專題2.1 等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)【七大題型】（解析版）-2024-2025初升高銜接資料（新高一暑假學(xué)習(xí)提升）

專題2.1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)【七大題型】【人教A版（2019）】TOC\o"1-3"\h\u【題型1不等關(guān)系的建立】 1【題型2利用作差法比較大小】 3【題型3利用作商法比較大小】 4【題型4利用作差法比較大小的應(yīng)用】 5【題型5利用不等式的性質(zhì)判斷正誤】 8【題型6利用不等式的性質(zhì)證明不等式】 10【題型7利用不等式的性質(zhì)求取值范圍】 12【知識(shí)點(diǎn)1不等關(guān)系】1．不等關(guān)系的建立在用不等式(組)表示實(shí)際問題中的不等關(guān)系時(shí)，先通過審題，設(shè)出未知量，找出其中的不等關(guān)系，再將不等關(guān)系用不等式表示出來，即得不等式或不等式組．【題型1不等關(guān)系的建立】【例1】（2022秋·西藏林芝·高一校考期中）下列說法正確的是（

）A．某人月收入x不高于2000元可表示為“x<2000”B．某變量y不超過a可表示為“y≤a”C．某變量x至少為a可表示為“x>a”D．小明的身高xcm，小華的身高ycm，則小明比小華矮表示為“x>y”【解題思路】根據(jù)數(shù)量的大小關(guān)系，判斷不等式使用是否正確，選出正確答案.【解答過程】對(duì)于A，某人收入x不高于2000元可表示為x≤2000，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，變量y不超過a可表示為y≤a，B正確；對(duì)于C，變量x至少為a可表示為x≥a，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，小明身高xcm，小華身高ycm，小明比小華矮表示為故選：B.【變式1-1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）某醫(yī)院工作人員所需某種型號(hào)的口罩可以外購(gòu)，也可以自己生產(chǎn)．其中外購(gòu)的單價(jià)是每個(gè)1.2元，若自己生產(chǎn)，則每月需投資固定成本2000元，并且每生產(chǎn)一個(gè)口罩還需要材料費(fèi)和勞務(wù)費(fèi)共0.8元．設(shè)該醫(yī)院每月所需口罩nn∈N?A．n>800 B．n>5000 C．n<800 D．n<5000【解題思路】根據(jù)題設(shè)條件可得關(guān)于n的不等式，求解后可得正確的選項(xiàng).【解答過程】由0.8n+2000<1.2n，得0.4n>2000，即n>5000，故選：B．【變式1-2】（2022秋·黑龍江雙鴨山·高一校考期中）完成一項(xiàng)裝修工程，請(qǐng)木工需付工資每人50元，請(qǐng)瓦工需付工資每人40元，現(xiàn)有工人工資預(yù)算2000元，設(shè)木工x人，瓦工y人，則請(qǐng)工人滿足的關(guān)系式是（

）A．5x+4yC．5x+4y【解題思路】根據(jù)工資預(yù)算以及工人工資列出不等式.【解答過程】依題意，請(qǐng)工人滿足的關(guān)系式是50x即5x故選：D.【變式1-3】（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）在開山工程爆破時(shí)，已知導(dǎo)火索燃燒的速度是每秒0.5厘米，人跑開的速度為每秒4米，距離爆破點(diǎn)100米以外（含100米）為安全區(qū)．為了使導(dǎo)火索燃盡時(shí)人能夠跑到安全區(qū)，導(dǎo)火索的長(zhǎng)度x（單位：厘米）應(yīng)滿足的不等式為（

）A．4×x0.5<100 B．4×x0.5≥100【解題思路】計(jì)算出導(dǎo)火索燃燒的時(shí)間也即人跑到100米外安全區(qū)至少需要的時(shí)間，列出不等關(guān)系，即可求得答案.【解答過程】由題意知導(dǎo)火索的長(zhǎng)度x（單位：厘米），故導(dǎo)火索燃燒的時(shí)間為x0.5人在此時(shí)間內(nèi)跑的路程為4×x0.5米，由題意可得故選：B．【知識(shí)點(diǎn)2比較大小】1．兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的比較如果a－b是正數(shù)，那么a>b；如果a－b等于零，那么a＝b；如果a－b是負(fù)數(shù)，那么a<b.反過來也對(duì)．這個(gè)基本事實(shí)可以表示為：a>b?a－b>0，a＝b?a－b＝0，a<b?a－b<0.從上述基本事實(shí)可知，要比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，可以轉(zhuǎn)化為比較它們的差與0的大?。绢}型2利用作差法比較大小】【例2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知a>0，b>0，M＝a+b，N＝a+b，則M與A．M>N B．M<N C．M≤N D．M，N大小關(guān)系不確定【解題思路】平方后作差比較大小即可.【解答過程】M2∴M<N.故選：B.【變式2-1】（2023秋·河南許昌·高三校考期末）已知x=?a2?2a+3,y=4?3aA．x<y B．x=yC．x>y D．x與y的大小無法判斷【解題思路】根據(jù)作差法比較大小即可.【解答過程】因?yàn)閤=?a所以x?y=?a2+a?1=?故選：A.【變式2-2】（2023秋·安徽蚌埠·高一統(tǒng)考期末）已知0<x<1，則下列不等式成立的是（

