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文檔簡介

2.4酉空間1、酉空間與酉矩陣定義2.8如果設復數域

C,復矩陣歐氏空間針對實數域上的線性空間討論,而酉空間是歐氏空間在復數域上的推廣。定義其共軛矩陣為,其中是定義矩陣A的共軛轉置矩陣為,即的共軛復數。復共軛轉置矩陣性質:(A

,B是復矩陣,)(1)(2)(3)(4)(5)

A可逆時,定義2.9如果方陣

A滿足如果方陣

A滿足,則稱

A為反Hermite矩陣。例如,為一個二階Hermite矩陣;為一個二階反Hermite矩陣。,則稱

A為一個Hermite矩陣。定義2.10方陣

A滿足,稱

A為一個酉矩陣。當

A為實矩陣時,酉矩陣

A也就是正交矩陣。例如,為一個三階酉矩陣。定義2.11設V是復數域

C上的線性空間,如果對于V中,都有一復數與之對應,記為且它滿足下列條件:(1)(2)(3)(4),當且僅當時等號成立,則稱為與的內積。定義了內積的復線性空間V稱為酉空間,也稱為復內積空間。任意兩個元素

對復線性空間中的向量定義則它是內積,按此內積構成酉空間。對復線性空間中的矩陣規(guī)定則它是內積,按此內積構成酉空間。稱為的共軛轉置酉空間的內積有如下基本性質:(1)(2)(3)(4)(5)

Cauchy-Schwarz不等式仍成立,即這是因為,或當且僅當線性相關時等號成立。與歐氏空間一樣,定義元素的長度為滿足的元素為單位元素。酉空間中的內積一般是復數,元素間不易定義夾角,滿足時,與正交(或垂直)。在

n維酉空間中,同樣可以定義正交基和標準正交基。定理2.7任意一組線性無關的元素可以用Gram-Schmidt定理2.8兩個標準正交基間的過渡矩陣是酉矩陣。但仍可引入正交等概念,即當正交化方法將其正交化,并擴充成標準正交基。稱2、酉變換與Hermite變換定義2.12設

T是酉空間V上的線性變換,如果對于V中任意,都有則稱

T為V上的酉變換。如果線性變換

T滿足則稱

T為V上的Hermite變換。的矩陣是Hermite矩陣。定理2.10設

T是

n維酉空間V的Hermite變換,則存在V的元素定理2.9設

T是

n維酉空間V的線性變換,則

T是酉變換充分必要條件是,T在V的標準正交基下的矩陣是酉矩陣;T是Hermite變換的充分必要條件是,T在V的標準正交基下標準正交基,使

T在該基下的矩陣為

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