高一數(shù)學同步備好課之題型全歸納(人教A版必修第一冊)專題59三角恒等變換的簡單應用(原卷版+解析)

專題59三角恒等變換的簡單應用1.輔助角公式輔助角公式：asinx＋bcosx＝eq\r(a2＋b2)sin(x＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(tanφ＝\f(b,a))).推導過程：asinx＋bcosx＝eq\r(a2＋b2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,\r(a2＋b2))sinx＋\f(b,\r(a2＋b2))cosx)).令cosφ＝eq\f(a,\r(a2＋b2))，sinφ＝eq\f(b,\r(a2＋b2))，則asinx＋bcosx＝eq\r(a2＋b2)(sinxcosφ＋cosxsinφ)＝eq\r(a2＋b2)sin(x＋φ)，其中角φ所在象限由a，b的符號確定，角φ的值由tanφ＝eq\f(b,a)確定或由sinφ＝eq\f(b,\r(a2＋b2))和cosφ＝eq\f(a,\r(a2＋b2))共同確定．題型一恒等變換與三角函數(shù)圖象性質(zhì)的綜合1．已知f(x)＝2sin2x＋2sinxcosx，則f(x)的最小正周期和一個單調(diào)減區(qū)間分別為()A．2π，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3π,8)，\f(7π,8))) B．π，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3π,8)，\f(7π,8)))C．2π，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,8)，\f(3π,8))) D．π，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,8)，\f(3π,8)))2．函數(shù)f(x)＝cos2x＋4sinx的值域是________．3．函數(shù)y＝eq\f(1,2)sin2x＋sin2x，x∈R的值域是4．函數(shù)f(x)＝sinx(cosx－sinx)的最小正周期是5．函數(shù)f(x)＝sinx－cosx，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))的最小值為______．6．若函數(shù)f(x)＝eq\r(3)sinxcosx＋cos2x＋a在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,3)))上的最大值與最小值的和為eq\f(3,2)，則a＝7．已知函數(shù)f(x)＝sinx＋eq\r(3)cosx的圖象關于直線x＝a對稱，則最小正實數(shù)a的值為8．若動直線x＝a與函數(shù)f(x)＝sinxcosx和g(x)＝cos2x的圖象分別交于M，N兩點，則MN的最大值為________．9．函數(shù)f(x)＝sin2x＋eq\r(3)sinxcosx在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))上的最大值是10．使函數(shù)f(x)＝sin(2x＋θ)＋eq\r(3)cos(2x＋θ)為奇函數(shù)的θ的一個值是()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,2)D.eq\f(2π,3)11．函數(shù)f(x)＝sinx－eq\r(3)cosx(x∈[－π，0])的單調(diào)遞增區(qū)間是12．設函數(shù)f(x)＝eq\r(3)cos2ωx＋sinωxcosωx＋a(其中ω>0，a∈R)，且f(x)的圖象在y軸右側(cè)的第一個最高點的橫坐標為eq\f(π,6).則ω的值為13．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(cos2x－1,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,2))))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<x≤\f(π,3)))，則()A．函數(shù)f(x)的最大值為eq\r(3)，無最小值B．函數(shù)f(x)的最小值為－eq\r(3)，最大值為0C．函數(shù)f(x)的最大值為eq\f(\r(3),3)，無最小值D．函數(shù)f(x)的最小值為－eq\r(3)，無最大值14．函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))－2eq\r(2)sin2x的最小正周期是________．15．在△ABC中，若3cos2eq\f(A－B,2)＋5sin2eq\f(A＋B,2)＝4，則tanAtanB＝________.16．已知A＋B＝eq\f(2π,3)，那么cos2A＋cos2B的最大值是______，最小值是________．17．若函數(shù)f(x)＝(1＋eq\r(3)tanx)cosx,0≤x<eq\f(π,2)，則f(x)的最大值是18．函數(shù)y＝cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,12)))＋sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,12)))－1()A．是奇函數(shù)B．是偶函數(shù)C．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)D．既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)19．在△ABC中，若sinAsinB＝cos2eq\f(C,2)，則△ABC是()A．等邊三角形 B．等腰三角形C．不等邊三角形 D．直角三角形20．已知函數(shù)f(x)＝cos(π＋x)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)π－x))－eq\r(3)cos2x＋eq\f(\r(3),2).(1)求f(x)的最小正周期和最大值；(2)求f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(2π,3)))上的單調(diào)遞增區(qū)間．21．已知函數(shù)f(x)＝(sinx＋cosx)2－cos2x.(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期；(2)求證：當x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))時，f(x)≥0.22．已知函數(shù)f(x)＝(2cos2x－1)sin2x＋eq\f(1,2)cos4x.(1)求f(x)的最小正周期及最大值；(2)若α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，且f(α)＝eq\f(\r(2),2)，求α的值．23．已知f(x)＝5sinxcosx－5eq\r(3)cos2x＋eq\f(5,2)eq\r(3)(x∈R)．(1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)求f(x)的對稱軸、對稱中心．24．已知函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))－2eq\r(2)sin2x.