）A．x2>1x>x B．1x【解題思路】利用作差法判斷即可.【解答過程】因?yàn)?<x<1，則1?x>0，所以1x?x=1?又x?x2=x所以1x故選：D.【變式2-3】（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）已知a，b，c為不全相等的實(shí)數(shù)，P=a2+b2+c2+3A．P>Q B．P≥QC．P<Q D．P≤Q【解題思路】利用作差法判斷即可.【解答過程】因?yàn)镻=a2所以P?Q=a當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=1時(shí)取等號(hào),∵a，b，c為不全相等的實(shí)數(shù)，因此等號(hào)不成立，即P?Q>0，∴P>Q．故選：A.【題型3利用作商法比較大小】【例3】（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）已知c＞1，且x＝c+1－c，y＝c－c?1，則x，y之間的大小關(guān)系是（

）A．x＞y B．x＝y(tǒng)C．x＜y D．x，y的關(guān)系隨c而定【解題思路】應(yīng)用作商法比較xy【解答過程】由題設(shè)，易知x，y＞0，又xy∴x＜y.故選：C.【變式3-1】（2022秋·山東泰安·高一?？计谥校┰O(shè)p=a2+a+1?1，A．p>q B．p<q C．p≥q D．p≤q【解題思路】首先配方判斷p、q均大于零，然后作商即可比較大小.【解答過程】p=aq=a則q=a故p≤q，當(dāng)且僅當(dāng)a=0時(shí)，取等號(hào)，故選：D.【變式3-2】（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）若0<x<1，則x、1x、x、x2中最小的是x【解題思路】利用作商法以及不等式的性質(zhì)求解即可.【解答過程】因?yàn)?<x<1，所以1x>1，0<因?yàn)閤x=x<1，x即x故答案為：x2【變式3-3】（2021·全國(guó)·高一專題練習(xí)）P=a2+a+1,Q=1a2?a+1【解題思路】用作商法比較P,Q的大小關(guān)系，化簡(jiǎn)即可得結(jié)果.【解答過程】因?yàn)镻=a2+a+1=a+1由PQ所以P≥Q，故答案為：≥.【題型4利用作差法比較大小的應(yīng)用】【例4】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）某單位計(jì)劃組織員工參觀花博會(huì)需租車前往．甲租車公司：“如領(lǐng)隊(duì)買全票一張，其余人可享受7.5折優(yōu)惠”．乙租車公司：“你們屬團(tuán)體票，按原價(jià)的8折優(yōu)惠”．這兩家租車公司的單人全票價(jià)、車型都是一樣的，試根據(jù)該單位參觀的人數(shù)，選擇一下租車公司．【解題思路】設(shè)該單位員工有n人(n∈N?)，全票價(jià)為x元，再用x及【解答過程】設(shè)該單位員工有n人(n∈N?)，全票價(jià)為xx>0元，坐甲車需花y則y1=x+3因?yàn)閥1因?yàn)閤>0，所以當(dāng)n=5時(shí)，y1=y2；當(dāng)n>5時(shí)，y1因此，當(dāng)單位去參觀的人數(shù)為5人時(shí)，兩家租車公司收費(fèi)相同；多于5人時(shí)，選甲租車公司更優(yōu)惠；少于5人時(shí)，選乙租車公司更優(yōu)惠．【變式4-1】（2022·上海·高二專題練習(xí)）有甲、乙兩位股民，分兩次同時(shí)以a，b兩種不同價(jià)格（單位：元/股）買入同一種股票；甲的買入方式為：每次買入10000元的股票：乙的買入方式為：每次買入股票2000股；請(qǐng)根據(jù)兩人所買股票的平均每股價(jià)格，判斷哪一位的買入方式比較合算？【解題思路】根據(jù)平均價(jià)格的計(jì)算公式，分別計(jì)算出甲和乙所買股票的平均每股價(jià)格，再用作差法進(jìn)行比較即可求得答案.【解答過程】甲所買股票的平均每股價(jià)格：x1乙所買股票的平均每股價(jià)格：x2作差得，a+b2即x2>【變式4-2】（2023秋·廣東·高一統(tǒng)考期末）一般認(rèn)為，民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積，但窗戶面積與地板面積的比應(yīng)不小于10%，而且這個(gè)比值越大，采光效果越好．