高三上學期期中數(shù)學真題分類匯編（新高考通用）專題15圓錐曲線壓軸大題（十大題型）（原卷版）

專題15圓錐曲線壓軸大題相關點法求軌跡方程1．（江蘇省淮陰中學、海門中學、姜堰中學20222023學年高三上學期期中）已知雙曲線C的方程為．(1)直線截雙曲線C所得的弦長為，求實數(shù)m的值；(2)過點作直線交雙曲線C于P、Q兩點，求線段的中點M的軌跡方程．2．（2022秋·河北唐山·高三開灤第一中學?？计谥校┮阎狝是圓O：x2+y2＝4上一動點，過點A作AB⊥x軸，垂足為B，動點D滿足.（1）求動點D的軌跡C的方程；（2）垂直于x軸的直線M交軌跡C于M、N兩點，點P（3，0），直線PM與軌跡C的另一個交點為Q.問：直線NQ是否過一定點？若過定點，求出該定點的坐標；若不過定點，請說明理由.3．（湖南省衡陽市第一中學20222023學年高三上學期期中數(shù)學試題）在直角坐標系中，線段，且兩個端點M、N分別在x軸和y軸上滑動．(1)求線段的中點C的軌跡方程；(2)若直線．①證明直線l與曲線C恒有兩個不同交點；②求直線l被曲線C截得的最短弦長．4．（福建省泉州市晉江二中、鵬峰中學、廣海中學、泉港五中2023屆高三上學期10月期中）已知圓，點．(1)直線l過點P且與圓C相交于A，B兩點，若，求直線l的方程；(2)若動圓D經(jīng)過點P且與圓C外切，求動圓的圓心D的軌跡方程；(3)是否存在異于點P的點Q，使得對于圓C上任意一點M，均有為常數(shù)？若存在，求出點Q坐標和常數(shù)的值；若不存在，也請說明理由．5．（江蘇省徐州市20222023學年高三上學期期中）已知在平面直角坐標系中，坐標原點為，點，、兩點分別在軸和軸上運動，并且滿足，，動點的軌跡為曲線.（1）求動點的軌跡方程；（2）作曲線的任意一條切線（不含軸），直線與切線相交于點，直線與切線、軸分別相交于點與點，試探究的值是否為定值，若為定值請求出該定值；若不為定值請說明理由.交軌法求軌跡方程6．（2022秋·云南·高三云南民族大學附屬中學?？计谥校┤鐖D，已知點A(1，0)與點B(1，0)，C是圓x2+y2=1上異于A，B兩點的動點，連接BC并延長至D，使得|CD|=|BC|，求線段AC與OD的交點P的軌跡方程.7．（安徽省卓越縣中聯(lián)盟20222023學年高三上學期期中）已知為雙曲線的左右焦點，且該雙曲線離心率小于等于，點和是雙曲線上關于軸對稱非重合的兩個動點，為雙曲線左右頂點，恒成立．(1)求該雙曲線的標準方程；(2)設直線和的交點為，求點的軌跡方程．8．（海南省海口嘉勛高級中學2023屆高三上學期期中考）已知過點的直線交拋物線于兩點，為坐標原點．(1)證明：；(2)設為拋物線的焦點，直線與直線交于點，直線交拋物線與兩點（在軸的同側），求直線與直線交點的軌跡方程．9．（2022秋·黑龍江牡丹江·高三牡丹江市第二高級中學?？计谥校┮阎獧E圓的中心在坐標原點，焦點在坐標軸上，且經(jīng)過三點.(1)求橢圓的方程；(2)若過右焦點的直線（斜率不為0）與橢圓交于兩點，求直線與直線的交點的軌跡方程.10．（2022秋·山東煙臺·高三統(tǒng)考期中）已知雙曲線的左?右頂點分別為，動直線過點，當直線與雙曲線有且僅有一個公共點時，點B到直線的距離為(1)求雙曲線的標準方程；(2)當直線與雙曲線交于異于的兩點時，記直線的斜率為，直線的斜率為.（i）是否存在實數(shù)，使得成立，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由；（ii）求直線和交點的軌跡方程.參數(shù)法求軌跡方程11．