(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期；(2)求函數(shù)f(x)圖象的對稱軸方程、對稱中心的坐標；(3)當0≤x≤eq\f(π,2)時，求函數(shù)f(x)的最大、最小值．25．已知f(x)＝eq\f(\r(3),2)(sinx＋cosx)2－cos2x.(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(θ,2)＋\f(π,3)))＝eq\f(1＋5\r(3),10)，求sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ－\f(π,4)))的值．26．已知函數(shù)f(x)＝2cos2eq\f(x,2)，g(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(x,2)＋cos\f(x,2)))2.(1)求證：feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))＝g(x)；(2)求函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)(x∈[0，π]的單調(diào)區(qū)間，并求使h(x)取到最小值時x的值．27．已知函數(shù)f(x)＝sinx－2eq\r(3)sin2eq\f(x,2).(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2π,3)))上的最小值．28．已知函數(shù)f(x)＝eq\r(3)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))－2sinxcosx.(1)求f(x)的最小正周期．(2)求證：當x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,4)))時，f(x)≥－eq\f(1,2).29．已知函數(shù)f(x)＝eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))＋2sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,12)))(x∈R)．(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期；(2)求使函數(shù)f(x)取得最大值的x的集合．30．已知函數(shù)f(x)＝4cosxsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))－1.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,4)))上的最大值和最小值．31．已知函數(shù)f(x)＝2eq\r(3)sin(x－3π)·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,2)))＋2sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(5π,2)))－1，x∈R.(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期及在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的最大值和最小值；(2)若f(x0)＝eq\f(6,5)，x0∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))，求cos2x0的值．題型二三角函數(shù)在實際問題中的應用1．我國古代數(shù)學家趙爽的弦圖是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形(如圖)．如果小正方形的面積為1，大正方形的面積為25，直角三角形中較小的銳角為θ，那么cos2θ的值等于____．2．有一塊以O為圓心的半圓形空地，要在這塊空地上劃出一個內(nèi)接矩形ABCD開辟為綠地，使其一邊AD落在半圓的直徑上，另外兩點B，C落在半圓的圓周上，已知半圓的半徑長為a，如何選擇關于點O對稱的點A，D的位置，可以使矩形ABCD的面積最大？3．某工人要從一塊圓心角為45°的扇形木板中割出一塊一邊在半徑上的內(nèi)接長方形桌面，若扇形的半徑長為1m，求割出的長方形桌面的最大面積(如右圖)．4．如圖所示，要把半徑為R的半圓形木料截成長方形，應怎樣截取，才能使△OAB的周長最大？5．北京召開的國際數(shù)學家大會，會標是以我國古代數(shù)學家趙爽的弦圖為基礎設計的．弦圖是由四個全等直角三角形與一個小正方形拼成一個大正方形(如圖所示)．如果小正方形的面積為1，大正方形的面積為25，直角三角形中較小的銳角為θ，求cos2θ.6．如圖所示，在直角坐標系xOy中，點P是單位圓上的動點，過點P作x軸的垂線與射線y＝eq\r(3)x(x≥0)交于點Q，與x軸交于點M.記∠MOP＝α，且α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2))).(1)若sinα＝eq\f(1,3)，求cos∠POQ；(2)求△OPQ面積的最大值．7．某高校專家樓前現(xiàn)有一塊矩形草坪ABCD，已知草坪長AB＝100米，寬BC＝50eq\r(3)米，為了便于專家平時工作、起居，該高校計劃在這塊草坪內(nèi)鋪設三條小路HE，HF和EF，并要求H是CD的中點，點E在邊BC上，點F在邊AD上，且∠EHF為直角，如圖所示．(1)設∠CHE＝x(弧度)，試將三條路的全長(即△HEF的周長)L表示成x的函數(shù)，并求出此函數(shù)的定義域；(2)這三條路，每米鋪設預算費用均為400元，試問如何設計才能使鋪路的總費用最低？并求出最低總費用(結果保留整數(shù))(可能用到的參考值：eq\r(3)取1.732，eq\r(2)取1.414)．8．點P在直徑AB＝1的半圓上移動，過點P作切線PT，且PT＝1，∠PAB＝α，則當α為何值時，四邊形ABTP的面積最大？9．如圖，ABCD是一塊邊長為100m的正方形地皮，其中AST是半徑為90m的扇形小山，其余部分都是平地．一開發(fā)商想在平地上建一個矩形停車場，使矩形的一個頂點P在Seq\x\to(T)上，相鄰兩邊CQ，CR正好落在正方形的邊BC，CD上，求矩形停車場PQCR面積的最大值和最小值．10．如圖，A，B是半徑為1的圓O上任意兩點，以AB為一邊作等邊三角形ABC.當點A，B處于怎樣的位置時，四邊形OACB的面積最大？最大面積是多少？專題59三角恒等變換的簡單應用1.輔助角公式輔助角公式：asinx＋bcosx＝eq\r(a2＋b2)sin(x＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(tanφ＝\f(b,a))).推導過程：asinx＋bcosx＝eq\r(a2＋b2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,\r(a2＋b2))sinx＋\f(b,\r(a2＋b2))cosx)).令cosφ＝eq\f(a,\r(a2＋b2))，sinφ＝eq\f(b,\r(a2＋b2))，則asinx＋bcosx＝eq\r(a2＋b2)(sinxcosφ＋cosxsinφ)＝eq\r(a2＋b2)sin(x＋φ)，其中角φ所在象限由a，b的符號確定，角φ的值由tanφ＝eq\f(b,a)確定或由sinφ＝eq\f(b,\r(a2＋b2))和cosφ＝eq\f(a,\r(a2＋b2))共同確定．