為異面直線PD與AB所成角．因?yàn)椤鱌DC為等邊三角形，所以∠PDC＝60°.所以PD與AB所成角為60°.二能力小題提升篇1．答案：D解析：由題意得，將正方體的平面展開圖還原為正方體，如圖，CF和BD平行，AB垂直于BD，所以AB與CF成90°角，故A錯(cuò)誤；BD與CF平行，CF垂直于EF，所以BD與EF成90°角，故B錯(cuò)誤；EF與CG平行，AB與CG成90°角，所以AB與EF成90°角，故C錯(cuò)誤；CD與AE平行，在三角形AEB中，AE＝EB＝AB，所以∠EAB＝60°，所以AB與CD成60°角，故D正確．2．答案：D解析：如圖，設(shè)過P，Q，R三點(diǎn)的平面為平面α.分別取A1D1，A1A，CC1的中點(diǎn)F，E，M，連接RF，F(xiàn)E，EP，PQ，QM，MR，EM，QF，RP.由正方體性質(zhì)知RF∥PQ，所以F∈平面α.又RP∥MQ，所以M∈平面α.又EF∥RP，所以E∈平面α.所以六邊形RFEPQM為容器中水的上表面的形狀．故選D.3．答案：D解析：由AB⊥平面BCD知，AB⊥BC，AB⊥BD，則AC＝AD＝eq\r(22＋（\r(2)）2)＝eq\r(6)，利用等面積法求得斜邊上的高BE＝BF＝eq\f(2\r(2),\r(6))＝eq\f(2\r(3),3)，從而有AE＝AF＝eq\r(（\r(2)）2－（\f(2\r(3),3)）2)＝eq\f(\r(6),3)，則△AEF為等腰三角形，AE不可能與EF垂直，即AC不可能與EF垂直，故AC錯(cuò)誤；由上知，eq\f(EF,CD)＝eq\f(AE,AC)＝eq\f(1,3)，設(shè)CD＝x，則EF＝eq\f(1,3)x，x∈（0，4），由余弦定理知，cos∠FBE＝eq\f(BF2＋BE2－EF2,2BF·BE)＝eq\f(\f(4,3)＋\f(4,3)－\f(x2,9),\f(8,3))＝1－eq\f(1,24)x2，則由x∈（0，4）知，cos∠FBE＝1－eq\f(1,24)x2∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1))，故∠FBE為銳角，且sin∠FBE∈（0，eq\f(2\r(2),3)），△BEF的面積S＝eq\f(1,2)BE·BF·sin∠FBE＝eq\f(2,3)sin∠FBE∈（0，eq\f(4\r(2),9)），當(dāng)取得右側(cè)邊界點(diǎn)時(shí)，B，C，D三點(diǎn)共線，不能構(gòu)成三角形，故無最大值，故B錯(cuò)誤，D正確．4．答案：D解析：由題可知BD⊥平面ACC1A1，所以BD⊥CP，故A正確；由等體積法得VC-BPD＝VP-BCD＝eq\f(1,3)·S△BCD·AA1為定值，故B正確；設(shè)A1C1的中點(diǎn)為M，當(dāng)P∈MC1時(shí)，如圖1所示：圖1圖2此時(shí)截面是三角形D1QC，當(dāng)P∈MA1時(shí)，如圖2所示：此時(shí)截面是梯形D1QRC，故C正確；在正方體中，連接D1P，則D1P為DP在平面A1B1C1D1上的射影，則∠D1PD為DP與平面A1B1C1D1所成的角，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，PD1＝x，則PD＝eq\r(1＋x2)，sin∠D1PD＝eq\f(1,\r(1＋x2))，當(dāng)x取得最小值時(shí)，sin∠D1PD的值最大，即D1P⊥A1C1時(shí)，x的值最小為eq\f(\r(2),2)，所以sin∠D1PD的值最大為eq\f(\r(6),3)，故D不正確．5．答案：AC＝BDAC＝BD且AC⊥BD解析：易知EH∥BD∥FG，且EH＝eq\f(1,2)BD＝FG，同理EF∥AC∥HG，且EF＝eq\f(1,2)AC＝HG，顯然四邊形EFGH為平行四邊形．要使平行四邊形EFGH為菱形需滿足EF＝EH，即AC＝BD；要使平行四邊形EFGH為正方形需滿足EF＝EH且EF⊥EH，即AC＝BD且AC⊥BD.6．答案：②③④解析：還原成正四面體A-DEF，其中H與N重合，A，B，C三點(diǎn)重合，連接AG，GF.易知GH與EF異面，BD與MN異面．又△GMH為等邊三角形，∴GH與MN成60°角，∵AG，GF分別為等邊△ADE和等邊△DEF的中線，∴AG⊥DE，GF⊥DE，且AG，GF?平面AGF，AG∩GF＝G，故DE⊥平面AGF，且AF?平面AGF，易證DE⊥AF，MN∥AF，∴MN⊥DE.因此正確的序號(hào)是②③④.三高考小題重現(xiàn)篇1．答案：B解析：過E作EQ⊥CD于Q，連接BD，QN，BE，易知點(diǎn)N在BD上，∵平面ECD⊥平面ABCD，平面ECD∩平面ABCD＝CD，∴EQ⊥平面ABCD，QN?平面ABCD，∴EQ⊥QN，同理可知BC⊥CE，設(shè)CD＝2，則EN＝eq\r(EQ2＋QN2)＝eq\r(3＋1)＝2，BE＝eq\r(BC2＋CE2)＝eq\r(4＋4)＝2eq\r(2)，又在正方形ABCD中，BD＝eq\r(22＋22)＝2eq\r(2)＝BE，∴△EBD是等腰三角形，故在等腰△EBD中，M為DE的中點(diǎn)，∴BM＝eq\r(BE2－EM2)＝eq\r(8－1)＝eq\r(7)，∴BM＝eq\r(7)>2＝EN，即BM≠EN.又∵點(diǎn)M、N、B、E均在平面BED內(nèi)，∴BM，EN在平面BED內(nèi)，又BM與EN不平行，∴BM，EN是相交直線．2．答案：C解析：因?yàn)镃D∥AB，所以∠BAE即為異面直線AE與CD所成的角．設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則BE＝eq\r(5).因?yàn)锳B⊥平面BB1C1C，所以AB⊥BE.在Rt△ABE中，tan∠BAE＝eq\f(BE,AB)＝eq\f(\r(5),2).3．答案：①③④解析：對(duì)于命題p1，兩兩相交且不過同一點(diǎn)的三條直線的交點(diǎn)記為A、B、C，易知A、B、C三點(diǎn)不共線，所以可確定一個(gè)平面，記為α，由A∈α，B∈α，可得直線AB?α，同理，另外兩條直線也在平面α內(nèi)，所以p1是真命題；對(duì)于命題p2，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，過這三點(diǎn)有無數(shù)個(gè)平面，所以p2是假命題，從而?p2是真命題；對(duì)于命題p3，空間兩條直線不相交，則這兩條直線可能平行，也可能異面，所以p3是假命題，從而?p3是真命題；對(duì)于命題p4，由直線與平面垂直的性質(zhì)定理可知，是真命題，從而?p4是假命題．綜上所述，p1∧p4是真命題，p1∧p2是假命題，?p2∨p3是真命題，?p3∨?p4是真命題．4．答案：①③?②或②③?①解析：把其中兩個(gè)論斷作為條件，余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論，共有三種情況．對(duì)三種情況逐一驗(yàn)證．①②作為條件，