（福建省龍巖市永定區(qū)坎市中學2023屆高三上學期期中）如圖，過拋物線（＞0）的頂點作兩條互相垂直的弦OA、OB．⑴設OA的斜率為k，試用k表示點A、B的坐標⑵求弦AB中點M的軌跡方程13．（海南省?？诩蝿赘呒壷袑W2023屆高三上學期期中考）在平面直角坐標系中，橢圓的中心在坐標原點，焦點在坐標軸上，點和點為橢圓上兩點.（Ⅰ）求橢圓的標準方程；（Ⅱ），為橢圓上異于點的兩點，若直線與的斜率之和為，求線段中點的軌跡方程.14．（江蘇省淮安市淮安區(qū)20222023學年高三上學期期中）已知，是拋物線上兩個不同的點，的焦點為．（1）若直線過焦點，且，求的值；（2）已知點，記直線，的斜率分別為，，且，當直線過定點，且定點在軸上時，點在直線上，滿足，求點的軌跡方程．求參數(shù)范圍及最值問題15．（江蘇省南京東山外國語學校20222023學年高三上學期期中）已知橢圓：的離心率為，點，，分別是橢圓的左、右、上頂點，是的左焦點，坐標原點到直線的距離為.(1)求的方程；(2)過的直線交橢圓于，兩點，求的取值范圍.16．（福建省泉州市安溪一中、養(yǎng)正中學、惠安一中、泉州實驗中學2023屆高三期中）已知，為橢圓C的左右焦點，且拋物線的焦點為，M為橢圓的上頂點，的面積為.(1)求橢圓C的標準方程；(2)過點的直線l與橢圓C交于A，B兩點，О為坐標原點，且，若橢圓C上存在一點E，使得四邊形OAED為平行四邊形，求的取值范圍.17．（2022秋·重慶渝北·高三重慶市渝北中學校期中）已知為坐標平面上的動點，且直線與直線的斜率之積為．(1)求點的軌跡方程；(2)設點的軌跡為曲線，過點斜率為的直線與曲線交于不同的兩點中點為，直線（為坐標原點）的斜率為，求證為定值；(3)在（2）的條件下，設，且，求直線在軸上的截距的變化范圍．18．（2022秋·福建泉州·高三泉州五中?？计谥校┰O分別是橢圓的左、右焦點，B為橢圓上的點且坐標為．(1)若P是該橢圓上的一個動點，求的最大值；(2)若C為橢圓上異于B的一點，且，求λ的值；(3)設P是該橢圓上的一個動點，求的周長的最大值．19．（山東省青島市青島第十九中學20222023學年高三上學期期中）橢圓的左焦點為，右頂點為，且，橢圓離心率．(1)求橢圓方程；(2)過點且不垂直于坐標軸的直線與橢圓交于，兩點，已知點，當時，求滿足的直線的斜率的取值范圍．20．（廣東省廣州六中2023屆高三上學期期中）已知拋物線，點為其焦點，直線與拋物線交于兩點，為坐標原點，．(1)求拋物線的方程；(2)過軸上一動點作互相垂直的兩條直線，與拋物線分別相交于點和，點分別為的中點，求的最小值．定點問題21．（2022秋·山東青島·高三統(tǒng)考期中）在平面直角坐標系中，動點到點的距離等于點到直線距離的倍，記動點的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程；(2)已知直線：與曲線交于兩點，問曲線上是否存在兩點滿足，若存在，請求出兩點坐標，不存在，請說明理由.22．（遼寧省六校20222023學年高三上學期期中）在直角坐標系中，拋物線的頂點是雙曲線的中心，拋物線的焦點與雙曲線的焦點相同．(1)求拋物線的方程；(2)若點為拋物線上的定點，，為拋物線上兩個動點.且，問直線是否經(jīng)過定點?若是，求出該定點，若不是，請說明理由．23．（2022秋·山東青島·高三山東省青島第一中學?？计谥校┮阎獎訄AP過點且與直線相切，圓心P的軌跡為曲線C.(1)求曲線C的方程；(2)若A，B是曲線C上的兩個點，且直線AB過的外心，其中O為坐標原點，求證:直線過定點.24．