高中數(shù)學(xué)《高中數(shù)學(xué)《平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算》導(dǎo)學(xué)案》導(dǎo)學(xué)案

2.3.2平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示

2.3.3平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

卜課前白主預(yù)習(xí)

1.平面向量的坐標(biāo)表示

(1)平面向量的正交分解

H把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量,叫做把向量正交分

解.

(2)平面向量的坐標(biāo)表示

在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與⑵工軸、區(qū)丁

建系選底轉(zhuǎn)方向相同的兩個(gè)小單位向量i,j作為

基底

對(duì)于平面內(nèi)的一個(gè)向量。，由平面向量基本

程線性表示

定理知，國有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)工,3,使得。=

定義坐標(biāo)有序數(shù)對(duì)⑹(/，W叫做向量。的坐標(biāo)

特殊向量

i=[7](l,0),j=[8](0,l),0=0(0,0)

的坐標(biāo)

1

2.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

\文字符號(hào)

兩個(gè)向量和的坐標(biāo)分別若CI=),b=(9

加

法等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐丁2)，則Q-b=①](了1+

標(biāo)的和力2，弘十了2)

\文字符號(hào)

兩個(gè)向量差的坐標(biāo)分別若CI=(/],b=(土，

減

法等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐“)，a-b=?(與一不，

標(biāo)的差V-M)

數(shù)實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)

乘若a=(?,?)，/GR,則Aa

向等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來

量=園(菽,7)

向量的相應(yīng)坐標(biāo)

已知向量血的起點(diǎn)

重一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表

要示此向量的有向線段的A(叫，v),終點(diǎn)B(亞，

結(jié)A

論終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)的

y2)?則AB=S3](J?2—J?!,

坐標(biāo)以一)

sG自診小測(cè)

1.判一判(正確的打“J”，錯(cuò)誤的打“X”)

(1)與入軸平行的向量的縱坐標(biāo)為0；與y軸平行的向量的橫坐標(biāo)

為0.()

(2)兩個(gè)向量的終點(diǎn)不同，則這兩個(gè)向量的坐標(biāo)一定不同.()

(3)當(dāng)向量的始點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，向量的坐標(biāo)就是向量終點(diǎn)的坐

標(biāo).()

(4)向量可以平移，平移前后它的坐標(biāo)發(fā)生變化.()

答案(1)V(2)X(3)V(4)X

2.做一做

(1)已知48=(—2,4),則下列說法正確的是()

A.A點(diǎn)的坐標(biāo)是(一2,4)

B.3點(diǎn)的坐標(biāo)是(一2,4)

C.當(dāng)B是原點(diǎn)時(shí)，A點(diǎn)的坐標(biāo)是(一2,4)

D.當(dāng)A是原點(diǎn)時(shí)，8點(diǎn)的坐標(biāo)是(一2,4)

答案D

解析當(dāng)向量起點(diǎn)與原點(diǎn)重合時(shí)，向量坐標(biāo)與向量終點(diǎn)坐標(biāo)相同.

-A

(2)已知AB=(1,3),且點(diǎn)A(—2,5),則點(diǎn)3的坐標(biāo)為()

A.(1,8)B.(-1,8)

C.(3,-2)D.(-3,2)

答案B

解析因?yàn)橄蛄孔鴺?biāo)等于終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)，所以B點(diǎn)坐標(biāo)

為(—1,8).

(3)(教材改編P100T2)若a=(2,l),5=(1,0),則3a+2b的坐標(biāo)是

()

A.(5,3)B.(4,3)

C.(8,3)D.(0,-1)

答案C

解析3。+2方=3(2,1)+2(1,0)=(6,3)+(2,0)=(8,3).

(4)若點(diǎn)M(3,5),點(diǎn)M2』)，用坐標(biāo)表示向量MN=.

答案(一1,-4)

解析W=(2,1)-(3,5)=(2-3,1-5)=(-1,-4).

心堂互動(dòng)探究、

探究］平面向量的坐標(biāo)表示

例1如圖所示，在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCO中，A8與％軸正

半軸成30。角.求點(diǎn)B和點(diǎn)D的坐標(biāo)和43與AD的坐標(biāo).

