同濟(jì)六版高數(shù)練習(xí)冊(cè)答案第十章曲線積分與曲面積分

第十章曲線積分與曲面積分

§1對(duì)弧長(zhǎng)地曲線積分

計(jì)算公式：無(wú)論是對(duì)弧長(zhǎng)還是對(duì)坐標(biāo)地曲線積分重要地是寫(xiě)出曲線地參數(shù)方程

X=X”)

aw/w6,則￡/(%,y)杰=y(")，[龍(32+[y⑴7

若L：<dt

X=%⑺

若￡：<y=則

、z=z”)

Jj(x,y,z)dS=y(f)，z(f))J[x⑺丁+[y⑴T+[z「)]「力

注意：上限一定要大于下限

1.計(jì)算下列對(duì)弧長(zhǎng)地曲線積分

<1)*(工2+產(chǎn))2公,其中L為圓周一+>2=。2；

解：法一：jjx2+y2)2ds=1(。2)2辦

=tz4Bds=a4(2萬(wàn)a)=2俞

x=acos0

法二:L:\Q<0<2TI,

y=asm0

+/)2辦

=￡[(acosd)+(asinn8)丁J(-asin0)2+(acosd)-dO

=「七加=2房

Jo

<2)辦淇中L為圓周尤2+y2=42,直線y=x及x軸在第一象限內(nèi)所圍成地扇形

地整個(gè)邊界;

解Je"%=(G+L+J/〃s,其中

x=xx=acosOJi——x=x0<x<^^a

0A：4

,0<x<a,AB:<,0<0<-9BO:\

[y=0y=asin042

e^x+yds=[ae^yll2+02dx

oAJo

?77iaea

'ds=[eads=eads-------

ABJABAB4

〈或fc"、'ds

JAB

7J(“cosdp+(asin

-asma)?+(〃cos0^dO

0

兀a

^eaadO=^^)

o4

2axa

二[e^yf2dx=e-l

Jo

故Le""v杰=e"(2+￡q)—2

<3)淇中L為拋物線y=2%2一1上介于％=o與尤=i之間地一段弧;

x=x

解：由得

b=2x2-l

23

§(1+16%2)21_]7妒]

32―48

<4)Jj2ds，其中L為擺線地一拱x=aQ-sina,y=a(l—8S1)(0W/K2%)；

￡y2ds=￡[a(l-cos0]2(1-cos^)]2+(〃sin%)2力

解:

=夜蘇J。"(1一COS.)5力

=V2tz3^"(2sin221.517人t八、

=8/sin—dt<9—=。)

o22

=16。3:sin?'

.￡47256

=3242sin5OdO=32a3x—x—----a3

。5315

<5)淇中L為圓周+y2=〃2

L|孫口S=4口期辦，其中A：,x=acosO

解：利用對(duì)稱(chēng)性

y=asinO

71___________________________________________

=4?F(Qcos6)(asin6)J(-xsin+(acos9丫d9

Jo

71

4片rcosOsinOdO-2a3sin2012/

<6)——\---泌，其中「為曲線x=e'cos/,y=e"sin/,z=/上相應(yīng)于，從0變到2地

x+y+z

弧段;

解：

工——2——

rx+y+z

1

cos?)f+[(/sin?)]2+e2,dt

=f(￡cost)"+(￡sint)~+(e)2

e'dt=1)

x2+y2+z2=2

<7)。國(guó)為,其中「為空間圓周：r：

y=x

工2+02=2,得2,+22=2,令,x=cos0

解：由<廠Q<0<2TI

，=xz=A/2sin。

x-cos0

故「：<y-cos00<8<2萬(wàn).故

z=A/2sin0

=￡|cosqVsin2^+sin2^+2cos2Od6

=\/^J01cos6卜9

_兀3TT

=cosOdd-JjcosOdO-\-卜cosOdO]=4^2

02~2

x=acost

2.螺旋形彈簧一圈地方程為：\y=asint(0<r<2^)，設(shè)它地線密度為

z=kt

夕(羽y,z)=x2+y2+z2,求：

(1)它關(guān)于Z軸地轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，z；<2)它地重心坐標(biāo).

