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文檔簡介

中學(xué)數(shù)學(xué)微積分

一、導(dǎo)數(shù)

1.導(dǎo)數(shù)的定義

定義:設(shè)函數(shù)y=f(x)在點/的某鄰域內(nèi)有定義,若極限lim/G)一,('%)存在,則稱函

Xf%x-xQ

數(shù)/在點/處可導(dǎo),并稱該極限值為函數(shù)/在點/處的導(dǎo)數(shù),記為/(%)(或

九』崇若令x=%+Ax,Ay=/(/+8)-/(、),則

lim,一,(。)可改寫為,(玉>十人)一,(玉>)=r(x0).所以,導(dǎo)數(shù)是函數(shù)增量A),與自

x?0X-XQADAx

變量增量Ax之比的極限.這個增量比稱為函數(shù)關(guān)于自變量的平均改變率(又稱差商),而導(dǎo)數(shù)

/,(X。)則為了在X。處關(guān)于X的改變率.若lim/3一,㈤極限不存在,則稱/在點/處不行

X-XQ

導(dǎo).

2.導(dǎo)函數(shù)

若函數(shù)在區(qū)間/上每一點都可導(dǎo)(對區(qū)間端點,僅考慮相應(yīng)的單側(cè)導(dǎo)數(shù)),則稱/為/上的可

導(dǎo)函數(shù).此時,對每一個xe/,都有/的一個導(dǎo)數(shù)/'(x)(或單側(cè)導(dǎo)數(shù))與之對應(yīng),這樣就定

義了一個在/上的函數(shù),稱為/在/上的導(dǎo)函數(shù),也簡稱為導(dǎo)數(shù),記為了'或即

/,(x)=lim上但二xG.

17A-0Ax

3.導(dǎo)數(shù)的幾何意義

函數(shù)/在點/處的導(dǎo)數(shù)/(與)是曲線y=/(x)在點(%,%)處的切線斜率.曲線y=/(x)

在點(%,No)處的切線方程為y—yQ=/'(x0)(x—x0).

4.求導(dǎo)法則

(1)基本求導(dǎo)法則

①(N土y)=ur±vr;

②=〃"+〃/,(c〃)'=c"(c為常數(shù));

④反函數(shù)導(dǎo)數(shù)電1=_L;

dxdx

dy

⑤復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)包=包.£色.

dxdudx

(2)基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式

①(c)'=0(c為常數(shù));

②(x“)'=ax"T(a為隨意實數(shù));

③(sinx)=cosx,(cosx)=-sinx;

④(tanx)=sec2x>(cotx)=-esc2x,

(secx)=secxtanx,(esex)=-cscxcotx;

⑤(a')'=a,lna,(e')'=e'.

⑥(log“x)',(Inx/=-?

xlnax

5.導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

(1)推斷函數(shù)單調(diào)性

定理:設(shè)函數(shù)“X)在區(qū)間I上可導(dǎo),則〃x)在/上遞增(減)的充要條件是r(x)>()(<()).

推論:設(shè)函數(shù)/(X)在區(qū)間/上可導(dǎo),若/'(x)>0(<0),則/(X)在區(qū)間/上嚴格遞增(嚴

格遞減).

(2)函數(shù)的極值

定義:若函數(shù)/(x)在點4的某鄰域U(x0)內(nèi)對一切xeU(/)有

,/(x0)>/(%)(/(^)</(X)),則稱函數(shù)/(x)在點與取得極大(小)值,稱點與為極大(小)

值點.極大值和微小值統(tǒng)稱為極值;極大值點和微小值點統(tǒng)稱為極值點.

(3)最值

對于閉區(qū)間[a,可上的連續(xù)函數(shù)/(x),我們只要比較了在全部穩(wěn)定點、不行導(dǎo)點和區(qū)間端點

上的函數(shù)值,就能從中找到f在區(qū)間[a,句上的最大值與最小值.

二、定積分

1.定義:設(shè)/是定義在[a,句上的一個函數(shù),J是一個確定的實數(shù).若對任給的正數(shù)£,總

存在某一正數(shù)使得對[a,句的任何分割T,以及在其上隨意選取的點集侑},只要用<5,

就有'/(A)?,-/<£,則稱函數(shù)/在區(qū)間[。,句上可積或黎曼可積;數(shù)J稱為/在區(qū)間

1=1

[a,可上的定積分或黎曼積分,記為其中/稱為被積函數(shù),x稱為積分變量,

[a,可稱為積分區(qū)間,a/分別稱為這個定積分的下限和上限.

牛頓一萊布尼茨公式:若函數(shù)/在[。,可上連續(xù),且存在原函數(shù)/,即F(x)=/(x),

xe[?,b],則/在[a,可上可積,且J:/(xg=FS)-F(a),這稱為牛頓一萊布尼茨公式,

它也常寫為[/(萬通=*對匕.

