高一數(shù)學(xué)同步備好課之題型全歸納(人教A版必修第一冊(cè))專題30根式(原卷版+解析)

專題30根式1．根式及相關(guān)概念(1)a的n次方根定義：如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.(2)a的n次方根的表示n的奇偶性a的n次方根的表示符號(hào)a的取值范圍n為奇數(shù)eq\r(n,a)Rn為偶數(shù)±eq\r(n,a)[0，＋∞)(3)根式：式子eq\r(n,a)叫做根式，這里n叫做根指數(shù)，a叫做被開(kāi)方數(shù)．2．根式的性質(zhì)(n>1，且n∈N*)(1)n為奇數(shù)時(shí)，eq\r(n,an)＝a.(2)n為偶數(shù)時(shí)，eq\r(n,an)＝|a|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a<0.))(3)eq\r(n,0)＝0.(4)負(fù)數(shù)沒(méi)有偶次方根．題型一n次方根的概念與意義問(wèn)題1．16的平方根為_(kāi)_______，－27的5次方根為_(kāi)_______．2．81的4次方根是________．3．若81的平方根為a，－8的立方根為b，則a＋b＝________.4．(1)27的立方根是________．(2)已知x6＝2019，則x＝________.(3)若eq\r(4,x＋3)有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍為_(kāi)_______．5．若eq\r(4,x－2)有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是________．6．以下說(shuō)法正確的是()A．正數(shù)的n次方根是正數(shù)B．負(fù)數(shù)的n次方根是負(fù)數(shù)C．0的n次方根是0(n∈N*)D．a(chǎn)的n次方根是eq\r(n,a)7．m是實(shí)數(shù)，則下列式子中可能沒(méi)有意義的是()A.eq\r(4,m2) B.eq\r(5,m)C.eq\r(6,m) D.eq\r(5,－m)8．若eq\r(a－2)＋(a－4)0有意義，則a的取值范圍是()A．[2，＋∞) B．[2,4)∪(4，＋∞)C．(－∞，2)∪(2，＋∞) D．(－∞，4)∪(4，＋∞)9．已知m10＝2，則m等于()A.eq\r(10,2) B．－eq\r(10,2)C.eq\r(210) D．±eq\r(10,2)10．已知x5＝6，則x等于()A.eq\r(6) B.eq\r(5,6)C．－eq\r(5,6) D．±eq\r(5,6)11．已知a∈R，n∈N*，給出下列4個(gè)式子：①eq\r(6,－32n)；②eq\r(5,a2)；③eq\r(6,－52n＋1)；④eq\r(9,－a2)，其中無(wú)意義的有()A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè) D．0個(gè)12．下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是()①16的4次方根是2；②eq\r(4,16)的運(yùn)算結(jié)果是±2；③當(dāng)n為大于1的奇數(shù)時(shí)，eq\r(n,a)對(duì)任意a∈R都有意義；④當(dāng)n為大于1的偶數(shù)時(shí)，eq\r(n,a)只有當(dāng)a≥0時(shí)才有意義．A．1B．2C．3 D．413．下列等式中成立的個(gè)數(shù)是()①(eq\r(n,a))n＝a(n∈N*且n>1)；②eq\r(n,an)＝a(n為大于1的奇數(shù))；③eq\r(n,an)＝|a|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a<0))(n為大于零的偶數(shù))．A．0個(gè) B．1個(gè)C．2個(gè) D．3個(gè)題型二利用根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)求值1.eq\r(4,81)的運(yùn)算結(jié)果是()A．3 B．－3C．±3 D．±eq\r(3)2．下列各式正確的是()A.eq\r(6,－32)＝eq\r(3,－3)B.eq\r(4,a4)＝aC.eq\r(6,22)＝eq\r(3,2) D．a(chǎn)0＝13．下列各式正確的是()A.eq\r(－32)＝－3 B.eq\r(a2)＝aC.eq\r(22)＝2 D.eq\r(3,－23)＝24．eq\r(a－b2)＋eq\r(5,a－b5)的值是()A．0 B．2(a－b)C．