專題2.2 基本不等式-新高一《數(shù)學(xué)》初升高銜接考點必殺50題（人教A版2019）解析版

第第頁專題2.2基本不等式一、單選題1．設(shè)，，若，則的最小值為（

）A． B．4 C．9 D．【答案】D【分析】利用基本不等式求得正確答案.【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.故選：D2．若把總長為的籬笆圍成一個矩形場地，則矩形場地的最大面積是（

）A．5 B．10 C．20 D．25【答案】D【分析】設(shè)矩形的一邊為米，場地面積為,則可得關(guān)于的解析式，結(jié)合基本不等式可求場地面積的最大值.【詳解】設(shè)矩形的一邊為米，則另一邊為米，設(shè)場地面積為，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，．故選：D.3．若一個矩形的對角線長為，則其面積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用矩形長和寬表示出對角線長，利用基本不等式可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)矩形的長和寬分別為，，（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），矩形面積的最大值為.故選：B.4．若為正數(shù)，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】將完全平方式展開，重組，利用基本不等式即可得出結(jié)論.【詳解】∵，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號，此時取最小值，最小值為.故選：C.5．若實數(shù)滿足，則的最小值為（

）A． B．2 C． D．1【答案】A【解析】由，得，，再利用均值不等式求得的最小值.【詳解】因為，則，且，兩邊同乘，得，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等，即的最小值為，故選：A.6．已知、且，下列各式中最大的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用基本不等式以及不等式的基本性質(zhì)可得出結(jié)果.【詳解】因為、，則，所以，，可得在選項ABC中，選項C最大，又因為、，故，所以，故選：D．7．下列結(jié)論正確的有（

）A．當(dāng)時，B．當(dāng)時，的最小值是2C．當(dāng)時，的最小值是5D．設(shè)，且，則的最小值是9【答案】AD【解析】利用放縮法以及基本不等式判斷A；利用基本不等式等號成立的條件判斷B；利用特殊值判斷C；利用基本不等式判斷D.【詳解】當(dāng)時，，A正確；時取等號，因為，所以等號不成立，的最小值不是2，B不正確；當(dāng)時，取，，最小值不是5，C不正確；，時等號成立，的最小值是9，D正確，故選：AD.【點睛】利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方8．已知，均為正實數(shù)，且，則使得取得最小值的，的值分別是（

）.A．， B．， C．， D．，【答案】B【分析】由，均為正實數(shù)，且，結(jié)合“1”的應(yīng)用，原式可變形為，再利用均值不等式求最小值即可.【詳解】解：因為，均為正實數(shù)，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，解得，.即使得取得最小值的，的值分別是，.故選B.【點睛】本題考查了利用均值不等式求最小值，重點考查了對數(shù)據(jù)的分析、處理能力，屬中檔題.9．已知，則下列不等式中不成立的是（

）．A． B．C． D．【答案】D【分析】結(jié)合基本不等式可證明ABC的正確與否，通過代入特殊值可證明D選項不正確.【詳解】解：A：，故A正確；B：，故B正確；C：，故C正確；D：當(dāng)時，，，此時不成立，故選:D.【點睛】本題考查了基本不等式的應(yīng)用，考查了幾種常見形式的不等式的證明.10．函數(shù)在上的最小值是A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【詳解】，所以選C.11．若，則的最小值為（

）A． B． C． D．4【答案】A【分析】由已知可得，化簡后利用基本不等式可求得結(jié)果【詳解】因為，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以的最小值為，故選：A12．若，，且，則下列不等式恒成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由基本不等式，求得，進而逐項判定，即可求解.【詳解】由，，且，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，對于A中，由，所以A錯誤；對于B中，，所以B錯誤；對于C中，由，可得，所以C錯誤；對于D中，，所以，所以，所以D正確.故選：D.13．已知，則的最小值為（

）A．8 B．10 C．12 D．14【答案】C【分析】將變?yōu)?，利用基本不等式即可求得答?【詳解】因為,,當(dāng)且僅當(dāng)，即時取得等號，即的最小值為12，故選：C14．已知，則的最小值是A． B．1 C． D．【答案】C【分析】結(jié)合條件和基本不等式可得答案.【詳解】因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故選：C.15．已知三棱柱的底面為直角三角形，側(cè)棱長為2，體積為1，若此三棱柱的頂點均在同一球面上，則該球半徑的最小值為（

