備考2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義第六章平面向量復(fù)數(shù)第2講平面向量基本定理及坐標(biāo)表示

第2講平面對量基本定理及坐標(biāo)表示課標(biāo)要求命題點五年考情命題分析預(yù)料1.理解平面對量基本定理及其意義.2.借助平面直角坐標(biāo)系，駕馭平面對量的正交分解及坐標(biāo)表示.3.會用坐標(biāo)表示平面對量的加、減運算與數(shù)乘運算.4.能用坐標(biāo)表示平面對量共線、垂直的條件.平面對量基本定理的應(yīng)用該講命題熱點為平面對量的坐標(biāo)運算、共線的坐標(biāo)表示等，一般以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，難度不大.預(yù)料2025年高考命題穩(wěn)定，備考時要關(guān)注坐標(biāo)法在求解向量問題中的應(yīng)用.平面對量的坐標(biāo)運算2024新高考卷ⅠT3；2024北京T10；2024全國卷甲T14；2024新高考卷ⅠT10；2024全國卷ⅡT3向量共線的坐標(biāo)表示2024全國卷乙T131.平面對量基本定理（1）定理：假如e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個①不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a，②有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.（2）基底：若e1，e2③不共線，我們把{e1，e2}叫做表示這一平面內(nèi)全部向量的一個基底.留意（1）基底向量e1，e2必需是同一平面內(nèi)的兩個不共線的向量，零向量不能作為基底向量；（2）基底給定，同一向量的分解形式唯一.2.平面對量的坐標(biāo)表示（1）把一個向量分解為兩個④相互垂直的向量，叫做把向量作正交分解.（2）平面對量運算的坐標(biāo)表示坐標(biāo)表示和（差）已知a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），則a＋b＝⑤（x1＋x2，y1＋y2），a－b＝⑥（x1－x2，y1－y2）.數(shù)乘已知a＝（x1，y1），則λa＝（λx1，λy1），其中λ是實數(shù).任一向量的坐標(biāo)已知A（x1，y1），B（x2，y2），則AB＝⑦（x2－x1，y2－y1）.說明（1）相等向量的坐標(biāo)相同；（2）向量的坐標(biāo)與表示該向量的有向線段的端點無關(guān)，只與其相對位置有關(guān).（3）平面對量共線的坐標(biāo)表示假如a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），那么a∥b的充要條件為⑧x1y2－x2y1＝0.留意a∥b的充要條件不能表示成x1x2＝y(tǒng)1y2的形式，因為x1.下列說法正確的是（B）A.平面內(nèi)的隨意兩個向量都可以作為一個基底B.設(shè){a，b}是平面內(nèi)的一個基底，若實數(shù)λ1，μ1，λ2，μ2滿意λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，則λ1＝λ2，μ1＝μ2C.若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），則a∥b的充要條件可以表示成x1xD.平面對量經(jīng)過平移后其坐標(biāo)變更解析對于A，共線向量不行以作為基底，故A錯誤；對于B，同一向量在給定基底下的分解是唯一的，B正確；對于C，若b＝（0，0），則x1x2＝y(tǒng)1y2無意義，故C錯誤；對于D2.[教材改編]已知M（－2，7），N（10，－2），點P是線段MN上的點，且PN＝－2PM，則點P的坐標(biāo)為（A）A.（2，4） B.（－14，16）C.（6，1） D.（2，－11）解析設(shè)P（x，y），則PN＝（10－x，－2－y），PM＝（－2－x，7－y），又PN＝－2PM，所以10－x＝－2（－2－x),－23.