高中數(shù)學(xué)：歸納不等式的求解方法

高中數(shù)學(xué)：歸納不等式的求解方法

不等式基本知識

0

基本性質(zhì)

1a>b<^>b<a（對稱性）；

②a>b,b>c,=a>c（傳遞性）；

3a>ba+c>b+c；

④a>b,c>0<=>ac>be；a>b,c<0ac<be.

2

運(yùn)算性質(zhì)

1a>b,c>dna+c>b+d（加法法則）；

②a>b>0,c>d>Onac>bd（乘法法貝lj）；

③4>力>0,〃￡%,=>4”>//（乘方法則）；

④a>b>0,nwN、=q^>\!b（開方法則）.

常用不等式

q+6、/+久，、,.

①-------->(------)>ab

22

②蘇+6匕2|"|,取等號條件：一正、二定、三相等；

3Ix4—1>2；

X

,.++-,入bb+m

4右。>6>0,m>0,—<-----；

aa+m

54+工+兀+???+/之〃“X....x.（x,NO）.

不等式的證明方法

常用的方法有：比較法、分析法、綜合法、歸納法、反證

法、類比法、放縮法、換元法、判別式法、導(dǎo)數(shù)法、幾何

法、構(gòu)造函數(shù)、數(shù)軸穿針法等。

比較法

【例1】若。>0,/)>0,求證：^-+幺24+6.

ab

證明：—~+——(ci+b)

ab

(a+b)(a)-ab+")

=-------------;--------------(a+b)

ab

(a+b)(a-bY'

=-------------------->U

ab

2

分析法

【例2】已知。，b,x,歹都是正實(shí)數(shù)，且求證:

ab

xy

----＞——.

a+xb-\-y

解：?.mb,x,y都是正實(shí)數(shù)一??要證上＞4,只

a+xb+y

要證x(b+y)＞y(4+.Y),即證也就是即

abab

工＞：,而由x＞兒知成立，原式得證.

ababab

3

綜合法

【例3】設(shè)。，b,。均為正數(shù)，且。+"c=l,求證：

N3a+1+73b+1+J3c+143A/2^.

證明：:4,b,c均為正數(shù)，〃+b+c=l,

0<cr<LO</)<LO<c<1,

?.?萬J3o+1<始任,V2?J3b+1<土藝,

22

42?底工T<主F以上三式相加得

短J3〃+1+J36+1+J3c+lj<6,

/.43a+1+N3b+1+J3c+1W3A/2.

【例4】設(shè)〃7EM，,且加v〃，求證：(1+—『v(l+-)"

wn

證明：

(1H=(1H)(1H)??,(!4),1?1?1???1

mmmm

(1+)/w+lx(〃一加).

<[—強(qiáng)-------------r=(i+-y,

nn

m

???上述不等式中不能取等號，（i+'『v（i+L）”成立,

mn

式中乘了〃-〃7個1構(gòu)成不等式.

數(shù)學(xué)歸納法

【例5】設(shè)管>-1,且〃￡N,,求證(1+x)"21+〃x.

證明:(1)當(dāng)〃=1時，(l+x)=l+l-x,不等式成立.

⑵假設(shè)當(dāng)〃=AJwN,,時，不等式成立,即(1+外，1+奴,

那么當(dāng)〃=%+1時,vx>-l,.\l+x>0,期NO,.?.由歸納假

設(shè)可得(1+x)"">(l+hr)(l+x)

=1+(〃+l)x+"'>l+(A+l)x

(l+xr>l+(^+l)x,即〃=A+l時，不等式也成立.

綜合以上所述,對于任意只>-1,且〃wM，(l+x)"2l+〃x都成

立.

反證法

【例6】已知。，爪c都是小于1的正數(shù)，求證：

(1一4)力,(1-6)如(1-°)4中至少有一個不大于!.

