華東師大版初中數(shù)學九年級上冊專項素養(yǎng)鞏固訓練卷(六)“一線三等角”模型的兩種類型練課件

九年級上冊

數(shù)學華東師大版專項素養(yǎng)鞏固訓練卷(六)“一線三等角”模型的兩種類型(練模型)類型一同側(cè)型類型解讀

已知∠A=∠CPD=∠B,當點P在線段AB上時,易證:△ACP∽△BPD.

1.(★☆☆)如圖,在四邊形ABCD中,AD=4,AB=10,點E是AB的中點,連結(jié)DE,CE,

若∠A=∠B=∠DEC,則

的值為(

)

A.

B.

C.

D.

C解析C∵∠A=∠DEC,∴∠AED+∠BEC=∠AED+∠ADE,∴∠BEC=∠ADE,∵∠A=∠B,∴△DAE∽△EBC,∴

=

,∵AD=4,AB=10,點E是AB的中點,∴AE=BE=5,∴

=

=

.2.(2023湖北武漢江岸月考,9,★★☆)如圖,在△ABC中,AB=AC=6,BC=8,點D是

BC邊上的一個動點,點E在AC上,點D在運動過程中始終保持∠1=∠B.當EA=ED

時,EC的長為(

)

A.

B.

C.3D.

B解析B∵AB=AC,∠1=∠B,∴∠B=∠C=∠1,∵EA=ED,∴∠1=∠DAE,∴∠B=∠DAE,∵∠C=∠C,∴△ABC∽△DAC,∴

=

,∵AB=AC=6,BC=8,∴CD=

=

=

,∴BD=BC-CD=

,∵∠ADC=∠B+∠BAD=∠1+∠EDC,∴∠BAD=∠EDC,又∵∠B=∠C,∴△ABD∽△DCE,∴

=

,∴CE=

=

=

.3.(2023上海浦東新區(qū)期末,17,★★☆)如圖,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,E是

腰AB的中點,CE⊥DE,AD=5,BC=11,則DC=

.

16解析∵四邊形ABCD是直角梯形且AD∥BC,∴∠A=∠B=90°,∵CE⊥DE,∴∠DEC=90°,∴∠AED+∠BEC=90°,又∠AED+∠ADE=90°,∴∠BEC=∠ADE,∴△ADE∽△BEC,∴

=

,∵E是AB的中點,∴AE=BE,∴AE2=AD·BC,又∵AD=5,BC=11,∴AE=BE=

,在Rt△ADE中,DE=

=4

,在Rt△BCE中,CE=

=4

,在Rt△DEC中,CD=

=16.4.(2022浙江杭州濱江一模,16,★★☆)如圖,點E是矩形ABCD邊BC上一點,沿AE

折疊,點B恰好落在CD邊上的點F處.設(shè)

=x(x>1).(1)若點F恰為CD邊的中點,則x=

.(2)設(shè)

=y,則y關(guān)于x的函數(shù)表達式是

.

2y=?解析

(1)∵點F為CD邊的中點,∴DC=2DF.∵四邊形ABCD是矩形,∴AB=DC,

∠B=∠C=∠D=90°,∴∠FEC+∠EFC=90°,由折疊得BE=EF,AB=AF,∠B=∠AFE

=90°,∴AF=AB=DC=2DF,∠EFC+∠AFD=90°,∴∠AFD=∠FEC,∴△AFD∽△FEC,∴

=

=2,∴

=2,∴x=2.(2)由(1)得AB=AF=DC=DF+CF,

=

,∴

=

,∴x=

,∴x=1+

,∴x=1+

,∴y=

.5.(2023河南安陽殷都期末,23,★★☆)如圖,已知等腰△ABC,AC=BC=10cm,AB

=16cm,∠MDN的頂點D在線段AB上移動(D與A,B不重合),邊DM始終經(jīng)過點C,

DN與BC交于點E,且∠MDN=∠A.(1)求證:△ACD∽△BDE.(2)求BE最長時AD的長度.(3)在∠MDN移動過程中,求當△CDE為等腰三角形時AD的長度.

類型二異側(cè)型類型解讀已知∠MAC=∠CPD=∠ABD,點P在線段AB(或BA)的延長線上時,易證:△ACP∽△BPD.

解析

(1)證明:∵AC=BC,∴∠A=∠B,∵∠CDB=∠A+∠ACD=∠MDN+∠BDE,∠MDN=∠A,∴∠ACD=∠BDE,∴△ACD∽△BDE.(2)∵△ACD∽△BDE,∴

=

,設(shè)AD=xcm,則

=

,∴BE=

cm,∴x=8時,BE最長,即BE最長時AD的長度為8cm.(3)當DC=DE時,∵△ACD∽△BDE,∴

=

=

=1,∴AC=BD=10cm,∴AD=6cm.當CD=CE時,∠CDE=∠CED,∵∠CDE=∠A=∠B,∠CED=∠B+∠EDB,∴∠CDE與∠CED不可能相等;當CE=DE時,∠CDE=∠DCE,∵∠CDE=∠A=∠B,∴∠DCE=∠B,∴DC=DB,∵△ACD∽△BDE,∴

=

=

,∴

=

=

,∴BD=

cm,∴AD=

cm.綜上所述,當△CDE為等腰三角形時,AD的長度為6cm或

cm.6.(2023吉林長春東北師大附中月考,22,★★☆)已知等邊△ABC,P為直線AC上

一點,連結(jié)BP,作∠BPN=60°,交線段BC的延長線于點N.若CN=1.5,BC=2,求PA的

長.

解析∵∠PBA=180°-∠PAB-∠BPA=60°-∠BPA,∠PBA=60°-∠CPN,∴∠BPA

=∠CPN,∵∠PAB=180°-∠BAC=120°,∠PCN=180°-∠ACB=120°,∴△BAP∽△

PCN,∴

=

,∴PA·PC=AB·CN=3,即PA·(PA+AC)=PA·(PA+2)=3,解得PA=1或PA=-3(舍去),∴PA=1.7.(2024四川眉山仁壽期末,21,★☆☆)如圖,已知正方形ABCD,M為BC上一點,F

是AM的中點,過F作AM的垂線,交DC于點N,交AD的延長線于點E.

(1)求證:△ABM∽△EFA.(2)若AB=12,BM=5,求AE的長.

解析

(1)證明:∵四邊形ABCD是正方形,∴∠B=90°,AD∥BC,∴∠AMB=∠