高一數(shù)學(xué)同步備好課之題型全歸納(人教A版必修第一冊(cè))專題53正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象(原卷版+解析)

專題53正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象知識(shí)點(diǎn)正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)解析式y(tǒng)＝tanx圖象定義域eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x∈R，且x≠\f(π,2)))＋kπ，k∈Z))值域R周期π奇偶性奇函數(shù)對(duì)稱中心eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))，k∈Z單調(diào)性在開區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋kπ，\f(π,2)＋kπ))，k∈Z內(nèi)都是增函數(shù)題型一有關(guān)正切函數(shù)的定義域、值域問題類型一定義域1．函數(shù)y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))的定義域?yàn)開_______．2．函數(shù)y＝3taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－\f(x,4)))的定義域?yàn)開_______．3．函數(shù)f(x)＝eq\f(1,tanx－1)的定義域是____________．4．函數(shù)y＝eq\f(1,\r(tanx－1))的定義域?yàn)?)A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,4)，kπ＋\f(π,2)))，k∈ZB．{x|x≠kπ－eq\f(π,4)，k∈Z}C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,4)，kπ＋\f(π,2)))，k∈ZD.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,4)，kπ＋\f(π,2)))，k∈Z5．函數(shù)y＝lg(eq\r(3)－tanx)的定義域?yàn)開_______．6．函數(shù)y＝logeq\f(1,2)taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))的定義域是()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝kπ－\f(π,4)，k∈Z))))B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,4)＜x＜kπ＋\f(π,4)，k∈Z))))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠kπ－\f(π,4)，k∈Z))))D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠kπ＋\f(π,4)，k∈Z))))7．函數(shù)y＝eq\r(tanx＋1)＋lg(1－tanx)的定義域?yàn)開_______．8．函數(shù)y＝eq\r(－tanx)＋eq\r(cosx)的定義域?yàn)開_______．9．已知函數(shù)f(x)＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))(1)求f(x)的定義域；(2)設(shè)β∈(0，π)，且f(β)＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))，求β的值．類型二值域1．函數(shù)y＝tanxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)≤x≤\f(3π,4)，且x≠\f(π,2)))的值域是________．2．求函數(shù)y＝tan(π－x)，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,3)))的值域?yàn)開_______．3．函數(shù)y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(π,4)))，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))的值域是________．4．函數(shù)y＝eq\f(1,tanx)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)＜x＜\f(π,4)且x≠0))的值域是()A．(－1,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－∞，1) D．(－1，＋∞)5．求函數(shù)y＝tan2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(π,3)))＋taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(π,3)))＋1的定義域和值域．6．函數(shù)y＝－tan2x＋4tanx＋1，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,4)))的值域?yàn)開_______．7．已知f(x)＝tan2x－2tanxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(|x|≤\f(π,3)))，求f(x)的值域．8．函數(shù)y＝tan(cosx)的值域是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,4))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))C．[－tan1，tan1] D．以上都不對(duì)9．方程taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))＝eq\r(3)在[0,2π)上的解的個(gè)數(shù)是()A．5 B．4C．3 D．2題型二正切函數(shù)奇偶性、周期性和圖象的對(duì)稱性類型一奇偶性1．判斷下列函數(shù)的奇偶性：①y＝3xtan2x－2x4；②y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))＋tanx.2．判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)f(x)＝eq\f(tan2x－tanx,tanx－1)；(2)f(x)＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))＋taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4))).3．函數(shù)y＝|x|tan2x是()A．奇函數(shù)B．偶函數(shù)C．非奇非偶函數(shù)D．既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)4．函數(shù)y＝eq\f(tanx,1＋cosx)()A．是奇函數(shù)B．是偶函數(shù)C．既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)D．既不是奇函數(shù)，又不是偶函數(shù)5．當(dāng)x∈(－eq\f(π,2)，eq\f(π,2))時(shí)，函數(shù)y＝tan|x|的圖象()A．關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 B．關(guān)于y軸對(duì)稱C．關(guān)于x軸對(duì)稱 D．無法確定6．f(x)＝asinx＋btanx＋1，滿足f(5)＝7，則f(－5)＝________.7．已知函數(shù)f(x)＝x＋tanx＋1，若f(a)＝2，則f(－a)的值為________．類型二周期性1．函數(shù)y＝tan3x的最小正周期是________．2．函數(shù)f(x)＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的周期為________．3．函數(shù)f(x)＝tanωx(ω>0)的圖象上的相鄰兩支曲線截直線y＝1所得的線段長(zhǎng)為eq\f(π,4)，則ω的值是()A．