4

證明：假設(shè)三個式子都大于L?.?〃，b,C都是小于1的

4

正數(shù)，「.’(1一4)〃>；,J(l-b)c

^0

______________3

從而yl(]-a)b+J(l-b)c+J(l-c)o>-,

但是yj(\-a)b+J(l-b)c+J(l-c)4

.(1_?+>+(1_?+。+(1_1+4=,與上式矛盾,故假設(shè)

2222

不成立，原命題成立.

類比法

【例7】已知函數(shù)/(X)=Q」+加:+c(Q>0)的圖像與X軸有兩

個不同的交點(diǎn)，若/(c)=0,且0<xvc時/(x)>0,當(dāng)

c>l,Z>0時，求證：2+-^-+9>0.

r+2r+1t

證明：直接證明很困難，題中說到函數(shù)/(外的性質(zhì)，那

么就要構(gòu)造成類似/(x)的形式，即類比函數(shù)，

要證—+—+->0,即證^.―+z?._L+c>0,

/+2/+1tZ+2Z+l

???」一>('『且1>0,

r+2t+\

a?—+b?—+c>4?(-^—)2+b?(―^—)+c=/(―^—),

t+2r+1t+v)+1r+r

而0<—^―<!<(?/./(-^―)>0,—^―++->0,命題得

/+1，+1z+2,+1t

證.

7

放縮法

常用放縮公式：

:1/+1—y!~nv—T=V—J〃—1,

11111

②H----------<—<-----------,

nn+1n'n-1n

/q+〃7a.八八、

3----->—(z/?>n>0,m>0)；

b+加b

④〃!>2"23)；

⑤〃個正數(shù)q，生，區(qū)…〃之2,

有6+生+凡+…+凡y,

當(dāng)且僅當(dāng)q=%=4=…二見時等號成立；

@\a\-\b\<\a±b\<\a\+\b\；

7ln(x+1)<x(x=0,ln(x+l)=x)；

⑧二項式定理展開式m+by=c：+C+C:+u+…+u

⑨(l+x『>l+3x(x>0).

［例8］已知正項數(shù)列｛oj滿足q=（7（0<67<1）,且見<—^

1+4n

(1)求證：a<---；(2)t—<1.

"1+(〃-l)c/T^k+\

證明：(1)V67?+1<-^,

1+見見M外

11,1,1,

—之-----F12----F22…2—-1=---------

/.a<---------

"\+(n-l)a

⑵aaa1

an<---------=--------<—=——

1++1—〃nan

----------1-------------F???H-----------------

1x22x3n(n+1)

]—B■■-fa*???一?，

223nn+1

n+1

命題得證.

換元法

常用換元方法：

①若可設(shè)x=〃cosa,y=4sina,ae[0,2^)；

2若二+'2=1,可設(shè)x=icosa,y=6sina,aG[0,2^)；

a2b2.

3對于Jl-x',可設(shè)x=cosa,(aw[0,〃]),

r?/「兀TCi

或x=sina,(ae[——，一])；

4對于Jl+x\可設(shè)x=tan+或x=cota；

⑤對于LL可設(shè)x=sec6/°￡x=csccr；

6若優(yōu)，可設(shè)x二尸cosa,y=sina,0<|r\<a.

【例9】已知。，bwR,"+不<4,求證：|3a2-Sab-3b21<20.

證明：設(shè)Q=〃cosa,b=rsin?(cre/?),其中OV〃V2,

.??原式可轉(zhuǎn)化為r213cos2a—8sinacosa-3sin2a|

=rz13cos2a-4sin2。|

二5/|cos(2a+0)|,

*/0<|cos(2a+e)區(qū)1,二.原式K5r?<20,/.原不等式成立.

判別式法

【例10］求證：

2x2+l2

證明：設(shè)7則(l-y)Y+x+l-y=0,定義

x+1

域?yàn)镽,

當(dāng)y=l時，工=0是定義域中的一個值，，歹=1是值域中的一

個值；

13

當(dāng)時，由A=l—4(1—V)20,得5工》二5(?工1)；

綜上所述屋口孚V。成立.

