解三角形-2021年高考數(shù)學(xué)專(zhuān)項(xiàng)復(fù)習(xí)含真題及解析

專(zhuān)題14解三角形

考點(diǎn)44已知邊角關(guān)系利用正余弦定理解三角形

1.（2019?新課標(biāo)I,文11）AABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知asinA—Asin3=4csinC,

1b

cosA=——，則一=（）

4c

A.6B.5C.4D.3

【答案】A

a2-b2=4c2

11A

【解析】丁asinA-Z?sin6=4csinC,cosA=——，{b2+c2-a21，解得3（?=——=6,

4cosA=---------------=——2c

、2bc4

故選A.

/72A2_r

2.（2018?新課標(biāo)III,理9文11）AABC的內(nèi)角A,6,C的對(duì)邊分別為a,b,c.若AABC的面積為--------

4

貝1。=（）

A.-B.-C.-D.-

2346

【答案】C

^272_2

【解析】AABC的內(nèi)角A,B,。的對(duì)邊分別為a,b,c.AABC的面積為----------，

4

222

]..Cl+b—C7144r'/E-

^A4RC=-absmC=---------------,sinC=----------------=cosC,0<C<^?:.C=一，故選

MfiC242ab4

3.（2016?新課標(biāo)I,文4）AA5c的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c.已知”=新，c=2,cosA=2,

3

則6=（）

A.72B.A/3C.2D.3

【答案】D

【解析】a=舊，c=2,cosA=2,.?.由余弦定理可得：cos4=2=.+}—"一二廳+4.5,整理可得:

332bc2x0x2

362_助-3=0,.?.解得：》=3或二（舍去），故選。.

3

4.（2014新課標(biāo)II,理4）鈍角三角形ABC的面積是AB=1,BC=O,則AC=（）

A.5B.V?C.2D.1

【答案】B.

111J?

【解析】S^ABC=-\AB\-\BC\-smB9即：-=-l-V2sinB,Asinfi=^-,

即5=45或135.XV|ACr=|A5|2+1BC|2-21AB|-15C|-cos5

...|AC|2=i或5,又?；AABC為鈍角三角形，A|AC|2=5,即:AC=^5,故選B.

5.(2013新課標(biāo)I,文10)已知銳角4ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,23cos2A+cos2A=0,

a=7,c=6,則6=

A.10B.9C.8D.5

【答案】D

【解析】由23cos2A+cos2A=0及△ABC是銳角三角形得cosA=',a=7,c=6,

5

113

72=62+b2-3<歷x—,即Sb?—12b—65=0,解得b=5或匕=—上(舍)，故選D.

55

6.(2014江西)在AA5C中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a,dc,,若3a=2b,貝I

2sin25-sin2A?/、

-------；-------的值為()

sinA

11,7

A.—B.—C.1D.—

932

【答案】D

■立刀??。?,2sin2B-sin2A^sinB1?人、2i7_

【解析】9：3a=2b,：.---------z--------=2(z-------)x2—I=2(-)2—l=一，故選D.

sin2AsinAa2

7.(2017山東)在AA5c中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.若AA5C為銳角三角形，且滿(mǎn)足

sinB(l+2cosC)=2sinAcosC+cosAsinC,則下列等式成立的是

A.a—2bB.b=2aC.A—2BD.B=2A

【解析】A

【解析】由sin_B(l+2cosC)=2sinAcosC+cosAsinC,得8B2hoB?Gs=iAC+B,

即2sin5cosc=sinAcosC,所以2sin3=sinA,即2b=a,選A.