1B．2C．4D．84．函數(shù)y＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))))的最小正周期為________．5．若f(n)＝taneq\f(nπ,3)，(n∈N*)則f(1)＋f(2)＋…＋f(2019)＝________.6．函數(shù)f(x)＝tanωx(ω>0)的圖象的相鄰兩支截直線y＝eq\f(π,4)所得線段長(zhǎng)為eq\f(π,4)，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))的值是()A．0 B．1C．－1 D.eq\f(π,4)類型三圖象的對(duì)稱性1．已知函數(shù)y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))，則該函數(shù)圖象的對(duì)稱中心坐標(biāo)為________．2．函數(shù)y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,5)))，x∈R且x≠eq\f(3,10)π＋kπ，k∈Z的一個(gè)對(duì)稱中心是()A．(0,0) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,5)，0))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)π，0)) D．(π，0)3．求函數(shù)y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－\f(π,3)))的定義域、最小正周期、單調(diào)區(qū)間及其圖象的對(duì)稱中心．4．已知函數(shù)f(x)＝tan(x＋φ)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，0))且|φ|<eq\f(π,2)，則φ＝________.5．關(guān)于x的函數(shù)f(x)＝tan(x＋φ)有以下幾種說法：①對(duì)任意的φ，f(x)都是非奇非偶函數(shù)；②f(x)的圖象關(guān)于eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－φ，0))對(duì)稱；③f(x)的圖象關(guān)于(π－φ，0)對(duì)稱；④f(x)是以π為最小正周期的周期函數(shù)．其中不正確的說法的序號(hào)是________．6．下列關(guān)于函數(shù)y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))的說法正確的是()A．在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(5π,6)))上單調(diào)遞增B．最小正周期是2πC．圖象關(guān)于點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，0))成中心對(duì)稱D．圖象關(guān)于直線x＝eq\f(π,6)成軸對(duì)稱7．設(shè)函數(shù)f(x)＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－\f(π,3))).(1)求函數(shù)f(x)的周期，對(duì)稱中心；(2)作出函數(shù)f(x)在一個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖．題型三正切函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用類型一求單調(diào)區(qū)間1．函數(shù)y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,5)))的單調(diào)增區(qū)間是________．2．求函數(shù)y＝3taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－2x))的單調(diào)區(qū)間．3．求函數(shù)y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,4)))的單調(diào)區(qū)間；4．函數(shù)y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋\f(π,4)))的單調(diào)增區(qū)間為________．5．函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)x＋\f(π,4)))的單調(diào)遞增區(qū)間為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2k－\f(3,2)，2k＋\f(1,2)))，k∈ZB.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2k－\f(1,2)，2k＋\f(1,2)))，k∈ZC.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4k－\f(1,2)，4k＋\f(1,2)))，k∈ZD.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4k－\f(3,2)，4k＋\f(1,2)))，k∈Z類型二比較大小1．tan1，tan2，tan3，tan4從小到大的排列順序?yàn)開_______．2．下列各式中正確的是()A．tan735°＞tan800° B．tan1＞－tan2C．taneq\f(5π,7)＜taneq\f(4π,7) D．taneq\f(9π,8)＜taneq\f(π,7)3．比較taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13π,4)))與taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12π,5)))的大?。?．比較大?。簍aneq\f(6,5)π________taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13,7)π))；5．已知函數(shù)f(x)＝3taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－\f(x,4))).(1)求它的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；(2)試比較f(π)與feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)))的大小．類型三單調(diào)性的應(yīng)用(求參等)1．解不等式taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))≤eq\r(3).2．若tanx≥1，則()A．2kπ－eq\f(π,4)＜x＜2kπ(k∈Z)B．x≤(2k＋1)π(k∈Z)C．kπ－eq\f(π,4)＜x≤kπ(k∈Z)D．kπ＋eq\f(π,4)≤x＜kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)3．不等式taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))≥1的解集為______________．4．函數(shù)y＝tanx＋sinx－|tanx－sinx|在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2)))內(nèi)的圖象是()5．已知函數(shù)y＝tanωx在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))內(nèi)是減函數(shù)，則()A．0<ω≤1 B．－1≤ω<0C．ω≥1 D．ω≤－16．已知函數(shù)f(x)＝2taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kx－\f(π,3)))的最小正周期T滿足1＜T＜eq\f(3,2)，求正整數(shù)k的值，并寫出f(x)的奇偶性、單調(diào)區(qū)間．7．已知函數(shù)f(x)＝x2＋2xtanθ－1，x∈[－1，eq\r(3)]，其中θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2))).(1)當(dāng)θ＝－eq\f(π,6)時(shí)，求函數(shù)的最大值和最小值；(2)求使y＝f(x)在區(qū)間[－1，eq\r(3)]上是單調(diào)函數(shù)的θ的取值范圍．