設(shè)某所公寓的窗戶面積與地板面積分別為am2，(1)若這所公寓的窗戶面積與地板面積的總和為220m(2)若同時(shí)增加窗戶面積和地板面積各nm【解題思路】（1）設(shè)公寓窗戶面積與地板面積分別為am2,bm2（2）設(shè)a和b分別表示公寓原來窗戶面積和地板面積，n表示窗戶和地板所增加的面積，再比較a+nb+n和a【解答過程】（1）設(shè)公寓窗戶面積與地板面積分別為am2,b所以b≤a10%=10a，所以所以這所公寓的窗戶面積至少為20平方米.（2）設(shè)a和b分別表示公寓原來窗戶面積和地板面積，n表示窗戶和地板所增加的面積（面積單位都相同），由題意得：0<a<b,n>0，則a+nb+n因?yàn)閎>0,n>0，所以b(b+n)>0.又因?yàn)閍<b，所以n(b?a)>0.因此a+nb+n?a所以窗戶和地板同時(shí)增加相等的面積，住宅的采光條件變好了.【變式4-3】（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）下列關(guān)于糖水濃度的問題，能提煉出怎樣的不等關(guān)系呢？(1)如果向一杯糖水里加糖，糖水變甜了；(2)把原來的糖水（淡）與加糖后的糖水（濃）混合到一起，得到的糖水一定比淡的濃、比濃的淡；(3)如果向一杯糖水里加水，糖水變淡了.【解題思路】由題意建立不等式，利用作差法比較大小即可得證.【解答過程】（1）設(shè)糖水b克，含糖a克，糖水濃度為ab，加入m克糖，即證明不等式a+mb+m>ab(其中a，b，m不妨用作差比較法，證明如下：a+mb+m?ab=∵a，b，m為正實(shí)數(shù)，且a<b，∴b+m>0,b?a>0，∴mb?abb+m（2）設(shè)原糖水b克，含糖a克，糖水濃度為ab；另一份糖水d克，含糖c克，糖水濃度為cd，且ab<c證明：∵ab<cd，且b＞a∴ad<bc，即bc?ad>0，ab即abcd即a+c（3）設(shè)原糖水b克，含糖a克，糖水濃度為ab，加入m克水，求證：ab>ab+m(其中b證明：ab∴a【知識(shí)點(diǎn)3等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)】1．等式的基本性質(zhì)性質(zhì)1如果a＝b，那么b＝a；性質(zhì)2如果a＝b，b＝c，那么a＝c；性質(zhì)3如果a＝b，那么a±c＝b±c；性質(zhì)4如果a＝b，那么ac＝bc；性質(zhì)5如果a＝b，c≠0，那么eq\f(a,c)＝eq\f(b,c).2．不等式的性質(zhì)(1)如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b?b<a.(2)如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c?a>c.(3)如果a>b，那么a＋c>b＋c.(4)如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc.(5)如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.(6)如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.(7)如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)．【題型5利用不等式的性質(zhì)判斷正誤】【例5】（2023春·福建·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知a<2，則下列不等式正確的是（

）A．a(chǎn)+c<2+c B．a(chǎn)2<c2 C．【解題思路】由不等式的性質(zhì)可判斷A；由特值法可判斷BCD.【解答過程】對(duì)于A，a<2，由不等式的性質(zhì)可得a+c<2+c，故A正確；對(duì)于B，a<2，取a=1,c=12，所以對(duì)于C，a<2，若c=0，則ac=2c，故C不正確；對(duì)于D，a<2，取a=1>0，故D不正確.故選：A.【變式5-1】（2023春·上海寶山·高一統(tǒng)考期末）如果a<b<0，那么下列式子中一定成立的是（

）A．a(chǎn)2>ab B．a(chǎn)2<b2【解題思路】利用不等式的性質(zhì)，逐項(xiàng)判斷作答.【解答過程】由a<b<0，得a2由a<b<0，得?a>?b>0，則a2由a<b<0，得ab由a<b<0，得aab<b故選：A.【變式5-2】（2023春·江蘇揚(yáng)州·高一統(tǒng)考開學(xué)考試）對(duì)于實(shí)數(shù)a，b，c，下列命題正確的是（