（黑龍江省齊齊哈爾市三立高級中學20222023學年高三上學期期中）雙曲線的左、右焦點分別為，過作與軸垂直的直線交雙曲線于兩點，的面積為12，拋物線以雙曲線的右頂點為焦點.(1)求拋物線的方程；(2)如圖，點為拋物線的準線上一點，過點作軸的垂線交拋物線于點，連接并延長交拋物線于點，求證：直線過定點.25．（2022秋·河北滄州·高三任丘市第一中學?？计谥校┮阎獔A的圓心在第一象限內(nèi)，圓關于直線對稱，與軸相切，被直線截得的弦長為．若點在直線上運動，過點作圓的兩條切線、，切點分別為，點．(1)求四邊形面積的最小值；(2)直線是否過定點？若過定點，求此定點坐標；若不過定點，請說明．26．（遼寧省葫蘆島市四校20222023學年高三上學期期中）已知焦點在軸上的橢圓，短軸長為，焦距為2.(1)求橢圓的標準方程；(2)如圖，已知點，點是橢圓的右頂點，直線與橢圓交于不同的兩點兩點都在軸上方，且.證明：直線過定點，并求出該定點坐標.27．（江蘇省淮安市高中校協(xié)作體20222023學年高三上學期期中）已知拋物線的焦點為，點在上，．(1)求；(2)過點作直線，與交于，兩點，關于軸的對稱點為．判斷直線是否過定點？若是，求出定點坐標；若不是，說明理出．定值問題28．（湖南省長沙市雅禮中學20222023學年高三上學期期中）已知橢圓的上、下頂點分別為，已知點在直線：上，且橢圓的離心率．(1)求橢圓的標準方程；(2)設是橢圓上異于的任意一點，軸，為垂足，為線段的中點，直線交直線于點，為線段的中點，求的值．29．（2022秋·遼寧鐵嶺·高三昌圖縣第一高級中學上學期期中）已知橢圓，，是C的左、右焦點，過的動直線l與C交于不同的兩點A，B兩點，且的周長為，橢圓的其中一個焦點在拋物線準線上，(1)求橢圓的方程；(2)已知點，證明:為定值.30．（山東省聊城市第二中學20222023學年高三上學期期中）已知雙曲線與橢圓的焦點重合，且與的離心率之積為．(1)求雙曲線的標準方程；(2)設雙曲線的左?右頂點分別為，若直線與圓相切，且與雙曲線左?右兩支分別交于兩點，記直線的斜率為的斜率為，那么是否為定值？并說明理由．31．（2022秋·山東濟寧·高三嘉祥縣第一中學?？计谥校┮阎菕佄锞€上一點，且M到C的焦點的距離為5.(1)求拋物線C的方程及點M的坐標；(2)如圖所示，過點的直線l與C交于A，B兩點，與y軸交于點Q，設，，求證：是定值.32．（2022秋·浙江紹興·高三紹興一中?？计谥校┮阎S圓的左?右焦點分別為點在上，的周長為，面積為.(1)求的方程.(2)設的左?右頂點分別為，過點的直線與交于兩點（不同于左右頂點），記直線的斜率為，直線的斜率為，則是否存在實常數(shù)，使得恒成立.33．（江蘇省無錫市20222023學年高三上學期期中）已知的兩個頂點A，B的坐標分別是且直線PA，PB的斜率之積是，設點P的軌跡為曲線H.(1)求曲線H的方程；(2)經(jīng)過點且斜率為k的直線與曲線H交于不同的兩點E，F(xiàn)（均異于A，B），證明：直線BE與BF的斜率之和為定值.34．（2023屆湖北省華中師范大學第一附屬中學高三上學期期中）已知橢圓，四點，，中恰有三點在橢圓上．(1)求橢圓的方程；(2)設直線過橢圓右焦點交橢圓于A，兩點，在軸上是否存在一定點使得為定值，若存在，求出點的坐標，若不存在，請說明理由．定直線問題35．（2022秋·黑龍江牡丹江·牡丹江一中上學期期中）以橢圓的四個頂點所圍成的四邊形的面積為，一個焦點(1)求橢圓的標準方程(2)過F的直線與橢圓C交于A，B兩點，是否存在一條定直線：，使得上的任何一點P都滿足PA，PF，PB的斜率成等差數(shù)列？若存在，求出直線的方程，若不存在說明理由36．