已知e1，e2不共線，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，要使{a，b}能作為平面內(nèi)全部向量的一個基底，則實數(shù)λ的取值范圍是（－∞，4）∪（4，＋∞）.研透高考明確方向命題點1平面對量基本定理的應(yīng)用例1（1）[全國卷Ⅰ]在△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點，則EB＝（A）A.34AB－14AC C.34AB＋14AC 解析解法一依據(jù)向量的運算法則可得，在△ABE中，EB＝EA＋AB.因為E為AD的中點，所以EA＝12DA，在△ABD中，DA＝DB＋BA＝DB－AB.因為D為BC的中點，所以DB＝12CB.在△ABC中，CB＝AB－AC.逐步代入，可得EB＝EA＋AB＝12DA＋AB＝12（DB－AB）＋AB＝12（12CB－AB）＋AB＝14CB＋12AB＝1解法二由D為BC的中點，得AD＝12（AB＋AC），由E為AD的中點，得AE＝12AD＝14（AB＋AC）.在△ABE中，EB＝AB－AE＝AB－14（AB＋AC）＝3（2）如圖，在直角梯形ABCD中，DC＝14AB，BE＝2EC，且AE＝rAB＋sAD，則2r＋3s＝（CA.1 B.2C.3 D.4解析依據(jù)題圖，由題意可得AE＝AB＋BE＝AB＋23BC＝AB＋23（BA＋AD＋DC）＝13AB＋23（AD＋DC）＝13AB＋23（AD＋14AB）＝12AB＋23AD.因為AE＝rAB＋sAD，所以r＝12，s方法技巧1.應(yīng)用平面對量基本定理表示向量，實質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數(shù)乘運算.2.用平面對量基本定理解決問題的一般思路：先選擇一個基底，并運用該基底將相關(guān)向量表示出來，再通過向量的運算來解決.留意同一個向量在不同基底下的分解是不同的，但在同一基底下的分解是唯一的.訓(xùn)練1（1）[2024昆明市模擬]在平行四邊形ABCD中，點T為CD的中點，則（A）A.AT＝12AB＋AD B.AT＝ABC.AT＝13AB＋23AD D.AT解析因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以DC＝AB.因為T為CD的中點，所以DT＝12DC，則AT＝AD＋DT＝AD＋12DC＝1（2）[2024廣東省模擬]已知△OAB中，OC＝CA，OD＝2DB，AD與BC相交于點M，OM＝xOA＋yOB，則有序數(shù)對（x，y）＝（D）A.（12，13） B.（13C.（12，14） D.（14解析如圖，依題意A，M，D三點共線，故AM＝λAD，所以O(shè)M＝OA＋AM＝OA＋λAD＝OA＋λ（OD－OA）＝OA＋λ（23OB－OA）＝2λ3OB＋（1－λ）OA，又C，M，B三點共線，故CM＝μCB，則OM＝OC＋CM＝OC＋μCB＝OC＋μ（OB－OC）＝（1－μ）OC＋μOB＝1－μ2OA＋μOB，所以1－μ2=1－λ，μ＝2λ3，解得λ＝34，μ＝12，所以O(shè)M命題點2平面對量的坐標(biāo)運算例2（1）[全國卷Ⅰ]已知點A（0，1），B（3，2），向量AC＝（－4，－3），則向量BC＝（A）A.（－7，－4） B.（7，4）C.（－1，4） D.（1，4）解析因為AB＝（3，2）－（0，1）＝（3，1），所以BC＝AC－AB＝（－4，－3）－（3，1）＝（－7，－4）.故選A.（2）已知向量a，b，c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，以a，b為基底，則（C）A.c＝－2a＋3b B.c＝－3a＋2bC.c＝3a－2b D.c＝2a－3b解析建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則a＝（1，1），b＝（－2，3），c＝（7，－3）.設(shè)c＝xa＋yb，則x－2y=7，x+3y＝－3，解得x=3，方法技巧1.利用向量的坐標(biāo)運算解題，主要是利用加法、減法、數(shù)乘運算法則，依據(jù)“兩個向量相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的坐標(biāo)對應(yīng)相等”這一原則，化歸為方程（組）進行求解.2.向量的坐標(biāo)表示使向量運算代數(shù)化，成為數(shù)與形結(jié)合的載體，可以使許多幾何問題的解答轉(zhuǎn)化為我們熟知的數(shù)量運算.