8．設(shè)函數(shù)f(x)＝tan(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω＞0，0＜φ＜\f(π,2)))，已知函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸相鄰兩個(gè)交點(diǎn)的距離為eq\f(π,2)，且圖象關(guān)于點(diǎn)Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,8)，0))對(duì)稱．(1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間．9．是否存在實(shí)數(shù)a，且a∈Z，使得函數(shù)y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－ax))在x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)，\f(5π,8)))上是單調(diào)遞增的？若存在，求出a的一個(gè)值；若不存在，請(qǐng)說明理由．專題53正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象知識(shí)點(diǎn)正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)解析式y(tǒng)＝tanx圖象定義域eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x∈R，且x≠\f(π,2)))＋kπ，k∈Z))值域R周期π奇偶性奇函數(shù)對(duì)稱中心eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))，k∈Z單調(diào)性在開區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋kπ，\f(π,2)＋kπ))，k∈Z內(nèi)都是增函數(shù)題型一有關(guān)正切函數(shù)的定義域、值域問題類型一定義域1．函數(shù)y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))的定義域?yàn)開_______．[解析]因?yàn)?x－eq\f(π,6)≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，所以x≠eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,3)，k∈Z所以函數(shù)y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))的定義域?yàn)閑q\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠\f(kπ,2)＋\f(π,3)，k∈Z)))).2．函數(shù)y＝3taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－\f(x,4)))的定義域?yàn)開_______．[解析]要使函數(shù)有意義應(yīng)滿足eq\f(π,6)－eq\f(x,4)≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，得x≠－4kπ－eq\f(4π,3)，k∈Z，所以函數(shù)的定義域?yàn)閑q\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－4kπ－\f(4π,3)，k∈Z)))).3．函數(shù)f(x)＝eq\f(1,tanx－1)的定義域是____________．[解析]若使函數(shù)f(x)有意義，需使tanx－1≠0，即tanx≠1.∵tanx有意義，∴x≠kπ＋eq\f(π,2)且x≠kπ＋eq\f(π,4)，k∈Z，∴f(x)＝eq\f(1,tanx－1)的定義域?yàn)閑q\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≠kπ＋\f(π,4)且x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).4．函數(shù)y＝eq\f(1,\r(tanx－1))的定義域?yàn)?)A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,4)，kπ＋\f(π,2)))，k∈ZB．{x|x≠kπ－eq\f(π,4)，k∈Z}C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,4)，kπ＋\f(π,2)))，k∈ZD.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,4)，kπ＋\f(π,2)))，k∈Z[解析]若使函數(shù)y＝eq\f(1,\r(tanx－1))有意義，需使tanx－1>0，即tanx>1.結(jié)合正切曲線，可得kπ＋eq\f(π,4)<x<kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)．所以函數(shù)y＝eq\f(1,\r(tanx－1))的定義域是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,4)，kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)．5．函數(shù)y＝lg(eq\r(3)－tanx)的定義域?yàn)開_______．[解析]因?yàn)閑q\r(3)－tanx＞0，所以tanx＜eq\r(3).又因?yàn)閠anx＝eq\r(3)時(shí)，x＝eq\f(π,3)＋kπ(k∈Z)，根據(jù)正切函數(shù)圖象，得kπ－eq\f(π,2)＜x＜kπ＋eq\f(π,3)(k∈Z)．6．函數(shù)y＝logeq\f(1,2)taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))的定義域是()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝kπ－\f(π,4)，k∈Z))))B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,4)＜x＜kπ＋\f(π,4)，k∈Z))))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠kπ－\f(π,4)，k∈Z))))D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠kπ＋\f(π,4)，k∈Z))))[解析]由題意taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))＞0，即taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))＜0，∴kπ－eq\f(π,2)＜x－eq\f(π,4)＜kπ，∴kπ－eq\f(π,4)＜x＜kπ＋eq\f(π,4)，k∈Z，故選B.7．函數(shù)y＝eq\r(tanx＋1)＋lg(1－tanx)的定義域?yàn)開_______．[解析]要使函數(shù)y＝eq\r(tanx＋1)＋lg(1－tanx)有意義，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(tanx＋1≥0，,1－tanx>0，))即－1≤tanx<1.在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上滿足上述不等式的x的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,4))).又因?yàn)閥＝tanx的周期為π，所以所求x的定義域?yàn)閑q\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)＋kπ≤x<\f(π,4)＋kπ，k∈Z)))).8．函數(shù)y＝eq\r(－tanx)＋eq\r(cosx)的定義域?yàn)開_______．[解析]由題意得，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－tanx≥0，,cosx≥0，))所以2kπ－eq\f(π,2)＜x≤2kπ，k∈Z，所以函數(shù)y＝eq\r(－tanx)＋eq\r(cosx)的定義域?yàn)閑q\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)＜x≤2kπ，k∈Z)))).9．