華東師大版初中數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊專項(xiàng)素養(yǎng)綜合練(八)解直角三角形中的五種思想方法課件

九年級(jí)

上冊華東師大版初中數(shù)學(xué)專項(xiàng)素養(yǎng)綜合全練（八）解直角三角形中的五種思想方法方法一數(shù)形結(jié)合思想1.(2024河南南陽實(shí)驗(yàn)學(xué)校月考)在平面直角坐標(biāo)系中,直線y

=3x與x軸的夾角為α,求α的正弦值和余弦值.解析如圖,在直線y=3x上任取一點(diǎn)P(不與點(diǎn)O重合),過點(diǎn)P

作PA⊥x軸于點(diǎn)A.設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為a(a≠0),則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)

為3a,所以在Rt△PAO中,OA=|a|,AP=3|a|,由勾股定理得OP=

=

|a|,∴sinα=

=

=

,cosα=

=

=

.

方法二方程思想2.(2024山西晉城實(shí)驗(yàn)中學(xué)月考)如圖,在△ABC中,AC=3,BC=4,D、E分別在CA、CB上,點(diǎn)F在△ABC內(nèi).若四邊形CDFE是

邊長為1的正方形,求sin∠FBA的值.

解析如圖,連結(jié)AF,過點(diǎn)F作FG⊥AB于G,∵四邊形CDFE是

邊長為1的正方形,∴CD=CE=DF=EF=1,∠C=∠ADF=90°,∵

AC=3,BC=4,∴AD=2,BE=3,AB=

=5,∴AF=

=

,BF=

=

,設(shè)BG=x,則AG=5-x,∵FG2=AF2-AG2=BF2-BG2,∴5-(5-x)2=10-x2,解得x=3,∴FG=

=1,∴sin∠FBA=

=

=

.3.(2023湖南婁底中考)幾位同學(xué)在老師的指導(dǎo)下到某景區(qū)進(jìn)

行戶外實(shí)踐活動(dòng),在登山途中發(fā)現(xiàn)該景區(qū)某兩座山之間風(fēng)景

優(yōu)美,但路陡難行,為了便于建議景區(qū)管理處在這兩山頂間建

觀光索道,他們分別在兩山頂上取A、B兩點(diǎn),并過點(diǎn)B架設(shè)一

水平線型軌道CD(如圖所示),使得∠ABC=α,從點(diǎn)B出發(fā)沿CD

方向前進(jìn)20米到達(dá)點(diǎn)E,即BE=20米,測得∠AEB=β,已知sinα=

,tanβ=3,求A、B兩點(diǎn)間的距離.解析如圖,過點(diǎn)A作AF⊥CD于點(diǎn)F,∴∠AFB=90°,在Rt△

ABF中,sinα=

=

,∴設(shè)AF=24x米,AB=25x米,由勾股定理得BF=

=

=7x米,在Rt△AFE中,tanβ=

=3,∵BE=20米,∴

=3,解得x=20,∴AB=25x=500米,即A、B兩點(diǎn)間的距離為500米.

方法三轉(zhuǎn)化思想4.(2024吉林長春寬城二模)如圖,在同一平面內(nèi),兩條平行高速公路l1和l2間有一條“Z”形道路連通,其中AB段與高速公路l1成30°角,長為20km,BC段與AB、CD段都垂直,BC段長10km,CD段長30km,求兩高速公路間的距離(結(jié)果保留根號(hào)).

解析如圖,過B點(diǎn)作l1的垂線,分別交l1,CD,l2于點(diǎn)E,F,G.在Rt

△ABE中,∠EAB=30°,∴BE=AB·sin30°=20×

=10(km),∵BC段與AB、CD段都垂直,∴AB∥CD,∠C=∠ABC=90°,∵∠EAB=30°,∴∠ABE=60°,∴∠CBF=30°,∴∠FDG=30°.在Rt△BCF中,BF=

=10÷

=

(km),CF=BC·tan30°=10×

=

(km),∴DF=CD-CF=

km,在Rt△DFG中,FG=DF·sin30°=

×

=

km,∴EG=BE+BF+FG=(25+5

)km,故兩高速公路間的距離為(25+5

)km.

5.(2023海南中考)如圖,一艘輪船在A處測得燈塔M位于A的

北偏東30°方向,輪船沿著正北方向航行20海里到達(dá)B處,測得

燈塔M位于B的北偏東60°方向,測得港口C位于B的北偏東45

°方向.已知港口C在燈塔M的正北方向上.(1)填空:∠AMB=

度,∠BCM=

度;(2)求燈塔M到輪船航線AB的距離(結(jié)果保留根號(hào));(3)求港口C與燈塔M的距離(結(jié)果保留根號(hào)).解析如圖,分別過點(diǎn)C作CD⊥AB,過點(diǎn)M作ME⊥AB,垂足分

別為D、E.(1)∵∠DBM=∠A+∠AMB=60°,∠A=30°,∴∠AMB=30°.易知

AB∥CM.∵∠DBC=45°,∴∠BCM=45°.(2)由(1)知∠A=∠AMB,∴AB=BM=20海里.在Rt△EBM中,sin∠EBM=

,∴EM=BM·sin∠EBM=20×sin60°=20×

=10

(海里),故燈塔M到輪船航線AB的距離為10

海里.(3)∵CD⊥AB,ME⊥AB,AB∥CM,∴四邊形DEMC是矩形.∴CD=EM=10

海里,DE=CM.在Rt△CDB中,∵∠DBC=45°,∴∠DBC=∠DCB.∴DB=DC=10

海里.在Rt△EMB中,cos∠EBM=

,∴EB=BM·cos∠EBM=20×cos60°=20×

=10(海里),∴CM=DE=DB-EB=10

-10=10(

-1)海里,故港口C與燈塔M的距離為10(

-1)海里.