（重慶市楊家坪中學2023屆高三上學期期中）已知直線，圓.(1)證明：直線與圓相交；(2)設直線與的兩個交點分別為、，弦的中點為，求點的軌跡方程；(3)在（2）的條件下，設圓在點處的切線為，在點處的切線為，與的交點為.證明：Q，A，B，C四點共圓，并探究當變化時，點是否恒在一條定直線上?若是，請求出這條直線的方程；若不是，說明理由.37．（2022秋·山東濟寧·高三統(tǒng)考期中）已知拋物線和圓，傾斜角為的直線過焦點，且與相切.(1)求拋物線的方程；(2)動點在的準線上，動點在上，若在點處的切線交軸于點，設，證明點在定直線上，并求該定直線的方程.38．（海南省瓊海市嘉積第三中學2023屆高三上學期期中）已知橢圓：的離心率為，右焦點為，A，B分別為橢圓的左、右頂點.(1)求橢圓的方程；(2)過點作斜率不為0的直線，直線與橢圓交于P，Q兩點，直線AP與直線BQ交于點M，記AP的斜率為，BQ的斜率為.求證：①為定值；②點M在定直線上.39．（遼寧省重點高中沈陽市郊聯(lián)體20222023學年高三上學期期中考試）已知雙曲線C：，直線l在x軸上方與x軸平行，交雙曲線C于A，B兩點，直線l交y軸于點D.當l經(jīng)過C的焦點時，點A的坐標為.(1)求C的方程；(2)設OD的中點為M，是否存在定直線l，使得經(jīng)過M的直線與C交于P，Q，與線段AB交于點N，，均成立；若存在，求出l的方程；若不存在，請說明理由.40．（2022秋·山西陽泉·高三統(tǒng)考期中）已知雙曲線C：的離心率為，過點的直線l與C左右兩支分別交于M，N兩個不同的點（異于頂點）．(1)若點P為線段MN的中點，求直線OP與直線MN斜率之積（O為坐標原點）；(2)若A，B為雙曲線的左右頂點，且，試判斷直線AN與直線BM的交點G是否在定直線上，若是，求出該定直線，若不是，請說明理由41．（2022秋·福建福州·高三校聯(lián)考期中）已知橢圓的左、右頂點分別為，，過點的直線l與橢圓C交于異于，的M，N兩點，當l與x軸垂直時，．(1)求橢圓的標準方程；(2)若直線與直線交于點P，證明點P在定直線上，并求出該定直線的方程．向量共線問題42．（廣東省深圳市南山區(qū)北京師范大學南山附屬學校2023屆高三上學期期中）已知拋物線的焦點為，斜率為的直線與交于兩點，與軸交點為P.(1)若，求的方程；(2)若，求.43．（海南省瓊海市嘉積中學2023屆高三上學期期中）設分別為橢圓的左、右焦點，過的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，直線l的傾斜角為45°，到直線l的距離為.(1)求橢圓C的焦距；(2)如果，求橢圓C的方程.44．（2022秋·山東淄博·高三統(tǒng)考期中）已知是橢圓的左頂點，是橢圓上不同的兩點．(1)求橢圓的焦距和離心率；(2)設，若，且、、和、、分別共線，求證：三點共線；(3)若是橢圓上的點，且，求的面積．45．（2022秋·河南安陽·高三統(tǒng)考期中）已知雙曲線經(jīng)過點，雙曲線的右焦點到其漸近線的距離為2.(1)求雙曲線的方程；(2)已知為的中點，作的平行線與雙曲線交于不同的兩點，直線與雙曲線交于另一點，直線與雙曲線交于另一點，證明：三點共線.46．（2022秋·安徽阜陽·高三安徽省臨泉第一中學?？计谥校┌⒒椎拢ü?87年公元前212年，古希臘）不僅是著名的哲學家、物理學家，也是著名的數(shù)學家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.在平面直角坐標系中，橢圓：的面積為，兩焦點與短軸的一個頂點構成等邊三角形.