高中數(shù)學(xué)1理 第十二章

第十二章

DISHIERZHANG復(fù)數(shù)、算法、推理與證明

亞數(shù)的概念、如數(shù)的運(yùn)算、狂數(shù)的兒何意義；條核心考點(diǎn)解題方法

直接法、分析法、綜合法.

件結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖以及算法；以實(shí)際

生活為背景考查邏輯推理能力.推理主要是合情推

理與演繹推理及綜合法、分析法.

考頻賦分核心素養(yǎng)

本章內(nèi)容在近/!:年高考題中分值為5分或1(吩r命題規(guī)律以數(shù)學(xué)運(yùn)算邏輯推理和數(shù)據(jù)分析為已

多以選擇題形如:現(xiàn)，位置較靠前,難度較小.題型難里聯(lián)考點(diǎn)

函數(shù).數(shù)列,不等式.

第一節(jié)數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入

■梳裁的?固基礎(chǔ)-------基固為根必備知識(shí)

I基礎(chǔ)自梳］

1.復(fù)數(shù)的有關(guān)概念

(1)復(fù)數(shù)的定義

形如〃+加3，6GR)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中實(shí)部是a,虛部是h

(2)復(fù)數(shù)的分類

復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b^R)

j實(shí)數(shù)S=0),

4(純虛數(shù)(〃三。，人三0),

［虛數(shù)3差叫非純虛數(shù)(“WO,月0).

(3)復(fù)數(shù)相等

〃+Z?i=c+dio〃=c且b=d(a,b,c,d￡R).

(4)共輒復(fù)數(shù)

a+Z?i與c+M共輒<=>a=c且b=—d(a,b,c,d￡R).

(5)復(fù)數(shù)的模

向量OZ的模叫做復(fù)數(shù)z=a+歷的模，記作U1或團(tuán)+加，即|z|=|a+歷|=r=q〃2+匕2

(r20,a.h&R).

點(diǎn)撥(1)兩個(gè)虛數(shù)不能比較大小.

(2)利用復(fù)數(shù)相等a+6i=c+出列方程時(shí)，注意a,b,c,的前提條件.

2.復(fù)數(shù)的幾何意義

———jM-J\w

(1)復(fù)數(shù)z=a+歷——復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a,力(a,h^R).

(2)復(fù)數(shù)z=a+歷(a,66R)—平面向量OZ

3.復(fù)數(shù)的運(yùn)算

(1)復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算法則

設(shè)zi=〃+bi,Z2=c+di(a,b,c,d￡R),則

①加法：zi+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+S+J)i；

②減法：zi-Z2=(a+〃i)—(c+di)=3-c)+(b—t/)i；

③乘法：z\-Z2=(a+hi)-(c+di)=(ac—?jiǎng)?lì)+(od+bc)i；

z\_〃+bi_(a+0i)(c—狗_ac+bdbc-ad.

2(c+diW0).

Z2c+di(c+di)(c—di)cr+dd+Q

（2）復(fù)數(shù)加法的運(yùn)算定律

復(fù)數(shù)的加法滿足交換律、結(jié)合律，即對任何Zl，Z2，Z3《C,有Zl+Z2=Z2+Z1,⑵

+Z2）+Z3=Z1+（Z2+Z3）.

思考拓展

在進(jìn)行復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算時(shí)，記住以下結(jié)論，可提高計(jì)算速度.

-1+i1-i

（l）（l±i）_=±2i；1_j=i;1_|_j=—i;

（2）-b+ai=i（a+歷）；

（3）i4n=l,i4n+l=i,i4?+2=-l,i4/,+3=-i,

4n4n+

i+i'+i4"+2+j4，L3=0>“GN”.

［基礎(chǔ)自測］

1.（教材改編）復(fù)數(shù)z=—、，則復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）

1—1

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

［答案ID

2.(教材改編)設(shè)mGR,復(fù)數(shù)z=加一l+(ni+l)i表示純虛數(shù)，則根的值為()

A.1B.-1C+1D.0

［答案］A

3.(2019?全國卷I)設(shè)2=/竟，則|z|=()

A.2B.小C.yj2D.1

_3—i一(3—i)(l-2i)_l—7i

c1-z-1+2i-(H-2i)(l-2i)-5，

?“尸證>+T>=小」

4.復(fù)數(shù)z=(3—2i)i的共軌復(fù)數(shù)三等于.

［解析］因?yàn)閦=(3—2i)i=3i-2i2=2+3i,

所以'=2-3i.