8.(2014重慶)已知AA5C的內(nèi)角A,B,C滿(mǎn)足sin2A+sin(A—6+C)=sin(C—A—5)

+-,面積S滿(mǎn)足1WSW2,記a,b,c分別為A,B,C所對(duì)的邊，則下列不等式一定成立的

2

是

A.bc(Jb+c)>8B.ab{a+b}>16\/2C.6<abc<l2D.12<abc<24

【解析】A

【解析】因?yàn)锳+JB+C=?,由sin2A+sin(A-B+C)=sin(C—A-3)+；

得sin2A+sin2B+sin2C=—，

2

即sin[(A+B)+(A-B)]+sin[(A+B)-(A-B)]+sin2C=1,

整理得sinAsin3sinC=—,

8

又S=—absinC=—bcsinA=—acsinB,

222

因此S3=-a2b2c2sinAsinBsinC=—a2b2c2,由1WSW2

864

得1?2/或2口，

64

即8WabcW16后，因此選項(xiàng)C、D不一定成立.又b+c>a>0,

因此Z?c(Z?+c)三8,即Z?c(Z?+c)>8,選項(xiàng)A一定成立.又

因此〃/?(〃+/?)>8,顯然不能得出+>16后，選項(xiàng)B不一定成立.綜上所述，選A.

9.(2014江西)在AAJ3C中，Q,b,。分別為內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊長(zhǎng)，若

/=(“—))2+6,c=工，則AABC的面積是()

3

【解析】C

【解析】由c?=（a—勿2+6可得a2+2—c2=6①，由余弦定理及=（可得標(biāo)+尸一02=

/72aZ7—C

②.所以由①②得ab=6,所以50g=萬(wàn)。以：111（=罟.

10.（2013遼寧）在AABC,內(nèi)角A,5c所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為"c.若asin5cosC+

csinBcosA=—b,S.a>b,則/B=

2

TTn2〃15TC

A.—B.—C.—D.—

6336

【解析】A

1171

【解析】邊換角后約去sinB,得sin（A+C）=7,所以sin3=二，但B非最大角，所以5=二.

226

11.（2013陜西）設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若》cosC+ccos3=asinA,則

△ABC的形狀為（）

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.不確定

【解析】B

【解析】bcosC+ccosB=asinA,.??由正弦定理得$111585。+5111。855=511124,

Asin（B+C）=sin2A,AsinA=sin2A,AsinA=l,I.zXA3c是直角三角形.

12.（2011遼寧）△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,。所對(duì)的邊分別為a,b,c,（2sinAcosB+Z?cos2A

=42a,則2=

a

A.2A/3B.2A/2C.A/3D.A/2

【答案】D

【解析】由正弦定理,得sin?AsinB+sinBcos2A=^2sinA,即sinB?（sin2A+cos2A）=A/2sinA,

81115=72sinA,.?心=史&=0.

asinA

13.（2019?新課標(biāo)II,理15）AABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.若。=6,a=2c,B=~,

3

則AABC的面積為.

【答案】673

【解析】由余弦定理有62=a2+c2—2accosB,6=6,o=2c,B=-,36=（2c）2+c2-4c2cos-,c2=12,

33

2

S.八,ARr=—ocsinB=csinB=6百.

14.（2018?新課標(biāo)I,文16）AABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為“，b,c.已知

bsivC+csitS@si?,b2+c2-a2=S,則AABC的面積為.

【答案】正

3

【解析】AABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,bsinCcsinB=4asinBsinC,

利用正弦定文可得sin6sinC+sinCsin6=4sinAsinBsinC,由于0<6<萬(wàn)，0<Cv%,

所以sinbsinCwO,所以sinA=L，則4=工或.，由于從+/一/二&,貝hcosA=+C———,

2662bc

28QJZ,8^/5"

①當(dāng)A=工時(shí)，-B

解得A=U,所以S./ARtC_=—bcsinA=

6~2~2bcj3

6=8

②當(dāng)A=包時(shí)，?，解得bc=-—（不合題意），舍去.

6^2~2bc3

故心BC=￥.

15.（2017新課標(biāo)卷2,文16）4ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為o,b,如若2bcosB=〃cosC+ccosA,

貝UB=______________

【答案】-

3

【解析】由正弦定理可得

171

2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C)=sin5ncosB=——B=—

23

45

16.(2016?新課標(biāo)H,理13)AABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若oosA=—,cosC=—,

513

a=l,貝！J/?=.

