03-MATLAB矩陣運算解析

3MATLAB矩陣運算在MATLAB中，矩陣和向量這兩個詞經(jīng)常換用。嚴格的說，矩陣是指以實數(shù)或復(fù)數(shù)為元素的長方形向量。MATLAB的數(shù)值矩陣運算能力十分強大。MATLAB提供了幾十個函數(shù)用來生成各種各樣的矩陣。導(dǎo)航矩陣定義矩陣的基本運算特殊矩陣稀疏矩陣3.1 矩陣定義在MATLAB中，矩陣用中括號括起來表示，同一行的數(shù)據(jù)用空格或逗號分隔，不同行用分號分隔。1直接輸入A=ones(3,4)%生成3×4階全1矩陣B=magic(3)%生成3×3階魔方矩陣C=randn(2,3)%生成2×3階正態(tài)分布隨機數(shù)矩陣I=eye(3)%生成3×3階單位矩陣3.2 矩陣的基本運算3.2.1矩陣的加減運算兩個矩陣的加減運算必須滿足以下兩個條件之一維數(shù)相同，即行數(shù)和列數(shù)分別相同；其中一個為標量。A=[124;231;145];B=ones(3);X=A+B3.2 矩陣的基本運算3.2.2矩陣的乘法在MATLAB中，乘法運算符為*。矩陣A*B有意義，當且僅當滿足下列條件之一：矩陣A的列數(shù)等于矩陣B的行數(shù)；其中之一為標量。A=magic(3)%A為3階魔方矩陣B=pascal(3)%B為3階帕斯卡矩陣C=A*BD=A.*B%注意乘法和點乘的區(qū)別3.2 矩陣的基本運算3.2.3矩陣的除法A=[1,2;3,4];B=[2,2;2,2];X=A./B%A中元素除以B中相應(yīng)元素Y=A.\B%B中元素除以A中相應(yīng)元素A=rand(3)B=pascal(3)A\B%矩陣左除，結(jié)果與inv(A)*B相同B/A%矩陣右除，結(jié)果與B*inv(A)相同3.2 矩陣的基本運算3.2.4矩陣轉(zhuǎn)置和共軛轉(zhuǎn)置A=[1,2,3]B=A‘%實矩陣的普通轉(zhuǎn)置C=[2+3i,1+2i]D=C’%對于復(fù)矩陣，“’”表示共軛轉(zhuǎn)置E=C.‘%普通轉(zhuǎn)置用“.’”表示普通轉(zhuǎn)置用“.’”表示3.2 矩陣的基本運算3.2.5矩陣指數(shù)運算A=[1,3;2,4;2,5];X=exp(A)%其中X(i,j)=exp(A(i,j))3.3 特殊矩陣3.3.1空矩陣a=1:4;b=find(a<1)%操作無結(jié)果時返回空矩陣b=[]size([])%空矩陣維數(shù)為0ans=00sum([])ans=03.3 特殊矩陣3.3.2eye矩陣,zeros矩陣eye(3,2)%單位矩陣可以是長方陣ans=100100[eye(2),zeros(1,2)]ans=1000103.3 特殊矩陣3.3.3