<1)A=L(/+y2)Qds

22222

=fL(x+y)(x+y+z)ds

=f\2[a2+k2t2)y/a2+k2dt=?2

a2\la2+k2(3a2+4/k2)

_fx(x2+y2+z2)(*

<2)x=^---------」

L(%2+y2+z2M

J：QC0S%(〃2+k2t2”Q2+k2dt

『(/+左2/)J〃2+k2dt

j^a2+k2t2^acostdtGak2

〈分子采用分部積分法）

一『(/+//)力-3a2+4rf

_」小2+\2+22.

'LY+V+Z?,

+%2『)JQ2+k2dt

^(a2+k2t2)^a2+k2dt

-6nak2

—31+4萬(wàn)42

_卜卜2+y2+z2M

1(尤2+/+z2?

J；kt^cr+k2t2)yla2+k2dt

一『(/+D2)〃2+/力

_3/左(a?+2萬(wàn)2左2)

-3a2+4萬(wàn)212

§2對(duì)坐標(biāo)地曲線積分

無(wú)論是對(duì)弧長(zhǎng)還是對(duì)坐標(biāo)地曲線積分重要地是寫(xiě)出曲線地參數(shù)方程

X=x(t^

1計(jì)算公式：若〈其中%〃分別始點(diǎn)和終點(diǎn)對(duì)應(yīng)地參數(shù))，則

[y=y^

￡P(guān)(x,y)cbc+Q(x,y)dy=，[尸(x(。,y?),'⑺+Q(x?),y?))y⑺]力

%=%⑺

若L:<y=y?)%:of/?,〈其中//分別始點(diǎn)和終點(diǎn)對(duì)應(yīng)地參數(shù))，則

z=z("

￡P(guān)(x,y,z)tfc+Q(x,y,z^dy+R(^x,y,z)dz

=J^[P(x(Z),y(r),z(?))x(?)+2(x(?),y(?),z(Z))y'(?)+7?(x(Z),y(Z),z(r))z'(Z)]J/

注意：<1)對(duì)定向曲線才能說(shuō)對(duì)坐標(biāo)地曲線積；定向曲線地參數(shù)方程與未定向曲線地參數(shù)

方程地不同：

①定向曲線地參數(shù)表示為始點(diǎn)地參數(shù)到終點(diǎn)地參數(shù)而不管誰(shuí)大誰(shuí)小：t:afB

②未定向曲線地參數(shù)方程地參數(shù)表示為不等式：a<t<b

<2)①弧長(zhǎng)地積分轉(zhuǎn)化為定積分時(shí)定積分地上限一定要大于下限

②對(duì)坐標(biāo)地曲線積分轉(zhuǎn)化為定積分時(shí)定積分地上限一定是終點(diǎn)地參數(shù)，下限是始點(diǎn)地參

數(shù)，而不管上限是否一定要大于下限

2：兩類(lèi)曲線積分地關(guān)系

(1)定向曲線地切向量及其方向余弦

x=x(t\

若L：<t:af0

p=N)

①當(dāng)。</時(shí)

切向量為：(X(，),'(0)；

方向余弦為cosa=x”)=,COSB-%)

22

+(a))X(t

②當(dāng)時(shí)

切向量為:

一-y⑺

方向余弦為cosa=x1)=,COSB-

2

X\t

類(lèi)似可以推廣到空間曲線.

（2）兩類(lèi)曲線積分地關(guān)系

￡P(guān)（x,yg+Q（x,y）dy=￡[P（x,y）cos（z+Q（x,y）cos/3}ds

其中cosa.cosf3為定向曲線切向量地方向余弦

注意：把第二類(lèi)曲線積分轉(zhuǎn)化為第一類(lèi)曲線積分其關(guān)鍵是求出切向量.特別要注意始點(diǎn)

參數(shù)與終點(diǎn)參數(shù)大小關(guān)系對(duì)切向量符號(hào)地影響.

1.把對(duì)坐標(biāo)地曲線積分\LP（羽y}dx+Q（x,y）dy化為對(duì)弧長(zhǎng)地曲線積分淇中L為:

<1）從點(diǎn)<0,0）沿拋物線y=%2到點(diǎn)<i,i）；

x=x

解：由故在（尤,）處切向量為（）所以

L:]2x:0-1,0<1,y1,2%,

11

cosa——i=——/一,,

Jl+(2xJV1+4X2

2x2x

cos/?=丁所以

Jl+(2x『J1+4X：

「P(x,y腦+Q(x,y)dy

-y)cos(z+Q(x,y)cos131ds

=rP(x,y)+2xQ(x,y)出

JI+4/八

<2）從點(diǎn)<0,0）沿上半圓周，+>2=2無(wú)丫20到點(diǎn)<1,1）.