題型一恒等變換與三角函數(shù)圖象性質(zhì)的綜合1．已知f(x)＝2sin2x＋2sinxcosx，則f(x)的最小正周期和一個單調(diào)減區(qū)間分別為()A．2π，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3π,8)，\f(7π,8))) B．π，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3π,8)，\f(7π,8)))C．2π，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,8)，\f(3π,8))) D．π，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,8)，\f(3π,8)))[解析]∵f(x)＝1－cos2x＋sin2x＝1＋eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))，∴f(x)的最小正周期T＝eq\f(2π,2)＝π，由eq\f(π,2)＋2kπ≤2x－eq\f(π,4)≤eq\f(3π,2)＋2kπ，得f(x)的單調(diào)減區(qū)間為eq\f(3π,8)＋kπ≤x≤eq\f(7π,8)＋kπ，k∈Z，當k＝0時，得f(x)的一個單調(diào)減區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3π,8)，\f(7π,8)))，故選B.2．函數(shù)f(x)＝cos2x＋4sinx的值域是________．[解析]f(x)＝cos2x＋4sinx＝1－2sin2x＋4sinx＝－2(sinx－1)2＋3.當sinx＝1時，f(x)取得最大值3，當sinx＝－1時，f(x)取得最小值－5，所以函數(shù)f(x)的值域為[－5,3]．3．函數(shù)y＝eq\f(1,2)sin2x＋sin2x，x∈R的值域是[解析]y＝eq\f(1,2)sin2x＋eq\f(1－cos2x,2)＝eq\f(\r(2),2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))＋eq\f(1,2)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)＋\f(1,2)，\f(\r(2),2)＋\f(1,2)))4．函數(shù)f(x)＝sinx(cosx－sinx)的最小正周期是[解析]由f(x)＝sinx(cosx－sinx)＝sinxcosx－sin2x＝eq\f(1,2)sin2x－eq\f(1－cos2x,2)＝eq\f(\r(2),2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))－eq\f(1,2)，可得函數(shù)f(x)的最小正周期為T＝eq\f(2π,2)＝π5．函數(shù)f(x)＝sinx－cosx，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))的最小值為______．[解析]∵f(x)＝eq\r(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)sinx－\f(\r(2),2)cosx))＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴x－eq\f(π,4)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,4)))，∴f(x)的最小值為eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)))＝－16．若函數(shù)f(x)＝eq\r(3)sinxcosx＋cos2x＋a在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,3)))上的最大值與最小值的和為eq\f(3,2)，則a＝[解析]f(x)＝eq\r(3)sinxcosx＋cos2x＋a＝eq\f(\r(3),2)sin2x＋eq\f(1,2)cos2x＋eq\f(1,2)＋a＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))＋eq\f(1,2)＋a，因為－eq\f(π,6)≤x≤eq\f(π,3)，所以－eq\f(π,6)≤2x＋eq\f(π,6)≤eq\f(5π,6)，則－eq\f(1,2)≤sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))≤1.又f(x)的最大值與最小值的和為eq\f(3,2)，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2)＋a))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＋\f(1,2)＋a))＝eq\f(3,2)，解得a＝0.7．已知函數(shù)f(x)＝sinx＋eq\r(3)cosx的圖象關于直線x＝a對稱，則最小正實數(shù)a的值為[解析]因為f(x)＝sinx＋eq\r(3)cosx＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)sinx＋\f(\r(3),2)cosx))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))，所以其對稱軸方程為x＋eq\f(π,3)＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z.解得x＝kπ＋eq\f(π,6)，k∈Z.又函數(shù)f(x)＝sinx＋eq\r(3)cosx的圖象關于直線x＝a對稱，所以a＝kπ＋eq\f(π,6)，k∈Z.當k＝0時，最小正實數(shù)a的值為eq\f(π,6).8．若動直線x＝a與函數(shù)f(x)＝sinxcosx和g(x)＝cos2x的圖象分別交于M，N兩點，則MN的最大值為________．[解析]f(x)＝sinxcosx＝eq\f(1,2)sin2x，g(x)＝cos2x＝eq\f(1＋cos2x,2)，所以MN＝|f(a)－g(a)|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)sin2a－\f(1,2)cos2a－\f(1,2)))＝eq\f(\r(2),2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2a－\f(π,4)))－\f(\r(2),2)))，則當sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2a－\f(π,4)))＝－1時，MN取得最大值，為eq\f(1＋\r(2),2).9．函數(shù)f(x)＝sin2x＋eq\r(3)sinxcosx在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))上的最大值是[解析]∵f(x)＝sin2x＋eq\r(3)sinxcosx＝eq\f(1－cos2x,2)＋eq\f(\r(3),2)sin2x＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))＋eq\f(1,2).