高中數(shù)學高三素材近年全國高考數(shù)學試題分析小結(jié)-高中數(shù)學

近年全國高考數(shù)學試題分析小結(jié)

命題走勢(1)(1)三年的“集合”考了哪些內(nèi)容?

集合是近代數(shù)學的基礎，簡易邏輯為數(shù)學學習和運用知識解決問題提供了知識上的準備，是歷年高

考的必考點.縱觀近三年的高考試題，集合、簡易邏輯以選擇題、填空題為主，難度多位于中、低檔.

本章的考查的重點集中體現(xiàn)在以下幾點：

一、集合本身的知識，即集合本的有關(guān)概念、關(guān)系運算等

1.(07全國I)設e7?,集合{l,a+b,a}={0,—,Z?},則b-a=()

a

A.1B.-1C.2D.-2

【解答】C先看數(shù)字0.只有a+40或a=0(a為分母,不合題意，舍去).則只有片披再看第二個集合中

的"只有對應第一個集合中的1,h-a=2.答案為C.

【說明】考查了集合的概念中的元素的三性.

2.(07江西)若集合M={0,1,2},N={(x,y)|x-2y+lK)且x-2y-lW0,x,yGM},則N中元素的個

數(shù)為()

A.9B.6C.4D.2

【解答】C因為x、yCM,故把所有可能共9種情況代入驗證即可.

【說明】關(guān)于集合元素個數(shù)的問題.

二、對集合語言與集合思想的運用，如方程與不等式的解集、函數(shù)定義域和值域、曲線間的相交問題等，

也即集合作為工具在數(shù)學中的應用。

3.(07年山東)已知集合加={-1,1},N=?xg<2川<4,xeZ>,則Mp)N=()

A.{-1,1}B.{-1}C.{0}D.{-1,0}

【解答】集合例中沒有元素0,因此C、D排除，再看1是否是N中元素，代入驗算，不合適，因此A

被排除.答案為B.

【說明】此題中集合M是用列舉法給出的，不要弄錯哦！

4.(07年安徽)若4=卜￡2|2422T<8},fi=1%€R||iOg2x|>l},則AC(CR8)的元素個數(shù)為

(A)0(B)1(C)2(D)3

【解析】CA={xeZ|2422T<8}={o,]},臺=卜eR||log?x|>1}={X|x>2或0<x<；}，

AC(CRB)={0』},其中的元素個數(shù)為2,選C。

【說明】考查了補集、交集的運算.

5.(07年湖北)設P和Q是兩個集合，定義集合P-Q={x|xeP,一旦x史Q},如果P={x|log2x<l},Q={x||x-2|<l),

那么P-Q等于

A.{x|O<x<l}B.{x|O〈xWl}C.{x|lWx<2}D.{x|2Wx<3}

【解答】看關(guān)鍵數(shù)1：1GP而1eQ,所以A、D排除.當x=L滿足條件.答案為B.

2

【說明】新定義一個集合的運算規(guī)則，要求考生現(xiàn)場發(fā)揮.

6.(07北京)已知集合A={%,42，。3/",。*}(%22)其中為€2(7=1,2/一,％),由A中的元素構(gòu)成兩

個相應的集合S=6A,beA,a+b&A\,T={(a力)|a6A,beA,a-b&A},其中(a,〃)是有序

實數(shù)對，集合S和T的元素個數(shù)分別為孫〃.若對于任意的。eA,總有-。定A,則稱集合A具有性質(zhì)P.

(I)檢驗集合{0,1,2,3}與{-1,2,3}是否具有性質(zhì)P,并對其中具有性質(zhì)尸的集合寫出相應的集合S和IT；

(II)對任何具有性質(zhì)P的集合A,證明：n<M"F；

2

(III)判斷相和〃的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

【解答】(I)解：集合也,1,2,3}不具有性質(zhì)P,{-1,2,3}具有性質(zhì)P,其相應的集合S和丁是

5={(-1,3),(3.-1)U={(2-1),(2,3))；

(II)證明：首先由A中的元素構(gòu)成的有序?qū)崝?shù)對共有Y個，因為0eA,(七,aJwT。=1,2,…,竹，

又因為當aGA時，一〃eA,

所以當(四,叫)eT時,(叫,火)任7(i=1,2,…㈤，于是集合T中的元素的個數(shù)最多為

〃=*2_。=劌左_1)，即〃4M7)