［答案］2-3i

5.復(fù)數(shù)z=*W的虛部為——

(i-1)2+44-2i(4-2i)(l-i)

［解析］Z—i+1=i+1=(l+i)(l-i)=l-3i.

［答案I-3

?研考點(diǎn)?練方法-----點(diǎn)明為綱關(guān)鍵能力

考點(diǎn)一復(fù)數(shù)的有關(guān)概念

［例1J（1）（2021?唐山五校聯(lián)考）己知亡=2+i,則z（z的共輒復(fù)數(shù)）為（）

A.-3-iB.-3+i

C.3+iD.3-i

C［由題意得z=(2+i)(l-i)=3-i,

所以"TnS+i,故選C.|

(2)(2021.鄭州市第一次質(zhì)量預(yù)測)若復(fù)數(shù)詈々aGR)的實(shí)部和虛部相等，則實(shí)數(shù)a的值

為()

A.1B.-1C.1D.

..1+23(l+2ai)(2+i)2—2“：1+4?.?.由題意，得三斗=T擔(dān)，解得“=:,

CI?2T=(2-i)(2+i)=5+5h

故選C.］

(3)(2020?全國I卷)若z=l+i,則Iz2—2z|=()

A.0B.1C.A/2D.2

D［法一?-22=(1+1)2-2(1+1)=-2,|22-2Z|=|-2|=2.

法二|z2-2z|=|(l+i)2-2(l+i)|=|(l+i)(-1+i)|

=|l+i||-l+i|=2.

故選D.］

方法指導(dǎo)一解決復(fù)數(shù)概念問題的方法及注意事項(xiàng)

(1)復(fù)數(shù)的分類及對應(yīng)點(diǎn)的位置問題都可以轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部應(yīng)該滿足的條件問

題，只需把復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式，列出實(shí)部和虛部滿足的方程(不等式)組即可.

(2)解題時(shí)一定要先看復(fù)數(shù)是否為。+5(a,bdR)的形式，以確定實(shí)部和虛部.

［思維變式］

1.已知i是虛數(shù)單位，滿足z—2z=-l+3i,則z=()

A.1+iB.1-iC.l+2iD.l-2i

A口殳z=x+yi(x,v^R),則z=x—yi,所以z—2z=x+yi—2(x—yi)=-x+3yi,即

-x——1x=1

一x+3yi=-l+3i,由復(fù)數(shù)相等得''解得'，

13y=3,3=1,

；.z=l+i.故選A.］

2.已知adR,i是虛數(shù)單位，若罪為實(shí)數(shù)，則a的值為

a—i(4一i)(2—i)2a-1-(a+2)i

［解析］因?yàn)闉閷?shí)數(shù)，所以。+2=0,即”=一2.

2+i-(2+i)(2-i)5

［答案］-2

考點(diǎn)二復(fù)數(shù)的幾何意義

［例2J⑴(2021.湖南衡陽診斷)如圖,已知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的向量為OZ則|z|為

)

A.1BSC.A/3D.2

B［由題圖得，5Z=(1,1),所以|z|=，12+］2=6,故選B.］

(2)已知復(fù)數(shù)zi=-l+2i,Z2=l—i,Z3=3—4i,它們在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)分別為4,B,

C,若無1=7萬1+〃協(xié)，(2,〃CR),則2+〃的值是.

［解析］由條件得證=(3,-4),04=(-1,2),OB={\,-1),

根據(jù)氏=/1d+"協(xié)得

(3,—4)=2(—1,2)+/z(L—1)=(—2+/^,22—〃),

[T+〃=3,

解得

|2A-/z=-4,、〃=2.

.,.A+/z=1.

I答案I1

方法指導(dǎo)復(fù)數(shù)的幾何意義及應(yīng)用

(1)復(fù)數(shù)Z、復(fù)平面上的點(diǎn)Z及向量源相互聯(lián)系，即2=。+沅(a,6GR)u>Z(a,b)<^OZ.

(2)由于復(fù)數(shù)、點(diǎn)、向量之間建立了一一對應(yīng)的關(guān)系，因此可把復(fù)數(shù)、向量與解析幾何聯(lián)

系在一起，解題時(shí)可運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法，使問題的解決更加直觀.

[思維變式]

1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)Z和己7表示的點(diǎn)關(guān)于虛軸對稱，則復(fù)數(shù)Z=()

24

A.

一?

-5

?2

_

c-

5

4

A曲可知該復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)為(一|,其關(guān)于虛軸的對稱點(diǎn)為停,-

l+,i5

24

故復(fù)數(shù)z=§+m，應(yīng)選A」

1-i

2.(2021.沈陽質(zhì)量監(jiān)測)己知i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)不拓的共軌復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)

位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

B[后=(]+2((1二2；)=^^，其共較復(fù)數(shù)為一方十5，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于

第二象限，故選B.]