過點的直線與橢圓C交于不同的兩點A，B.(1)求橢圓C的標準方程；(2)設橢圓C的左、右頂點分別為P，Q，直線PA與直線交于點F，試證明B，Q，F(xiàn)三點共線.47．（廣東省羅定中學城東學校2023屆高三上學期期中）已知橢圓C：的離心率，點，為橢圓C的左、右焦點且經(jīng)過點的最短弦長為3．(1)求橢圓C的方程；(2)過點分別作兩條互相垂直的直線，，且與橢圓交于不同兩點A，B，與直線交于點P，若，且點Q滿足，求的最小值．48．（2022秋·山東臨沂·高三統(tǒng)考期中）已知橢圓Γ：，點分別是橢圓Γ與軸的交點（點在點的上方），過點且斜率為的直線交橢圓于兩點．(1)若橢圓焦點在軸上，且其離心率是，求實數(shù)的值；(2)若，求的面積；(3)設直線與直線交于點，證明：三點共線．面積問題49．（山西省運城市2023屆高三上學期期中）已知分別是橢圓的左、右焦點，是橢圓上一點，且.(1)求橢圓的方程；(2)延長，并與橢圓分別相交于兩點，求的面積.50．（江蘇省常州市橫林高級中學20222023學年高三上學期期中）已知橢圓的中心在坐標原點O，焦點在軸上，離心率，且________．在①過點；②過焦點且垂直于長軸的弦的長度為1；③長軸長為4；這三個條件中任選一個，補充在上面問題中，并解答．(1)求橢圓的標準方程；(2)過右焦點F的直線l交橢圓于P、Q兩點．當直線l的傾斜角為時，求的面積．51．（河北省石家莊精英中學2023屆高三上學期期中）已知圓心在軸上移動的圓經(jīng)過點，且與軸、軸分別交于、兩個動點，記點．(1)求的軌跡方程；(2)若直線與曲線交于、兩點，為坐標原點，求的面積．52．（廣東省江門市新會區(qū)新會陳經(jīng)綸中學20222023學年高三上學期期中）已知點在橢圓C：上，點在橢圓C內(nèi).設點A，B為C的短軸的上、下端點，直線AM，BM分別與橢圓C相交于點E，F(xiàn)，且EA，EB的斜率之積為.(1)求橢圓C的方程；(2)記，分別為，的面積，若，求m的值.53．（河北省張家口市第一中學2023屆高三上學期期中）已知離心率的橢圓C：的一個焦點為．(1)求橢圓C的方程；(2)若斜率為1的直線l交橢圓C于A，B兩點，且，求直線l的方程．(3)設M是橢圓C上的點，，為橢圓的焦點，，求的面積．54．（江蘇省南通市如皋市20222023學年高三上學期期中）在直角坐標系中,直線是雙曲線的一條漸近線,點在雙曲線上,設為雙曲線上的動點,直線與軸相交于點,點關于軸的對稱點為,直線與軸相交于點.(1)求雙曲線的方程;(2)在軸上是否存在一點,使得,若存在,求點的坐標;若不存在,說明理由;(3)求點的坐標,使得的面積最小.55．（湖南省岳陽市第一中學2023屆高三上學期期中）在平面直角坐標系中，過橢圓M：的右焦點的直線交M于A，B兩點，P為AB的中點，且OP的斜率為.(1)求橢圓M的方程;(2)C，D為M上兩點，若四邊形ACBD的對角線，求四邊形面積的最大值.切線問題56．（湖南省常德市五校聯(lián)盟20222023學年高三上學期期中）設拋物線的焦點為F，過F且斜率為1的直線l與E交于A，B兩點，且．(1)求拋物線E的方程；(2)設為E上一點，E在P處的切線與x軸交于Q，過Q的直線與E交于M，N兩點，直線PM和PN的斜率分別為和．求證：為定值．57．（黑龍江省大慶中學20222023學年高三上學期期中）已知點，點，點是軸上的動點，點在軸上，直線與直線垂直，關于的對稱點為．(1)求的軌跡的方程；(2)過的直線交于兩點，在第一象限，在處的切線為交軸于點，過作的平行線交于點是否存在最大值？