【答案】—

13

2

【角星析】由cosA=3,cosC=9，可得sinA=Jl-cos2A=Ji一竺=1,sinC=-cosC=A/1-,

513V255V16913

sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=—x—+—x—=—,由正弦定理可得〃=

51351365sinA

I1x—63

=_65

313,

5

17.(2014新課標(biāo)I,理16)已知a,4c分別為AABC的三個(gè)內(nèi)角A5C的對(duì)邊，a=2,且

(2+b)(siA—siffi=)c-kb",則AABC面積的最大值為.

【答案】V3

【解析】由a=2且(2+Z?)(sinA-sinB)=(c-b)sinC,

即(a+Z?)(sinA-sinB)=(c-Z?)sinC,由及正弦定理得：(a+b)(a-b)=(c-b)c

72.22i

Z?2+c2-a2=bc,故cosA=-------———ZA=60°,Z72+c2-4=be

2bc2

22

4=b+c-be>be,S故BC=^bcsinA<y/3.

18.（2014廣東）在AAJ5C中，角ASC所對(duì)應(yīng)的邊分別為已知bcosC+

ccosB=2b,貝=__________.

b

【解析】2

【解析】由bcosC+ccos_B=2Z?得：sinBcosC+sinCcosB=2sinB,

即sin(5+C)=2sinjB,sinA=2sinB,a-2b,故q=2.

19.（2013安徽）設(shè)AABC的內(nèi)角ASC所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為若b+c=勿，則

3sinA=5sinB,則角C=

【解析】|萬(wàn)

/扇2

」nC=2萬(wàn),所以"1%.

【解析】3sinA—5sinB=>3^z=5b,b+c=2a=>cosC=-----------

lab23

20.（2012安徽）設(shè)AA5c的內(nèi)角ASC所對(duì)的邊為c；則下列命題正確的是.

TT

①若次?>/；則c<—②若a+Z?>2c；則C<—

33

③若a3+b3=c3；則C(工@^(a+b)c<2ab；則C〉工

22

⑤若（1+萬(wàn)加2<2標(biāo)。2；則生

3

【解析】①②③

o72-ci1+b2-c2lab-ab1?n

［斛析］①ob>c2ncosC=----------->--------=一nC<——

2ab2ab23

,c(J2+b?-C24(〃2+/72)—(a+b)21兀

②a+b〉2cncosC=----------->—--------....->-^>C<—

labSab23

③當(dāng)C22時(shí)，c2>a2+b2=^>c3>a2c+b2c>a3+b3與a3+Z?3=c3矛盾

2

JT

④取Q=Z?=2,C=1滿(mǎn)足(a+b)c<2ab得：C<—

2

⑤取a=b=2,c=l滿(mǎn)足(/+。2%2<2“2。2得：c<(.

21.(2012北京)在AABC中，若a=2,b+c=7,cos5=—工，則6=________.

4

【解析】4

【解析】根據(jù)余弦定理可得/=4+(7—b)2—2x2x(7—b)x(—,)，解得b=4.

4

22.（2020全國(guó)I文18）AABC的內(nèi)角A,3,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知3=150°.

C）若a=6c,b=2近,求AABC的面積；

(2)若sinA+sinC=---,求C.

【答案】(1)6；(2)15°.

【思、路導(dǎo)引】（1）已知角5和人邊，結(jié)合關(guān)系，由余弦定理建立。的方程，求解得出。，J利用面積公

式，即可得出結(jié)論；（2）將A=30。-C代入已知等式，由兩角差的正弦和輔助角公式，化簡(jiǎn)得出有關(guān)C角

的三角函數(shù)值，結(jié)合C的范圍，即可求解.

【解析】

(1)由余弦定理可得6?=28=a2+c2-2?c-cosl50°=7c2>

，c=2,a=2G,.\ZkABC的面積S=gacsin3=^.

(2)A+C=30°,

sinA+sinC=sin(30°—C)+百sinC=^-cosC+^^sinC=sin(C+30°)=，

0°<C<30°,30°<C+30°<60°,:.C+30°=45°,，C=15。.

23.(2020全國(guó)II文17)/XABC的內(nèi)角A,5,C的對(duì)邊分別為a,6,c,已知8$2[]+，|+8$4=：.