0或2(a－b) D．a(chǎn)－b5．下列式子中成立的是()A．a(chǎn)eq\r(－a)＝eq\r(－a3) B．a(chǎn)eq\r(－a)＝－eq\r(a3)C．a(chǎn)eq\r(－a)＝－eq\r(－a3) D．a(chǎn)eq\r(－a)＝eq\r(a3)6．化簡(jiǎn)(eq\r(a－1))2＋eq\r(1－a2)＋eq\r(3,1－a3)的結(jié)果是()A．1－a B．2(1－a)C．a(chǎn)－1 D．2(a－1)7．若eq\r(x－1)＋eq\r(4,x＋y)＝0，則x2018＋y2019＝________.8．化簡(jiǎn)下列各式：(1)eq\r(5,－25)；(2)eq\r(4,－104)；(3)eq\r(4,－92)；(4)eq\r(4,a－b4).9．計(jì)算下列各式的值：(1)eq\r(3,－43)；(2)eq\r(6,3－π6)；(3)eq\r(3,1＋\r(2)3)＋eq\r(4,1－\r(2)4)；(4)eq\r(4,2x＋y4).10．化簡(jiǎn)：(1)eq\r(e＋e－12－4)＋eq\r(e－e－12＋4)(e≈2.7)；(2)eq\r(x－22)＋eq\r(6,x＋26).11．eq\r(7＋4\r(3))＋eq\r(7－4\r(3))等于()A．－4 B．2eq\r(3)C．－2eq\r(3) D．412．化簡(jiǎn)：eq\r(3＋2\r(2))＋eq\r(3－2\r(2)).13．化簡(jiǎn)：eq\r(5＋2\r(6))－eq\r(6－4\r(2))＋eq\r(7－4\r(3)).題型三有限制條件的根式的運(yùn)算1．若2<a<3，化簡(jiǎn)eq\r(2－a2)＋eq\r(4,3－a4)的結(jié)果是()A．5－2a B．2a－5C．1 D．－12．已知eq\r(4a＋12)＝－4a－1，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．3．已知xy≠0且eq\r(4x2y2)＝－2xy，則有()A．xy<0 B．xy>0C．x>0，y>0 D．x<0，y>04．若eq\r(9a2－6a＋1)＝3a－1，求a的取值范圍．5．化簡(jiǎn)eq\r(x＋32)－eq\r(3,x－33)等于()A．6 B．2xC．6或－2x D．6或－2x或2x6．當(dāng)eq\r(2－x)有意義時(shí)，化簡(jiǎn)eq\r(x2－4x＋4)－eq\r(x2－6x＋9)的結(jié)果為()A．2x－5 B．－2x－1C．－1 D．5－2x7．若x≠0，則|x|－eq\r(x2)＋eq\f(\r(x2),|x|)＝________.8．化簡(jiǎn)：eq\r(b－2\r(b)－1)(1<b<2)＝________.9．若eq\r(2a－12)＝eq\r(3,1－2a3)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_______．10．若a>2b，則eq\r(3,a－b3)＋eq\r(a－2b2)＝________.11．已知eq\r(4,a－14)＋1＝a，化簡(jiǎn)(eq\r(a－1))2＋eq\r(1－a2)＋eq\r(3,1－a3)＝________.12．設(shè)f(x)＝eq\r(x2－4)，若0<a≤1，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a)))＝________.13．若－3<x<3，求eq\r(x2－2x＋1)－eq\r(x2＋6x＋9)的值．14．已知－1<x<2，求eq\r(x2－4x＋4)－eq\r(x2＋2x＋1)的值．15．設(shè)x∈[1,2]，化簡(jiǎn)(eq\r(4,x－1))4＋eq\r(6,x2－4x＋43).16．若n<m<0，則eq\r(m2＋2mn＋n2)－eq\r(m2－2mn＋n2)等于()A．2m B．2nC．－2m D．－2n17．已知eq\r(4,a4)＋eq\r(4,b4)＝－a－b，求eq\r(4,a＋b4)＋eq\r(3,a＋b3)的值．18．設(shè)－2<x<2，求eq\r(x2－2x＋1)－eq\r(x2＋4x＋4)的值．19．已知a<b<0，n>1，n∈N*，化簡(jiǎn)eq\r(n,a－bn)＋eq\r(n,a＋bn).20．求使等式eq\r(a－3a2－9)＝(3－a)eq\r(a＋3)成立的實(shí)數(shù)a的取值范圍．21．等式eq\r(x－5x2－25)＝(5－x)eq\r(x＋5)成立的x取值范圍是________．22．若x>0，y>0，且x－eq\r(xy)－2y＝0，求eq\f(2x－\r(xy),y＋2\r(xy))的值．23．化簡(jiǎn)y＝eq\r(4x2＋4x＋1)＋eq\r(4x2－12x＋9)，并畫(huà)出簡(jiǎn)圖，寫(xiě)出最小值．