又x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))，∴2x－eq\f(π,6)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(5π,6)))，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))＋eq\f(1,2)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2))).即f(x)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2))).故f(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))上的最大值為eq\f(3,2).10．使函數(shù)f(x)＝sin(2x＋θ)＋eq\r(3)cos(2x＋θ)為奇函數(shù)的θ的一個值是()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,2)D.eq\f(2π,3)[解析]f(x)＝sin(2x＋θ)＋eq\r(3)cos(2x＋θ)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)＋θ)).當θ＝eq\f(2,3)π時，f(x)＝2sin(2x＋π)＝－2sin2x是奇函數(shù)．[答案]D11．函數(shù)f(x)＝sinx－eq\r(3)cosx(x∈[－π，0])的單調(diào)遞增區(qū)間是[解析]∵f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))，∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,6)，2kπ＋\f(5,6)π))(k∈Z)．令k＝0得增區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(5,6)π)).∵x∈[－π，0]，∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，0))12．設函數(shù)f(x)＝eq\r(3)cos2ωx＋sinωxcosωx＋a(其中ω>0，a∈R)，且f(x)的圖象在y軸右側(cè)的第一個最高點的橫坐標為eq\f(π,6).則ω的值為[解析]f(x)＝eq\f(\r(3),2)cos2ωx＋eq\f(1,2)sin2ωx＋eq\f(\r(3),2)＋a＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2ωx＋\f(π,3)))＋eq\f(\r(3),2)＋a，依題意得2ω·eq\f(π,6)＋eq\f(π,3)＝eq\f(π,2)，解之得ω＝eq\f(1,2).13．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(cos2x－1,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,2))))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<x≤\f(π,3)))，則()A．函數(shù)f(x)的最大值為eq\r(3)，無最小值B．函數(shù)f(x)的最小值為－eq\r(3)，最大值為0C．函數(shù)f(x)的最大值為eq\f(\r(3),3)，無最小值D．函數(shù)f(x)的最小值為－eq\r(3)，無最大值[解析]因為f(x)＝eq\f(cos2x－1,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,2))))＝eq\f(cos2x－1,sin2x)＝eq\f(－2sin2x,2sinxcosx)＝－tanx，0<x≤eq\f(π,3)，所以函數(shù)f(x)的最小值為－eq\r(3)，無最大值，故選D.14．函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))－2eq\r(2)sin2x的最小正周期是________．[解析]f(x)＝eq\f(\r(2),2)sin2x－eq\f(\r(2),2)cos2x－eq\r(2)(1－cos2x)＝eq\f(\r(2),2)sin2x＋eq\f(\r(2),2)cos2x－eq\r(2)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))－eq\r(2)，所以T＝eq\f(2π,2)＝π.15．在△ABC中，若3cos2eq\f(A－B,2)＋5sin2eq\f(A＋B,2)＝4，則tanAtanB＝________.[解析]因為3cos2eq\f(A－B,2)＋5sin2eq\f(A＋B,2)＝4，所以eq\f(3,2)cos(A－B)－eq\f(5,2)cos(A＋B)＝0，所以eq\f(3,2)cosAcosB＋eq\f(3,2)sinAsinB－eq\f(5,2)cosAcosB＋eq\f(5,2)sinAsinB＝0，即cosAcosB＝4sinAsinB，所以tanAtanB＝eq\f(1,4).16．已知A＋B＝eq\f(2π,3)，那么cos2A＋cos2B的最大值是______，最小值是________．[解析]∵A＋B＝eq\f(2π,3)，∴cos2A＋cos2B＝eq\f(1,2)(1＋cos2A＋1＋cos2B)＝1＋eq\f(1,2)(cos2A＋cos2B)＝1＋cos(A＋B)cos(A－B)＝1＋coseq\f(2π,3)·cos(A－B)＝1－eq\f(1,2)cos(A－B)，∴當cos(A－B)＝－1時，原式取得最大值eq\f(3,2)；當cos(A－B)＝1時，原式取得最小值eq\f(1,2).17．若函數(shù)f(x)＝(1＋eq\r(3)tanx)cosx,0≤x<eq\f(π,2)，則f(x)的最大值是[解析]f(x)＝(1＋eq\r(3)tanx)cosx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\r(3)\f(sinx,cosx)))cosx＝eq\r(3)sinx＋cosx＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6))).∵0≤x<eq\f(π,2)，∴eq\f(π,6)≤x＋eq\f(π,6)<eq\f(2π,3)，∴當x＋eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)時，f(x)取到最大值2.18．函數(shù)y＝cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,12)))＋sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,12)))－1()A．是奇函數(shù)B．是偶函數(shù)C．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)D．既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)[解析]y＝eq\f(1＋cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6))),2)＋eq\f(1－cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6))),2)－1＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))－cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))))＝eq\f(1,2)sin2x，是奇函數(shù)．