考點(diǎn)三復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算

:2018

[例3]⑴(2021?江西七校第一次聯(lián)考)已知復(fù)數(shù)2=七三，則復(fù)數(shù)z的虛部為()

A.—1B.—|iC./iD.g

j2018i4X504+2j

A[因?yàn)閪—z-=—■一不=

I—211—211—21

l+2i122

_產(chǎn)2%1言TW-R所以虛部為一子故選A」

(2)已知復(fù)數(shù)z=a+歷，彳+幽=本=本(其中。，〃是實(shí)數(shù))，則|才=()

A.1B.羋C.1D.j

力

匕

111。1

.-.-得

m,J(i+l)i(i-l)--一---

P22?22牙

A[由題意得N萬

i2i2-1i2-1

=0,b=-l,，z=-i,故|z|=L]

(3)Q020?全國II卷)(1—i)4=()

A.-4B.4C.-4iD.4i

A[(l-i)4=(l-2i+i2)2=(-2i)2=4i2=-4.]

方法指導(dǎo)復(fù)數(shù)代數(shù)形式運(yùn)算問題的解題策略

(1)復(fù)數(shù)的乘法.復(fù)數(shù)的乘法類似于多項(xiàng)式的四則運(yùn)算，可將含有虛數(shù)單位i的看作一類

同類項(xiàng)，不含i的看作另一類同類項(xiàng)，分別合并即可.

(2)復(fù)數(shù)的除法.除法的關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共軻復(fù)數(shù)，解題中要注意把i的氟

寫成最簡形式.

［思維變式］

1.(2021.唐山市摸底考試)設(shè)z=K；二：),則|z|=()

A.#B.2C.卑D.1

D"號(hào)=普學(xué)=源…尸

故選D.］

2.(2021?惠州模擬)已知復(fù)數(shù)z的共軌復(fù)數(shù)z,若z(l—i)=2i(i為虛數(shù)單位)，則z=()

A.iB.i-1C.—i—1D.—i

c［由已知可得T=4=(］勺；；；0=-1+1則z=-i—i,故選c」

(—l+i)(2+i)

3.計(jì)算:(I)-

(1+2鏟+3(1)

2+i

1-i,1+i

(3)(l+i)2+(l-i)2'

(一l+i)(2+i)—3+i

[解](I)'

2+i-2+i-2+15-5干5

1+i1-i,1+i1+i,-1+i

⑶a+y+>(+717—_i)2，r+—^7==-=v+—下T-=-I.

?鎮(zhèn)高考?提素養(yǎng)素養(yǎng)為本創(chuàng)新應(yīng)用

［再研高考］

1.(2019?全國卷川)若z(l+i)=2i,則z=()

A.-1—iB.—1+iC.1—iD.I+i

crb/I_L-A-Te2i2i(l~~i)2i(l-i).門Ar.,

D[由z(l+i)—21,付z-1+j-([+j)(]_0—2—1(1—1)—1+1.故選D.]

2.(2019?全國卷I)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z—i|=l,z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為(x,y),則()

A.(x+l)2+y2=lB.(x-l)2+/=l

C.f+G，-1)2=1D.f+G，+1)2=1

C[由已知條件,可得Z=x+yi.：|z-i|=l,

.,.|x+yi-i|=l,.,.f+(y—1)2=1.

故選C.J

3.(2020?全國I卷)若z=l+2i+i3,則|z|=()

A.0B.1C.V2D.2

C[Vz=l+2i+i3=4l+2i-i=l+i,.?.|z|=VFTP=6.故選C.]

4.(2020?全國II卷)設(shè)復(fù)數(shù)zi，Z2滿足⑵|=閡=2,zi+z2=<§+i,則％—z?|=.

I解析]法一設(shè)Z|—Z2=a+歷，a,6CR,

因?yàn)閦i+z2=45+i,

所以2zi=(小+〃)+(1+b)i,2z2=(#—a)+(l~b)i.

因?yàn)棰苵=|zd=2,所以|2ZI|=|2Z2|=4,

所以K(S+a)2+(l+1)2=4,①

、(小一.)2+(1-萬=4,②

①2+②2得。2+后=12.

所以|zi—Z2|=y］a2+b2=2小.

法二設(shè)復(fù)數(shù)zi,Z2在復(fù)平面內(nèi)分別對應(yīng)向量。4,OB,則zi+z2對應(yīng)向量。A+08.