專題30根式1．根式及相關(guān)概念(1)a的n次方根定義：如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.(2)a的n次方根的表示n的奇偶性a的n次方根的表示符號(hào)a的取值范圍n為奇數(shù)eq\r(n,a)Rn為偶數(shù)±eq\r(n,a)[0，＋∞)(3)根式：式子eq\r(n,a)叫做根式，這里n叫做根指數(shù)，a叫做被開(kāi)方數(shù)．2．根式的性質(zhì)(n>1，且n∈N*)(1)n為奇數(shù)時(shí)，eq\r(n,an)＝a.(2)n為偶數(shù)時(shí)，eq\r(n,an)＝|a|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a<0.))(3)eq\r(n,0)＝0.(4)負(fù)數(shù)沒(méi)有偶次方根．題型一n次方根的概念與意義問(wèn)題1．16的平方根為_(kāi)_______，－27的5次方根為_(kāi)_______．[解析]∵(±4)2＝16，∴16的平方根為±4.－27的5次方根為eq\r(5,－27).2．81的4次方根是________．[解析]∵(±3)4＝81，∴81的4次方根為±3.3．若81的平方根為a，－8的立方根為b，則a＋b＝________.[解析]因?yàn)?1的平方根為±9，所以a＝±9.又因?yàn)椋?的立方根為b，所以b＝－2，所以a＋b＝－11或a＋b＝7.4．(1)27的立方根是________．(2)已知x6＝2019，則x＝________.(3)若eq\r(4,x＋3)有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍為_(kāi)_______．[解析](1)27的立方根是3.(2)因?yàn)閤6＝2019，所以x＝±eq\r(6,2019).(3)要使eq\r(4,x＋3)有意義，則需要x＋3≥0，即x≥－3.所以實(shí)數(shù)x的取值范圍是[－3，＋∞)．]5．若eq\r(4,x－2)有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是________．[解析]要使eq\r(4,x－2)有意義，則需x－2≥0，即x≥2.因此實(shí)數(shù)x的取值范圍是[2，＋∞)．6．以下說(shuō)法正確的是()A．正數(shù)的n次方根是正數(shù)B．負(fù)數(shù)的n次方根是負(fù)數(shù)C．0的n次方根是0(n∈N*)D．a(chǎn)的n次方根是eq\r(n,a)[解析]當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，正數(shù)的n次方根為一正一負(fù)，故A錯(cuò)誤；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，負(fù)數(shù)的n次方根無(wú)意義，故B錯(cuò)誤；當(dāng)n∈N*時(shí)，0的n次方根為0，故C正確；當(dāng)n為偶數(shù)，a<0時(shí)，eq\r(n,a)無(wú)意義，故D錯(cuò)誤．7．m是實(shí)數(shù)，則下列式子中可能沒(méi)有意義的是()A.eq\r(4,m2) B.eq\r(5,m)C.eq\r(6,m) D.eq\r(5,－m)[解析]當(dāng)m<0時(shí)，eq\r(6,m)沒(méi)有意義，其余各式均有意義．8．若eq\r(a－2)＋(a－4)0有意義，則a的取值范圍是()A．[2，＋∞) B．[2,4)∪(4，＋∞)C．(－∞，2)∪(2，＋∞) D．(－∞，4)∪(4，＋∞)[解析]由題意可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－2≥0，,a－4≠0，))∴a≥2且a≠4.9．已知m10＝2，則m等于()A.eq\r(10,2) B．－eq\r(10,2)C.eq\r(210) D．±eq\r(10,2)[解析]∵m10＝2，∴m是2的10次方根．∴m＝±eq\r(10,2).10．已知x5＝6，則x等于()A.eq\r(6) B.eq\r(5,6)C．－eq\r(5,6) D．±eq\r(5,6)[解析]由x5＝6可知x＝eq\r(5,6).[答案]B11．已知a∈R，n∈N*，給出下列4個(gè)式子：①eq\r(6,－32n)；②eq\r(5,a2)；③eq\r(6,－52n＋1)；④eq\r(9,－a2)，其中無(wú)意義的有()A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè) D．