故選A.19．在△ABC中，若sinAsinB＝cos2eq\f(C,2)，則△ABC是()A．等邊三角形 B．等腰三角形C．不等邊三角形 D．直角三角形[解析]由已知得，sinAsinB＝eq\f(1＋cosC,2)，又∵cosC＝－cos(A＋B)，∴2sinAsinB＋cos(A＋B)＝1，∴cos(A－B)＝1，∵0<A<π，0<B<π，∴－π<A－B<π，∴A－B＝0，∴△ABC是等腰三角形，故選B.20．已知函數(shù)f(x)＝cos(π＋x)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)π－x))－eq\r(3)cos2x＋eq\f(\r(3),2).(1)求f(x)的最小正周期和最大值；(2)求f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(2π,3)))上的單調(diào)遞增區(qū)間．[解析]f(x)＝(－cosx)·(－sinx)－eq\r(3)·eq\f(1＋cos2x,2)＋eq\f(\r(3),2)＝eq\f(1,2)sin2x－eq\f(\r(3),2)cos2x＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3))).(1)f(x)的最小正周期為π，最大值為1.(2)令2kπ－eq\f(π,2)≤2x－eq\f(π,3)≤2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，即kπ－eq\f(π,12)≤x≤kπ＋eq\f(5,12)π(k∈Z)，所以f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(5π,12)))上單調(diào)遞增，即f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(2π,3)))上的單調(diào)遞增區(qū)間是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(5π,12))).21．已知函數(shù)f(x)＝(sinx＋cosx)2－cos2x.(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期；(2)求證：當x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))時，f(x)≥0.[解析](1)因為f(x)＝sin2x＋cos2x＋sin2x－cos2x＝1＋sin2x－cos2x＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))＋1，所以函數(shù)f(x)的最小正周期為π.(2)證明：由(1)可知，f(x)＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))＋1.當x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))時，2x－eq\f(π,4)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(3π,4)))，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，1))，eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))＋1∈[0，eq\r(2)＋1]．當2x－eq\f(π,4)＝－eq\f(π,4)，即x＝0時，f(x)取得最小值0.所以當x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))時，f(x)≥0.22．已知函數(shù)f(x)＝(2cos2x－1)sin2x＋eq\f(1,2)cos4x.(1)求f(x)的最小正周期及最大值；(2)若α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，且f(α)＝eq\f(\r(2),2)，求α的值．[解析](1)∵f(x)＝(2cos2x－1)sin2x＋eq\f(1,2)cos4x＝cos2xsin2x＋eq\f(1,2)cos4x＝eq\f(1,2)(sin4x＋cos4x)＝eq\f(\r(2),2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(π,4)))，∴f(x)的最小正周期為eq\f(π,2)，最大值為eq\f(\r(2),2).(2)∵f(α)＝eq\f(\r(2),2)，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4α＋\f(π,4)))＝1，∵α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，∴4α＋eq\f(π,4)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9π,4)，\f(17π,4))).∴4α＋eq\f(π,4)＝eq\f(5π,2)，故α＝eq\f(9π,16).23．已知f(x)＝5sinxcosx－5eq\r(3)cos2x＋eq\f(5,2)eq\r(3)(x∈R)．(1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)求f(x)的對稱軸、對稱中心．[解析]f(x)＝eq\f(5,2)sin2x－5eq\r(3)×eq\f(1＋cos2x,2)＋eq\f(5\r(3),2)＝eq\f(5,2)sin2x－eq\f(5\r(3),2)cos2x＝5sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3))).(1)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,12)＋kπ，\f(5,12)π＋kπ))(k∈Z)．(2)對稱軸方程是：x＝eq\f(1,2)kπ＋eq\f(5,12)π，(k∈Z)；對稱中心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)kπ＋\f(π,6)，0))(k∈Z)．24．已知函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))－2eq\r(2)sin2x.(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期；(2)求函數(shù)f(x)圖象的對稱軸方程、對稱中心的坐標；(3)當0≤x≤eq\f(π,2)時，求函數(shù)f(x)的最大、最小值．[解析]f(x)＝eq\f(\r(2),2)sin2x－eq\f(\r(2),2)cos2x－2eq\r(2)·eq\f(1－cos2x,2)＝eq\f(\r(2),2)sin2x＋eq\f(\r(2),2)cos2x－eq\r(2)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))－eq\r(2).