由題知|a|=|勵(lì)|=|d+為|=2,

B

如圖所示，以。4,08為鄰邊作平行四邊形0AC8,則zi-Z2對應(yīng)向量放，OA=AC=

0C=2,

可得BA=20Asin60。=2小.故|ZLZ2|=|法|=2小.

［答案］2小

［創(chuàng)新應(yīng)用］

復(fù)數(shù)的命題表示

設(shè)有下面四個(gè)命題：

P1：若復(fù)數(shù)Z滿足則zCR；

P2：若復(fù)數(shù)Z滿足Z2?R,則ZCR；

P3：若復(fù)數(shù)Z”Z2滿足Z1Z2GR,則Z1=Z2；

P4：若復(fù)數(shù)ZGR,則三6艮

其中的真命題為()

A.pi，必B.Pl，P4C.Pl，PiD.P2,P4

B［法一(特值法)：z=i,則z?=-lWR,但夫R,故命題p2不正確；取zi=i,z2

=2i,則三2=-2i,ZIZ2=-2GR,但zi#》？，故命題°3不正確，結(jié)合選項(xiàng)可知選B.

法二(直接法)：對于命題0,設(shè)2=“+4(。，OCR),由得6=0,

則zGR成立，故命題pi正確；對于命題/>2,設(shè)z=a+%i(a,feeR),由z2=(“2—/)+2〃歷

GR,得必=0,則。=0或b=0,復(fù)數(shù)z可能為實(shí)數(shù)或純虛數(shù)，故命題p2錯(cuò)誤：對于命題

P3,設(shè)zi="+8i(a,R),Z2—c+di(c,R),由z「Z2=(ac—6</)+(ad+Ac)iWR,得ad+

bc=O,不一定有4=z2,故命題p3錯(cuò)誤；對于命題p*設(shè)2=。+齒(a,6GR),則由zGR,

得b=0,所以z=aWR成立，故命題04正確.故選B.］

點(diǎn)評此題用命題的形式考查了復(fù)數(shù)的概念與運(yùn)算的基本知識(shí)，把復(fù)數(shù)有關(guān)的?？键c(diǎn)最

大限度地進(jìn)行了考查，既考查了知識(shí)又考查了方法.

課時(shí)作業(yè)(六H—)

A級基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)

I.設(shè)Z=l+i(i是虛數(shù)單位)，則)

A.l+3iB.l-3iC.-l+3iD.-l-3i

2

C［因?yàn)閦=l+i,所以，=(1+爐=1+2i+i2=2i,-=7V7=Z1=^.P=

zl+i(1+i)(l—i)1—r

則z2-m=2i—(l一i)=一l+3i.故選C.］

2.已知(1+；)=。+例3，beR,i為虛數(shù)單位)，則。+。=()

A.-7B.7C.-4D.4

A［因?yàn)椋?+:）2=1+1+3=—3—4i,

所以一3—g=。+4，則。=-3,6=—4,

所以a+b=-7,故選A.］

3.（2021.福州模擬）若復(fù)數(shù)2=含+1為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)〃=（）

A.-2B.-1C.1D.2

A［因?yàn)閺?fù)數(shù)z=jq—+1=（］；；（］1=5+1一爭為純虛數(shù)，所以1=0且一身0,

解得〃=一2.故選A.］

—1+2i__

4.（2021.安徽省考試試題）z是z=-pr的共朝復(fù)數(shù)，則z的虛部為（）

1133

-

--B---

A.222D.2

1

l+2i

CZ-1(l+2i)(l+i)_-l+3i_」3.

(l-i)(l+i)~-2——

-13

如J=-.——3

Z2?,所以z的虛部為一會(huì)故選CJ

5.（2021.鄭州市第一次質(zhì)量預(yù)測）若復(fù)數(shù)z滿足（3+4i）z=25i,其中i為虛數(shù)單位，則z的

虛部是（）

A.3iB.-3iC.3D.一3

CL,“25i25i（3-4i）25i（3-4i）,,,—

D［因?yàn)椋?+4i）z=25i,所以z=—=（3+；i）（3_%）=25=4+3i,所以z=4

-3i,所以三■的虛部為一3.故選D.］

6.(2021?江西省五校協(xié)作體試題)已知i是虛數(shù)單位，若z+；H卜巴則因=()

A.1B市C.2D.y[5

Rrl__ZL__.口__(If__所以(口、018_/_訃2。18—：2018—

B[i-i(-i)-I,1+i-(l+i)(l—i)-2-*i11*V1所以U+J_(DT_

i504X4+2=i2=—1,所以由z+；=(W2°i\得Z—i=—1,Z=-1+i,所以團(tuán)=也，故選BJ

已知是虛數(shù)單位，且復(fù)數(shù)一歷，若言是實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)人的值為（

7.izi=3Z2=l—2i,)

卜?一6B,6C.0D.1

..Z]3—bi3+21(6-Z?)i先實(shí)數(shù),

BVZ2=l-2i=5+-5—

6~~b

???^-=0,：.b=6.]