方法四分類討論思想6.(2024吉林長春第二實(shí)驗(yàn)中學(xué)月考)如果方程x2-4x+3=0的兩

個(gè)根分別是Rt△ABC兩條邊的邊長,△ABC最小的角為∠A,

求tanA的值.解析∵x2-4x+3=0,∴(x-1)(x-3)=0,解得x1=1,x2=3,∵方程x2-4x

+3=0的兩個(gè)根分別是Rt△ABC兩條邊的邊長,△ABC最小的

角為∠A,∴分情況求解如下:(1)如圖1,當(dāng)BC=1,AC=3時(shí),tanA=

=

;

圖1

圖2(2)如圖2,當(dāng)BC=1,BA=3時(shí),AC=2

,∴tanA=

=

=

.綜上所述,tanA的值為

或

.7.(2024河南洛陽第二外國語學(xué)校月考)如圖,AB=6,O是AB的

中點(diǎn),直線l經(jīng)過點(diǎn)O,∠1=120°,P是直線l上一點(diǎn),當(dāng)△APB為

直角三角形時(shí),求AP的長.

解析分四種情況討論求解:(1)當(dāng)∠APB=90°時(shí),如圖1,∵AO=BO,∴PO=AO,∵∠1=120°,

∴∠AOP=60°,∴△AOP為等邊三角形,∴∠OAP=60°,∴∠

PBA=30°,∴AP=

AB=3.(2)當(dāng)∠APB=90°時(shí),如圖2,∵AO=BO,∠APB=90°,∴PO=BO,

∵∠1=120°,∴∠BOP=60°,∴△BOP為等邊三角形,∴∠OBP

=60°,∴AP=AB·sin60°=6×

=3

.(3)當(dāng)∠BAP=90°時(shí),如圖3,∵∠1=120°,∴∠AOP=60°,∴AP=OA·tan∠AOP=3×

=3

.(4)當(dāng)∠ABP=90°時(shí),如圖4,∵∠1=120°,∴∠BOP=60°,∵OB=3,∴PB=3

,∴PA=

=

=

=3

.

圖1

圖2

圖3

圖4綜上所述,AP的長為3或3

或3

.方法五建模思想8.(2023內(nèi)蒙古呼倫貝爾中考)某數(shù)學(xué)興趣小組借助無人機(jī)測

量一條河流的寬度CD.如圖所示,一架水平飛行的無人機(jī)在A

處測得河流左岸C處的俯角為α,無人機(jī)沿水平線AF方向繼

續(xù)飛行12米至B處,測得河流右岸D處的俯角為30°,無人機(jī)距

地面的鉛直高度AM=24

米,點(diǎn)M,C,D在同一條直線上,其中tanα=2.求河流的寬度CD.(結(jié)果精確到1米,參考數(shù)據(jù):

≈1.7)解析如圖,過點(diǎn)B作BE⊥MD于點(diǎn)E,則四邊形AMEB是矩形,

∴BE=AM=24

米,ME=AB=12米,∵AF∥MD,∴∠ACM=α.在Rt△AMC中,∠AMC=90°,∴tanα=

=2,∴

=2,∴MC=12

米,在Rt△BDE中,∠BED=90°,∠DBE=90°-30°=60°,∴tan∠DBE=

,∴tan60°=

=

,∴DE=72米,∴CD=DE-CE=DE-(MC-ME)=72-(12

-12)=84-12

≈84-12×1.7≈64(米),即河流的寬度CD約為64米.

9.(2024河南南陽臥龍期末)如圖,在一條筆直的東西向海岸

線l上有一長為1.5km的碼頭MN和一燈塔C,燈塔C距碼頭的

東端N有20km.一輪船以36km/h的速度航行,上午10:00在A

處測得燈塔C位于輪船的北偏西30°方向,上午10:40在B處測

得燈塔C位于輪船的北偏東60°方向,且與燈塔C相距12km.(1)若輪船照此速度與航向繼續(xù)航行,何時(shí)到達(dá)海岸線?(2)若輪船不改變航向,該輪船能否?？吭诖a頭?請說明理由.

(參考數(shù)據(jù):

≈1.4,

≈1.7)解析

(1)如圖,延長AB交海岸線l于點(diǎn)D,過點(diǎn)B作BE⊥l于

點(diǎn)E,過點(diǎn)A作AF⊥l于F,∴∠BEC=∠AFC=90°,∵∠EBC=60°,

∠CAF=30°,∴∠ECB=30°,∠ACF=60°,∴∠BCA=90°,∵BC=12km,AB=36×

=24(km),∴AB=2BC,∴∠BAC=30°,∴∠ABC=60°,∵∠ABC=∠BDC+∠BCD=60°,∴∠BDC=∠BCD=

30