(1)函數(shù)f(x)的最小正周期為π.(2)令2x＋eq\f(π,4)＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，得x＝eq\f(1,2)kπ＋eq\f(π,8)(k∈Z)，所以函數(shù)f(x)圖象的對稱軸方程是x＝eq\f(1,2)kπ＋eq\f(π,8)(k∈Z)．令2x＋eq\f(π,4)＝kπ(k∈Z)，得x＝eq\f(1,2)kπ－eq\f(π,8)(k∈Z)．所以函數(shù)f(x)圖象的對稱中心的坐標是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)kπ－\f(π,8)，－\r(2)))(k∈Z)．(3)當0≤x≤eq\f(π,2)時，eq\f(π,4)≤2x＋eq\f(π,4)≤eq\f(5π,4)，－eq\f(\r(2),2)≤sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))≤1，所以當x＝eq\f(π,2)時，f(x)取最小值－eq\f(3\r(2),2)，當x＝eq\f(π,8)時，f(x)取最大值1－eq\r(2).25．已知f(x)＝eq\f(\r(3),2)(sinx＋cosx)2－cos2x.(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(θ,2)＋\f(π,3)))＝eq\f(1＋5\r(3),10)，求sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ－\f(π,4)))的值．[解析](1)f(x)＝eq\f(\r(3),2)(sinx＋cosx)2－cos2x＝eq\f(\r(3),2)(1＋2sinxcosx)－cos2x＝eq\f(\r(3),2)sin2x－eq\f(cos2x＋1,2)＋eq\f(\r(3),2)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))＋eq\f(\r(3)－1,2).∴函數(shù)f(x)的最小正周期T＝π.由2kπ－eq\f(π,2)≤2x－eq\f(π,6)≤2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，得kπ－eq\f(π,6)≤x≤kπ＋eq\f(π,3)，k∈Z，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,6)，kπ＋\f(π,3)))(k∈Z)．(2)由(1)得feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(θ,2)＋\f(π,3)))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(θ,2)＋\f(π,3)))－\f(π,6)))＋eq\f(\r(3)－1,2)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,2)))＋eq\f(\r(3)－1,2)＝cosθ＋eq\f(\r(3)－1,2)＝eq\f(1＋5\r(3),10)，∴cosθ＝eq\f(3,5)，∵θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，∴sinθ＝－eq\f(4,5)，∴sin2θ＝2sinθcosθ＝－eq\f(24,25)，cos2θ＝2cos2θ－1＝－eq\f(7,25)，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ－\f(π,4)))＝sin2θcoseq\f(π,4)－cos2θsineq\f(π,4)＝－eq\f(17\r(2),50).26．已知函數(shù)f(x)＝2cos2eq\f(x,2)，g(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(x,2)＋cos\f(x,2)))2.(1)求證：feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))＝g(x)；(2)求函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)(x∈[0，π]的單調(diào)區(qū)間，并求使h(x)取到最小值時x的值．[解析](1)證明過程如下：f(x)＝2cos2eq\f(x,2)＝1＋cosx，g(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(x,2)＋cos\f(x,2)))2＝1＋2sineq\f(x,2)coseq\f(x,2)＝1＋sinx，∵feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))＝1＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))＝1＋sinx，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))＝g(x)，命題得證．(2)函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)＝cosx－sinx＝eq\r(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)cosx－\f(\r(2),2)sinx))＝eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))，∵x∈[0，π]，∴eq\f(π,4)≤x＋eq\f(π,4)≤eq\f(5π,4)，當eq\f(π,4)≤x＋eq\f(π,4)≤π，即0≤x≤eq\f(3π,4)時，h(x)遞減，當π≤x＋eq\f(π,4)≤eq\f(5π,4)，即eq\f(3π,4)≤x≤π時，h(x)遞增．∴函數(shù)h(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3π,4)))，單調(diào)遞增區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))，根據(jù)函數(shù)h(x)的單調(diào)性，可知當x＝eq\f(3π,4)時，函數(shù)h(x)取到最小值．27．已知函數(shù)f(x)＝sinx－2eq\r(3)sin2eq\f(x,2).(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2π,3)))上的最小值．[解析](1)因為f(x)＝sinx＋eq\r(3)cosx－eq\r(3)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))－eq\r(3)，所以f(x)的最小正周期為2π.(2)因為0≤x≤eq\f(2π,3)，所以eq\f(π,3)≤x＋eq\f(π,3)≤π.當x＋eq\f(π,3)＝π，即x＝eq\f(2π,3)時，f(x)取得最小值．所以f(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2π,3)))上的最小值為feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)))＝－eq\r(3).28．已知函數(shù)f(x)＝eq\r(3)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))－2sinxcosx.