(III)解：機=〃，證明如下：

①對于(a,/?)eS,根據(jù)定義則a+beA,從而(a+仇6)eT

如果(a,。)與(c,d)是S中的不同元素，那么a=c與b=d中至少有一個不成立，于是a+A=c+d與

b=d中至少有個不成立，故(a+b,b)與(c+d,d)也是T中的不同元素.可見S中的元素個數(shù)不多于T

中的元素個數(shù)，即加4”；

②對于(a,h)wT,根據(jù)定義aeAgeA,貝服一匕wA,從而(a-仇b)eS

如果(a,b)與(c,d)是T中的不同元素，那么a=c與8=d中至少有一個不成立，于是a-b=c-"與

b=d中至少有一個不成立，故(a-仇防與(c-d,d)也是S中的不同元素.可見T中的元素個數(shù)不多于S

中的元素個數(shù)，即〃W〃z.

由①②可知加=”.

【說明】本題以集合為載體，涉及到它的性質(zhì)，考查了考生的知識遷移能力和抽象思維能力.

三、命題和充要條件的知識，命題之間的邏輯關(guān)系以及判斷是非的能力和推理能力

7.（07湖北）已知〃是/?的充分條件而不是必要條件，q是r的充分條件，s是r的必要條件，q是s的

必要條件?，F(xiàn)有下列命題：①s是q的充要條件；②p是q的充分條件而不是必要條件；③廠是q的必要

條件而不是充分條件；④是「s的必要條件而不是充分條件；⑤r是s的充分條件而不是必要條件，則

正確命題序號是（）

A.①④⑤B.①②④C.②③⑤D.②④⑤B

【解答】B由題意，得

所以答案為B.

【說明】本題考查充要條件的概念及“邏輯非”命題.

8.（07江西）設p-./（x）=/+lnx+2f+機x+1在（0,+oo）內(nèi)單調(diào)遞增，q-機》-5,貝Up是q的

（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【解答】山題意知f'（x尸—+,+4%+加之0在（0,+8）上恒成立.

X

則機>—[e*+—+4x）恒成立.

當0<x4,時，令/+^+4x〉5;①

2x

當x>L時，令e*+」+4x>5.②

2x

綜合①②-1/+工+4二|的最大值要小于-5,不妨設為c.

\x）

不可能推出

但由皿2-5,可以推出m^c.

故B正確.

【說明】專題考查了函數(shù)與導數(shù)恒成立問題的綜合應用.

命題走勢（4）三年的“三角函數(shù)”考到怎樣難度?

三角函數(shù)的考查形式與特點主要有：

一、客觀題重基礎，有關(guān)三角函數(shù)的小題其考查重點是三角函數(shù)的概念、圖象與圖象變換、定義域

與值域、三角函數(shù)的性質(zhì)和三角函數(shù)的化簡與求值.

【例1】（2007年四川）下面有五個命題:

①函數(shù)ynsinSr-cos氣的最小正周期是兀.

②終邊在y軸上的角的集合是｛a|a=—,Z€Z|.

③在同一坐標系中，函數(shù)產(chǎn)sinr的圖象和函數(shù)y=x的圖象有三個公共點.

④把函數(shù)y=3sin（2x+巴）的圖象向右平移-得到y(tǒng)=3sin2x的圖象.

36

⑤函數(shù)y=sin（x-］）在［0,兀）上是減函數(shù).

其中真命題的序號是①④（（寫出所有真命題的編號））

解答：?y=sin4x-cos4x=sin2x-cos2x=-coslx,正確；②錯誤；?）?=sinx,y=tanx和y=x

在第一象限無交點，錯誤；④正確；⑤錯誤.故選①④.

【點評】本題通過五個小題全面考查三角函數(shù)的有關(guān)概念、圖象、性質(zhì)的基礎知識.三角函數(shù)的概念，

在今年的高考中，主要是以選擇、填空的形式出現(xiàn)，每套試卷都有不同程度的考查.預計在2008年高考中,

三角函數(shù)的定義與三角變換仍將是高考命題的熱點之一.

7T

【例2】（2007年安徽）函數(shù)/（x）=3sin（2x—§）的圖象為C：

①圖象C關(guān)于直線x=U萬對稱；

12

7FSil

②②函數(shù)/（x）在區(qū)間（一吉,雪）內(nèi)是增函數(shù)；

77

③由y=3sin2x的圖象向右平移g個單位長度可以得到圖象C.