2.幾何意義:對于[a,可上的連續(xù)函數(shù)/,當(dāng)"x)20,xe[?,b],定積分的幾何意義就

是y=/(x),x=a,x-h,y=0所圍成的曲邊梯形的面積;當(dāng)xe[?,同時,

這時是位于x軸下方的曲邊梯形面積的相反數(shù),不妨稱之為“負面積”;對于

一般非定號的/(x)而言,定積分1/的值則是曲線y=/(x)在x軸上方部分全部曲邊梯形的正面

積與下方部分全部曲邊梯形的負面積的代數(shù)和.

3.性質(zhì):

性質(zhì)1:若/在[。,句上可積,左為常數(shù),則以在[a,可上也可積,且

性質(zhì)2:若/、g都在[a,句上可積,則f+g在[a,可上也可積,且

f[/(x)±g⑺及=f/(x依±fg"g'

性質(zhì)3:若于、g都在[a,句上可積,則7-g在[a,可上也可積.

性質(zhì)4:/在口,句上可積的充要條件是:任給ce(a,>),/在[a,可與[“,句上都可積.此

時又有等式\"f(x)dx=+[J(xg.

性質(zhì)5:設(shè)/為[a,句上的可積函數(shù).若/(x)20,xe[a,h],則[)(》>儀20.

性質(zhì)6:若/在[a,句上可積,則仍在[a,句上也可積,且1性.

性質(zhì)7:(積分第一中值定理)若/在[a,可上連續(xù),則至少存在一點自€口,h],使得

<?I)

性質(zhì)8:設(shè)/在[a,句上連續(xù),若尸(x)=,xe[a,可貝!JE(x)在[a,句上到處

可導(dǎo).

4.定積分的應(yīng)用

①求平面圖形的面積:由連續(xù)曲線y=/(x)(20)以及直線x=a,x=b(a<b),y=0所

圍成的曲邊梯形的面積為A=f/(xg=J:Mc,假如/在[a,可上不都是非負的,則所圍成

圖形的面積為A=J,/(x)Rr=f]y".一般地,由上、下兩條連續(xù)曲線y=/j(x)與y=/(x)

以及兩條直線x=a,x=b(a<))所圍成的平面圖形的面積為A=f"(x)-/(%))&.

三、例題選講

例1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

(1)y=x5x3+x;(2)y=sinx+cosx;

(3)y=x;(4)y=x2cosx+3x+l.

1+x

解析:依據(jù)求導(dǎo)法則及四則運算進行求解.

(1)yf=(x5)+(x3)+x'=5x4+3x2+1;

(2)yr=(sinx)+(cosx)=cosx-sinx;

_xr(l+x)-x(l+x)_1

⑶T島(1+X)2=(17^;

(4)yr=(x2)cosx+x2(cosx)+3=2xcosx-x2sinx+3.

例2求過曲線y=21nx上點A(e,2)處的切線方程.

fO

解析:利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到切線斜率是解題關(guān)鍵.???:/=(21nx)由導(dǎo)數(shù)的幾何

X

意義,曲線在點A(e,2)處的斜率%=*|」==,故所求的切線方程為y-2=*(x-e),即

xee

2x-ey=0.

例3求=+8的單調(diào)區(qū)間.

解析:令y'=4x3_4x=4xQ2-1)=4x(x+1)=0,得f=0,x2--i,x3=1,

列表如下;

X(-00,-1)(-1,0)(0,1)(1,+00)

/(X)小于0大于0小于0大不)

/(X)單調(diào)遞減單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增

所以/(x)在區(qū)間(—1,0),(1,+00)上單調(diào)遞增;在區(qū)間(一8,—1),(0,1)上單調(diào)遞減.

例4已知函數(shù)/(x)=x3一;x2+bx+C.

(I)若F(x)有極值,求〃的取值范圍;

(2)若/(X)在x=l處取得極值,當(dāng)xe[-1,2]時,/(x)</恒成立,求C?的取值范圍;

(3)若/(X)在x=l處取得極值時,證明:對[-1,2]內(nèi)的隨意兩個值占,x2,都有

解析:⑴f'(x^3x2-x+b,令/'Q”。,由△>(),得1一1?>0,即。<g;

(2)因為/(x)在x=l處取得極值,故/⑴=0,即3-1+6=0,得b=—2,令/'(x)=0,

22

得為二一§,々=1,當(dāng)x的取值為一§,1,一1,2時,經(jīng)比較,當(dāng)尤=2時,/(x)max=2+c,

所以2+c</,解得c>2或cv-l;

(3)可以計算得了(x)m,x=2+c,/(x)mm=—:+c,所以對[一1,2]內(nèi)的隨意兩個值七,/,

都有|/(西)一/(了2

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