8.設(shè)復(fù)數(shù)Zi，Z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對稱，Z|=2+i,則件=（）

4

3?44

A.1+iB.gC.1+pD.1+p

B[因?yàn)閺?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對稱，zi=2+i,所以Z2=2—i,所以

34

Z12+i(2+i)2-_

5+-玉,故選B.］

1+2z

9.（2021?武漢市調(diào)研測試）設(shè)復(fù)數(shù)z滿足-=i,則z=（）

1—Z

1313

-.-.

5+■PB.5-?

l+2zj—1(i—1)(2—i)13

C[法一因?yàn)閉__=i,所以l+2z=i-iz,所以z=*7=-------7-------故

1ZZI1JDD

選c.

l+2z

法二設(shè)2=〃+歷(a,hGR),因?yàn)長^=i,所以l+2(a+加)=i-i(a+歷)，所以2a+l

1一z

\2a+\=b13

,所以z=一5+W，故選C.]

+2bi=b+(l-a)i9所以加—一

10.(2021.洛陽尖子生第二次聯(lián)考)已知復(fù)數(shù)zi=-；+^i,Z2=一；-^i,則下列結(jié)論

中錯(cuò)誤的是()

A.zf=Z2B.|Z1|=|Z2|

C.zi—與=1D.Z],Z2互為共輾復(fù)數(shù)

c[由題意得,zl=(_J+半i)=；一坐—坐=Z2,故A正確；|zi|=|一：+*i]

=1,|Z2|=一；一半i=1,所以|Z1|=|Z2|,故B正確；G=Z^=1,所以Z：—z3=o,故C錯(cuò)誤;

因?yàn)閆|,Z2的實(shí)部相同、虛部互為相反數(shù)，所以Z|,Z2互為共靶復(fù)數(shù)，故D正確.故選C.]

B級能力提升

11.己知i為虛數(shù)單位，(zi-2)(l+i)=l-i,Z2=a+2i,若zgGR,則|zR=()

A.4B.20C4D.24

?]—j.(1-i)2

D[zi=2+幣=2+(]+i)(i)=2-i,

z「Z2=(2—i)(a+2i)=2a+2+(4—a)i,

若Z1-Z2^R,

則a=4,0|=2小，選D.]

12.若實(shí)數(shù)a,h,c滿足*+“+歷V2+ci(其中i2=—1),集合A={x|x=a},B={x|x=

b+c],則41~1晨8為()

A.0

B.{0}

C.{x|-2<x<l}

D.國一2?0或0cx<1}

[a2+a<2,

D[由于只有實(shí)數(shù)之間才能比較大小，故cr+a+b\<2+c\^\解得

S=c=0.

-2<a<1,

,因此4={x|—2cx<1},B={0},故4C[RB={X|-2Vx<1}C{X|XGR,x/0}

.b=c=0,

={x|-2Vx<0或0<xVl}.]

13.復(fù)數(shù)|1+也”+(與聾)2=

[解析]原式=嚴(yán)硒+嘲'小+匚薩=小+瞪+芳亙=.

[答案]i

14.設(shè)Z=47+i(i為虛數(shù)單位)，則|z|=.

［解析1因?yàn)閦=］+j+i=（］+D（］_j）+i=2+i=2+］i,所以團(tuán)=［（即+^卜手

［答案］當(dāng)

4+2i

15.已知復(fù)數(shù)2=訶弄i為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在直線x-2y+m=0上，則

m=

I解析】z=/等=空=""=l-2i,復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，-

2）,將其代入x—2了+機(jī)=0,得，”=—5.

［答案］一5

16.復(fù)數(shù)z滿足①|(zhì)z|2l；②|z+i|W|-l—2i|,則z在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的圖形的面積為

I解析I由①|(zhì)z|2l得復(fù)數(shù)Z對應(yīng)的圖形為以原點(diǎn)為圓心，以1為半徑的圓及其外部.由

②|z+i|W|-l-2i|,得復(fù)數(shù)z對應(yīng)的圖形為以（0,—1）為圓心，以小為半徑的圓及其內(nèi)部，

如圖所示，

所以所求的圖形（陰影部分）的面積為兀（小產(chǎn)一jtXl2=4n.