hadamard矩陣哈得馬德矩陣廣泛的應(yīng)用在信號處理和數(shù)值分析中。哈得馬德矩陣滿足H‘*H=n*I的性質(zhì)，當n能被4整除時，哈得馬德矩陣存在hadamard(4)ans=11111-11-111-1-11-1-113.4 稀疏矩陣在實際應(yīng)用中，常常碰到含有大量0元素的矩陣，這樣的矩陣稱為稀疏矩陣。如果按照普通矩陣對待稀疏矩陣，0元素將占據(jù)大量的存儲空間和內(nèi)存空間，影響運算速度。為了提高計算機的存儲效率，采用了只存儲非零元素和表示這些元素行列位置的下標數(shù)組的方法。同時，為了回避對零元素進行復(fù)雜的代數(shù)運算，采取了特殊的算法來求解這樣的矩陣問題。3.4 稀疏矩陣類型函數(shù)名描述基本稀疏矩陣生成函數(shù)Speye生成單位稀疏矩陣Sprand生成均勻分布隨機稀疏矩陣Sprandn生成正態(tài)分布隨機稀疏矩陣sprandsym生成對稱的隨機稀疏矩陣spdiags由帶狀數(shù)據(jù)生成稀疏矩陣轉(zhuǎn)換函數(shù)sparse生成稀疏矩陣full把稀疏矩陣轉(zhuǎn)化成滿矩陣find查找非零元素下標spconvert從其它格式中載入稀疏矩陣3.4 稀疏矩陣稀疏矩陣基本運算函數(shù)nnz求稀疏矩陣非零元素個數(shù)nonzeros求非零元素nzmax非零元素所占存儲空間spones把稀疏矩陣的非零元素全部替換成1spalloc為稀疏矩陣分配空間issparse判斷是否是稀疏矩陣spfun只對矩陣的非零元素進行運算spy查看稀疏矩陣中非零元素的分布變換函數(shù)colmmd對列的秩作最小的變換symmmd對稱秩最小變換symrcmCuthill-McKee對稱逆變換colperm列變換randperm隨機變換dmpermDulmage-Mendelsohn變換線性代數(shù)相關(guān)函數(shù)線性代數(shù)相關(guān)函數(shù)Eigs求稀疏矩陣的特征值Svds求稀疏矩陣的奇異值Luinc不完全LU分解Cholinc不完全Cholesky分解Normest估計稀疏矩陣二范數(shù)Condest一范條件數(shù)估計3.4 稀疏矩陣線性代數(shù)相關(guān)函數(shù)線性代數(shù)相關(guān)函數(shù)Eigs求稀疏矩陣的特征值Svds求稀疏矩陣的奇異值Luinc不完全LU分解Cholinc不完全Cholesky分解Normest估計稀疏矩陣二范數(shù)Condest一范條件數(shù)估計Sprank求稀疏矩陣的結(jié)構(gòu)秩迭代法解線性方程組Pcg預(yù)處理共扼梯度法Bicg雙共扼梯度法bicgstab穩(wěn)定雙共扼梯度法Cgs共扼梯度平方法gmres最小殘差法qmr最小殘差平方法消元樹函數(shù)etree求矩陣的消元樹向量streeplot畫消元樹圖形treeplot畫向量的樹圖形treelayout顯示樹的結(jié)構(gòu)其它一些函數(shù)gplot按圖論畫出稀疏矩陣spy顯示稀疏結(jié)構(gòu)symbfact因式分解spparms稀疏矩陣程序參數(shù)設(shè)置spaugment產(chǎn)生對稱稀疏不定方陣3.4 稀疏矩陣3.4.1創(chuàng)建和轉(zhuǎn)換稀疏矩陣1直接創(chuàng)建稀疏矩陣u=[12334];v=[12234];s=[54321];S=sparse(u,v,s,4,4)%4*4的稀疏矩陣%稀疏矩陣的顯示與滿陣不同，只顯示非零元素3.4 稀疏矩陣3.4.1創(chuàng)建和轉(zhuǎn)換稀疏矩陣2稀疏矩陣和滿陣之間的轉(zhuǎn)換S=sparse(eye(5))full(S)whosNameSizeBytesClassA5x5200doublearrayS5x584sparsearray%稀疏矩陣更節(jié)省空間，維數(shù)增加后更明顯3.4 稀疏矩陣3.4.1創(chuàng)建和轉(zhuǎn)換稀疏矩陣3稀疏矩陣的查看loadwest0479%MATLAB內(nèi)置的稀疏矩陣west0479whosspy(west0479)%查看矩陣west0479的結(jié)構(gòu)圖spy(west0479,15)%采用15個像素單位的點來繪制稀%疏矩陣的結(jié)構(gòu)圖3.4 稀疏矩陣3.4.2稀疏矩陣的舉例speye(3)%生成3×3階單位稀疏矩陣,同sparse(eye(3))S=[0100;1000;0100;0010]A=sprand(S)%生成與S相同結(jié)構(gòu)的隨機稀疏矩陣B=sprandn(S)%生成與S相同結(jié)構(gòu)的正態(tài)隨機稀疏矩陣C=sprandsym(A)%由上述矩陣A的下三角及主對角線部分創(chuàng)建的對稱陣full(A)full(C)MATLAB中對滿矩陣的運算和函數(shù)同樣可用在稀疏矩陣中3.5矩陣的常用操作方法

3.5.1查找矩陣中的元素1

find函數(shù):返回非零元素的索引和值X=[104-300086];find(X)X(find(X))find(X>1)X(find(X>1))3.5矩陣的常用操作方法

3.5.1查找矩陣中的元素A=[1:4;5:8];ind=find(A>3)%返回大于3的元素的線性索引[m,n]=find(A>3)%返回元素的行下標，列下標A(find(A>3))=03.5矩陣的常用操作方法

3.5.1查找矩陣中的元素2ind2sub和sub2ind函數(shù)[I,J]=ind2sub(siz,IND)IND=sub2ind(siz,I,J)siz為矩陣的大小，IND線性索引值，I、J為行列下標A=[1:4;5:8];ind=find(A>3);%返回大于3的元素的線性索引[I,J]=ind2sub(size(A),ind)%返回元素的行、列下標IND=sub2ind(size(A),I,J)%返回線性索引3.5矩陣的常用操作方法

3.5.2刪除矩陣中的指定元素