已知函數(shù)f(x)＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))(1)求f(x)的定義域；(2)設(shè)β∈(0，π)，且f(β)＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))，求β的值．[解析](1)由x＋eq\f(π,4)≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z得x≠kπ＋eq\f(π,4)，k∈Z.所以函數(shù)f(x)的定義域是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠kπ＋\f(π,4)，k∈Z)))).(2)依題意；得taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β＋\f(π,4)))＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β－\f(π,4)))，所以eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β＋\f(π,4))),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β＋\f(π,4))))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β＋\f(π,4)))，整理得sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β＋\f(π,4)))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β＋\f(π,4)))－1))＝0，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β＋\f(π,4)))＝0或coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β＋\f(π,4)))＝eq\f(1,2).因?yàn)棣隆?0，π)，所以β＋eq\f(π,4)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(5π,4)))，由sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β＋\f(π,4)))＝0得β＋eq\f(π,4)＝π，β＝eq\f(3π,4)，由coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β＋\f(π,4)))＝eq\f(1,2)得β＋eq\f(π,4)＝eq\f(π,3)，β＝eq\f(π,12)，所以β＝eq\f(π,12)或β＝eq\f(3π,4).類型二值域1．函數(shù)y＝tanxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)≤x≤\f(3π,4)，且x≠\f(π,2)))的值域是________．[解析]因?yàn)閥＝tanx在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))，eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,4)))上都是增函數(shù)，所以y≥taneq\f(π,4)＝1或y≤taneq\f(3π,4)＝－1.2．求函數(shù)y＝tan(π－x)，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,3)))的值域?yàn)開_______．[解析]y＝tan(π－x)＝－tanx，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,3)))上為減函數(shù)，所以值域?yàn)?－eq\r(3)，1)．3．函數(shù)y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(π,4)))，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))的值域是________．[解析]因?yàn)閤∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))，所以eq\f(x,2)＋eq\f(π,4)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,3)))，所以taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(π,4)))∈(1，eq\r(3))．4．函數(shù)y＝eq\f(1,tanx)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)＜x＜\f(π,4)且x≠0))的值域是()A．(－1,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－∞，1) D．(－1，＋∞)[解析]當(dāng)－eq\f(π,4)＜x＜0時(shí)，－1＜tanx＜0，∴eq\f(1,tanx)≤－1；當(dāng)0＜x＜eq\f(π,4)時(shí)，0＜tanx＜1，∴eq\f(1,tanx)≥1.即當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，0))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))時(shí)，函數(shù)y＝eq\f(1,tanx)的值域是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．5．求函數(shù)y＝tan2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(π,3)))＋taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(π,3)))＋1的定義域和值域．[解析]由3x＋eq\f(π,3)≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，得x≠eq\f(kπ,3)＋eq\f(π,18)(k∈Z)，所以函數(shù)的定義域?yàn)閑q\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠\f(kπ,3)＋\f(π,18)k∈Z)))).設(shè)t＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(π,3)))，則t∈R，y＝t2＋t＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)≥eq\f(3,4)，所以原函數(shù)的值域是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，＋∞)).6．函數(shù)y＝－tan2x＋4tanx＋1，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,4)))的值域?yàn)開_______．[解析]∵－eq\f(π,4)≤x≤eq\f(π,4)，∴－1≤tanx≤1.令tanx＝t，則t∈[－1,1]．∴y＝－t2＋4t＋1＝－(t－2)2＋5.∴當(dāng)t＝－1，即x＝－eq\f(π,4)時(shí)，ymin＝－4，當(dāng)t＝1，即x＝eq\f(π,4)時(shí)，ymax＝4.故所求函數(shù)的值域?yàn)閇－4,4]．7．已知f(x)＝tan2x－2tanxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(|x|≤\f(π,3)))，求f(x)的值域．[解析]令tanx＝t，由|x|≤eq\f(π,3)，則t∈[－eq\r(3)，eq\r(3)]．即有y＝t2－2t＝(t－1)2－1，則y在[－eq\r(3)，1]上單調(diào)遞減，在[1，eq\r(3)]上單調(diào)遞增．∴y的最大值為3＋2eq\r(3)，最小值為－1.∴f(x)的值域?yàn)閇－1,3＋2eq\r(3)]．8．函數(shù)y＝tan(cosx)的值域是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,4))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))C．