［答案］4n

第二節(jié)算法與程序框圖

?梳教朝?固基礎(chǔ)------基固為根必備知識(shí)

［基礎(chǔ)自梳］

1.算法與程序框圖

⑴算法

①算法通常是指按照一定規(guī)則解決某一類問題的明磁和直限的步驟；

②應(yīng)用：算法通常可以編成計(jì)算機(jī)m，讓計(jì)算機(jī)執(zhí)行并解決問題.

（2）程序框圖

定義：程序框圖又稱流程圖，是一種用程序框、流程線及文字說明來表示算法

的圖形.

2.三種基本邏輯結(jié)構(gòu)及相應(yīng)語句

［基礎(chǔ)自測］

1.如圖所示的程序框圖的運(yùn)行結(jié)果是（）

〃=4

A.2B.2.5C.3.5D.4

［答案］B

2.（教材改編）給出如圖程序框圖，其功能是（）

/輸出/輸出6-a/

A.求4一人的值B.求匕一”的值

C.求|“一例的值D.以上都不對

［答案］c

3.（教材改編）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的S為4,則輸入的x應(yīng)為（）

/輸入\/

S=2'r||S=Iog/|

A.-2B.16C.-2或8D.-2或16

I答案］D

4.閱讀如圖的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，則輸出S的值為

/輸出s/

［答案］6

?研考點(diǎn)?練方法-----點(diǎn)明為綱關(guān)鍵能力

考點(diǎn)一計(jì)算輸出結(jié)果

［例1］（1）（2019?天津卷）閱讀下邊的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，輸出S的值為（）

A.5B.8C.24D.29

B［i=l,5=0,i不是偶數(shù)：第一次循環(huán)：S=l,i=2<4：第二次循環(huán)；i是偶數(shù)，j

=1,S=5,i=3<4;第三次循環(huán)：i不是偶數(shù)，S=8,i=4,滿足i24,輸出S,結(jié)果為8.］

第(1)題圖

Cw)

/輸?Ch占必

第(2)題圖

(2)(2021?濟(jì)南市學(xué)習(xí)質(zhì)量評估)執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的a,b,c依次為(sina嚴(yán)

(7T兀、

a,(sin?)cosa,(cosa)sina,其中aG(j，?J>則輸出的》為()

A.(cosa)cos°B.(sina)sin”

C.(sina)cosaD.(cosa)sina

C［該程序框圖的功能是輸出a,b,c中的最大者.當(dāng)件號(hào)時(shí)，0<cosa<sina<

1.由指數(shù)函數(shù)y=(cosa)*可得，(cosa)s,na<(cos由賽函數(shù)可得，(cosa)cosn<(sin

a)cosa,所以90sa)sina<(sina)cosa.由指數(shù)函數(shù)y=(sina)x可得，(sina)sma<(sina)8sM.所以a,

b,c中的最大者為(sina)8s。，故輸出的x為(sina)**。，正確選項(xiàng)為C.］

方法指導(dǎo)

解決含有循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖問題，一般需要根據(jù)題目提供的程序框圖，按照框圖不斷

的反復(fù)執(zhí)行，如果循環(huán)次數(shù)過多，可以在解決問題的過程中找到這個(gè)循環(huán)的“規(guī)律”，根據(jù)

“規(guī)律”解決問題.常見的有各類數(shù)列的求和問題.

［思維變式］

1.(2019?北京卷)執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的s值為()

A.1B.2C.3D.4

B伙=1,s=l：第一次循環(huán)；s=2,判斷kV3,k=2;第二次循環(huán)；s=2,判斷ZV3,

&=3;第三次循環(huán)：5=2,判斷大=3,故輸出2.］

第2題圖

2.（2021?成都第一次診斷性檢測）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的〃的值是（）

A.5B.7C.9D.11

C[通解執(zhí)行程序框圖，〃=l,S=0:S=0+T4~J=1,"=3:5=1+7^77=1，〃=5;

1AJJJJAjJ

213

--4

55X77,H=9,此時(shí)滿足退出循環(huán)，輸出〃=9.故選

C.

1

優(yōu)解由程序框圖知，該程序框圖的作用是由士+++…+-^7T｝一:+：一

，+…+[—出=＜（]一出）》小解得所以榆出的〃的值為7+2=9,故選C.]