0個(gè)[解析]①中(－3)2n>0，所以eq\r(6,－32n)有意義；②中根指數(shù)為5有意義；③中(－5)2n＋1<0，因此無(wú)意義；④中根指數(shù)為9，有意義．選A.12．下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是()①16的4次方根是2；②eq\r(4,16)的運(yùn)算結(jié)果是±2；③當(dāng)n為大于1的奇數(shù)時(shí)，eq\r(n,a)對(duì)任意a∈R都有意義；④當(dāng)n為大于1的偶數(shù)時(shí)，eq\r(n,a)只有當(dāng)a≥0時(shí)才有意義．A．1 B．2C．3 D．4[解析]①16的4次方根應(yīng)是±2；②eq\r(4,16)＝2，所以正確的應(yīng)為③④.13．下列等式中成立的個(gè)數(shù)是()①(eq\r(n,a))n＝a(n∈N*且n>1)；②eq\r(n,an)＝a(n為大于1的奇數(shù))；③eq\r(n,an)＝|a|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a<0))(n為大于零的偶數(shù))．A．0個(gè) B．1個(gè)C．2個(gè) D．3個(gè)[解析]由n次方根的定義可知①②③均正確．題型二利用根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)求值1.eq\r(4,81)的運(yùn)算結(jié)果是()A．3 B．－3C．±3 D．±eq\r(3)[解析]eq\r(4,81)＝eq\r(4,34)＝3.2．下列各式正確的是()A.eq\r(6,－32)＝eq\r(3,－3)B.eq\r(4,a4)＝aC.eq\r(6,22)＝eq\r(3,2) D．a(chǎn)0＝1[解析]eq\r(6,－32)＝eq\r(6,32)＝eq\r(3,3)，eq\r(4,a4)＝|a|，a0＝1，條件為a≠0.故A、B、D錯(cuò)．3．下列各式正確的是()A.eq\r(－32)＝－3 B.eq\r(a2)＝aC.eq\r(22)＝2 D.eq\r(3,－23)＝2[解析]由于eq\r(－32)＝3，eq\r(a2)＝|a|,eq\r(3,－23)＝－2，故A、B、D錯(cuò)誤．4．eq\r(a－b2)＋eq\r(5,a－b5)的值是()A．0 B．2(a－b)C．0或2(a－b) D．a(chǎn)－b[解析]若a≥b，則原式＝a－b＋a－b＝2(a－b)，若a<b，則原式＝b－a＋a－b＝0，故選C.5．下列式子中成立的是()A．a(chǎn)eq\r(－a)＝eq\r(－a3) B．a(chǎn)eq\r(－a)＝－eq\r(a3)C．a(chǎn)eq\r(－a)＝－eq\r(－a3) D．a(chǎn)eq\r(－a)＝eq\r(a3)[解析]要使aeq\r(－a)有意義，則a≤0，故aeq\r(－a)＝－(－a)eq\r(－a)＝－eq\r(－a2－a)＝－eq\r(－a3)，故選C.6．化簡(jiǎn)(eq\r(a－1))2＋eq\r(1－a2)＋eq\r(3,1－a3)的結(jié)果是()A．1－a B．2(1－a)C．a(chǎn)－1 D．2(a－1)[解析]∵eq\r(a－1)有意義，∴a－1≥0，即a≥1.∴(eq\r(a－1))2＋eq\r(1－a2)＋eq\r(3,1－a3)＝(a－1)＋|1－a|＋(1－a)＝(a－1)＋(a－1)＋(1－a)＝a－1，故選C.7．若eq\r(x－1)＋eq\r(4,x＋y)＝0，則x2018＋y2019＝________.[解析]∵eq\r(x－1)≥0，eq\r(4,x＋y)≥0，且eq\r(x－1)＋eq\r(4,x＋y)＝0，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1＝0，,x＋y＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－1.))∴x2018＋y2019＝1－1＝0.8．化簡(jiǎn)下列各式：(1)eq\r(5,－25)；(2)eq\r(4,－104)；(3)eq\r(4,－92)；(4)eq\r(4,a－b4).[解析](1)eq\r(5,－25)＝－2.(2)eq\r(4,－104)＝|－10|＝10.(3)eq\r(4,－92)＝eq\r(4,34)＝3.(4)eq\r(4,a－b4)＝|a－b|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－ba≥b，,b－aa<b.))9．計(jì)算下列各式的值：(1)eq\r(3,－43)；(2)eq\r(6,3－π6)；(3)eq\r(3,1＋\r(2)3)＋eq\r(4,1－\r(2)4)；(4)eq\r(4,2x＋y4).