解由題知B,D分別是30°,120。角的終邊與單位圓的交點(diǎn).設(shè)

B(X1,Jl),￡)(X2,J2).由三角函數(shù)的定義，得

、口1,?般2/

JCI=COS30°=2，>i=sin30°=],.

1、巧

=

JC2=COS120°=~2,^2sinl20°=>

j_

2'

拓展提升

求點(diǎn)和向量坐標(biāo)的常用方法

(1)求一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，可以轉(zhuǎn)化為求該點(diǎn)相對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)的位置

向量的坐標(biāo).

(2)在求一個(gè)向量時(shí)，可以首先求出這個(gè)向量的起點(diǎn)坐標(biāo)和終點(diǎn)

坐標(biāo)，再運(yùn)用終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)得到該向量的坐標(biāo).

【跟蹤訓(xùn)練1】已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在第一象限，\OA\=

4小,ZxOA=60°,

⑴求向量OA的坐標(biāo)；

—>

(2)若B(S，-1),求84的坐標(biāo).

解⑴設(shè)點(diǎn)A(%,y),則％=4小cos60°=2小,

y=4小sin6()o=6,即A(23,6),0A=(2小,6).

—?

Q)BA=(25,6)-(73,-1)=(A/3,7).

探究2平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

例2(1)已知三點(diǎn)A(2,-1),3(3,4),C(-2,0),則向量3A3+

―?―?―?

2CA=,BC-2AB=；

(2)已知向量a,b的坐標(biāo)分別是(-1,2),(3,-5),求a+方，a—

b,3a,2a-\-3b的坐標(biāo).

解析(1)X(2,-1),8(3,4),C(-2,0),

—■?—?—?

.*.AB=(1,5),CA=(4,-1),BC=(-5,-4).

-A-A

.?.3AB+2cA=3(1,5)+2(4,-1)

=(3+8,15-2)

=(11,13).

—?-?

BC-2AB=(-5,一4)一2(1,5)

=(-5-2,-4-10)

=(一7,-14).

(2)。+b=(-1,2)+(3,-5)=(2,-3),

“一》=(-1,2)—(3,-5)=(-4,7),

3a=3(—1,2)=(—3,6),

2a+3方=2(-1,2)+3(3,-5)

=(—2,4)+(9,-15)

=(7,-11).

答案(1)(11,13)(-7,-14)(2)見解析

拓展提升

平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的技巧

(1)若已知向量的坐標(biāo)，則直接應(yīng)用兩個(gè)向量和、差及向量數(shù)乘的

運(yùn)算法則進(jìn)行.

(2)若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則可先求出向量的坐標(biāo)，然后

再進(jìn)行向量的坐標(biāo)運(yùn)算.

(3)向量的線性坐標(biāo)運(yùn)算可完全類比數(shù)的運(yùn)算進(jìn)行.

【跟蹤訓(xùn)練2]⑴已知4=(1,2),力=(-3,4),求向量a

—b,3a—4b的坐標(biāo)；

—?—?—?

(2)已知4—2,4),8(3,-1),C(~3,-4),且CM=3CA,CN=

-?―>

2CB,求M,N及MN的坐標(biāo).

解(1)。+方=(1,2)+(—3,4)=(—2,6),

“一》=(1,2)一(一3,4)=(4,-2)

3a-4Z>=3(l,2)-4(-3,4)=(3,6)-(-12,16)=(15,-10).

(2)解法一：由A(—2,4),3(3,-1),C(-3,-4),

―?-?

可得CA=(—2,4)一(一3,-4)=(1,8),CB=(3,一1)一(一3,一

4)=(6,3),

―?—?—?-?

所以CM=3CA=3(1,8)=(3,24),CN=2CB=2(6,3)=(12,6).

設(shè)M(xi,yi),N(%2,丫2),

―?

則CM=(%i+3,yi+4)=(3,24),xi=0,yi=20；

—?

CN=(%2+3,”+4)=(12,6),X2=9,y2=2,

所以M(0,20),N(9,2),

—?

MN=(9,2)—(0,20)=(9,-18).

-A—?—?—?

解法二：設(shè)點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，則由CM=3C4,CN=2CB,

可得0M—0C=3(0A—0C),ON—OC=2(O8-OC),

-A—?—?—?—?-?