以上三個論斷中正確論斷的個數(shù)為

（A）0（B）1（C）2（D）3

TT7T\］

解答C①圖象C關(guān)于直線2x——=左》+—對稱，當人1時，圖象C關(guān)于犬=一萬對稱；①正確；②X

3212

TTS1T7T7TTTTTSTT

W（—2L,把）時，2x—工6（一巴，二），函數(shù)/（X）在區(qū)間（一三，把）內(nèi)是增函數(shù)；②正確；③由

12123221212

TT24

y=3sin2x的圖象向右平移§個單位長度可以得到y(tǒng)=3sin（2x---）,得不到圖象，③錯誤；；.正確

的結(jié)論有2個，選C.

【點評】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)及三角函數(shù)圖象的平移變換.

二、解答題重技能.三角函數(shù)解答題是高考命題的常考常新的基礎性題型，其命題熱點是章節(jié)內(nèi)部的三

角函數(shù)求值問題；命題的亮點是跨章節(jié)的學科綜合命題.

【例3】（2007年安徽）已知0<a<：,/為/*）=85（2%+1）的最小正周期，

tan卜+?1b=(cosa,2),且〃?力=加?

求2cos2a+sin2(a+/7)的值

cos。一sin。

C兀

解答:因為P為f(x)=cos2xH—的最小正周期，故/?二兀.

8

因a功=機，又4功=8$。72111(/+；4)-2.故cosa?tan(a+；1￡)=機+2.

4

TT

由于0＜。＜一，所以

4

2cos2a+sin2(a+/7)_2cos2a+sin(2a+2K)

cosa-sinacosa-sina

2cos2a+sin2a2cosa(cosa+sina)

cosa-sinacosa-sina

c1+tana

2cosa-----------=2cosa.tan[a+；)=2(2+m).

1-tana

【點評】本小題主要考查周期函數(shù)、平面向量數(shù)量積與三角函數(shù)基本關(guān)系式，考查運算能力和推理能力.屬

于三角函數(shù)求值問題.

本類問題一般有三種形式：①給式求值，②給值求值，③給值求角.其一般解法是：將角化為特殊角

或?qū)⑷呛瘮?shù)化為同角、同名函數(shù)進行合并與化簡，最后求出三角函數(shù)的值來.

【例4】(2007年天津)已知函數(shù)/(x)=2cosx(sinx-cosx)+1,xGR.

(I)求函數(shù)/（x）的最小正周期;

7T3兀

（n）求函數(shù)/（x）在區(qū)間年上的最小值和最大值.

解答:(I)解：/(%)=2cosx(sinx-cosx)+1=sin2x-cos2x=V2sinf2x-1.

因此,函數(shù)/（X）的最小正周期為71.

兀3兀3兀

（n）解法-：因為/（X）=J5sin在區(qū)間上為增函數(shù)，在區(qū)間—上為減函數(shù),

48884

又?。?/p>

3兀五，于V2sin37171-V2cos—=-1

8T-44

故函數(shù)/⑴在區(qū)間］年上的最大值為亞最小值為-L

解法二：作函數(shù)/（x）=J5sin2x-巴在長度為一個周期的區(qū)7間19上兀的圖象如下:

484

由圖象得函數(shù)/CO在區(qū)間上的最大值為JL最小值為引=-i.

【點評】本小題考查三角函數(shù)中的誘導公式、特殊角三角函數(shù)值、兩角差公式、倍角公式、函數(shù)

y=Asin(?yx+e)的性質(zhì)等基礎知識，考查基本運算能力.

三、考應用融入三角形之中.解三角形題目既考查三角形的知識與方法，又考查運用三角公式進行恒

等變換的技能.

【例5】(2007年四川)如圖，小以1是同一平面內(nèi)的

三條平行直線，(與6間的距離是1，6與A間的距離是2,

正三角形A8C的三頂點分別在/卜卜、上，則AABC的邊長

是()

(A)2石(B)半

(C)亞(D)國

43

解答：D因為小心A是同.平面內(nèi)的三條平行直線，

/1與/2間的距離是1,12與h間的距離是2,所以過A作

，2的垂線，交6、/3分別于點。、E,如圖，則

ZBAC+ZCAE,即/BAE?=60°+/CAE,記正三角形ABC

的邊長為兩邊取余弦得：

—=cos60°cosCAE-sin600sinCAE,

a

整理得—9)=1,解之得,a=當i,故選D.

【點評】本題以平面幾何為平臺，主要考查運用三角函數(shù)的相關(guān)知識解決實際問題的能力.本題意圖與新

課標接軌，需引起高三備考學生的密切關(guān)注.