[解析](1)eq\r(3,－43)＝－4.(2)eq\r(6,3－π6)＝|3－π|＝π－3.(3)eq\r(3,1＋\r(2)3)＋eq\r(4,1－\r(2)4)＝(1＋eq\r(2))＋(eq\r(2)－1)＝2eq\r(2).(4)eq\r(4,2x＋y4)＝|2x＋y|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y，y≥－2x，,－2x－y，y<－2x.))10．化簡(jiǎn)：(1)eq\r(e＋e－12－4)＋eq\r(e－e－12＋4)(e≈2.7)；(2)eq\r(x－22)＋eq\r(6,x＋26).[解析](1)原式＝eq\r(e2＋2＋e－2－4)＋eq\r(e2－2＋e－2＋4)＝eq\r(e－e－12)＋eq\r(e＋e－12)＝e－e－1＋e＋e－1＝2e≈5.4.(2)原式＝|x－2|＋|x＋2|.當(dāng)x≤－2時(shí)，原式＝(2－x)＋[－(x＋2)]＝－2x；當(dāng)－2<x<2時(shí)，原式＝(2－x)＋(x＋2)＝4；當(dāng)x≥2時(shí)，原式＝(x－2)＋(x＋2)＝2x.綜上，原式＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2x，x≤－2，,4，－2<x<2，,2x，x≥2.))11．eq\r(7＋4\r(3))＋eq\r(7－4\r(3))等于()A．－4 B．2eq\r(3)C．－2eq\r(3) D．4[解析]eq\r(7＋4\r(3))＋eq\r(7－4\r(3))＝eq\r(2＋\r(3)2)＋eq\r(2－\r(3)2)＝(2＋eq\r(3))＋(2－eq\r(3))＝4.12．化簡(jiǎn)：eq\r(3＋2\r(2))＋eq\r(3－2\r(2)).[解析]解法一：原式＝eq\r(\r(2)2＋2\r(2)＋1)＋eq\r(\r(2)2－2\r(2)＋1)＝eq\r(\r(2)＋12)＋eq\r(\r(2)－12)＝eq\r(2)＋1＋eq\r(2)－1＝2eq\r(2).解法二：令x＝eq\r(3＋2\r(2))＋eq\r(3－2\r(2))，兩邊平方得x2＝6＋2eq\r(9－8)＝8.因?yàn)閤>0，所以x＝2eq\r(2).13．化簡(jiǎn)：eq\r(5＋2\r(6))－eq\r(6－4\r(2))＋eq\r(7－4\r(3)).[解析]原式＝eq\r(\r(3)＋\r(2)2)－eq\r(2－\r(2)2)＋eq\r(2－\r(3)2)＝eq\r(3)＋eq\r(2)－(2－eq\r(2))＋2－eq\r(3)＝2eq\r(2).題型三有限制條件的根式的運(yùn)算1．若2<a<3，化簡(jiǎn)eq\r(2－a2)＋eq\r(4,3－a4)的結(jié)果是()A．5－2a B．2a－5C．1 D．－1[解析]由于2<a<3，所以2－a<0,3－a>0，所以原式＝a－2＋3－a＝1.故選C.2．已知eq\r(4a＋12)＝－4a－1，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．[解析]∵eq\r(4a＋12)＝|4a＋1|＝－4a－1，∴4a＋1≤0，∴a≤－eq\f(1,4).3．已知xy≠0且eq\r(4x2y2)＝－2xy，則有()A．xy<0 B．xy>0C．x>0，y>0 D．x<0，y>0[解析]eq\r(4x2y2)＝－2xy≥0，又xy≠0，∴xy<0.4．若eq\r(9a2－6a＋1)＝3a－1，求a的取值范圍．[解析]∵eq\r(9a2－6a＋1)＝eq\r(3a－12)＝|3a－1|，由|3a－1|＝3a－1可知3a－1≥0，∴a≥eq\f(1,3).故a的取值范圍為eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，＋∞)).5．化簡(jiǎn)eq\r(x＋32)－eq\r(3,x－33)等于()A．6 B．2xC．6或－2x D．6或－2x或2x[解析]原式＝|x＋3|－(x－3)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(6，x≥－3，,－2x，x<－3，))故選C.6．當(dāng)eq\r(2－x)有意義時(shí)，化簡(jiǎn)eq\r(x2－4x＋4)－eq\r(x2－6x＋9)的結(jié)果為()A．2x－5 B．－2x－1C．－1 D．5－2x[解析]由eq\r(2－x)有意義得x≤2.所以eq\r(x2－4x＋4)－eq\r(x2－6x＋9)＝|x－2|－|x－3|＝(2－x)－(3－x)＝－1.7．若x≠0，則|x|－eq\r(x2)＋eq\f(\r(x2),|x|)＝________.