從而OM=3OA-2OC,ON=2OB-OC,

-?

所以0加=3(—2,4)—2(—3,-4)=(0,20),

ON=2(3,—1)一(—3,-4)=(9,2),

即點(diǎn)M(0,20),N(9,2),

故MN=(9,2)—(0,20)=(9,-18).

探究3向量坐標(biāo)運(yùn)算的應(yīng)用

例3已知0(0,0),A(l,2),8(3,3),若0P=0A+/08,試問：

(1)，為何值時(shí)、P在X軸上？。在y軸上？P在第二象限？

(2)四邊形ABPO能否為平行四邊形？若能，求出相應(yīng)的"直；若

不能，請(qǐng)說明理由.

解(l)OP=O4+/O3=(l,2)+?3,3)=(l+3/,2+3。，所以P點(diǎn)

坐標(biāo)為(1+3/,2+3)

,2

若。在入軸上，則2+3/=0,得/=—1

若尸在y軸上，則1+3/=0,得「=一；；

fl+3?<0,21

若「在第二象限，則12+3?0,仔ZB_QU<一.

(2)OA=(1,2),尸3=(2—31,1—3。，若四邊形OABP為平行四邊

形，只需0A=P8,

[2-3r=l,胃子

則I°c即V,所以，無解，故四邊形048P不

1—3/=2,1

能為平行四邊形.

［條件探究］若將例3改為0(0,0),4(1,2),3(3,3),OP=tOA+

OB,試問：

(l)f為何值時(shí)，尸在X軸上？y軸上？第二象限？

(2)四邊形ABP。能否為平行四邊形？若能，求出相應(yīng)的"直，若

不能，請(qǐng)說明理由.

解(1)0尸=，。4+。8=(3+/,3+21),

二.尸點(diǎn)坐標(biāo)為(3+/,3+2。，

3

若尸在x軸上，則3+2f=0得/=一],

若。在y軸上，則3+/=0得，=一3,

[3+r<0,

若P在第二象限，則。上。c得r無解,

[3+2f〉0,

(2)OA=(1,2),PB=(—t,-2t),

若四邊形0A8P為平行四邊形，則0A=P8,\'即，=

[-2t=2,

-1,所以「=—1時(shí)，四邊形。43尸為平行四邊形.

拓展提升

向量中含參數(shù)問題的求解

(1)向量的坐標(biāo)含有兩個(gè)量：橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，如果橫或縱坐標(biāo)是

一個(gè)變量，則表示向量的點(diǎn)的坐標(biāo)的位置會(huì)隨之改變.

(2)解答這類由參數(shù)決定點(diǎn)的位置的題目，關(guān)鍵是列出滿足條件

的含參數(shù)的方程(組)，解這個(gè)方程(組)，就能達(dá)到解題的目的.

【跟蹤訓(xùn)練3】已知點(diǎn)4(2,3),1(5,4),C(7,10).若AP=A3+

KC(AeR),試求4為何值時(shí)，

(1)點(diǎn)P在第一、三象限角平分線上;

(2)點(diǎn)。在第三象限內(nèi).

解設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(%,y),

-A

則A尸=(%,力一(2,3)=(%—2,y-3),

AB+AAC=(5,4)-(2,3)+4(7,10)一(2,3)]

=(3,1)+45,7)=(3+52,1+74).

?—>—?

'：AP=AB+>AC,

%—2=3+52,1%=5+5人

?〈?<

"-3=1+7九?1=4+7九

(1)若P在一、三象限角平分線上，則5+52=4+7尢

5+5A<0,

(2)若尸在第三象限內(nèi)，則八二.上一1.

4I<U,

，2=；時(shí)，點(diǎn)P在第一、三象限角平分線上；2<—1時(shí)，點(diǎn)。在

第三象限內(nèi).

I那第如

1.在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量。4=a,點(diǎn)A的位置

被向量a唯一確定，此時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)與向量a的坐標(biāo)統(tǒng)一為(%,

》)?

2.平面向量的坐標(biāo)與該向量的起點(diǎn)、終點(diǎn)坐標(biāo)有關(guān)；應(yīng)把向量的

坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)區(qū)別開來，只有起點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，向量的坐標(biāo)才與終

點(diǎn)的坐標(biāo)相等.