【例6】(2007年全國I)設銳角三角形ABC的內(nèi)角4B,C的對邊分別為a,b,c,a=2bsinA.

(I)求8的大??；

(II)求cosA+sinC的取值范圍.

解：(I)由a=2bsinA,根據(jù)正弦定理得sin4=2sin8sinA,所以sin5=」，

2

jr

由XABC為銳角三角形得B=一.

6

(II)cosA+sinC=cosA+sin-

I6

-cosA.+si.n71—+A.

16

cosA+—cosA+——sinA

22

Gsin

由△ABC為銳角三角形知,

所以，sin（A+巴]<—.由此有—<Jisin（A+巴]<-x^3，

2[3}22[3）2

（ha、

所以，cosA+sinC的取值范圍為—.

（22）

【點評】（1）問考查正弦定理的簡單應用，當屬容易題，（2）問主要考查了三角函數(shù)兩角和與差的正

余弦公式應用，但題干中△A8C為銳角三角形是不可忽略的條件，必須在分析題目時引起足夠的重視.

四、綜合體現(xiàn)三角函數(shù)的工具性作用.雖然工具性作用有所減弱，但是對它的考查還會存在.這是由于

近年高考出題突出以能力立意，加強了對知識的應用性地考查經(jīng)常在知識的交匯點處出題.

【例7】如圖，甲船以每小時30&海里的速度向正北方航行，/

乙船按固定方向勻速直線航行，當甲船位于4處時一，乙船位于

甲船的北偏西105°方向的四處，此時兩船相距20海里，當甲船

航行20分鐘到達4處時，乙船航行到甲船的北偏西120°方向

105,

的鳥處，此時兩船相距10夜海里，問乙船每小時航行多少海里？

解法一：如圖，連結(jié)4圈，由已知A2&=IOJ5,

=30V2x—=1072,

60

AtA2=,

又ZAtA2B2=180°-120°=60°,

.?.△AA24是等邊三角形,

AtB2==I0V2,

由已知，A[B[=20，

/用402=1050-60°=45',

在△4。耳中，由余弦定理,

用或=A/；+4或_24與AiB2cos45°

=202+(10V2)2-2x20x1072x^-

=200.

，B02=10&.

因此，乙船的速度的大小為竺也x60=30及（海里/小時）.

20

答：乙船每小時航行30底海里.

解法二：如圖,連結(jié)二耳,由已知=20,A,A2=3oV2x—=10>/2,ZB.A.Aj=105",

60

cos105°=cos(450+60°)

=cos45°cos60°-sin45°sin60°

V2(l-V3)

=----------,

4

sinl050=sin(45o+60o)

=sin45°cos600+cos45°sin60°

：血(1+6)

4'

在△444中，由余弦定理，

A2B^A2B；+A,A^-2A}BiA,A,cos105°

=(10揚2+202一2x1。底x20x^^^

=100(4+273).

=10(1+73).

由正弦定理

Afi20立(1+6)V2

sinNA&B]sinNB144

A2%10(1+73)4

NA4B1=45°,即ZB,AS,=60°-45°=15°,

cos15°=sin105°=L.

4

在△臺出當中，由已知4反=100,由余弦定理,

B［B；=+A2B；+2A2BiA2B2cos15°

=102(l+V3)2+(10V2)2-2x10(1+V3)xl0V2x^(1+^

4

=200.

B［B2=I0V2,

乙船的速度的大小為竺也x60=30JI海里/小時.

20

答：乙船每小時航行30近海里.

【點評】本題是解斜三角形的應用題，考查了正、余弦定理的應用，等邊三角形的判定.求解本類問題時

應按照山易到難的順序來求解，最重要的是首先要對圖形進行有效分割，便于運用正、余弦定理.

由于近年高考題突出以能力立意，加強對知識和應用性的考查，故常常在知識的交匯點處出題用三角

函數(shù)作工具解答應用性問題雖然是高考命題的一個冷點，但在備考時也需要我們?nèi)リP(guān)注.

【例8】已知函數(shù)/(》)=》2'-2，(犬+》)+》2+2/+1,g(x)=；/(x).