訓(xùn)練2（1）如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD＝DC＝2AB，E為AD的中點，若CA＝λCE＋μDB（λ，μ∈R），則λ＋μ的值為（B）A.65 B.8C.2 D.8解析建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則D（0，0）.不妨設(shè)AB＝1，則CD＝AD＝2，∴C（2，0），A（0，2），B（1，2），E（0，1），∴CA＝（－2，2），CE＝（－2，1），DB＝（1，2），∵CA＝λCE＋μDB，∴（－2，2）＝λ（－2，1）＋μ（1，2），∴－2λ＋μ＝－2，λ+2（2）已知平面上的三個點A（－2，1），B（－1，3），C（3，4），若A，B，C，D四點能構(gòu)成平行四邊形，則點D的坐標(biāo)為（2，2）或（4，6）或（－6，0）.解析由四邊形ABCD為平行四邊形，得AB＝DC，可解得D（2，2）.由四邊形ABDC為平行四邊形，得AB＝CD，可解得D（4，6）.由四邊形ADBC為平行四邊形，得AD＝CB，可解得D（－6，0）.因此，使A，B，C，D四點構(gòu)成平行四邊形的點D的坐標(biāo)為（2，2）或（4，6）或（－6，0）.命題點3向量共線的坐標(biāo)表示例3（1）[2024全國卷乙]已知向量a＝（2，5），b＝（λ，4），若a∥b，則λ＝85解析因為a∥b，所以2×4－5λ＝0，解得λ＝85（2）已知點O（0，0），A（0，5），B（4，3），OC＝14OA，OD＝12OB，AD與BC交于點M，則點M的坐標(biāo)為（12解析由已知可得點C（0，54），點D（2，32）.因為A，M，D三點共線，所以AM與AD共線，設(shè)M的坐標(biāo)為（x，y），則AM＝（x，y－5），又AD＝（2，－72），所以－72x－2（y－5）＝0，即7x＋4y＝20.因為C，M，B三點共線，所以CM與CB共線，又CM＝（x，y－54），CB＝（4，74），所以74x－4（y－54）＝0，即7x－16y＝－20.由7x+4y=20方法技巧平面對量共線問題的解題策略（1）若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），則a∥b?x1y2－x2y1＝0.（2）若a∥b（b≠0），則a＝λb.訓(xùn)練3（1）[2024貴州省聯(lián)考]已知P1（3，2），P2（9，11），P（5，y），P1P＝λPP2，則y與λ的值分別為（A.y＝8，λ＝2 B.y＝132，λ＝C.y＝154，λ＝12 D.y＝5，λ解析因為P1（3，2），P2（9，11），P（5，y），所以P1P＝（2，y－2），PP2＝（4，11－y），由P1P＝λPP2，得（2，y－2）＝λ（4，11－y）＝（4λ，11λ－（2）設(shè)0＜θ＜π2，向量a＝（sin2θ，cosθ），b＝（cosθ，1），若a∥b，則tanθ＝12解析∵a∥b，∴sin2θ＝cos2θ，∴2sinθcosθ＝cos2θ.∵θ∈（0，π2∴2sinθ＝cosθ，tanθ＝12思維幫·提升思維快速解題奔馳定理例4[2024江蘇南京三模]如圖，O是△ABC內(nèi)一點，且OA＋OB＋2OC＝0，則S△ABCS△AOC＝解析解法一取AB的中點D，連接OD，則OD＝12（OA＋OB），又OA＋OB＋2OC＝0，所以O(shè)D＝－OC，即O為CD的中點又D為AB的中點，所以S△AOC＝12S△ADC＝14S△ABC，故S解法二OA＋OB＋2OC＝0，則由奔馳定理得S△ABCS△方法技巧奔馳定理：P為△ABC內(nèi)一點，則SA·PA＋SB·PB＋SC·PC＝0，其中SA，SB，SC分別是△BPC，△CPA，△APB的面積.證明過程如下.延長AP交邊BC于點Q，如圖所示.用S表示△ABC的面積，則S＝SA＋SB＋SC，用h1表示△BPC的邊BC上的高，用h表示△ABC的邊BC上的高.則PQAQ＝h1h＝12BC·h112BC·h＝SAS，APAQ＝AQ－用h2表示△CPA的邊AP上的高，用h3表示△APB的邊AP上的高.則CQBQ＝h2h3＝SBSC，所以AQ＝SBSB＋SC·AB＋S即S·AP＝SB·（PB－PA）＋SC·（PC－PA），所以SA·PA＋SB·PB＋SC·PC＝0.訓(xùn)練