(1)求A；

(2)^b-c=—a,證明：△ABC是直角三角形.

3

71

【答案】(1)A=—；(2)證明見(jiàn)解析.

3

【思路導(dǎo)引】(1)根據(jù)誘導(dǎo)公式和同角三?角函數(shù)平方關(guān)系，COS2[T+A]+COSA=；可化為

1-COS2A+COSA=-,即可解出；(2)根據(jù)余弦定理可得加+c?一4=次，將6—0=無(wú)。代入可找到

43

a,b,c關(guān)系,再根據(jù)勾股定理或正弦定理即可證出.

【解析】(1)Vcos21—+A|+cosA=—/.sin2A+cosA=—,BP1-cos2A+cosA=—,

(2J4f44

,41,萬(wàn)

解得cosA——,又0vA<?,?..A=—.

23

(2)*.*A=-,cosA=+C———=—,即Z?2+/一〃2=^c①，

32bc2

又6—c=ga②，將②代入①得—3(人—。丫=人。，即26+Ze?—5bc=0，而b>c,解得Z?=2c,

:.a=&，故^=々2+02,即△ABC是直角三角形.

24.(2020全國(guó)II理17)AABC中，sin2A-sin2B-sin2C=sinBsinC.

（1）求A；

（2）若3C=3,求△ABC周長(zhǎng)的最大值.

r\

【答案】（1）云；（2）3+273.

【思路導(dǎo)引】（1）利用正弦定理角化邊，配湊出cosA的形式，進(jìn)而求得A；

（2）利用余弦定理可得到（AC+A3）2—AC-AB=9,利用基本不等式可求得AC+A3的最大值，進(jìn)而

得到結(jié)果.

222AC+ABBC

【解析】（1）由正弦定理可得：BC-AC-AB^ACAB，cosA=~-'=,

2ACAB2

（2）由余弦定理得：BC2=AC2+AB--2ACABcosA=AC2+AB2+AC-AB=9

即（AC+AB）2-ACAB=9.

（當(dāng)且僅當(dāng)AC=AB時(shí)取等號(hào)），

,-.9=（AC+AB）2-ACAB>（AC+AB）?—=|（AC+AB）2,

解得：AC+AB<2y/3（當(dāng)且僅當(dāng)AC=A3時(shí)取等號(hào)）,

ABC周長(zhǎng)L=AC+AB+BC?3+2G，ABC周長(zhǎng)的最大值為3+?

25.（2020江蘇16）在AABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知a=3,c=42,6=45°.

（1）求sinC的值；

4

（2）在邊5C上取一點(diǎn)。，使得cosNADC=——，求tanNDAC的值.

5

【答案】見(jiàn)解析

【解析】（1）由余弦定理，得cosB=cos45。="+，—"=七"=走

2ac6\122

因此〃=5,即。=石，由正弦定理一^="—,得二"=中，因此sinC=^

sinCsinBsinCV25

~1

A_____________Q

(2)VcosZADC=——，sinZADC=71-cos2ZADC=-,

55

,/ZADCCe(0,-'),cosC=Jl-sin?C=,

sinADAC=sin(乃-ZZMC)=sin(ZADC+ZC)=sinZADCcosC+cosZADCsinC=

ZDACe（0,~）,AcosZDAC=Vl-sin2ZDAC=,故tanNDAC=,血功八。=

225cosADAC11

26.（2020天津16）在A3C中，角A,3,C所對(duì)的邊分別為a,dc.已知a=2&,0=5,c=JF.

（I）求角。的大?。?/p>

（II）?求sinA的值；

（III）求sin[2A+?]的值.

r■如田1,T、個(gè)一萬(wàn)/TT\“2A/1~3/TTT、-Ac“乃、170

【答案】（I）C——；（II）sinA-......；（III）sin2AH—|=-------.

413（4J26

【思路導(dǎo)引】（I）直接利用余弦定理運(yùn)算即可；（II）由（I）及正弦定理即可得到答案；

（III）先計(jì)算出sinA,cosA,進(jìn)一步求出sin2A,cos2A,再利用兩角和的正弦公式計(jì)算即可.