[解析]∵x≠0，∴原式＝|x|－|x|＋eq\f(|x|,|x|)＝1.8．化簡(jiǎn)：eq\r(b－2\r(b)－1)(1<b<2)＝________.[解析]原式＝eq\r(\r(b)－12)＝eq\r(b)－1(1<b<2)．9．若eq\r(2a－12)＝eq\r(3,1－2a3)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_______．[解析]eq\r(2a－12)＝|2a－1|，eq\r(3,1－2a3)＝1－2a.因?yàn)閨2a－1|＝1－2a，故2a－1≤0，所以a≤eq\f(1,2).10．若a>2b，則eq\r(3,a－b3)＋eq\r(a－2b2)＝________.[解析]因?yàn)閍>2b，所以eq\r(3,a－b3)＋eq\r(a－2b2)＝a－b＋|a－2b|＝a－b＋a－2b＝2a－3b.11．已知eq\r(4,a－14)＋1＝a，化簡(jiǎn)(eq\r(a－1))2＋eq\r(1－a2)＋eq\r(3,1－a3)＝________.[解析]由已知eq\r(4,a－14)＋1＝a，即|a－1|＝a－1，即a≥1，所以原式＝(a－1)＋(a－1)＋(1－a)＝a－1.12．設(shè)f(x)＝eq\r(x2－4)，若0<a≤1，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a)))＝________.[解析]feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a)))＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a)))2－4)＝eq\r(a2＋\f(1,a2)－2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,a)))2)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,a))).由于0<a≤1，所以a≤eq\f(1,a).故feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a)))＝eq\f(1,a)－a.13．若－3<x<3，求eq\r(x2－2x＋1)－eq\r(x2＋6x＋9)的值．[解析]eq\r(x2－2x＋1)－eq\r(x2＋6x＋9)＝eq\r(x－12)－eq\r(x＋32)＝|x－1|－|x＋3|，當(dāng)－3<x≤1時(shí)，原式＝1－x－(x＋3)＝－2x－2.當(dāng)1<x<3時(shí)，原式＝x－1－(x＋3)＝－4.因此，原式＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2x－2，－3<x≤1，,－4，1<x<3.))14．已知－1<x<2，求eq\r(x2－4x＋4)－eq\r(x2＋2x＋1)的值．[解析]原式＝eq\r(x－22)－eq\r(x＋12)＝|x－2|－|x＋1|.因?yàn)椋?<x<2，所以x＋1>0，x－2<0，所以原式＝2－x－x－1＝1－2x.15．設(shè)x∈[1,2]，化簡(jiǎn)(eq\r(4,x－1))4＋eq\r(6,x2－4x＋43).[解析](eq\r(4,x－1))4＋eq\r(6,x2－4x＋43)＝(eq\r(4,x－1))4＋eq\r(6,x－26)∵1≤x≤2，∴x－1≥0，x－2≤0.∴原式＝(x－1)＋|x－2|＝(x－1)＋(2－x)＝1.16．若n<m<0，則eq\r(m2＋2mn＋n2)－eq\r(m2－2mn＋n2)等于()A．2m B．2nC．－2m D．－2n[解析]原式＝eq\r(m＋n2)－eq\r(m－n2)＝|m＋n|－|m－n|，∵n<m<0，∴m＋n<0，m－n>0，∴原式＝－(m＋n)－(m－n)＝－2m.[答案]C17．已知eq\r(4,a4)＋eq\r(4,b4)＝－a－b，求eq\r(4,a＋b4)＋eq\r(3,a＋b3)的值．[解析]因?yàn)閑q\r(4,a4)＋eq\r(4,b4)＝－a－b.所以eq\r(4,a4)＝－a，eq\r(4,b4)＝－b，所以a≤0，b≤0，所以a＋b≤0，所以原式＝|a＋b|＋a＋b＝－(a＋b)＋a＋b＝0.18．設(shè)－2<x<2，求eq\r(x2－2x＋1)－eq\r(x2＋4x＋4)的值．[解析]原式＝eq\r(x－12)－eq\r(x＋22)＝|x－1|－|x＋2|，∵－2<x<2，∴當(dāng)－2<x<1時(shí)，原式＝－(x－1)－(x＋2)＝－2x－1，當(dāng)1≤x<2時(shí)，原式＝x－1－(x＋2)＝－3，∴原式＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2x－1，