3.符號(hào)(%,y)在直角坐標(biāo)系中有兩重意義，它既可以表示一個(gè)固

定的點(diǎn)，又可以表示一個(gè)向量.為了加以區(qū)分，在敘述中，就常說

點(diǎn)(%,y)或向量(%,y).

特別注意：向量“=(%,y)中間用等號(hào)連接，而點(diǎn)的坐標(biāo)A(%,y)

中間沒有等號(hào).

4.(1)平面向量的正交分解實(shí)質(zhì)上是平面向量基本定理的一種應(yīng)

用形式，只是兩個(gè)基向量均和€2互相垂直.

(2)由向量坐標(biāo)的定義，知兩向量相等的充要條件是它們的橫、

縱坐標(biāo)對(duì)應(yīng)相等，即臺(tái)%】=%2且y=y2,其中a=(%i,y),b—

(%2，)2).

(3)向量的坐標(biāo)只與起點(diǎn)、終點(diǎn)的相對(duì)位置有關(guān)，而與它們的具

體位置無關(guān).

(4)當(dāng)向量確定以后，向量的坐標(biāo)就是唯一確定的，因此向量在平

移前后，其坐標(biāo)不變.

卜課堂達(dá)標(biāo)自測(cè)

1.設(shè)平面向量。=(3,5),6=(—2,1),貝l]a—2。=()

A.(7,3)B.(7,7)

C.(1,7)D.(1,3)

答案A

解析“-2：=(3,5)—2(—2,1)=(3,5)一(一4,2)=(7,3).

2.已知向量a=(1,-2),防=(一3,4),貝班方=()

A.(-2,3)B.(2,-3)

C.(2,3)D.(-2,-3)

答案A

解析牯=防一8=(-3,4)—(1,-2)=(-4,6),.?.品=

；(—4,6)=(-2,3).

3.如圖，向量a,

答案(-4,0)(0,6)(-2,-5)

解析將各向量分別向基底所在直線分解，則a=-4i+0j,

.*.?=(—4,0)；b=0i+6j,.,.1=(0,6)；c=—2i~5j,.*.c=(—2,-

5).

4.已知ei=(l,2),e2=(—2,3),a=(—1,2),試以ei,02為基底,

將a分解成21e+2202的形式為.

4

答案-

7

解析設(shè)〃=九d+2202(九，22￡R),則(一1,2)=2I(1,2)+22(—2,3)

=(九一222,221+3/2).

-1=九—222,

.??〃=那1+那2.

2=2九+3七，

5.已知平面上三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為4—2,1),3(—1,3),。(3,4),

求點(diǎn)。的坐標(biāo)，使得A,B,C,。四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形.

解由四邊形ABCD為平行四邊形，得油=慶;可解得D(2,2).

由四邊形ABDC為平行四邊形，得加可解得Q(4,6).

由四邊形AQ3C為平行四邊形，得用)=聲，可解得。(-6,0).

因此，使A,B,C,。四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形的點(diǎn)。的坐標(biāo)是(2,2)

或(4,6)或(一6,0).

卜課后課時(shí)精練

A級(jí)：基礎(chǔ)鞏固練

一、選擇題

1.已知向量a=(l,2),2a+分=(3,2),則5=()

A.(1,-2)B.(1,2)

C.(5,6)D.(2,0)

答案A

解析方=(3,2)—2。=(3,2)—(2,4)=(1,—2).

2.QABCQ中，40=(3,7),A8=(—2,3),對(duì)稱中心為O,則CO

等于()

A.[一初5JB.-5J

C.&-5)D.g5)

答案B

解析C0=一;AC=-1(AD+AB)=-1(1,1O)=[-

3.已知向量@=可,2)"=(2,3),c=(3,4),Kc=ha+bb,則小,

方的值分別為()

A.-2,1B.1,-2

C.2,-1D.-1,2

答案D

解析因?yàn)椤?尢“+義2"所以(3,4)=九(1,2)+22(2,3)=(九+2不,2九

+3^2),

3+2%2=3,

所以?a,/解得力=-1，彩=2.