3.（2021?鄭州市第二次質(zhì)量預(yù)測）南宋數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》中提出的秦九韶算法

至今仍是多項(xiàng)式求值比較先進(jìn)的算法，已知府）=2019f°18+2018『°曾+…+2x+l,程序框

圖設(shè)計(jì)的是求7（X0）的值，在m處應(yīng)填的執(zhí)行語句是（）

A.〃=2018-iB.〃=2019—，

C.n=i+lD.n=i+2

B［根據(jù)程序框圖的功能，若在M處填“=2019—i,執(zhí)行程序框圖，i=l,“=2019,

S=2019,i=lW2018成立，S=2O19JCO,n=2019-1=2018,S=2O19xo+2018,i=2W2

018成立，S=(2O19xo+2O18)xo=2019XS+2018AD,n=2019-2=2017,S=2019/+2018期

+2017,i=3W2018成立.…，由此可判斷，在M處應(yīng)填的執(zhí)行語句是“=2019—i.故選

B.］考點(diǎn)二求輸入的值

［例2］(1)(2017?全國卷III)執(zhí)行下面的程序框圖，為使輸出S的值小于91,則輸入的正

整數(shù)N的最小值為()

A.5B.4C.3D.2

D[5=0+100=100,M=~\Q,r=2,100>91;5=100-10=90,M=l,f=3,90<91,

輸出S,此時(shí)，f=3不滿足fWN,所以輸入的正整數(shù)N的最小值為2,故選DJ

(2)一算法的程序框圖如圖所示，若輸出的y=T，則輸入的x值可能為()

A.-1B.0C.1D.5

C［由題中程序框圖知：)，=<'W2，

2。x>2.

當(dāng)x>2時(shí)，令y=2*=T，解得x=-1(舍去)；

當(dāng)xW2時(shí)，令尸sin像r)=1,

解得x=12Z+l(kGZ)或x=12Z+5(kGZ),

當(dāng)k=0時(shí)，x=1或x=5(舍去)，

所以輸入的x的值可能是1.］

方法指導(dǎo)求輸入的結(jié)果，一般是逆向運(yùn)算，但要注意

(1)要分清是當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)還是直到型循環(huán)結(jié)構(gòu).當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)是在每次執(zhí)行循環(huán)體前,

對條件進(jìn)行判斷；直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)是在執(zhí)行一次循環(huán)體以后，對條件進(jìn)行判斷.

(2)注意選擇準(zhǔn)確的表示累計(jì)的變量.

(3)注意在哪一步開始循環(huán)，滿足什么條件時(shí)不再執(zhí)行循環(huán)體.

［思維變式］

1：執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的y值為4,則輸入的實(shí)數(shù)x的值為()

A.2B.1或一5C.1或2D.-5或2

|x+l|,x<l,

D[法一由題中程序框圖，得>=

T,41,

fx<1,1,

若y=4,則有|或?)解得x=—5或x=2,故選D.

〔以+1]=4〔2*=4,

法二選項(xiàng)代入驗(yàn)證法，若x=2,則榆出y值為4,

故排除B;

若x=—5,則輸出y值為4,排除A,C,故選D.]

2.（2021.長春市質(zhì)量監(jiān)測一）我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下問題：“今有器中米,

不知其數(shù)，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升（主：一斗為十升）.問,

米幾何？”如圖是解決該問題的程序框圖，執(zhí)行該程序框圖，若輸出的S=15（單位：升），則

輸入的k的值為（）

/輸入k/

A.45B.60C.75D.100

B[依題意知，n—1,S=Z,滿足條件"<4,執(zhí)行循環(huán)體，n—2,S=k—與=百；滿足條

kk

k2kk?>k

件〃V4,執(zhí)行循環(huán)體，〃=3,S=]—Q=Q：滿足條件〃V4,執(zhí)行循環(huán)體，〃=4,S=Q-i=a

此時(shí)不滿足條件〃V4,退出循環(huán)，輸出的S=〃.由題意可得上=15,解得％=60,故選B.]

考點(diǎn)三完善程序框圖

［例3］執(zhí)行如圖所示的程序框圖，給出以下4個(gè)條件，如果輸出7=4,那么判斷框內(nèi)

可填入的條件是.（填序號(hào)）

①％<78②ZW78③kV81④ZW81

［解析］T=\,k=3,r=lXlog36,k=3+3=6,條件判斷結(jié)果為“是”.

7'=lXlog36Xlog69,-6+3=9,條件判斷結(jié)果為“是”.