(1)求f(x)的最小正周期．(2)求證：當x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,4)))時，f(x)≥－eq\f(1,2).[解析](1)f(x)＝eq\r(3)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))－2sinxcosx＝eq\f(\r(3),2)cos2x＋eq\f(3,2)sin2x－sin2x＝eq\f(1,2)sin2x＋eq\f(\r(3),2)cos2x＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))，所以T＝eq\f(2π,2)＝π.(2)證明：令t＝2x＋eq\f(π,3)，因為－eq\f(π,4)≤x≤eq\f(π,4)，所以－eq\f(π,6)≤2x＋eq\f(π,3)≤eq\f(5π,6)，因為y＝sint在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,2)))上單調(diào)遞增，在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(5π,6)))上單調(diào)遞減，所以f(x)≥sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))＝－eq\f(1,2)，得證．29．已知函數(shù)f(x)＝eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))＋2sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,12)))(x∈R)．(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期；(2)求使函數(shù)f(x)取得最大值的x的集合．[解析](1)∵f(x)＝eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))＋2sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,12)))＝eq\r(3)sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,12)))))＋1－coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,12)))))＝2eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)sin\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,12)))))))eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)cos\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,12)))))))＋1＝2sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,12)))－\f(π,6)))＋1＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))＋1，∴T＝eq\f(2π,2)＝π.(2)當f(x)取得最大值時，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))＝1，有2x－eq\f(π,3)＝2kπ＋eq\f(π,2)，即x＝kπ＋eq\f(5π,12)(k∈Z)，∴所求x的集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝kπ＋\f(5π,12)，k∈Z)))).30．已知函數(shù)f(x)＝4cosxsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))－1.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,4)))上的最大值和最小值．[解析](1)f(x)＝4cosxsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))－1＝4cosxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)sinx＋\f(1,2)cosx))－1＝eq\r(3)sin2x＋2cos2x－1＝eq\r(3)sin2x＋cos2x＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))，所以f(x)的最小正周期為π.(2)因為－eq\f(π,6)≤x≤eq\f(π,4)，所以－eq\f(π,6)≤2x＋eq\f(π,6)≤eq\f(2π,3).于是當2x＋eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)，即x＝eq\f(π,6)時，f(x)max＝2；當2x＋eq\f(π,6)＝－eq\f(π,6)，即x＝－eq\f(π,6)時，f(x)min＝－1.31．已知函數(shù)f(x)＝2eq\r(3)sin(x－3π)·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,2)))＋2sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(5π,2)))－1，x∈R.(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期及在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的最大值和最小值；(2)若f(x0)＝eq\f(6,5)，x0∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))，求cos2x0的值．[解析]f(x)＝eq\r(3)(2sinxcosx)＋(2cos2x－1)＝eq\r(3)sin2x＋cos2x＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6))).(1)f(x)的最小正周期為π；最大值為2，最小值為－1.(2)由(1)可知f(x0)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x0＋\f(π,6))).又∵f(x0)＝eq\f(6,5)，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x0＋\f(π,6)))＝eq\f(3,5).由x0∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))，得2x0＋eq\f(π,6)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，\f(7π,6)))，∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x0＋\f(π,6)))＝－eq\r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x0＋\f(π,6))))＝－eq\f(4,5)，cos2x0＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x0＋\f(π,6)))－\f(π,6)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x0＋\f(π,6)))coseq\f(π,6)＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x0＋\f(π,6)))sineq\f(π,6)＝eq\f(3－4\r(3),10).