X=X1-x'

解：L：x:0-1,由0<l,故在（九,y）處切向量為1,，所以

22

y=y/2x-xA/2X-X?

￡P(guān)(x,y)dx+Q(x,y)dy

=1jp(x，y)cos6f+2(x,y)cosP\ds

-￡[y/lx-x2P(x,y)+(1-x)Q(x,y)}ds

〈或=JjyPXy)+(1-x)Q(x,y)]ds)

"x=l+COS。717C

法二L:＜,e：TT—＞一，由萬(wàn)〉一,

y=sin022

故切向量為(一(一sin。),—cos。)，即(sin仇—cos6)

所以

sin。.八

cosa=/=sin，二y,

Q(asinJ?+{-acos^)2

八一cos6八，廣…

cosp=7==-cos夕=1一x,所以

J(sin8)2+(-cos^)2

LP(x,yybc+Q(x,y)dy=￡[P(x,y)cosa+Q(x,y)cos/3}ds

=￡[yP(x,y)+(1—x)Q(x,y)]ds

2.計(jì)算下列對(duì)坐標(biāo)地曲線積分：

＜1)以小一y2Mx淇中L為拋物線＞=?上從點(diǎn)＜0,0)到＜2,4)地一段弧;

%=X

解：由x:0-2,得

y=x

x=a+acos0

AO-A6:0—?

y-asmO

（注意此方程不是地極坐標(biāo)方程，故不能說(shuō)在極坐標(biāo)系下8地范圍6:0f%，事實(shí)上極坐標(biāo)

7TTT

方程為r-2〃cos,8:03萬(wàn)，故在極坐標(biāo)系下。地范圍為6:0-萬(wàn)）

j-xydx=￡xx0tZx=0

a+acosasin0d[a+cos6)

二一。3J。卜江0+sin28cosd?

7171

=-<73[2jJsin2ede+jjsin?8cosOdO\

=*+0）=一號(hào)

3

iti/7CCLno,

故兒孫辦:=0+(———)二

F

＜3）卜（1+2沖）公+/力,乙為從點(diǎn)＜1,0）到點(diǎn)＜一1,0）地上半橢圓周尤2+2y2=i（yzo）；

x=cos0

解：由L：＜J2e：0—萬(wàn),得

y-----sin6

2

jJI+2xy)dx+x2dy

：[1+2cos6((^sin6)](一sin^)+cos20^-cosO]dO

一f"sinOdO-A/2[sin20cosOdO+cos3OdO

JoJo

=COS^|Q+0Josin?Odsin0+^-￡(1-sin20)dsin0

=一2+行*/+受sin”苧卜

=-2-0+0=-2

<4)華二警義◎淇中L為圓周，+產(chǎn)=。2(按逆時(shí)針?lè)较?；

%+y

x=acos8,

解：由￡:<6:0f2],得

y-asm0

+—(%—y)辦

Lx2+y2

「2%(acos6+asin9)(-asin0)-(acos0-asin6)acos0

de

=Jo------------------二--------------------

f2zr

=-J0d0=-2兀

<5)，[(2-丁)公+(X-2)辦+(X-2)心,其中「為橢圓周：<“+'—1,且從Z軸正方向看

[x-y+z=2

去，「取順時(shí)針?lè)较?

x=cos0

x1+y2=\得r：(y=sin。

解:由<e：2〃fo,故

X—y+z=2

z=2-cos8+sin6

jr(z-y)公+(%-z)dy+(%-z)dz

=[°[(4cos2-sin2＜9)-4(cos0+sin0)+cos0sinOdO

J27r

=一34+0+0=—3萬(wàn)

＜注意：易知，；"(：002。4。=/："5111264。,所以

JoJo

=gj)(cos20+sin20)dO=￡dO=TI

x=t

＜6)。(丁2-z2)tZx+2yzdy—「是曲線：y=/上/由0到2〃地一段弧.

z=t3

解：[「(丁2-z2)dx+2yzdy-x2dz

=『(3/—2/)力=-/

3.計(jì)算，(％+y)辦:+(y-x)辦淇中￡：＜1)拋物線/=%上從點(diǎn)＜ij)到點(diǎn)＜4,2)地一

段??；＜2)從點(diǎn)＜1,1)到點(diǎn)＜4,2)地直線段；

＜3)曲線x=2產(chǎn)+4+l,y=於+1上從點(diǎn)＜1,點(diǎn)到點(diǎn)＜4,2)地一段弧.