因?yàn)門=1Xlogj6Xlogfi9X…Xlog?（k+3）=log3（Z+3）,

若T=1og3（A+3）=4,則&=78,上=78+3=81時(shí)需退出循環(huán)，即k=78時(shí)判斷框內(nèi)條件

判斷結(jié)果為“是“，k=81條件判斷結(jié)果為“否”.故判斷框內(nèi)可填入kW78,或％<81.

［答案］②③

方法指導(dǎo)

本題主要考查程序框圖的補(bǔ)充.解題時(shí)對所要填寫內(nèi)容的作用要明確，對循環(huán)結(jié)構(gòu)中循

環(huán)變量的初始值和終止值，以及循環(huán)變量的變化規(guī)律等要特別注意.判斷框內(nèi)的語句應(yīng)注意

兩點(diǎn)：一是不等式中的“=”是否可取，這直接影響循環(huán)計(jì)算的次數(shù)；二是注意判斷框內(nèi)的

語句與判斷詞“是”“否”以及流程線指向這三者的對應(yīng)，這直接決定程序框圖的功能.

［思維變式］

1.（2021?湖南省湘東六校聯(lián)考）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，為使輸出的數(shù)據(jù)為63,則判

斷框中應(yīng)填入的條件為（）

A.B.W5

C.運(yùn)6D.運(yùn)7

B［初始值，5=1,/=1,第一次循環(huán)，S=3,i=2;第二次循環(huán)，S=7,i=3;第三次

循環(huán)，S=15,1=4;第四次循環(huán)，S=31,i=5;第五次循環(huán)，S=63,i=6,此時(shí)退出循環(huán)，

輸出5=63.結(jié)合選項(xiàng)知判斷框中應(yīng)填入的條件為iW5,故選B.］

2.如圖程序框圖是為了求出滿足3"-2">1000的最小偶數(shù)〃，那么在O和口兩個(gè)

空白框中，可以分別填入（）

A.A>]000和"=〃+l

B.A>1000和n=n+2

C.AW1000和n=n+l

D.AW1000和”=〃+2

D[因?yàn)橐蟮氖亲钚∨紨?shù)〃，

所以執(zhí)行框中應(yīng)填入“="+2,排除A,C:

判斷框中填入AW1000時(shí),

才能循環(huán)，排除B,故選DJ

?黃高考?提素養(yǎng)一—素養(yǎng)為本創(chuàng)新應(yīng)用

I再研高考I

1.（2019?全國卷I）右圖是求一彳一的程序框圖，圖中空白框中應(yīng)填入（）

A.4=出B.A=2+{

=

C-AI+2AD.A=I+立

Al對于選項(xiàng)A,4=4彳

代入驗(yàn)證

當(dāng)k=I時(shí)，A=r,

2+2

當(dāng)k=2時(shí)，A=-----二一，

故A正確;

經(jīng)驗(yàn)證選項(xiàng)B,C,D均不符合題意.

故選A.]

2.（2019?全國卷III）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入的￡為0.01,則輸出s的值等于

）

J是

輸出S

A.2一mB.2—^5

C.2—^6D.2—^7

C[￡=0.01,

x=l,5=0,5=0+1=1,x=；,不成立；

5=1+1,X<￡不成立;

S=l+；+：,X=|,不〈￡不成立；

^=1+1+|+|,x=七，xVe不成立；

.9=1+|+^+|+]^,冗=專，x<￡不成立；

s=l+；+[+(+表+=,x=^,X<￡不成立；

,1.1,1,1,1,11,人、

5=1t+2+4+8+16+32+64'*=備，x,成功,

此時(shí)輸出s=2—

3.（2020?全國II卷）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的k=0,a=0,則輸出的“為（）

［開始）

/輸入km］

A.2B.3C.4D.5

C［程序框圖運(yùn)行如下：

a=2X0+l=l<10,仁1：

?=2X1+1=3<10,k=2;

a=2X3+l=7<10,k=3;

a=2X7+1=15>10,&=4.

此時(shí)輸出k=4,程序結(jié)束.］

［創(chuàng)新應(yīng)用］

程序框圖與傳統(tǒng)文化

1.

我國古代數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中有如下問題：“今有方物一束，外周一匝有三十二枚,

問積幾何？”設(shè)每層外周枚數(shù)為。，如圖是解決該問題的程序框圖，則輸出的結(jié)果為（）

A.121B.81

C.74D.49

B［滿足aW32,第一次循環(huán)：S=l,n=2,a=8;滿足aW32,第二次循環(huán)：S=9,n

=3,a=16;滿足〃<32,

錯(cuò)誤！

2.我國古代數(shù)學(xué)典籍《九章算術(shù)》“