）A．1 B．2 C． D．【答案】D【分析】先證明棱柱為直棱柱，再求出棱柱外接球的半徑，利用基本不等式求出其最小值.【詳解】∵三棱柱內(nèi)接于球，∴棱柱各側(cè)面均為平行四邊形且內(nèi)接于圓，所以棱柱的側(cè)棱都垂直底面，所以該三棱柱為直三棱柱.設(shè)底面三角形的兩條直角邊長為，，∵三棱柱的高為2，體積是1，∴，即，將直三棱柱補成一個長方體，則直三棱柱與長方體有同一個外接球，所以球的半徑為.故選D【點睛】本題主要考查幾何體外接球的半徑的計算和基本不等式求最值，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.16．已知，若，則的最大值為A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)基本不等式求積的最大值．【詳解】解：，且根據(jù)基本不等式得解得即當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故選【點睛】本題考查基本不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．17．若a，b，k是正實數(shù)，a+2b＝1，且k≤2a+4b恒成立，則直線與曲線有公共點的概率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用均值不等式可得：，繼而得到；直線與曲線有公共點可轉(zhuǎn)化為直線和半圓有交點，求出相切時臨界狀態(tài)的k值，得到有公共點時k的范圍，由幾何概型可得解.【詳解】由均值不等式：由于k≤2a+4b恒成立，所以曲線即為：直線可轉(zhuǎn)化為：過定點當(dāng)直線與圓相切時：若直線和圓有交點：由幾何概型，直線與曲線有公共點的概率故選：A【點睛】本題考查了均值不等式，直線和圓，幾何概型綜合，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)形結(jié)合，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于中檔題.18．設(shè)，若不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意可得恒成立，分、兩種情況討論，運用基本不等式，可得最值，由此可求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】由題意可得，且.當(dāng)時，可得，由絕對值三角不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以，，可得；當(dāng)時，可得，因為，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故，解得.綜上所述，.故選：C.19．已知，，，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】觀察已知等式和所求式子均為非齊次式，考慮等式變形為利用“1”的代換，化分式為齊次式，利用換元法，轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題求最值或利用基本不等式求最值.【詳解】解法一：（轉(zhuǎn)換成函數(shù)求最值）由題意，，，，即有且，將代入化簡得：，令，∴，則有，當(dāng)，有，單調(diào)遞減；當(dāng)，有單調(diào)遞增，∴.故選C.解法二：（利用基本不等式求最值）由題意，，，，即有且，將代入化簡得：，令，原式，當(dāng)且僅當(dāng)，即，等號成立，取到最小值.故選C.20．已知正項等比數(shù)列的前項和，滿足，則的最小值為（

）A．40 B．30 C．20 D．10【答案】A【分析】由等比數(shù)列性質(zhì)把和式用和表示，求比值后用基本不等式可得最小值．【詳解】∵是正項等比數(shù)列，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立．∴的最小值為．故選：A.【點睛】本題考查等比數(shù)列的前項和，考查基本不等式求最值，解題時可把作為一個整體，表示出后容易觀察到用基本不等式求最小值．二、多選題21．已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】利用不等式的性質(zhì)及其基本不等即可求解.【詳解】對于選項,∵，，，∴，解得，同理可知，則不正確，正確；對于選項,∵，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，∴，則正確；對于選項,∵，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，∴，則正確．故選：.22．下列推導(dǎo)過程，正確的為（

）A．因為a，b為正實數(shù)，所以B．因為，所以C．因為，所以D．因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立【答案】AD【分析】結(jié)合基本不等式“一正、二定、三相等原則”判斷即可.【詳解】對A，因為a，b為正實數(shù)，所以均大于零，，故A正確；對B，，故，B錯誤；對C，，，故C錯誤；對D，結(jié)合基本不等式推導(dǎo)過程判斷完全正確，故D正確.故選：AD23．下列說法錯誤的有（

）.A．，是，的必要不充分條件B．的最小值為2C．語句“”是命題D．“實數(shù)都大于0”的否定是“實數(shù)都小于或等于0”【答案】BD【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，結(jié)合充分、必要條件的定義，逐一分析選項，即可得答案.【詳解】A選項，若，，則，，但，時，如，，無法保證，，故A正確；B選項，，當(dāng)且僅當(dāng)時，即取等號，不成立，故B錯誤；C選項，這是一個假命題，故C正確；D選項，否定應(yīng)為“存在實數(shù)小于或等于0”，故D錯誤.故選：BD.24．當(dāng)時，下列函數(shù)中最小值不是2的有（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】對于A，利用二次函數(shù)的性質(zhì)判斷，對于BCD，利用基本不等式判斷.【詳解】對于A，因為，所以當(dāng)時，取得最小值3，所以A符合題意，對于B，因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以的最小值為8，所以B符合題意，對于C，因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以的最小值為2，所以C不符合題，對于D，因為，當(dāng)且僅當(dāng)，取等號，而無解，所以取不到等號，所以的最小值不是2，所以D符合題意，故選：ABD25．若，，，則下列不等式中對一切滿足條件的，恒成立的有（