解：＜1)由'y:l-＞2,得

j二y

￡(x+y)t&+(y-x)t/y

=f[(y2+y).2y+(y_y2)J^=F

x=x

<2)由L:<12尤：1-4,得

y=-x+—

33

^(x+y)dx+(y-x)dy

=f4(x+-1x+-2)+(-1x+-2-x)-1dx=ll

33333

x—2t2+1+1

<3)由<t0—>1，得

y=t+i

^(x+y)dx+(y-x)dy

=[[(3/+[+2)(4%+l)—(r+[+2)=F

4.證明：1sin(x2+y2)dx+cos(xy)4/y<421其中/為平面上光滑曲線￡地長(zhǎng)度.

〈提示：轉(zhuǎn)化為對(duì)弧長(zhǎng)地曲線積分)

證明：

[sin(x2+y2)dx+cos(xy)dy

JL

二|￡[sin(x2+y2)cosa+cos(xy)cos/3]ds

其中cos。,cos0是切向量地方向余弦，故滿足cos2a+cos2(3=1.

sin(x2+y2)dx+cos(xy)dy<￡|sin(x2+y~)cosa+cos(xy)cosf^ds

L

=￡^/[(sin(x2+y2)cosa+cos(xy)cosyff)]2ds

=sn2%2+cos22222

\LyI(i()+2sin(x+y)cosacos(xy)cosp)+cos(xy)cosp)ds

<￡yj(sin2(x2+y2)cos2a+[sin2(x2+y2)cos2P+cos2acos2(xy)]+cos2(xy)cos2/3ds

=L，(sin2(x2+y2)[cos2a+cos2^]+cos2(xy)[cos2tz+cos2J3]ds

=￡y1(sin2(x2+y2)+cos2(xy)ds<「y[lds=421

法二：證明:

22

Lsin(x+y)dx+cos(xy)dy

=|￡[sin(x2+y2)cosa+cos(xy)cosJ3]ds

其中cosa.cos0是切向量地方向余弦，故滿足cos2a+cos2(3=1.

sin(x2+y2)dx+cos(xy)Jy<￡|sin(x2+y2)cosa+cos(孫)cos劃ds

L

設(shè)向量〃=卜皿―+y2),cos(v)),ne=(cosa,cos(3)則

2222

<\n\\ne\=sin(x+y)+cos(xy)<A/2,

故[sin(x2+y2)6k+cos(xy)6fy<￡|sin(x2+y2)cosa+cos(xy)cos同ds

JL

\L42ds=42l

§3Green公式

1.用曲線積分計(jì)算下列曲線所圍平面圖形地面積:

22

<1)橢圓：—7-+^-y=l;

a2b2

x=acos0,

解：若：L\\6:0—2%,則

y=bsin0

A=da=g[xdy-ydx

cos20+absin20^,0-7iab

2

<2)星形線：x=acos3t,y=asin3t0,0<t<.

x=acos3t

解：若：LA1:0921，則

y-asin31

A=J]。da=gLxdy-ydx

=gJo[3/cos41sin21+3a2sin41cos2

3/?2%.22/

smteastat

o

3a產(chǎn)乃.2c』

-----1sin2tdt

8J。

3a2r2^1-cos4r73

=----------------at--7ia2

8J。28

2.用格林公式計(jì)算下列曲線積分

<1）*D26一九2,公,其中乙為圓周（〃>0）,取逆時(shí)針?lè)较?

<2)j^ex[(1-cosy)dx—(y-sin,其中L為閉區(qū)域。乃,0<y<sin%地正向邊

界.