2x2+12

推論：判別式法證明對形如

aK4J+，3士4一W6(%,%，0,xwA)具有一般性.

a^Zx'+b2,x+ca

10

導(dǎo)數(shù)法(單調(diào)性)

【例ID已知各項均為正數(shù)的數(shù)列mj的前〃項和s“滿足

R>1,且6s.=(4+1)(見+2),nwN,,

(1)求｛q｝的通項公式；

(2)設(shè)數(shù)列出｝滿足見(2-1)=1,并記乙為也｝的前〃項和，

求證:37；+1>log2(a+3),neN、.

解：(1)?=S|=；(?+1)(e+1),/.q=1,2,由已知

0

=S、>1,??6=2,

又：，=2"—S.=:[(%+1)(/+2)-(鞏+1)(見+2)],

6

得0M-4=3,q用=凡(舍去)

.?.SJ是公差為3,首項為2的等差數(shù)列，故也｝通項公式為

=3/7-1.

,13〃

(2)由%(2-)=1,解得^=log2(l+-)=log2-^-

T入入卜AI/3693〃

:1=b+b+b^--+b=log(---),

{2n22583〃-1

3r+l-log2K4-3)=log2[(1|...4)、

253w-l3〃+2

人乙、/363〃、32

253〃-13/7+2

貝IJ/(〃+1)=3〃+23〃+3:=(3〃+3),

構(gòu)造函數(shù)法

【例12】對于函數(shù)〃x),若存在工￡心使/(x0)=x。成立，

則稱/為/*)的不動點(diǎn)，如果函數(shù)/(外==^(6,CEN,)有

bx-c

且僅有兩個不動點(diǎn)0,2,且/(-2)v-g.

(1)試求函數(shù)/(X)的單調(diào)區(qū)間；

(2)已知各項不為零的數(shù)列〃｝滿足4Sj/(')=l,求證：

4

1,w+11

------<ln------<——；

，n凡

(3)設(shè)6T為數(shù)列也｝的前〃項和，求證：

7^-l<ln2008<7^.

X+Q

解：(1)令/(幻二:----=x^:.(1-b)x+cx+a=0,由

bx-c

已知0,2時方程的兩根，.?.1一6工0,x1x2=a=0,

「.4=0,xl+x2=2=C,c=2b—2>0,

b—\

-41

,:b,c>0,:.b>1,/(-2)=---------<一一,

2b+c2

/.8>4/?-2,/.0</?<-,

2

??)=2,c=2,==令八對>0得

2x-22(x-1)

（2）/（-）=Y^

凡2?！埃?一見?）

）

4S"d=l-.2S.=…,2S,=a.-a:,

n^\zr+1M+I

%

兩式做差得見「巴=-1.

.,?數(shù)列是以-1為公差，-1為首項的等差數(shù)列,

要證原式，即證一二＜m四＜』,

n+1nn

——V

令/二一，函數(shù)g(x)=ln(x+l)—x,g\x)=-——<0,遞減

n14-x

g(x)<Ini=0,/.g(x)<0,ln(l+x)<x,,

nixnn

、./?+!11.〃+l1

同理可證ln(------)>------,，-------<In------<------.

〃〃+1%nan

(3)由⑵得“川<【n吐llnSv”,

nn

7's-l<ln^^+ln^^+.--H-ln2-l=ln2008-l<ln2008.

2頌20072006

2008T陋

>Inhi+…+ln2=In2008

20072006

心一1<姑2008<盤7.

12

數(shù)軸穿針法

【例13】求解不等式一(%-8)(x-9)<.

(x+6)(x+7)

解：原不等式等價于(x—4『(x—8)(x—9)(x+6)(x+7)v0

根分別為-6,-748,9在數(shù)軸上標(biāo)出這些值，考慮到4對應(yīng)的

為偶次鬲，所以不穿過.其結(jié)果如圖

在數(shù)軸上方的為大于0的解，下方的為小于0的解，因此不

等式的解為&|-7<x<-6,或8Vxe9}.