若存在，求直線的方程；若不存在，請說明理由．58．（河北省五個一聯(lián)盟2023屆高三上學期期中）點為拋物線上一點，為其焦點，已知．(1)求與的值；(2)以點為切點作拋物線的切線，交y軸于點N，求的面積．59．（河北省唐山市第十中學2023屆高三上學期期中）已知雙曲線為其左右焦點，點為其右支上一點，在處作雙曲線的切線.(1)若的坐標為，求證：為的角平分線；(2)過分別作的平行線，其中交雙曲線于兩點，交雙曲線于兩點，求和的面積之積的最小值.60．（湖北省鄂北六校20222023學年高三上學期期中）如圖，已知平行四邊形ABCD與橢圓相切，且，，，.(1)求橢圓的方程；(2)若點是橢圓上位于第一象限一動點，且點處的切線與AB，AD分別交于點E，F(xiàn).證明：為定值.61．（2022秋·江蘇淮安·高三統(tǒng)考期中）已知橢圓．(1)求該橢圓的離心率；(2)設點是橢圓C上一點，求證：過點P的橢圓C的切線方程為；(3)若點M為直線l：x=4上的動點，過點M作該橢圓的切線MA，MB，切點分別為，求△的面積的最小值．62．（2022秋·遼寧沈陽·高三沈陽市第一二〇中學?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標系中，點在橢圓：上，從原點向圓作兩條切線分別與橢圓交于點，，若直線，的斜率分別為，，且．(1)求圓的半徑；(2)探究是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由．1．（2022秋·河南洛陽·高三洛陽市第一高級中學上學期期中）已知拋物線的焦點為，過作斜率為的直線與交于兩點，當時，.(1)求拋物線的標準方程；(2)設線段的中垂線與軸交于點，拋物線在兩點處的切線相交于點，設兩點到直線的距離分別為，求的值.2．（江蘇省鹽城市四校2023屆高三上學期期中）已知橢圓的兩焦點分別為，A是橢圓上一點，當時，的面積為.(1)求橢圓的方程；(2)直線與橢圓交于兩點，線段的中點為，過作垂直軸的直線在第二象限交橢圓于點S，過S作橢圓的切線，的斜率為，求的取值范圍.3．（2022秋·江蘇南通·高三統(tǒng)考期中）已知圓：與軸相交于，兩點（點在軸的上方），過點作圓的切線，是平面內(nèi)一動點，過點作的垂線，垂足為，且，記點的運動軌跡為曲線.(1)求曲線的方程；(2)過點且斜率不為0的直線與曲線相交于，兩點，線段的垂直平分線交軸于點，證明：為定值.4．（2022秋·云南·高三云南民族大學附屬中學?？计谥校┮阎獧E圓經(jīng)過點，且離心率為，為橢圓的左焦點，點為直線上的一點，過點作橢圓的兩條切線，切點分別為，，連接，，．(1)證明：直線經(jīng)過定點；(2)若記、的面積分別為和，當取最大值時，求直線的方程．參考結論：為橢圓上一點，則過點的橢圓的切線方程為．5．（遼寧省重點高中沈陽市郊聯(lián)體20222023學年高三上學期期中考試）已知橢圓C：的離心率為，兩焦點與短軸兩頂點圍成的四邊形的面積為．(1)求橢圓C的標準方程；(2)我們稱圓心在橢圓C上運動，半徑為的圓是橢圓C的“衛(wèi)星圓”，過原點O作橢圓C的“衛(wèi)星圓”的兩條切線，分別交橢圓C于A，B兩點，若直線OA，OB的斜率存在，記為，．①求證：為定值；②試問是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由．6．（2022秋·江蘇南通·高三?？计谥校┮阎獎訄A恒過定點，圓心到直線的距離為．(1)求點的軌跡的方程；(2)過直線上的動點作的兩條切線，切點分別為，證明：直線恒過定點．7．（福建省南