⑴證明：當，<2行時，g(x)在R上是增函數(shù)；

(1D對于給定的閉區(qū)間［a,b］,試說明存在實數(shù)%,當?〉人時，g(x)在閉區(qū)間［小切上是減函數(shù)；

3

(III)證明：/(X)2］,

解答：(I)證明：由題設得g(x)=e2，—KeX+l)+x,g'(x)=2e2x—fe、+L

又由2ex+e-》2應，且tv2行得tv2ex+e-x,即

g'(x)=2e2x_面+l>0.

由此可知，g(x)為R上的增函數(shù).

(H)證法一：因為g'(x)<0是g(x)為減函數(shù)的充分條件，所以只要找到實數(shù)上使得

g'(x)=2e2x-te'+1<0,即t>2e'+e'x

在閉區(qū)間［a,6］上成立即可.

因此產(chǎn)2/+e-*在閉區(qū)間［a,6］上連續(xù)，故在閉區(qū)［a,6］上有最大值，設其為衣，衣時，g'(x)<0

在閉區(qū)間［a,分上恒成立，即g(x)在閉區(qū)間［a,6］上為減函數(shù).

證法二：因為g'(x)<0是g(x)為減函數(shù)的充分條件，所以只要找到實數(shù)片使得，>“時

g'(x)=2e2x-tex+KO,

在閉區(qū)間［a,6］上成立即可.

令m=e",則g'(x)<0(xe［a,h］)當且僅當

2m2-tm+1<0(/Me［e",eb］).

而上式成立只需

'2e2a-tea+\^Q,『>2］+""

<即a〈

2e2h-r?+1^0,［t>-2eb+e-h

成立.取2e"+"a與+中較大者記為A,易知當￡>★時，g'(x)<0在閉區(qū)［a,6］成立，即g(x)

在閉區(qū)間［a,6］上為減函數(shù).

(III)證法一:設F(t)=2--2(ex+x)t+e2x+?+1,即

FS=2(t-紅黑)2+1(1-x)2+1,易得

1,

F(t)^-(ex-x)2+l.

令"(x)=e*—x,則H'(X)=ex一x,易知"'(0)=0當x>0時，H'")>0;當x<0,"'")<0,

故當尸0時，"(X)取最小值，"(0)=1所以

—1—x)~+125，

33

于是對任意/、t,有即/(x)》］.

證法二：設尸。)=2〃—2(/+x)f+e2*+F+1,

3

F(t)>-,當且僅當

2t2-2(ex+x)t+e2x+x2>0

只需證明

4(ex+x)2-2x4(e2x-x2-^0,即

(e,-x)22l

以下同證法一.

證法三：設尸。)=2"—2("+x)f+e2、+x2+i,則

F'(t)^4t-2(er+x).

e"+無e"+xex4-xex

易得尸(土于￡)=0.當。幺尸時，F(xiàn),(r)>0；［〈上襄時，F(xiàn)'(t)<0,故當仁彳尸”)取最

小值ge-xA+i.即

F(r)^|(ex-x)2+l.

以下同證法一.

證法四：/(x)=(e*—f)2+(x—/尸+1

設點/、6的坐標分別為(x,")'(0),易知點6在直線尸x匕令點力到直線片離為"，則

“X)=|AB\2+1212+1=](e*-x)2+l.

以下同證法一.

【點評】本題是遼寧卷的壓軸題，在三角函數(shù)，導數(shù)，最值，不等式恒成立的有關(guān)問題的交匯處命

題，真正體現(xiàn)了從整體的高度和思維價值的高度上設計試題的宗旨，注重了學科的內(nèi)在聯(lián)系和知識的綜合

性.

(5)三年的“平面向量”考了哪些內(nèi)容？

平面向量是高中數(shù)學的三大數(shù)學工具之一，具有代數(shù)和幾何的雙重性.向量是數(shù)形結(jié)合的典范，是高考

數(shù)學綜合題命制的基本素材和主要背景之一，也是近年高考的熱點.主要涉及的知識點有：

一、向量的加法與減法、實數(shù)與向量的積

向量基本概念及相關(guān)的基本理論在高考試題中可以以選擇、填空的形式出現(xiàn)，特別是向量加減法的運

算及其幾何意義在試題的難易程度上可以偏難一些。

【例1】(2006年北京卷)若三點A(2,2),B(a,0),C(0,b)(ab力0)共線，則工+1的值等于______________.

ab

解：AB=(a—2,—2),AC=(—2,b—2),依題意，有(〃-2)?(/?—2)—4=0

即ab—2a—2b=0所以工+'=—

ab2

【例2】(2006年上海)如圖，在平行四邊形ABCD中，下列結(jié)論中錯誤的是()

(A)AB=DCy--------7c

(B)AD+AB-AC{----------"B

(C)AB-ADBD

(D)AD+CB=0

解：由向量定義易得，(C)選項錯誤；AB-AD=DB.