含絕對值不等式的解法

分類討論

【例1】求|￡—3|>2x的解集.

解：①當(dāng)爐-320時,有或xW-Q此時原式即

為X，—2.丫-3=(工一3)1+1)>0.解得工>3或工<一1,與工2、目,

或xW-△求交集得解1>3或xW-VL

②當(dāng)￡一3<0時，W-V3<X<A/3,原式即為

￡+2x-3=d)(x+3)vO,解得-3Vx<1,與-

求交集得-V5<x<1.

綜上①②所述，原不等式解集為卜卜<1或、>3}.

21

兩邊平方法(承接例1)

①當(dāng)x20時，原不等式可化為

(x2-3)2>4￡=￡-10E+9>0分解因式得

(x-3)(x+3)(x-l)(x+1)>0,所以x>3或不<-3或-lvx<I,

故x>3或0Wx<1.

②，當(dāng)xvO時，原不等式恒成立.

綜合①(2可得解集為{很<1垢>3}.

3

圖像法

令K=|x?-3|,g=2x,分別在坐標(biāo)軸上畫出兩者的圖像，解

方程|x2-3|=2x可得％=1,占=3從圖像可得不等式的解為

“|》<1或1>3},y=\x2-3.

等價轉(zhuǎn)化法（承接例1）

原不等式等價于/-3>2》或￡-3v-2x,「.XA3或x<-l或

-3<x<l,.?.不等式解集為*|x<l或x>3}.

15

運(yùn)用線性規(guī)劃求解

【例2】/(x)=J(q+2)￡++〃+2(q,bwA)的定義域?yàn)榛?

則3〃+力的取值范圍？

‘6+24+420

。+220

解：由已知=<b-2ci—4<0

A<0

ci2-2

以(。，"為橫縱坐標(biāo)軸，畫出其可行域，令z=3o+6,可知

直線b=-3a+z經(jīng)過(-2,0)時有最小值-6,3〃+62-6.

運(yùn)用絕對值的幾何意義

【例3】對任意實(shí)數(shù)仕不等式|X+1|-|工-2|>左恒成立，求

%的取值范圍.

解：|x+l|-|x-2|的幾何意義是x到—1的距離減去到2

的距離,由數(shù)軸可知,|x+l|-|x-2|>-3,.-^<-3.

x-12x

▼

含參一元二次不等式例解

含有參數(shù)的不等式應(yīng)用的比較多的是分類討論思想，①其思

路是一般先將式子因式分解或分解因式或分母有理化，然后

再結(jié)合參數(shù)對稱軸、判別式、根的正負(fù)進(jìn)行討論；②當(dāng)無法

進(jìn)行因式分解的時候多涉及對稱軸或者利用導(dǎo)數(shù)求解，下面

結(jié)合例題解析。

二次項不含參數(shù)

【例1】解關(guān)于X的不等式：￡+（加-1口-加>0.

解：原不等式可化為（X+〃7）（X-1）>。，這里有兩個根：

-mA,此時需要討論兩根的大小.

1當(dāng)一團(tuán)>1,即m<一1時，解為X<I；

②當(dāng)一加vl,即加>一1時，解為x>l,x<-m；

3-m=1,即陽=一1時，解為xwl；

綜合①O③知〃7〈-1時，｛x|x>-〃?或x<l｝；

〃7=-1時，｛X\X^V（；

加>一1時，｛X|工>1或工<一〃7｝.

【例2】解關(guān)于X的不等式：/+（。-1口+4>0

解：此時顯然無法因式分解，因此通過判別式來解，

A=（q-l『-4〃=7-6a+i

1當(dāng)A>0,即q>2行+3或q<3-2后時，不等式有兩個根

—（67—1）4-J-，-6〃+1—（67—1）—J."-6a+1解為

2，XL2，

X>xlt或；

②當(dāng)AvO,即3-2&<”3+2&,此時不等式恒成立；

3當(dāng)△=（）,即Q=3—2\Q或4=3+27“2時，解為xw、巧一1,

或xw—（&+1）.