）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】利用基本不等式及其變形公式和“1”的靈活運用即可求解.【詳解】解：對A選項：，，，，即（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立），故A選項正確；對B選項：，而成立，成立，故B選項正確；對C選項：，（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立），故C選項正確；對D選項：，（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立），，故D選項錯誤.故選：ABC.26．已知正數(shù)滿足，則下列選項正確的是（）A．的最小值是4 B．最小值為1C．的最小值是2 D．的最大值是【答案】CD【分析】A利用“1”代換求最值，B因為，所以，且，代入中化簡構(gòu)造基本不等式驗證即可，C先把式子變形，再運用基本不等式，D先構(gòu)造，再運用基本不等式.【詳解】A.因為正數(shù)滿足，即所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，故選項A不正確.B.因為，所以，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)或，不滿足故取不到最小值，故B選項不正確.C.，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故選項C正確.D.因為，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故選項D正確.故選：CD.27．已知正數(shù)x，y滿足，則下列說法錯誤的是（

）A．的最大值為1 B．的最大值為2C．的最小值為2 D．的最大值為1【答案】BCD【分析】利用基本不等式解決最大最小值問題.【詳解】因為，，，所以，故，當(dāng)且僅當(dāng)時，取得等號，所以的最大值為1，故A正確；當(dāng)，時，，故B錯誤；因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，取得等號，即有最大值為2，故C錯誤；當(dāng)時，故D錯誤.故選：BCD．28．已知，，，下列結(jié)論正確的是（

）A．的最小值為 B．的最小值為C．的最小值為 D．的最小值為【答案】BC【分析】對A，可將轉(zhuǎn)化為關(guān)于的二次函數(shù)求解；對B，利用常數(shù)代換，將化為，再利用基本不等式求解；對C，與乘積為定值，可以直接運用基本不等式；對D，只需運用基本不等式求出最值即可.【詳解】對A，，當(dāng)時，最小為.故A錯誤.對B，，等號成立時，.故B正確.對C，，等號成立時，.故C正確.對D，，所以，等號成立時，.故.故D錯誤.故選：BC.29．下列命題中正確的是（

）A．當(dāng)時， B．當(dāng)時，C．當(dāng)時， D．當(dāng)時，【答案】CD【解析】利用基本不等式的性質(zhì)依次判斷選項即可得到答案【詳解】對選項A，因為，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，故，A錯誤.對選項B，因為，當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，故B錯誤.對選項C，因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，故C正確.對選項D，因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，故D正確.故選：CD【點睛】本題主要考查利用基本不等式求值，30．已知正數(shù)x、y，滿足，則下列說法正確的是（