[－tan1，tan1] D．以上都不對(duì)[解析]cosx∈[－1,1]，y＝tanx在[－1,1]上是增函數(shù)，所以y＝tan(cosx)的值域是[－tan1，tan1]．9．方程taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))＝eq\r(3)在[0,2π)上的解的個(gè)數(shù)是()A．5 B．4C．3 D．2[解析]由題意知，2x＋eq\f(π,3)＝eq\f(π,3)＋kπ，k∈Z，所以x＝eq\f(kπ,2)，k∈Z，又x∈[0,2π)．所以x＝0，eq\f(π,2)，π，eq\f(3π,2)，共4個(gè)．故選B.題型二正切函數(shù)奇偶性、周期性和圖象的對(duì)稱性類型一奇偶性1．判斷下列函數(shù)的奇偶性：①y＝3xtan2x－2x4；②y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))＋tanx.[解析]①定義域?yàn)閑q\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠\f(kπ,2)＋\f(π,4)，k∈Z))))，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又f(－x)＝3(－x)tan2(－x)－2(－x)4＝3xtan2x－2x4＝f(x)，所以它是偶函數(shù)．②定義域?yàn)閑q\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z))))，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))＋tanx＝sinx＋tanx，又f(－x)＝sin(－x)＋tan(－x)＝－sinx－tanx＝－f(x)，所以它是奇函數(shù)．2．判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)f(x)＝eq\f(tan2x－tanx,tanx－1)；(2)f(x)＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))＋taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4))).[解析](1)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z，,tanx≠1，))得f(x)的定義域?yàn)閑q\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x≠kπ＋\f(π,2)且x≠kπ＋\f(π,4)，k∈Z))))，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以函數(shù)f(x)既不是偶函數(shù)，也不是奇函數(shù)．(2)函數(shù)定義域?yàn)閑q\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x≠kπ－\f(π,4)且x≠kπ＋\f(π,4)，k∈Z))))，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又f(－x)＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－x－\f(π,4)))＋taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－x＋\f(π,4)))＝－taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))－taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))＝－f(x)，所以函數(shù)f(x)是奇函數(shù)．3．函數(shù)y＝|x|tan2x是()A．奇函數(shù)B．偶函數(shù)C．非奇非偶函數(shù)D．既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)[解析]易知2x≠kπ＋eq\f(π,2)，即x≠eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,4)，k∈Z，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．又|－x|tan(－2x)＝－|x|tan2x，∴y＝|x|tan2x是奇函數(shù)．4．函數(shù)y＝eq\f(tanx,1＋cosx)()A．是奇函數(shù)B．是偶函數(shù)C．既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)D．既不是奇函數(shù)，又不是偶函數(shù)[解析]函數(shù)的定義域?yàn)閑q\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠kπ＋\f(π,2)))且x≠π＋2kπ，k∈Z))，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．設(shè)y＝f(x)＝eq\f(tanx,1＋cosx)，則f(－x)＝eq\f(tan－x,1＋cos－x)＝eq\f(－tanx,1＋cosx)＝－f(x)．所以y＝f(x)是奇函數(shù)．故選A.5．當(dāng)x∈(－eq\f(π,2)，eq\f(π,2))時(shí)，函數(shù)y＝tan|x|的圖象()A．關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 B．關(guān)于y軸對(duì)稱C．關(guān)于x軸對(duì)稱 D．無法確定[解析]函數(shù)y＝tan|x|，x∈(－eq\f(π,2)，eq\f(π,2))是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱．故選B.6．f(x)＝asinx＋btanx＋1，滿足f(5)＝7，則f(－5)＝________.[解析]∵f(5)＝asin5＋btan5＋1＝7，∴asin5＋btan5＝6，∴f(－5)＝asin(－5)＋btan(－5)＋1＝－(asin5＋btan5)＋1＝－6＋1＝－5.7．已知函數(shù)f(x)＝x＋tanx＋1，若f(a)＝2，則f(－a)的值為________．[解析]設(shè)g(x)＝x＋tanx，顯然g(x)為奇函數(shù)．∵f(a)＝g(a)＋1＝2，∴g(a)＝1，∴f(－a)＝g(－a)＋1＝－g(a)＋1＝0.類型二周期性1．函數(shù)y＝tan3x的最小正周期是________．[解析]函數(shù)y＝tan3x的最小正周期是eq\f(π,3).2．函數(shù)f(x)＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的周期為________．[解析]法一：(定義法)∵taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)＋π))＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))，即taneq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))＋\f(π,3)))＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))，∴f(x)＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的周期是eq\f(π,2).法二：(公式法)f(x)＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的周期T＝eq\f(π,2).3．函數(shù)f(x)＝tanωx(ω>0)的圖象上的相鄰兩支曲線截直線y＝1所得的線段長(zhǎng)為eq\f(π,4)，則ω的值是()A．1B．2C．4D．8[解析]由題意可得f(x)的周期為eq\f(π,4)，則eq\f(π,ω)＝eq\f(π,4)，∴ω＝4.4．函數(shù)y＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))))的最小正周期為________．