解：<1)P=-x2y,Q=xy2,:.^--^-=x~+y2,

oxdy

又L逆時(shí)針?lè)较?，設(shè)。：Y+y2<〃2,所以

xy2dy-x2ydx=^x2+y2^d(j

=fd0\r'rdr-^-Tca

JoJo2

〈注意[移2辦一X2y公=乩(2+y2）dcr工口?！?d■，為什么？）

xo

<2)P=ex(l-cosy),Q=~(y-siny),--二-yex

,~QXQy

所以[e*[(1-cosy)dx-(y-siny)dy]

廣廣(?！竤in%

=veW=yedy

JJD--JoH-'

嚴(yán)rsinx

=歐可。-ydy

=[exsin2xdx

2Jo

1「乃％l-cos2x,

二——e------------dx

2Jo2

1廣乃「乃

_

=~[J0產(chǎn)公―J。e"cos2&Zx]

I"e")+'(e*T)=g(l-")

＜其中￡excos2xdx=excos2x|=+2￡exsinIxdx

=e"-1+2[exsin2%|2￡excos2xdx]

=e"-1一4fexcos2xdx

Jo

所以J。/cos2Azzx=—1））

3.計(jì)算積分￡嗎器淇中L為圓周（x-l）2+y2=R2（Rwi）＜按逆時(shí)針?lè)较颍?/p>

L4x2+y2

解

斛P=4__/__+<_y_2Od=4__/_2+_/__'一?烝y=0

<1）故當(dāng)R<1時(shí)，尸=—;二,。=2*，在（X—1）2+/。：2（尺41）所圍地區(qū)域

4x2+y24x2+y2

D內(nèi)有連續(xù)偏導(dǎo)，滿足格林公式條件.=ffQda=0

h4x2+y2JJ。

<2）故當(dāng)R>1時(shí)，（x—l）2+y2〈R2（R/D所圍地區(qū)域。含有（0一點(diǎn)，故

P=7,Q=2工2在區(qū)域D有點(diǎn)沒(méi)有連續(xù)偏導(dǎo),不滿足格林公式條件.不能直接

4x2+y24x2+y2

用格林公式條件.

做曲線/：4/+丁2=￡取得足夠小保證/含在L所圍區(qū)域）方向?yàn)槟鏁r(shí)針，即

1Z）

,x=—2C0S“八

1<2e:0—2?.

y=esinO

則曲線￡+廣圍成復(fù)連通區(qū)域2且為Dx地正向邊界.

故在復(fù)連通區(qū)域2f里口半滿足格林公式條件，故

Jz+r4x2+y2

f等坐』（w=0即

JL+「4%+yJJQ

rxdy-ydx_rxdy-ydx_rxdy-ydx

2

JL4X+y2」「4x2+y14x2+y1

—s2cos20+—￡2sin20

2-------------------de

g

=—1[c兀d0=7i

2Jo

<注之所以取曲線/：4/+y2=/是方便計(jì)算，若取/：/十,2=/則計(jì)算麻煩）

4.證明下列曲線積分在工?面上與路徑無(wú)關(guān),并計(jì)算積分.

322

<1）,；《）（6移2_j；）+（6xy-3xy）dy

解：p=6xy2-y3,Q=6x2y-3xy2，所以單連通區(qū)域面有連續(xù)偏導(dǎo)，且

C2=12x—3y2=gt，所以曲線積分在面上與路徑無(wú)

dxdy

322

法一：［禺)(6移2-y)dx+(6xy-3xy)dy

3

=(J_+J_)(6孫之一y)公+伊%2y_3呼2)dy

—x-x—x-3

其中xA^3BC:\y:234

。=21y=y

=J；(6xx22-23)Jx+|j6x32xy-3x3xy2)dy=236

法二設(shè)：u(x,j)=J(6xy2-j3)dx=3x2y2-xy3+0(y)

則包=6凸-3盯2+型2=6心-3盯2得皿Lo

dydydy

22

w(x,y)=3xy一盯3+c,故

f()(6xy2-y3)dx+(6x2y-3xy2)dy=w(3,4)-w(l,2)=236

J(1,2)

<2)))(2xy—y，+y)dx+(%2-)Qy

解：P=2孫—y4+3,。=%2一4盯3，所以單連通區(qū)域％處面有連續(xù)偏導(dǎo)，且

義=2x-4y3=當(dāng),所以曲線積分在xoy面上與路徑無(wú)關(guān).