【解析】（I）在A5c中，由a=2a,0=5,c=Jii及余弦定理得

C_"+"2—0?_8+25-13_@

-2ab-2x272x5-2

TT

又因?yàn)長(zhǎng)所以C:"

（H）在A5C中，由C=?，a=2、/5,c=相及正弦定理，可得5m4=竺電C2A/2X—25

-Vo—-13

(III)由a<c知角A為銳角，由sinA=2姮‘可得cosA=--sin2A=嚕

13

125

進(jìn)而sin2A=2sinAcosA=—,cos2A=2cos2A-l=一

1313

匚.小,萬(wàn)、,c“兀c”-%12A/25亞170

所以sm(2Ad——)=sm2Acos——l-cos2Asin—=——x-----1-----x-----=--------

44413213226

27.(2020浙江18)

在銳角^ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且26sinA=^a.

(I)求角B；

(II)求cosA+cosB+cosC的取值范圍.

JT

【答案】(DB=3；(II)

【思、路導(dǎo)引】(I)首先利用正弦定理邊化角，然后結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值即可確定NB的大小;

(II)結(jié)合(1)的結(jié)論將含有三個(gè)角的三角函數(shù)式化簡(jiǎn)為只含有NA的三角函數(shù)式，然后由三角形為銳角三角

形確定NA的取值范圍，最后結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可求得cosA+cosB+cosC的取值范圍.

【解析】(I)由2Z?sinA=結(jié)合正弦定理可得：ZsinBsinAuJ^sinAi.sinBu"，ZXABC為銳

2

TT

角三角形，故3=].

(II)結(jié)合(1)的結(jié)論有:

cosA+cosB+cosC=cosA+—+cos

2

cosA+且sina+L311?4?n1

sinA+—cosA+--sinA+—+—.

22222262

Q<-71-A<-

327171L271…4萬(wàn)

由<可得:—<A<—,—<AA+—<—,則sm|A+]j￡，1，

0<A<f62363

,An'6+13~

smA-\——，即cosA+cosB+cosC的取值范圍是

I32"2,

28.(2020山東17)

在①〃°=百，②csinA=3,③c=J步這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，若問(wèn)題中的三角

形存在，求c的值.；若問(wèn)題中的三角形不存在，說(shuō)明理由.

問(wèn)題：是否存在△ABC,它的內(nèi)角A,5,C的對(duì)邊分別為,且si卅=—3s知,

C=-,?

6

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

【答案】詳見(jiàn)解析

【思路導(dǎo)引】由題意結(jié)合所給的條件首先設(shè)出a,b的長(zhǎng)度，然后結(jié)合余弦定理和正弦定理解三角形確定邊

長(zhǎng)c即可.

【解析】選擇條件①的解析：

由sinA=gsin5可得：,不妨設(shè)a==加(m>0),

則：c2-a1+b2-labcosC=3m2+m2-2xy/3mxmx^~=m2，即。=加.

2

據(jù)此可得：ac=y/3mxm=y/Sm2=A/3?/.m=L此時(shí)c=zn=l.

選擇條件②的解析：由sinA=gsin5可得：-A/3,不妨設(shè)。=6加,/?=根(加＞0),

則：c2-a1+b2-labcosC=3m2+m2-2xV3mxmx^-=m2,即。=加.

^22_2

加2+機(jī)2—3m2

據(jù)此可得：cosA=3^~—

2bc2m2

csinA=mx^-=3，則：c=m=243

2

選擇條件③的解析：由sinA=J^sin5可得：=A/3,不妨設(shè)a=6m力=,

則：c1=+/-2abcosC=3m2+m2-2x^/3mxmx^-=m2,即。=加

2

據(jù)此可得￡='=1,c=b,與條件c=?矛盾，則問(wèn)題中的三角形不存在.

bm

29.(2019?新課標(biāo)I,理17)AABC的內(nèi)角A,B,。的對(duì)邊分別為〃，b,c.設(shè)

(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC.

(1)求A；

(2)若y/2a+b=2c,求sinC.

【解析】(1)AABC的內(nèi)角A,B,。的對(duì)邊分別為a,b,c.