[解析]y＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))))＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))，x∈\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,4)，kπ＋\f(π,4)))，k∈Z，,－tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))，x∈\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(3π,4)，kπ－\f(π,4)))，k∈Z，))其圖象如圖所示：由圖象知y＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))))的最小正周期為π.5．若f(n)＝taneq\f(nπ,3)，(n∈N*)則f(1)＋f(2)＋…＋f(2019)＝________.[解析]因?yàn)閒(n)＝taneq\f(π,3)n的周期T＝eq\f(π,\f(π,3))＝3，且f(1)＝taneq\f(π,3)＝eq\r(3)，f(2)＝taneq\f(2π,3)＝－eq\r(3)，f(3)＝tanπ＝0，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2019)＝eq\f(2019,3)×0＝0.6．函數(shù)f(x)＝tanωx(ω>0)的圖象的相鄰兩支截直線y＝eq\f(π,4)所得線段長(zhǎng)為eq\f(π,4)，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))的值是()A．0 B．1C．－1 D.eq\f(π,4)[解析]由題意，T＝eq\f(π,ω)＝eq\f(π,4)，∴ω＝4，∴f(x)＝tan4x,feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝tanπ＝0，故選A.類型三圖象的對(duì)稱性1．已知函數(shù)y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))，則該函數(shù)圖象的對(duì)稱中心坐標(biāo)為________．[解析]由x－eq\f(π,3)＝eq\f(kπ,2)(k∈Z)得x＝eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,3)(k∈Z)，所以圖象的對(duì)稱中心坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)＋\f(π,3)，0))，k∈Z.2．函數(shù)y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,5)))，x∈R且x≠eq\f(3,10)π＋kπ，k∈Z的一個(gè)對(duì)稱中心是()A．(0,0) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,5)，0))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)π，0)) D．(π，0)[解析]∵y＝tanx的對(duì)稱中心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))(k∈Z)，∴x＋eq\f(π,5)＝eq\f(kπ,2)，(k∈Z)∴x＝eq\f(kπ,2)－eq\f(π,5)(k∈Z)當(dāng)k＝2時(shí)，x＝eq\f(4,5)π，∴對(duì)稱中心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)π，0)).3．求函數(shù)y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－\f(π,3)))的定義域、最小正周期、單調(diào)區(qū)間及其圖象的對(duì)稱中心．[解析]①由eq\f(x,2)－eq\f(π,3)≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，得x≠2kπ＋eq\f(5π,3)，k∈Z，∴函數(shù)的定義域?yàn)閑q\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠2kπ＋\f(5,3)π，k∈Z)))).②T＝eq\f(π,\f(1,2))＝2π，∴函數(shù)的最小正周期為2π.③由kπ－eq\f(π,2)＜eq\f(x,2)－eq\f(π,3)＜kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，得2kπ－eq\f(π,3)＜x＜2kπ＋eq\f(5π,3)，k∈Z，∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,3)，2kπ＋\f(5π,3)))，k∈Z.④由eq\f(x,2)－eq\f(π,3)＝eq\f(kπ,2)，k∈Z，得x＝kπ＋eq\f(2π,3)，k∈Z，∴函數(shù)圖象的對(duì)稱中心是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(2π,3)，0))，k∈Z.4．已知函數(shù)f(x)＝tan(x＋φ)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，0))且|φ|<eq\f(π,2)，則φ＝________.[解析]由題意得eq\f(π,3)＋φ＝eq\f(kπ,2)(k∈Z)，即φ＝eq\f(kπ,2)－eq\f(π,3)(k∈Z)，又|φ|<eq\f(π,2)，所以φ＝eq\f(π,6)或φ＝－eq\f(π,3).5．關(guān)于x的函數(shù)f(x)＝tan(x＋φ)有以下幾種說法：①對(duì)任意的φ，f(x)都是非奇非偶函數(shù)；②f(x)的圖象關(guān)于eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－φ，0))對(duì)稱；③f(x)的圖象關(guān)于(π－φ，0)對(duì)稱；④f(x)是以π為最小正周期的周期函數(shù)．其中不正確的說法的序號(hào)是________．[解析]①若取φ＝kπ(k∈Z)，則f(x)＝tanx，此時(shí)，f(x)為奇函數(shù)，所以①錯(cuò)誤；觀察正切函數(shù)y＝tanx的圖象，可知y＝tanx關(guān)于eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))(k∈Z)對(duì)稱，令x＋φ＝eq\f(kπ,2)得x＝eq\f(kπ,2)－φ，分別令k＝1,2知②、③正確，④顯然正確．6．下列關(guān)于函數(shù)y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))的說法正確的是()A．在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(5π,6)))上單調(diào)遞增B．最小正周期是2πC．圖象關(guān)于點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，0))成中心對(duì)稱D．圖象關(guān)于直線x＝eq\f(π,6)成軸對(duì)稱[解析]令kπ－eq\f(π,2)<x＋eq\f(π,3)<kπ＋eq\f(π,2)，解得kπ－eq\f(5π,6)<x<kπ＋eq\f(π,6)，k∈Z，顯然eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(5π,6)))不滿足上述關(guān)系式，故A錯(cuò)誤；易知該函數(shù)的最小正周期為π，故B錯(cuò)誤；令x＋eq\f(π,3)＝eq\f(kπ,2)，解得x＝eq\f(kπ,2)－eq\f(π,3)，k∈Z，令k＝1得到x＝eq\f(π,6)，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，0))是函數(shù)的對(duì)稱中心，故C正確；正切曲線沒有對(duì)稱軸，因此函數(shù)y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))的圖象也沒有對(duì)稱軸，故D錯(cuò)誤．故選C.7．設(shè)函數(shù)f(x)＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－\f(π,3))).(1)求函數(shù)f(x)的周期，對(duì)稱中心；(2)作出函數(shù)f(x)在一個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖．[解析](1)∵ω＝eq\f(1,2)，∴周期T＝eq\f(π,ω)＝eq\f(π,\f(1,2))＝2π.令eq\f(x,2)－eq\f(π,3)＝eq\f(kπ,2)(k∈Z)，則x＝kπ＋eq\f(2π,3)(k∈Z)，∴f(x)的對(duì)稱中心是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(2π,3)，0))(k∈Z)．(2)令eq\f(x,2)－eq\f(π,3)＝0，則x＝eq\f(2π,3)；令eq\f(x,2)－eq\f(π,3)＝eq\f(π,2)，則x＝eq\f(5π,3)；令eq\f(x,2)－eq\f(π,3)＝－eq\f(π,2)，則x＝－eq\f(π,3).∴函數(shù)y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－\f(π,3)))的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，0))，在這個(gè)交點(diǎn)左，右兩側(cè)相鄰的兩條漸近線方程分別是x＝－eq\f(π,3)，x＝eq\f(5π,3)，從而得到函數(shù)y＝f(x)在一個(gè)周期eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(5π,3)))內(nèi)的簡(jiǎn)圖(如圖)．題型三正切函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用類型一求單調(diào)區(qū)間1．函數(shù)y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,5)))的單調(diào)增區(qū)間是________．[解析]令kπ－eq\f(π,2)＜x－eq\f(π,5)＜kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，得kπ－eq\f(3π,10)＜x＜kπ＋eq\f(7π,10)，k∈Z即函數(shù)y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,5)))的單調(diào)增區(qū)間是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(3π,10)，kπ＋\f(7π,10)))，k∈Z.2．求函數(shù)y＝3taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－2x))的單調(diào)區(qū)間．[解析]y＝3taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－2x))＝－3taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))，由－eq\f(π,2)＋kπ＜2x－eq\f(π,4)＜eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z得，－eq\f(π,8)＋eq\f(k,2)π＜x＜eq\f(3π,8)＋eq\f(k,2)π，k∈Z，所以y＝3taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－2x))的減區(qū)間為(－eq\f(π,8)＋eq\f(k,2)π，eq\f(3π,8)＋eq\f(k,2)π)，k∈Z.3．求函數(shù)y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,4)))的單調(diào)區(qū)間；[解析]由kπ－eq\f(π,2)<eq\f(1,2)x－eq\f(π,4)<kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)得，2kπ－eq\f(π,2)<x<2kπ＋eq\f(3π,2)，k∈Z，所以函數(shù)y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,4)))的單調(diào)遞增區(qū)間是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(3π,2)))(k∈Z)．4．函數(shù)y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋\f(π,4)))的單調(diào)增區(qū)間為________．[解析]由題意知，kπ－eq\f(π,2)<eq\f(1,2)x＋eq\f(π,4)<kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，即kπ－eq\f(3π,4)<eq\f(1,2)x<kπ＋eq\f(π,4)，k∈Z.所以2kπ－eq\f(3π,2)<x<2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，故單調(diào)增區(qū)間為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(3π,2)，2kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)．5．函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)x＋\f(π,4)))的單調(diào)遞增區(qū)間為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2k－\f(3,2)，2k＋\f(1,2)))，k∈ZB.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2k－\f(1,2)，2k＋\f(1,2)))，k∈ZC.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4k－\f(1,2)，4k＋\f(1,2)))，k∈ZD.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4k－\f(3,2)，4k＋\f(1,2)))，k∈Z[解析]由kπ－eq\f(π,2)<eq\f(π,2)x＋eq\f(π,4)<kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)得2k－eq\f(3,2)<x<2k＋eq\f(1,2)(k∈Z)．故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2k－\f(3,2)，2k＋\f(1,2)))(k∈Z)．類型二比較大小1．tan1，tan2，tan3，tan4從小到大的排列順序?yàn)開_______．[解析]y＝tanx在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2)))上是單調(diào)增函數(shù)，且tan1＝tan(π＋1)，又eq\f(π,2)＜2＜3＜4＜π＋1＜eq\f(3π,2)，所以tan2＜tan3＜tan4＜tan1.2．下列各式中正確的是()A．tan735°＞tan800° B．tan1＞－tan2C．taneq\f(5π,7)＜taneq\f(4π,7) D．taneq\f(9π,8)＜taneq\f(π,7)[解析]對(duì)于A，tan735°＝tan15°，tan800°＝tan80°，tan15°＜tan80°，所以tan735°＜tan800°；對(duì)于B，－tan2＝tan(π－2)，而1＜π－2＜eq\f(π,2)，所以tan1＜－tan2；對(duì)于C，eq\f(π,2)＜eq\f(4π,7)＜eq\f(5π,7)＜π，taneq\f(4π,7)＜taneq\f(5π,7)；對(duì)于D，taneq\f(9π,8)＝taneq\f(π,8)＜taneq\f(π,7).3．比較taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13π,4)))與taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12π,5)))的大??