oxdy

法一：

r(2,l).0a八C<2

Ji。)(2盯-y，+3)辦:+(f-4xy3)67y

A<1B<2

=(J_+J_)(2呼-y4+3)dx+(x2-4xy3)dy■-------

—x-x—x-2

其中XA^IBCAy:031

y=01y=y

二J：(2%X0_04+3四+j"_4x2xV)力=5

2

法二設(shè)：”(%,y)=J(2沖-V+y)dx+0(y)=xy-xyi，4+3X+°3

-=x2-4xy3+如二x2-4xy3，得")

=0,所以

dydydy

w(x,y)=x2y-xy4+3x+C,

故J：襦-V4+y)dx+(x2-4孫3)dy="(2,1)—“(1,0)=5

5.用適當(dāng)?shù)胤椒ㄓ?jì)算下列曲線積分

222

<1)JL(xsin2y-y)dx+(xcos2y—l)dy,其中L為圓周x+y=R

依逆時(shí)針?lè)较虻近c(diǎn)(0,R)地弧段；

解：由P=xsmly-y.Q=x2cos2y—1,有—空=1

dxdy

卜L麗(xsin2y-y)公+(X2cos2y-1)辦=

,,—x—x—x-0

其中OA:《x:O^R,BO:\y:R^0

y=01y=y

jJxsin2y-y)dx+(x2cos2y-V)dy

=■__(xsin2y-y)dx+(x2cos2y-1)Jy

IJOA+L+BO..

-[J_+J_](xsin2y-y)dx+(x2cos2y-X)dy

=JL小必+\B5sin2y-y)dx+(x2cos2y-V)dy

——J：(xsin(2x0)-0)公-J：(。cos2y-l)dy

=^--0-f°(0cos2y-l)dy=-R

4JR4

<2)JJ/xdy，其中乙為從點(diǎn)⑵])到點(diǎn)&2)地直線段.

X

解：由P=M，Q=—有些一￥=。

%2xdxdy

積分與路徑無(wú)關(guān)，則

?ydx-xdy_〔j+j1ydx-xdy

--X—X---X-1

其中AC:<x:2->l,CBJy:l.2

y=l[y=y

rydx-xdy_rrydx-xdy_：xdxr2-dy3

2ACCB22IJ2

Jz,xJJXJ2xJ2

〈注意：若應(yīng)用積分與路徑無(wú)關(guān)，則必須保證在添加地曲線與原曲線所圍地區(qū)域是單連通地,

和P,Q在區(qū)域有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，如該題中區(qū)域就不能含原點(diǎn)）

6.解下列全微分方程

<1)(x3-3xy2)dx+(_y3-3x2y)dy=0；

解：尸=好一3孫2,。=y3—，在xoy面有冬=-6xy=—，得方程為全微分方程.

dxdy

法一"(x,y)=J(d_3孫2.+0(y)=；x4_3x2y2+o(y)，故

普-3凸+中=八3取得用?即心）=》

A

dydydy4

B<x

▲

所以方程通解為一i/——3+1-J=。

424A<x

法二，令〃(x,y)=一3盯2)a:+(y3一3%2,)力

-------------------------

=(J_+J_)(x3-3xy2)Jx+(y3-3x2y)tfyO<0,

--X—X--X—X

其中。4Mx:0fxAB:<y:0fy

y=01y=y

=￡(%3-3%x0)tZx+0++0+J。(V3-3x2y)dy

=~1x4+—1y4——3x2y2

402-

所以方程通解為一i/—33/2+-1y4=。

42.4.

小、xdx+ydy.,?

<2)+xdy+ydx=0.

Jl+?+y2

X+y,。=y+x,在wy面有絲=空，得方程為全微分方

解:P=/

Jl+f+y2，1+%2+/6X②

程.

c、

法一式(x,y)=f/%=+[dx+(p(y}=yjl+x2+y2+盯+。(丁),故

u+f+vJv

%力^+x+竺L^^+X,得坐

0,即心)=0

SyJl+f+VdyJl+f+ydy

▲

2B<x

所以方程通解為^i+JC+y+xy=CA

法二，令"（x,y）$；肅等+*+*A<x

T>-----------------

O<0,

xdx+ydy

+xdy+ydx

=也+1通）y/l+^+y2

,,---X—X----X-X

其中OA:<%:03%AB:<y:0fy

7=0

=[,%=dx+0+0+，，+x)力

Jo22J2

Vl+x+0O71+X+/

=y/l+x2-1+(y]l+x2+y2+xy)|Q

=Jl+%2-1+Jl+%2+y2+孫—M+%2_0)

=J1+尤2+y~+xy-1

所以方程通解為Jl+d+V+xy-l=C

7.計(jì)算曲線積分心+-(襄V)力淇中乙：

<1）閉區(qū)域+>24.3〉。〉。）地正向邊界;

字4,Q="UJ等?

x+yx+ydydx

顯然在a2<x2+y2<b2（b>a>O）fyP=與土￡,Q=乎?有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，滿足格林

x+yx+y

公式條件，故J(x+y)dx-(x-y)dy

x2+y2

<2）圓周/+y2=a2（a>0）按逆時(shí)針?lè)较?