設(shè)(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC.

則sin2B+sin2C—2sinBsinC=sin2A—sinBsinC,

/.由正弦定理得：b2+c2-a2=be,

b2+C2-a2be_1

/.cosA=

2bc2bc~2

0VAvA——.

3

(2)+Z?=2c,A=—9

3

/.由正弦定理得0sinA+sin3=2sinC,

+si”(與-C)=2sinC

hjj夕日?(廠(chǎng)冗、<27TTC-,TC7C

角牛sin(C----)-----，/.C-----——，C=-I—，

626446

...7171.7171兀.兀06也1#+后

/.sinC=sin(——I——)=sin—cos——Fcos—sin—=——x----p——x—=------------.

46464622224

A4-「

30.(2019?新課標(biāo)III,理(文)18)AABC的內(nèi)角A、B、。的對(duì)邊分別為。，b,c.已知asin―-=bsinA.

2

(1)求5；

(2)若AABC為銳角三角形，且c=l,求AABC面積的取值范圍.

【解析】(1)asin"+￡=6sinA,即為asin^~~~=acos—=bsinA,

222

BBB

可得sinAcos—=sinBsinA=2sin-cos-sinA,

222

sinA>0,

B

cos—=2sinaosZ

222

,B

右cos—=0，可得5=(2左+1)%,左￡工不成立,

2

.B1

/.sin——二一

22

由0<B〈幾，可得5=工

3

(2)若A鉆。為銳角三角形，且c=l,

由余弦定理可得6=4+1—2a1cos———a+1

3

由三角形ABC為銳角三角形，可得儲(chǔ)+/一〃+1>1且1+/一〃+1>々2,

解得-<a<2,

2

可得AABC面積S=—asin—=—6/G

234

a1

31.（2017新課標(biāo)卷1,理17）人短。的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為“，萬(wàn)，。，已知△加C的面積為3sinA.

（1）^sinBsinC.

（2）若6cos3cosc=1,a=3“求八46。的周長(zhǎng).

人?人

、r?—_a_a、=_1_sin/\

【解析】（1）?「△MC面積3sinA.且2

a217.

--------=—bcsinA4

3sinA2

23.

a=—bcsin2A

：.2

3

sin2A=—sin3sinCsin2A

「由正弦定理得2,

sinBsinC=-

由sinAWO得3

sinBsinC=—cosBcosC=—

（2）由（1）得3,6

?/A+B+C=7i

（）（）

cosA=cos7C—B—C=—cosB+C=sinBsinC—cos5cosc=g

又...Ae（O,兀）

sinA=cosA=—

A=60°，2，2

由余弦定理得力="+。2一A=9①

b=——sinBc=——?sinC

由正弦定理得sinA,sinA

2

bc=——--sinBsinC=8

sinA②

由①②得",=后

.,.?+〃+。=3+^/33,即AABC周長(zhǎng)為3+A/33

32.(2017新課標(biāo)卷2,理17)AABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a,4c,已知sin(A+。=Zsii?g,

(1)求cos5;

(2)若a+c=6,AABC的面積為2,求A.

【解析】(1)由題設(shè)及A+B+C=?得sin3=8sin2K,故

2

sinB=4(1-cosB)

上式兩邊平方，整理得17cos2B-32COSB+15=0

解得cosB=l(舍去)，cosB="

17

1CQ

(2)由cosB二一得sinB=一，故^\ABC=-acsinB=——ac

1717217

乂SAA8C=2,則ac=5

由余弦定理及a+c=6得

b2=a2+c2—2accosB

=(a+c)2-2ac(l+cosB)

“c1715、

=36-2x——x(Zl1d----)

217

=4

所以b=2

33.(2017新課標(biāo)卷3,理17)AABC的內(nèi)角A,B,。的對(duì)邊分別為〃，b,c,已知sinA+QcosA=0，a=2近,

b=2.

(I)求c；

(2)設(shè)。為6。邊上一點(diǎn)，且ADLAC,求"BD的面積.