）A．xy的最大值為1 B．的最大值為2C．的最小值為 D．的最小值為1【答案】ABD【分析】對于AB，利用基本不等式及其推論即可判斷；對于CD，利用換元法與基本不等式“1”的妙用即可判斷.【詳解】對于A，因為，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時，等號成立，所以xy的最大值為1，故A正確；對于B，因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時，等號成立，所以的最大值為2，故B正確；對于C，，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時等號成立，所以的最小值為，故C錯誤；對于D，令，，則，，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)且，即，即時，等號成立，所以的最小值為1，故D正確.故選：ABD.【點睛】方法點睛：在應(yīng)用基本不等式求最值時，要把握不等式成立的三個條件，就是“一正——各項均為正；二定——積或和為定值；三相等——等號能否取得”，若忽略了某個條件，就會出現(xiàn)錯誤．三、填空題31．函數(shù)的最小值是_________.【答案】5【詳解】試題分析：由題將所給函數(shù)配成，然后應(yīng)用均值不等式求解即可..當(dāng)且僅當(dāng)x=3時，等號成立.考點：均值不等式32．當(dāng)時，的最小值為______.【答案】【解析】化為積為定值的形式后，利用基本不等式可求得結(jié)果.【詳解】當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.故答案為：【點睛】易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.33．已知，且.則的最大值是_________.【答案】10【分析】利用基本不等式求解即可.【詳解】當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立則，即的最大值是故答案為：【點睛】本題主要考查了利用基本不等式求和為定值時，積的最大值，屬于基礎(chǔ)題.34．已知兩地的距離是．按交通法規(guī)規(guī)定，兩地之間的公路車速應(yīng)限制在到．假設(shè)汽油的價格是元/升，以速度行駛，汽車的油耗率為升，其他運營成本每小時元，則最經(jīng)濟的車速是________．【答案】【分析】求得總的費用的表達式，結(jié)合基本不等式求得最經(jīng)濟的車速.【詳解】.依題意，總的費用為，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.故答案為：35．設(shè)，，若，則的最小值為_____________.【答案】【分析】由已知可得，從而有，展開后利用基本不等式，即可求解.【詳解】由題意，因為滿足，所以，且，則，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時取得最小值.故答案為：【點睛】本題主要考查了利用基本不等式求最值問題的應(yīng)用，合理利用基本不等式求得最值是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題.36．若，，，，則的最小值為______．【答案】/【分析】令，則，由此可將變形為，結(jié)合基本不等式，即可求得答案?！驹斀狻坑深}意，，，，得：，設(shè)，則，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取得等號，故的最小值為，故答案為：37．已知函數(shù)的值域是，則的取值范圍是________.【答案】【分析】由題意得出，然后利用基本不等式可求出的取值范圍.【詳解】由于函數(shù)的值域是，則，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時，等號成立，因此，的取值范圍是.故答案為：.【點睛】本題考查了二次函數(shù)的基本性質(zhì)和利用基本不等式求代數(shù)式的取值范圍，屬于中檔題．38．設(shè)正實數(shù)x，y，z滿足，則當(dāng)取得最大值時，的最大值為_________．【答案】1【分析】由得，代入，變形后根據(jù)基本不等式即可求的最大值以及此時的條件，根據(jù)此條件即可求的最大值.【詳解】由得，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取得最大值，此時，則，當(dāng)時取得最大值故答案為：1.39．有一塊直角三角形空地，，米，米，現(xiàn)欲建一矩形停車場，點、、分別在邊、、上，則停車場面積的最大值為________平方米.【答案】【解析】設(shè)米，米，根據(jù)可得出，利用基本不等式可求得的最大值，即為所求.【詳解】設(shè)米，米，則，，，即，整理可得，由基本不等式可得，，當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時，等號成立.因此，停車場面積的最大值為平方米.故答案為：.【點睛】易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.40．已知實數(shù)a，b滿足，則最大值為______.【答案】.【分析】將，變形為，再利用基本不等式得到，然后用一元二次不等式的解法求解.【詳解】由，得，由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)取等號，所以，所以，解得，所以最大值為.故答案為：【點睛】本題主要考查基本不等式和一元二次不等式的解法，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運算求解的能力，屬于中檔題.四、解答題41．學(xué)校要建一個面積為392m2的長方形游泳池，并且在四周要修建出寬為2m和4m的小路（如圖所示），問游泳池的長和寬分別為多少米時，占地面積最小？并求出占地面積的最小值.【答案】長28m，寬為m時，占地面積最小為648m2【分析】先設(shè)游泳池的長為xm,則游泳池的寬為,又設(shè)占地面積為,依題意,寫出函數(shù)y的解析式,再利用基本不等式求出此函數(shù)的最小值即得游泳池的長和寬分別為多少米時,占地面積最小.