[221+322=4,

4.設(shè)向量。=(1,13),5=(—2,4),c=(—1,—2),若表示向量

4a,4。-2G2(a—c),d的有向線段首尾相連能構(gòu)成四邊形，則向量d為

()

A.(2,6)B.(-2,6)

C.(2,-6)D.(-2,-6)

答案D

解析由題意，得4。+4》-2c+2(“一c)+d=0,則d=—4?—4b

+2c-2(a—c)=—6a-4)+4c=(-2,—6).

5.設(shè)向量G=(/X,n),b=(s,t),定義兩個(gè)向量a,b之間的運(yùn)

算"?"為nt).若向量p=(l,2),p?q=(—3,—4),則向

量。=()

A.(-3,2)B.(3,-2)

C.(-2,-3)D.(-3,-2)

答案D

解析設(shè)向量q=a，y),根據(jù)題意可得％=—3,2y=-4,解得工

=—3,y=—2,即向量q=(—3,—2),故選D.

二'填空題

—?

6.已知點(diǎn)A(—l,—5)和向量。=(2,3),若則點(diǎn)3的坐

標(biāo)為.

答案(5,4)

—?—?

解析設(shè)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，因?yàn)?A=(—1,—5),48=3。=(6,9),

—?—?-?

故OB=OA+AB=(5,4),故點(diǎn)8的坐標(biāo)為(5,4).

—?—?

7.在△ABC中，點(diǎn)P在3C上，且8尸=2PC,點(diǎn)。是AC的中

―?—?-?

點(diǎn)，若抬=(4,3),PQ=(1,5),則8C=.

答案(-6,21)

—?―?—?

解析尸。一%=4。=(1,5)—(4,3)=(-3,2),因?yàn)辄c(diǎn)。是AC的

―?-?—>>-?—>>

中點(diǎn)，所以AQ=QC,所以尸。=尸。+。。=(1,5)+(—3,2)=(—2,7).因

―A―A—?—?―A―?

為BP=2PC,所以8c=3P+PC=3PC=3(-2,7)=(-6,21).

8.已知A(—3,0),3(0,2),。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)。在N403內(nèi)，

―?—?-?

|OC|=2隹且NAO。/設(shè)OC=2OA+O8Q￡R),貝：=.

2

答案3

TT

解析過C作軸于點(diǎn)區(qū)由NAOC=z知，|OE|=|CE]=

—?―?—?—?—?—?-?

2,所以O(shè)C=OE+OB=2OA+O3,即0E=40A,所以(一2,0)=2(一

3,0),故4=|.

三、解答題

9.已知向量AB=(4,3),AD=(~3,一1),點(diǎn)4一1,-2).

(1)求線段BD的中點(diǎn)M的坐標(biāo)；

(2)若點(diǎn)P(2,y)滿足P3=%8D(2￡R),求2與y的值.

解(1)設(shè)3(即，yx),

因?yàn)锳8=(4,3),A(-l,-2),

所以(為+1,yi+2)=(4,3),

%i+l=4,所以：所以3(3,1).

所以

?+2=3,1yl=1，

同理，可得。(一4,-3),

3—4I1—3

設(shè)8D的中點(diǎn)M(X2,竺)，則12=-2-=-29>2=-2-=-L

所以從一4，—1J

(2)由P8=(3,D—(2,y)=(l,l—y),

BD=(-4,-3)-(3,l)=(-7,-4),

又PB=2BD(AGR),

所以(1,1—y)=2(—7,—4)=(—72,—4/1).

1

A=一

1=-7A,所以7,

所以J3

l—y=—4A,

A

10.已知點(diǎn)0(0,0),A(l,2),3(4,5)及。尸=。4+。3,試問：

(1)，滿足什么條件時(shí)，點(diǎn)P在％軸上？點(diǎn)P在y軸上？點(diǎn)P在第

二象限內(nèi)？

(2)四邊形OABP能否成為平行四邊形？若能，求出相應(yīng)的t值;

若不能，請(qǐng)說明理由.

解(1)48=(3,3),OA=(1,2),

―?—?-?

OP=OA+/A3=(l+3r,2+3。.

2

若點(diǎn)尸在l軸上，則2+