；[解析]由于taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13π,4)))＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4π＋\f(3π,4)))＝taneq\f(3π,4)＝－taneq\f(π,4)，taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12π,5)))＝－taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π＋\f(2π,5)))＝－taneq\f(2π,5)，又0<eq\f(π,4)<eq\f(2π,5)<eq\f(π,2)，而y＝tanx在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上單調(diào)遞增，所以taneq\f(π,4)<taneq\f(2π,5)，－taneq\f(π,4)>－taneq\f(2π,5)，即taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13π,4)))>taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12π,5))).4．比較大小：taneq\f(6,5)π________taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13,7)π))；[解析]taneq\f(6,5)π＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f(π,5)))＝taneq\f(π,5)，taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13,7)π))＝－taneq\f(13,7)π＝－taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π－\f(π,7)))＝－taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,7)))＝taneq\f(π,7)，因?yàn)椋璭q\f(π,2)<eq\f(π,7)<eq\f(π,5)<eq\f(π,2)，y＝tanx在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上單調(diào)遞增，所以taneq\f(π,7)<taneq\f(π,5)，即taneq\f(6,5)π>taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13,7)π)).5．已知函數(shù)f(x)＝3taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－\f(x,4))).(1)求它的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；(2)試比較f(π)與feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)))的大小．[解析](1)因?yàn)閒(x)＝3taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－\f(x,4)))＝－3taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,4)－\f(π,6)))，所以T＝eq\f(π,ω)＝eq\f(π,\f(1,4))＝4π.由kπ－eq\f(π,2)＜eq\f(x,4)－eq\f(π,6)＜kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，得4kπ－eq\f(4π,3)＜x＜4kπ＋eq\f(8π,3)(k∈Z)．因?yàn)閥＝3taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,4)－\f(π,6)))在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4kπ－\f(4π,3)，4kπ＋\f(8π,3)))(k∈Z)上單調(diào)遞增，所以f(x)＝3taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－\f(x,4)))在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4kπ－\f(4π,3)，4kπ＋\f(8π,3)))(k∈Z)上單調(diào)遞減．故函數(shù)的最小正周期為4π，單調(diào)遞減區(qū)間為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4kπ－\f(4π,3)，4kπ＋\f(8π,3)))(k∈Z)(2)f(π)＝3taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－\f(π,4)))＝3taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,12)))＝－3taneq\f(π,12)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)))＝3taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－\f(3π,8)))＝3taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5π,24)))＝－3taneq\f(5π,24)，因?yàn)閑q\f(π,12)＜eq\f(5π,24)，且y＝tanx在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上單調(diào)遞增，所以taneq\f(π,12)＜taneq\f(5π,24)，所以f(π)＞feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2))).類型三單調(diào)性的應(yīng)用(求參等)1．解不等式taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))≤eq\r(3).[解析]將x＋eq\f(π,3)看成一個(gè)整體，由函數(shù)y＝tanx的圖象可知在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上滿足tanx≤eq\r(3)的解應(yīng)滿足－eq\f(π,2)<x≤eq\f(π,3)，再結(jié)合y＝tanx的周期，得kπ－eq\f(π,2)<x＋eq\f(π,3)≤kπ＋eq\f(π,3)，k∈Z，即kπ－eq\f(5,6)π<x≤kπ，k∈Z，所以不等式taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))≤eq\r(3)的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|kπ－\f(5,6)π<x≤kπ，k∈Z)).2．若tanx≥1，則()A．2kπ－eq\f(π,4)＜x＜2kπ(k∈Z)B．x≤(2k＋1)π(k∈Z)C．kπ－eq\f(π,4)＜x≤kπ(k∈Z)D．kπ＋eq\f(π,4)≤x＜kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)[解析]因?yàn)閠anx≥1＝taneq\f(π,4).所以eq\f(π,4)＋kπ≤x＜eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z.3．不等式taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))≥1的解集為______________．[解析]由已知可得kπ＋eq\f(π,4)≤2x＋eq\f(π,4)<kπ－eq\f(π,2)，解得eq\f(kπ,2)≤x<eq\f(kπ,2)－eq\f(3π,8)，k∈Z，∴不等式taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))≥1的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(,,,,))\f(kπ,2)≤x<\f(kπ,2)－\f(3,8)π，k∈Z)).4．函數(shù)y＝tanx＋sinx－|tanx－sinx|在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2)))內(nèi)的圖象是()[解析]當(dāng)eq\f(π,2)＜x＜π，tanx＜sinx，y＝2tanx＜0；當(dāng)x＝π時(shí)，y＝0；當(dāng)π＜x＜eq\f(3π,2)時(shí)，tanx＞sinx，y＝2sinx．故選D.5．已知函數(shù)y＝tanωx在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,