【解析】(I)由sinA+GcosA=0得2sin[A+§)=°,

即A+W=fai(%eZ),又Ae(O,?i),

兀A兀

?.?4Ad---=71,谷ZF14A.=—2.

33

由余弦定理"=b2+c2-2bc-cosA.又,:a=2/,6=2,cosA=-g代入并整理得(c+l『=25,故c=4.

(2),:AC=2,BC=2幣,AB=4,

由余弦定理cosC="WM=空.

lab7

VACLAD,即為直角三角形,

則AC=CD-cosC,得CD訪(fǎng).

由勾股?定理AD=^\CDf-\ACf=73.

又人=&，則/DAB=◎-巴=工，

3326

^D=1|An|-|AB|.sin^=V3.

34.(2016新課標(biāo)卷1,理17)ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別別為a,b,c,已知

2coC。coB+bcoA=)

(I)求C；

(ID若。=J7,ABC的面積為36,求ABC的周長(zhǎng).

2

【解析】(I)由正弦定理及2(：(光。(。855+/?8574)=。.得2cosC(sinAcosB+sinBcosA)=sinC

^p2cosCsin(A+B)=sinC即2asCaC=mC,因?yàn)镺vC<?,所以sinCwO,所以cosC=—

所以

(II)由余弦定理得：c2=a2+b2-lab-cosC

l=cr+b2-2ab--

2

(a+Z?)2-3ab=7

S=—ab'SinC=

242

ab=6

：.(1+4—18=7

a+b=5

：.AABC周長(zhǎng)為a+6+c=5+S

35.(2015新課標(biāo)I,文17)已知分別是AABC內(nèi)角A5C的對(duì)邊，sin25=2sinAsinC.

(I)若a=b,求cos6;

(H)若3=90,且“=拒，求AABC的面積.

【答案】(I)-(ID1

4

【解析】(D由題設(shè)及正弦定理可得方2=2ac.

又a=b,可得Z?=2c,a=2c,

2I2/2i

由余弦定理可得cosB=----=—.

2ac4

(II)由⑴知從=2ac.

因?yàn)?=90°,由勾股定理得病+。2=尸.

+c2=2ac,得c=a=0.

所以DABC的面積為1.

36.(2013新課標(biāo)H,理17)ZXABC內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知a=Z?cosC+csinB.

(I)求B；

(II)若b=2,求AABC面積的最大值.

【解析】(I)由已知及正弦定理得sinA=sin5cosC+sinCsinB,①

又A=—(_B+C),

:.sinBcosC+cosBsinC=sinBcosC+sinCsinB,

即cosBsinC=sinCsinB,

Ce(0,7i)：,sinCw0,

:.sinB=cosB,

71

VBG(0,7Z-),:.B=—.

4

1J2

(II)AABC的面積S=—acsin5二——ac,

24

由已知及余弦定理得4=a2+c2-2accos—.,

4

*.*a2+c2>2ac,

4

故acV——產(chǎn),當(dāng)且僅當(dāng)。=c時(shí)，取等號(hào)，

2-V2

/.AABC面積的最大值為A/2+I.

37.(2012新課標(biāo)，理17)已知a,b,c分別為AA5C三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊，

acosC+yjiasinC-Z?-c=0.

(I)求A；

(II)若a=2,AABC的面積為G，求Z?,c.

【解析】(I)由4cosc+GasinC—b—c=O及正弦定理得

sinAcosC+\/3sinAsinC-sinB-sinC=0,

因?yàn)?二萬(wàn)一A-C,所以6sinAsinC—cosAsinC-sinC=0

一711

由于sinCwO,所以sin(A——)二一，

62

TT

又0<Av?,故人=一.

3

(II)AABC的面積S=—Z?csinA二G,故6c=4,

2

而a1=b2+c2-2Z?ccosA故片+"點(diǎn)，解得人=。=2.

38.(2012新課標(biāo)，文17)已知Q,b,。分別為AABC三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊，c=J^QsinC—csinA.

(I)求A；

(II)若〃=2,AABC的面積為求b,c.

【解析】(I)由c=AsinC—csinA及正弦定理得

A/3sinAsinC-sinAsinC