3—2V^<4<3+2、5時@|x￡A}；

4=3-2/時,{x|xw行-1}；q=3+2、/Q時，

{x|xw-(a+l)}.

【例3】解關(guān)于X的不等式：/+at+l>O(xNO)

解：①x=0時，不等式成立，此時。

②》>0時,原不等式可化為4>一(工+1),工+工22,當(dāng)工=」=1

XXX

時立，xH—W—2,a>—2.

X

綜合①②得{。|4>-2}.

2

二次項含參數(shù)

【例4】解關(guān)于x的不等式：6+2x+l>0

解：”0時，解為；

。工0時，A=4-4。；

①A>0即時，解為5|'>一""^或x<二?匚叵｝；

aa

②A<0,即時，不等式恒成立；

3A=0,即4=1時｛x|xw-l｝；

綜上所述4=0時，解為｛X|X>-；｝；

"1時，解為或》<±^生與；4=1時

aa

｛x\x^-\].

【例5】解關(guān)于X的不等式：&-m+l）x+l>0.

解：4=0時，x<l；

q工0時，

（1）4>0時，原不等式可化為（a丫-1）（工-1）>0,此時有兩

根;

a

①一>LOva<l時,解為｛x[x>—,或x〈1｝；

(2)〃<0時，原不等式可化為(-G+D(X-1)<0,解為

｛xI—<X<1｝.

a

綜上所述：4<0時，｛x|-<x<l｝；

a

4=0時，U|X<1｝；

0<4<1時，｛X|X>—,或X<1｝；4=1時&|XW1｝；

a

4>|時，｛xIX>1,或X<—｝.

a

【例6】解關(guān)于x的不等式：ax~-lax4-1>0

解：4=0時，不等式恒成立；

〃>0時，A=4a'-4a,

1A>0,即4>1時，+-4或-、/

②A=0,即。=1時，x1；

③A<0,即0<4<1時，不等式恒成立；

4Vo時，不等式化為(-a)x-+lax-l<0,A=4/-4a>0,

此時解為1一Na:-a<x<1+Na-a.

綜上所述：OVavl時,｛x|xe/?);

。>1時，｛xIx>1+yla-a或x<1-yja-a｝；

不等式恒成立問題

恒成立問題的基本類型

類型工：設(shè)"工)="2+bx+c(a+O),(l)/(x)>0在x￡A上也

成立=〃〉0且△<()；

(2)/(x)<0在xGR上恒成立<=>a<0且A<0.

類型2：設(shè)/(戈)=。/+笈+。(〃工())，(1)當(dāng)〃>0時，

f(X)>04xe[a,切上恒成立

bb

1<(ya<-----

=<2a或2a

/(?)>()[A<0[/(/)>o

/(?)<o

/(幻<()在工￡口，切上恒成立U>

/(/)<0

/(。)>(

(2)當(dāng)。<()時,/(x)>0fee[cr,夕]上恒成立<=>

/(x)<04xe[a,夕]上恒成立

W)<0

類型3：

f(x)>a對一切xe/恒成立<=>f(x)mn>a

f(x)<a對一切xe/恒成立u>/(x)…>a.

類型4：/(X)>g(x)對一切X￡/恒成立O/(x)的圖像在g(A

的圖像的上方或fmm(x)>gmJx).

恒成立問題的解題的基本思路是：根據(jù)已知條件將恒成立問

題向基本類型轉(zhuǎn)化，正確選用函數(shù)法、最小值法、數(shù)形結(jié)合

等解題方法求解。

21

利用判別式解

【例1】已知在恒有￡-奴+1>0,求4的取值范圍.

解：原式等價于A="-4<O,「.-2V4<2.

【例2】工￡凡恒有心-x+l>0,求。的取值范圍.

解：原不等式等價于q>0,A=I-4e?<0?^7>—.

4

或解：①x=0時，不等式成立；

②"0時，不等式化為。>