【詳解】設(shè)游泳池的長為xm,則游泳池的寬為,又設(shè)占地面積為,依題意,得,當(dāng)且僅當(dāng),即時,取“=”.答:游泳池的長為,寬為時,占地面積最小為【點睛】本小題主要考查根據(jù)實際問題建立數(shù)學(xué)模型,以及運用函數(shù)、基本不等式的知識解決實際問題的能力.42．設(shè)直線l的方程為（）（1）求證：不論a為何值，直線l必過一定點；（2）若直線l分別與x軸正半軸，y軸正半軸交于點，，當(dāng)面積為12時，求的周長；（3）已知a為整數(shù)且直線l在兩坐標軸上的截距也均為整數(shù)，求此時直線l的方程．【答案】（1）證明見解析；（2）；（3），，，，.【分析】（1）將原直線方程變形為，由求解；（2）由直線方程，分別令x=0，y=0得A，B兩點的坐標和a的取值范圍，由直角三角形得到面積，再由均值不等式可得面積的最小值時a的值，即求出點A、B的坐標，進而求出三角形的周長；（3）分截距是否為0，由（2）可得在x，y上的截距，根據(jù)截距為整數(shù)時得a的值即可.【詳解】（1）直線l的方程為（），整理可得：，當(dāng)時不論a為何值，，即，，可證當(dāng)不論a為何值，直線恒過定點；（2）時，，即，因為時，直線與x軸無交點，所以，令時，，即，，因為這兩個點分別在x軸正半軸，y軸正半軸，所以，且，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，面積最小，此時，，所以這時周長為；（3）因為直線l在兩坐標軸上的截距均為整數(shù)，即，都是整數(shù)，而，所以，，0，2，又當(dāng)，直線過原點也符合題意，所以直線方程分別為：，，，，．43．為應(yīng)對疫情需要，某醫(yī)院需要臨時搭建一處占地面積為的矩形隔離病區(qū)，擬劃分6個工作區(qū)域，布局示意圖如下.根據(jù)防疫要求，所有內(nèi)部通道（示意圖中細線部分）的寬度為2，整個隔離病區(qū)內(nèi)部四周還要預(yù)留寬度為3m的半污染緩沖區(qū)（示意圖中粗線部分），設(shè)隔離病區(qū)南北長x.（1）在滿足防疫要求的前提下，將工作區(qū)域的面積表示為南北長x的函數(shù)，并寫出x的取值范圍；（2）應(yīng)該如何設(shè)計該隔離病區(qū)的邊長，才能使工作區(qū)域的總占地面積最大？（結(jié)果精確到0.1）【答案】(1)=，；(2)隔離病區(qū)的邊長為19.4m時，工作區(qū)域的總占地面積最大值.【分析】(1)根據(jù)長方形面積計算公式，求出各邊邊長，然后用總面積減去內(nèi)部通過到面積和半污染緩沖區(qū)面積即可；(2)根據(jù)第一問表達式，結(jié)合基本不等式求最值即可.【詳解】(1)南北長x，則東西長，=，.(2)由(1)可得：當(dāng)且僅當(dāng)時取得等號.此時工作區(qū)域面積達到最大，故隔離病區(qū)的邊長為19.4m時，工作區(qū)域的總占地面積最大值.44．已知為實數(shù)，且滿足.證明：（1）；（2）.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析【解析】（1）結(jié)合基本不等式得，化簡即可求證；（2）由柯西不等式拼湊得，代值化簡即可求證.【詳解】（1）因為,故.（2）由題可得，故，，.【點睛】方法點睛：本題考查由基本不等式與柯西不等式求證不等式成立，常用以下方法：（1）基本不等式的使用要注意理解和的區(qū)別，應(yīng)用時重在尋找和與積的聯(lián)系；（2）柯西不等式重在拼湊法的使用，如本題中與的聯(lián)系，一次與二次的聯(lián)系，拼湊的目的在于建立條件與所求不等式的統(tǒng)一.45．請解決下列問題：（1）比較與的大??；（2）已知，利用（1）的結(jié)論，求的最小值．【答案】（1）（2）【分析】（1）利用作差、因式分解，再判斷符號，從而證得不等式；（2）利用構(gòu)造法求得，從而求得的最小值．【詳解】（1）（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立）（2），即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，所以的最小值為.【點睛】本題考查作差法比較大小、利用柯西不等式求最小值，考查邏輯推理能力和運算求解能力，求解時注意構(gòu)造法的應(yīng)用.46．已知關(guān)于的不等式的解集為或，當(dāng)，且時，有恒成立，求的取值范圍.【答案】【分析】根據(jù)不等式的解集先求出的值，再利用基本不等式中“1”的代換將恒成立等價轉(zhuǎn)化成關(guān)于的一元二次不等式，解之即可.【詳解】因為關(guān)于的不等式的解集為或，所以和1是方程的兩根，則有，解得：，所以，則（當(dāng)且僅當(dāng)，也即時取等號）因為恒成立，也即，解得：，所以實數(shù)的取值范圍為.47．中，分別是角所對的邊且.（1）求的值；（2）若，當(dāng)角最大時，求的面積．【答案】（1）4；（2）.【分析】(1)利用正弦定理和余弦定理化簡即得解；（2）先求出A最大時，，再求出b,c和sinA，再求的面積．【詳解】（1）∵，∴，∴，∴，∴，∴；（2）時，，∵且，∴，∴當(dāng)角最大時，，此時，，∴.【點睛】本題主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角形的面積的計算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.48．某展覽館用同種規(guī)格的木條制作如圖所示的展示框，其內(nèi)框與外框均為矩形，并用木條相互連結(jié)，連結(jié)木條與所連框邊均垂直．水平方向的連結(jié)木條長均為，豎直方向的連結(jié)木條長均為，內(nèi)框矩形的面積為．（不計木料的粗細與接頭處損耗）(1)如何設(shè)計外框的長與寬，才能使外框矩形面積最小？(2)如何設(shè)計外框的長與寬，才能使制作整個展示框所用木條最少？【答案】(1)外框的長與寬分別是，；(2)外框的長與寬分別是，【分析】（1）設(shè)展示框外框的長為，寬為，結(jié)合