解：圓周/+/=/所圍區(qū)域含原點(diǎn)，故尸=*,Q=h在其內(nèi)沒(méi)有連續(xù)偏導(dǎo),

x=Rcos0

數(shù)，不能用格林公式.直接計(jì)算L:e：o―2萬(wàn)，故

y=Rsin0

萬(wàn)―

(x+y)dx-(x-y)dy?2=a-d。=-2%

Lx2+y2oa2

<3)從點(diǎn)A（一肛一4）沿曲線y=icos%到點(diǎn)5（凡一1）地弧段.

由=絲，則積分路徑無(wú)關(guān)，故:

解:dP

dydx

(x+y)dx-(x-y)dy

AE%2+,y2

(x+y)dx-(x-y)dy

x2+y2

?(x+y)dx-(x-y)dy

EBx2+y2

(x+y)dx-(x-y)dy

22

_r+y

X--71——x=xX-71

其中〉：一71TnCD：<X、.一7lf冗、DB\\y:nf一冗

[y=^y=y

加「(x^y)dx-(x-y)dy

x+y

[+](x+yM-(x-y)辦

L22

JAEJEB,x_1_y

二必+圖+/而+/而］(x+y)dx-(x-y)dy

27

x+y

(x+y)dx-(x-y)dy

=^AC+JCD+JDB]

x2+,y2

?(x+y)dx-(x-y)dy

Lx2+y2

產(chǎn)7T+V71〃717T+V,clX+7T.

=I——出+|-----+1—■~孫=3l---------dx

n+yJ"％+7J—%"+yx+/r

c冗Y+77P7lXrnTCC7TJT

=3[--dx=3\--dx+3\^-dx=0+6\--dx

九+?J-+?J-?X+〃J0%+%

/%1%3

=6arctan—L=—

7l'2

8.利用曲線積分與路徑無(wú)關(guān)地條件,求待定參數(shù)或函數(shù).

<1)確定。地值，使曲線積分/=。4+4xya)dx+(6X“Ty2_5^4)力與路徑無(wú)關(guān)；

解：尸=/+4盯“,Q=6xNy2—5y4,欲使曲線積分與路徑無(wú)關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)=吆，即

oyox

4a=6(^-1)

4卬"一1=6(〃_1)￡一2,2,即(〃_2=]得a=3

a—l=2

ey

<2)求可微函數(shù)°(y)9⑴=e,使曲線積分Z=Ly(p(y)dx+(----(p(y))xdy

y

在y>0地開(kāi)區(qū)域內(nèi)與積分路徑無(wú)關(guān).

/QPQQ

解：尸=y叭y),。=(——<p(y))x，積分與路徑無(wú)關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)丁二￥，即

yoyox

9(y)+y”/=--一9(y),得

dyy

差2+%-}=o,〈這是以y自變量0(y)為未知函數(shù)地一階線性微分方程)

又批l)=e得°(y)=$

9.證明-包公=0地充分必要條件為：丸+匕=0

LSxdydx2dy2

其中L是單連通開(kāi)域G內(nèi)地一條簡(jiǎn)單閉曲線,v(x,y)在G內(nèi)具有連續(xù)地二階偏導(dǎo)數(shù)

證明：對(duì)曲線積分辦-?公P=-,,Q=S,故｛8力—，辦=0地充分必要條

I1dxdydydxLdxdy

22

心且HPBQ「dPdvdQdv

4牛z9—=----J/,—=--------------------

dydx，dydy2，dxdx2

故f包辦一生公=0地充分必要條件為一些=B，即烏+B=o

〃法/dydy2dx28x2dy2

§4對(duì)面積地曲面積分

1.計(jì)算下列曲面積分

<1)JJdS,其中E為拋物面z=2-(必+/)在雙？面上方地部分。

Z

解：￡：z=2—(y+y2)：%2+,2<2

則dS=J1+z；+zjdxdy=Jl+(-2x)2+^-2y^dxdy=，1+4/+4y)dxdy

故JJdS二JI。Jl+4%2+4/=jj"dSj：+4rlrdr

二2?x(/Jl+4「2d(4、+i)=?x[g(l+4/)5p]■?

