華東師大版初中數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)專(zhuān)項(xiàng)素養(yǎng)綜合練(五)構(gòu)造中位線(xiàn)解題的四種方法課件

九年級(jí)

上冊(cè)華東師大版初中數(shù)學(xué)專(zhuān)項(xiàng)素養(yǎng)綜合全練（五）構(gòu)造中位線(xiàn)解題的四種方法方法一連結(jié)兩點(diǎn)構(gòu)造中位線(xiàn)專(zhuān)題解讀在三角形中,若已知兩邊或多邊的中點(diǎn),可考慮連結(jié)兩點(diǎn)得到

三角形的中位線(xiàn),從而利用三角形中位線(xiàn)定理解決問(wèn)題.1.(2024河南南陽(yáng)第一初級(jí)中學(xué)月考)如圖,在△ABC中,D、E、F分別是AB、AC、BC的中點(diǎn),求證:AF與DE互相平分.

證明如圖,連結(jié)DF、EF.∵點(diǎn)D、F、E分別是AB、BC、

AC的中點(diǎn),∴DF∥AC,EF∥AB,∴四邊形ADFE是平行四邊

形,∴AF與DE互相平分.2.(2024福建漳州三中期中)已知:△ABC中,D是BC上的一點(diǎn),

E、F、G、H分別是BD、BC、AC、AD的中點(diǎn),求證:EG、

HF互相平分.

證明連結(jié)EH、GH、GF,∵E、F、G、H分別是BD、BC、

AC、AD的中點(diǎn),∴AB∥EH∥GF,GH∥BC,∴四邊形EHGF

為平行四邊形,∴EG、HF互相平分.

方法二角平分線(xiàn)+垂直構(gòu)造中位線(xiàn)專(zhuān)題解讀當(dāng)角平分線(xiàn)和垂直兩個(gè)條件同時(shí)出現(xiàn)時(shí),可延長(zhǎng)垂直于角平

分線(xiàn)的線(xiàn)段構(gòu)造等腰三角形,從而將圖形中的某一點(diǎn)轉(zhuǎn)化為

三角形一邊的中點(diǎn),得到三角形的中位線(xiàn),進(jìn)而解決問(wèn)題.3.(2024山西臨汾堯都期中)如圖,△ABC中,∠ABD=∠CBD,

AE=CE,AD⊥BD.若DE=5,AB=8,則BC的長(zhǎng)為

(

)

A.19

B.18

C.17

D.10B解析如圖,延長(zhǎng)AD交BC于點(diǎn)F,∵AD⊥BD,BD平分∠ABF,

∴AD=DF,BF=AB=8,∵AE=CE,AD=DF,∴FC=2DE=10,∴BC

=BF+FC=18.

4.(2024河南新鄉(xiāng)封丘金瀚學(xué)校月考)如圖,在△ABC中,AE平

分∠BAC,BE⊥AE于點(diǎn)E,點(diǎn)F是BC的中點(diǎn),若AB=10,AC=6,求

EF的長(zhǎng).

解析如圖,延長(zhǎng)AC、BE交于點(diǎn)M,∵AE平分∠BAC,AE⊥

BE,∴AB=AM=10,BE=EM,∵AC=6,∴CM=AM-AC=10-6=4,∵

點(diǎn)F是BC的中點(diǎn),BE=EM,∴EF為△BCM的中位線(xiàn),∴EF=

CM=2.

方法三已知中點(diǎn)取中點(diǎn)構(gòu)造中位線(xiàn)專(zhuān)題解讀在已知某條線(xiàn)段中點(diǎn)的情況下,可考慮取另一線(xiàn)段的中點(diǎn),構(gòu)

造出三角形中位線(xiàn),進(jìn)而解決問(wèn)題.5.(2024吉林長(zhǎng)春東北師大附中月考)如圖,AD是△ABC的中線(xiàn),E是AD的中點(diǎn),F是BE延長(zhǎng)線(xiàn)與AC的交點(diǎn),若AC=6,則AF=

(

)

A.3

B.2

C.

D.

B解析如圖,取BF的中點(diǎn)H,連結(jié)DH,∵BD=DC,BH=HF,∴DH

=

FC,DH∥AC,∴∠HDE=∠FAE,在△AEF和△DEH中,

∴△AEF≌△DEH,∴AF=DH=

FC,∵AC=6,∴AF=

AC=2.

6.(2024福建泉州實(shí)驗(yàn)中學(xué)期中)如圖,在Rt△ABM中,∠M=90°,C,D為直角邊上的點(diǎn),且AD=BC=2,E,F分別為AB,CD的中

點(diǎn),求EF的長(zhǎng).

解析如圖,連結(jié)AC,取AC的中點(diǎn)O,連結(jié)OE、OF,∵E,F分別

為AB,CD的中點(diǎn),∴OE是△ABC的中位線(xiàn),OF是△ACD的中

位線(xiàn),∴OE=

BC=1,OF=

AD=1,OE∥BC,OF∥AD,∴∠COF=∠CAD,∠AEO=∠B,∵∠COE=∠CAB+∠AEO,∴∠COE=

∠CAB+∠B,∴∠EOF=∠COF+∠COE=∠CAD+∠CAB+

∠B,∵∠M=90°,∴∠EOF=∠CAD+∠CAB+∠B=90°,∴在Rt

△EOF中,EF=

=

.方法四倍長(zhǎng)法構(gòu)造中位線(xiàn)專(zhuān)題解讀將某一條線(xiàn)段延長(zhǎng)至某一點(diǎn),使延長(zhǎng)部分等于已知線(xiàn)段長(zhǎng),從

而既構(gòu)造出線(xiàn)段中點(diǎn),又構(gòu)造出全等三角形(S.A.S.)模型,進(jìn)

而利用三角形中位線(xiàn)定理和全等三角形的知識(shí)解決問(wèn)題.7.(2022廣東廣州二中模擬)如圖,△ABC中,∠ABC=90°,BA=

BC,△BEF為等腰直角三角形,∠BEF=90°,M為AF的中點(diǎn),求

證:ME=

CF.

證明如圖,延長(zhǎng)FE至D,使DE=EF,連結(jié)AD、BD,∵△BEF為

等腰直角三角形,∠BEF=90°,∴∠BFE=45°,BE⊥DF,∴BE垂

直平分DF,∴∠BDE=45°,∴△BDF是等腰直角三角形,∴BD

=BF,∠DBF=90°,∵∠CBF+∠ABF=∠ABC=90°,∠ABD+∠

ABF=∠DBF=90°,∴∠CBF=∠ABD.在△ABD和△CBF中,∵

∴△ABD≌△CBF,∴AD=CF,∵M(jìn)為AF的中點(diǎn),DE=EF,∴ME是△ADF的中位線(xiàn),∴ME=

AD,∴ME=

CF.

8.(2024四川成都武侯實(shí)驗(yàn)中學(xué)月考)△ABC中,D是BC的中點(diǎn).分別以AB,AC為一邊,向三角形內(nèi)部作Rt△ABE,Rt△ACF,

使∠ABE=∠ACF,連結(jié)DE,DF,求證:DE=DF.

證明如圖,延長(zhǎng)BE到M,使ME=BE,延長(zhǎng)CF到N,使NF=CF,連

結(jié)AM、MC、AN、NB,∵∠AFC=90°,∠AEB=90°,∴AE、AF

分別是BM、CN的垂直平分線(xiàn),∴AM=AB,AN=AC,∵∠ABE=

∠ACF,∴∠ABE=∠AME=∠ACF=∠ANF,∴∠CAF=∠NAF

=∠MAE=∠BAE,∴∠CAM=∠BAN