）A．若a>b，則aB．若a>b，則aC．若a>b，則a|a|>b|b|D．若a>b>c>0，則ba?b【解題思路】ABD選項(xiàng)，由做差法可判斷大小；C選項(xiàng)，分a>b>0,a>0>b,0>a>b三種情況討論即可判斷大小.【解答過程】A選項(xiàng)，acB選項(xiàng)，a2?bC選項(xiàng)，當(dāng)a>b>0時(shí)，a|a|?b|b|=a當(dāng)a>0>b時(shí)，a|a|?b|b|=a當(dāng)0>a>b時(shí)，a|a|?b|b|=?a綜上a|a|>b|b|，故C正確；D選項(xiàng)，ba?b故選：C.【變式5-3】（2023秋·河南省直轄縣級(jí)單位·高二?？茧A段練習(xí)）下列命題中正確的是（

）A．若a>b，則ac2>bc2 B．若C．若a>b，c>d，則a?c>b?d D．若ab>0，a>b，則1【解題思路】舉反例排除ABC；利用作差法即可判斷D.【解答過程】A選項(xiàng)，當(dāng)c=0時(shí)，acB選項(xiàng)，當(dāng)a=1，b=0，c=?2，d=?1時(shí)，ac=?1C選項(xiàng)，當(dāng)a=1，b=0，c=1，d=0時(shí)，a?c=b?d，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，若ab>0，a>b，則1a?1故選：D.【題型6利用不等式的性質(zhì)證明不等式】【例6】（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）證明下列不等式：(1)已知a>b，e>f(2)已知a>b>0,c<d<0，求證：3a【解題思路】（1）（2）利用不等式的基本性質(zhì)即可證明．【解答過程】（1）證明：∵a>b，c>0，∴ac>bc，∴?ac<?bc，又因?yàn)閑>f，即f<e，所以f?ac<e?bc.（2）證明：∵c<d<0，∴1d<又a>b>0，∴?ad>?∴3【變式6-1】（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）（1）已知a<b<c，且a+b+c=0，證明：aa?c（2）證明：a?a?2【解題思路】(1)利用不等式的性質(zhì)證明即可；(2)等價(jià)于證明a+a?3<a?1+a?2，對(duì)不等式兩邊同時(shí)平方后只需證明aa?3<a?1【解答過程】證明：（1）由a<b<c，且a+b+c=0，所以a<0，且所以(a?c)(b?c)>0，所以a?ca?cb?c<即1b?c<1a?c；所以ab?c>aa?c，即aa?c（2）要證a?a?2只需證a+a?3<a?1+即證a+(a?3)+2a(a?3)即證aa?3<a?1即證a(a?3)<(a?1)(a?2)；即證0<2，顯然成立；所以a?【變式6-2】（2022秋·內(nèi)蒙古呼和浩特·高一統(tǒng)考期中）證明不等式．(1)bc?ad≥0，bd＞0，求證：a+bb(2)已知a＞b＞c＞0，求證：ba?b【解題思路】（1）作差后，根據(jù)條件結(jié)合不等式的性質(zhì)證明；（2）先用作差法證明ba?b>b【解答過程】（1）證明：a+bb因?yàn)?，bc?ad≥0，所以，ad?bc≤0，又bd＞0，所以，ad?bcbd即a+bb（2）證明：因?yàn)閍＞b＞c＞0，所以有，?b<?c，0<a?b<a?c，b?c>0，則，ba?b即有，ba?b因?yàn)椋琣?c>0，所以，1a?c又b>c，所以，ba?c所以，有ba?b【變式6-3】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）利用不等式的性質(zhì)證明下列不等式：(1)若a<b，c<0，則a?bc>0(2)若a<0，?1<b<0，則a<ab【解題思路】（1）可知a?b>0，而c<0，即可得證；（2）可知1>b2>0>b>?1【解答過程】（1）證明：∵a>b，∴a?b>0，又c<0，∴(a?b)c<0；（2）證明：∵?1<b<0，∴0<∴1>b又a<0，∴a<ab【題型7利用不等式的性質(zhì)求取值范圍】【例7】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知－1<x＋y<4，2<x－y<3，求3x＋2y的取值范圍？【解題思路】由不等式的基本性質(zhì)求解即可.【解答過程】設(shè)3x＋2y＝m（x＋y）＋n（x－y），則m+n=3m?n=2，所以m=52又∵－1<x＋y<4，2<x－y<3，∴?52<∴?32<∴3x＋2y的取值范圍為?3【變式7-1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若實(shí)數(shù)x、y滿足?1≤x