<2)jj(%2+y2)dS,其中￡為錐面z=舊+/及平面z=l所圍成閉區(qū)域地邊界曲面.

解：如圖￡=%+%，其中

4：Z=G+y2,(%,y)￡￡>,￡>：%2+y2

22

%：z=1,(九,y)GD,D:%+j；<1,故

Jj(x2+y2)dS=JJ(x2+y2)dS+jj(x2+y2)dS

Si

I2

嚴(yán)

+jj(%2+y2)Vl+02+02t&Jy

D

=(四+1)J[，+y2)dxdy

D

<3)jj(xy+yz+zx)dS，其中￡為錐面z=^x2+y2被柱面x2+y2=2ax(a>0)所截得

地部分。

解：E:z=不大2+/y^D.Dix2+y2<lax

/、2(\2

貝!JdS-Jl+z；+zjdxdy=.1+/x+iy.dxdy=血dxdy

y[G+刊

故JJ(Xy+yz+z%)dS=jjy^Jx2+y2+^/x2+y2x)yf2dxdy

z

2

=41^Dxydxdy+j￡y^x+y-dxdy+乩&2+yxdxdy}

xdxdy

〈區(qū)域關(guān)于X軸對(duì)稱(chēng)涵數(shù)W,孫是關(guān)于y奇函數(shù)）

l~f—p2acos。i-f—p2acos。

=V2j21Jr?rcosOrdr=V2j?兀cosOdO^Vosdr

一萬(wàn)一萬(wàn)

_71

=4缶手35田。

=8行/JIcos5ede=80a4x|xj=^|6M4

<4)jj(x2+V)ds,其中z為上半球面z=.

解：Z：z=^4-X2-3；2(%,y)￡Z),￡>：%之+y2V4,則

dS=Ql+z：+zjdxdy

/、2\2

2

1+/—xdxdy二dxdy

J"/_y2

/

22

故：j(x+y2)dS=j￡(x+y^-^^==dxdydd^^^rdr

=r2d(—14—戶)=47r[-『4-產(chǎn)'14—戶rdr]

3.計(jì)算曲面殼

X:2=g(%2+y2)(042?1)地質(zhì)量，面密度p=Z.

解：質(zhì)量M=[ps=JJzdS

zz

其中Z：2=;(f+y2),(x,y)￡￡),z)：x2+y2<2

dS=Jl+z；+zjdxdy=++y」dxdy

貝！JM=jjzdS=+y：)Jl+%2+y'dxdy

=J：dej；；r2J1+r2rd廠="J；/J1+戶dr=r2d；(1+/>

=拈(1+產(chǎn)>產(chǎn)僻_居0+產(chǎn)]

=§6省—廣(1+/評(píng)(/2+1)]

2

=|[673-|(l+r)^|f]

=||(1+6我

4.求密度為常數(shù)p地均勻半球殼Z=亞_",2對(duì)于0Z軸地轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Iz.

2

解：Iz=\\{jc+y}pds

￡在xoy面上地投影區(qū)域％:x2+y2<a2

2

rdr

L=J(x2+WpdS=p\\D^+y2)&2：_yjy=夕aJ：dd\lC—2

=2.r2d(-yja2-r2)=2pa7r[-y/a2-r2產(chǎn)「+J：[a2-r1dr2}

=2夕初[一][a2-r2d(a2-r2)]=2pa7r[-—^a2-r2^^]=—7ipa4

§5對(duì)坐標(biāo)地曲面積分

計(jì)算聯(lián)合形式JJPdxdy+Qdydz+Rdzdx

法一：直接計(jì)算：則分別計(jì)算JJP公辦JJQ力龍JJR/Z公

EZZ

(1)計(jì)算jjPdxdy時(shí)

<I)將曲面E投影在無(wú)。丁面<且只能投影xoy面，即使投影為曲線而非區(qū)