題型二三角函數(shù)在實際問題中的應用1．我國古代數(shù)學家趙爽的弦圖是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形(如圖)．如果小正方形的面積為1，大正方形的面積為25，直角三角形中較小的銳角為θ，那么cos2θ的值等于____．[解析]題圖中小正方形的面積為1，大正方形的面積為25，故每個直角三角形的面積為6.設直角三角形的兩條直角邊長分別為a，b，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋b2＝25，,\f(1,2)ab＝6，))所以兩條直角邊的長分別為3,4.則cosθ＝eq\f(4,5)，cos2θ＝2cos2θ－1＝eq\f(7,25).2．有一塊以O為圓心的半圓形空地，要在這塊空地上劃出一個內(nèi)接矩形ABCD開辟為綠地，使其一邊AD落在半圓的直徑上，另外兩點B，C落在半圓的圓周上，已知半圓的半徑長為a，如何選擇關于點O對稱的點A，D的位置，可以使矩形ABCD的面積最大？[解析]畫出圖象如右圖所示，設∠AOB＝θeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ∈\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))))，則AB＝asinθ，OA＝acosθ.設矩形ABCD的面積為S，則S＝2OA·AB，即S＝2acosθ·asinθ＝a2·2sinθcosθ＝a2sin2θ.∵θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴2θ∈(0，π)，當2θ＝eq\f(π,2)，即θ＝eq\f(π,4)時，Smax＝a2，此時，A，D距離O點都為eq\f(\r(2),2)a.3．某工人要從一塊圓心角為45°的扇形木板中割出一塊一邊在半徑上的內(nèi)接長方形桌面，若扇形的半徑長為1m，求割出的長方形桌面的最大面積(如右圖)．[解析]連接OC，設∠COB＝θ，則0°<θ<45°，OC＝1.∵AB＝OB－OA＝cosθ－AD＝cosθ－sinθ，∴S矩形ABCD＝AB·BC＝(cosθ－sinθ)·sinθ＝－sin2θ＋sinθcosθ＝－eq\f(1,2)(1－cos2θ)＋eq\f(1,2)sin2θ＝eq\f(1,2)(sin2θ＋cos2θ)－eq\f(1,2)＝eq\f(\r(2),2)cos(2θ－45°)－eq\f(1,2).當2θ－45°＝0°，即θ＝22.5°時，Smax＝eq\f(\r(2)－1,2)(m2)．∴割出的長方形桌面的最大面積為eq\f(\r(2)－1,2)m2.4．如圖所示，要把半徑為R的半圓形木料截成長方形，應怎樣截取，才能使△OAB的周長最大？[解析]設∠AOB＝α，△OAB的周長為l，則AB＝Rsinα，OB＝Rcosα，∴l(xiāng)＝OA＋AB＋OB＝R＋Rsinα＋Rcosα＝R(sinα＋cosα)＋R＝eq\r(2)Rsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＋R.∵0<α<eq\f(π,2)，∴eq\f(π,4)<α＋eq\f(π,4)<eq\f(3π,4)，∴l(xiāng)的最大值為eq\r(2)R＋R＝(eq\r(2)＋1)R，此時，α＋eq\f(π,4)＝eq\f(π,2)，即α＝eq\f(π,4)，即當α＝eq\f(π,4)時，△OAB的周長最大．5．北京召開的國際數(shù)學家大會，會標是以我國古代數(shù)學家趙爽的弦圖為基礎設計的．弦圖是由四個全等直角三角形與一個小正方形拼成一個大正方形(如圖所示)．如果小正方形的面積為1，大正方形的面積為25，直角三角形中較小的銳角為θ，求cos2θ.[解析]由題意，5cosθ－5sinθ＝1，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，所以cosθ－sinθ＝eq\f(1,5).由(cosθ＋sinθ)2＋(cosθ－sinθ)2＝2，所以cosθ＋sinθ＝eq\f(7,5)，所以cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝(cosθ＋sinθ)(cosθ－sinθ)＝eq\f(7,25).6．如圖所示，在直角坐標系xOy中，點P是單位圓上的動點，過點P作x軸的垂線與射線y＝eq\r(3)x(x≥0)交于點Q，與x軸交于點M.記∠MOP＝α，且α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2))).(1)若sinα＝eq\f(1,3)，求cos∠POQ；(2)求△OPQ面積的最大值．[解析](1)由題意知∠QOM＝eq\f(π,3)，因為sinα＝eq\f(1,3)，且α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，所以cosα＝eq\f(2\r(2),3)，所以cos∠POQ＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＝coseq\f(π,3)cosα＋sineq\f(π,3)sinα＝eq\f(2\r(2)＋\r(3),6).(2)由三角函數(shù)定義，得P(cosα，sinα)，從而Q(cosα，eq\r(3)cosα)，所以S△POQ＝eq\f(1,2)|cosα||eq\r(3)cosα－sinα|＝eq\f(1,2)|eq\r(3)cos2α－sinαcosα|＝eq\f(1,2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)＋\f(\r(3)cos2α,2)－\f(1,2)sin2α))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)＋sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－2α))))≤eq\f(1,2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)＋1))＝eq\f(\r(3),4)＋eq\f(1,2).因為α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，所以當α＝－eq\f(π,12)時，等號成立，所以△OPQ面積的最大值為eq\f(\r(3),4)＋eq\f(1,2).7．某高校專家樓前現(xiàn)有一塊矩形草坪ABCD，已知草坪長AB＝100米，寬BC＝50eq\r(3)米，為了便于專家平時工作、起居，該高校計劃在這塊草坪內(nèi)鋪設三條小路HE，HF和EF，并要求H是CD的中點，點E在邊BC上，點F在邊AD上，且∠EHF為直角，如圖所示．(1)設∠CHE＝x(弧度)，試將三條路的全長(即△HEF的周長)L表示成x的函數(shù)，并求出此函數(shù)的定義域；(2)這三條路，每米鋪設預算費用均為400元，試問如何設計才能使鋪路的總費用最低？并求出