二、向量的數(shù)量積與運算律

【例3】(2006年遼寧卷)設。(0,0),A(l,0),8(0,1),點尸是線段A8上的一個動點，而=2而，若

麗?麗之行而，則實數(shù)X的取值范圍是()

161BBB

(A)-</l<l(B)1----<2<1(C)-<2<1+—(D)1-----<A<1+—

222222

〃…AP=AAB=>aP=(l-A)dA+2OB=(l-2,2),

解答：

方=而_Q=(1_幾)而=(幾_i,i_丸),Q=4而=(_4幾)

OPAB>PAPB?(1-2,2)(-1,1)>(2,-2)(2-l,l-2)^222-4A+l<0

解得：1一"W幾41+乃，因點P是線段AB上的一個動點，所以0<2<1，即滿足條件的實數(shù)2的取值

22

后

范圍是1一"WA<1，故選擇答案B.

2

【點評】本題考查向量的表示方法，向量的基本運算，定比分點中定比的范圍等等.

【例4】(2006年遼寧)已知點4(芭,以)，6(々,力)(中2。0)是拋物線y2=2px(p〉0)上的兩個動點,。

是坐標原點晌量方,為滿足"+西=屋-西.設圓C的方程為

，+/一(占+々)》-(弘+乃)〉=0

(I)證明線段A8是圓C的直徑；

【解析】(I)證明1:-：\dA+OB\=^dA-OB\,：.(OA+()B)2=(OA-OB)2

.2.■--->2.2,---*----2

OA+20AOB+OB=OA-20A0B+0B

整理得：OAOB=0

x

-'-\-x2+yl-y2=0

設M(x,y)是以線段AB為直徑的圓上的任意一點，則赤?麗=0

即(x-xJ(x-x2)+(y-M)(y-%)=o

整理得:/+y2_(須+》2)x-(M+y2)y=0

故線段AB是圓C的直徑

證明2:|況+麗||刀—礪|(04+OB)2=(OA-OB)2

''--2‘一’一2一2-'’一’一2

OA+20A0B+0B=OA-20A0B+0B

整理得：OAOB^O

‘Xi=0.....(1)

設(x,y)是以線段AB為直徑的圓上則

即^^—--~—=-l(xHX|,XH%2)

x-x2x-x}

去分母得：(X—X1)(X—X2)+(y-y)“一%)=°

點(x,,M),(石,％),。2,x)(X2,%)滿足上方程，展開并將(1)代入得：

22

x+y-(xi+x2)x-(yl+y2)y=0

故線段A5是圓。的直徑

證明3:?.■\OA+OB\=^)A-OB\,：.(dA+OB)2=(OA-OB)2

'一2‘一’'一’一212,—‘一’?一2

OA+20A0B+0B=0A-20A0B+0B

整理得：OAOB^O

-x2+yx-y2=0……(1)

以線段AB為直徑的圓的方程為

(x-巧汩+(y-%與=:[(』-'2尸+(%—%了]

展開并將(1)代入得：

，+/一(占+々)》-(弘+力力=0

故線段AB是圓C的直徑

【點評】本小題考查了平面向量的基本運算.

三、兩點間的距離公式、線段的定比分點與圖形的平移

[例5](2005年全國卷)點P在平面上作勻速直線運動，速度向量v=(4,-3)(即點P的運動方向與v

相同，且每秒移動的距離為M個單位).設開始時點P的坐標為(-10,10),則5秒后點尸的坐

標為

(A)(-2,4)(B)(-30,25)(C)(10,-5)(D)(5)-10)

解：設5秒后點尸運動到點A,則PA^PO+OA^5V(20,-15),

OA=(20,-15)4-(-10,10)=(10,-5),選?)

[例6](2006年湖北卷)設函數(shù)/(x)=a?(5+c),其中向量0=(sinx,-cosx),b=(sinx,?3cosx),

c=(-cosx,sinx),x^R.

(I)求函數(shù)f(x)的最大值和最小正周期；

(11)將函數(shù)/(x)的圖像按向量d平移，使平移后得到的圖像關(guān)于坐標原點成中心對稱，求長度最小

的4

解：(I)由題意得，f(x)=a-(Z>+c)=(siav,-cosx)(sinx-cosx,siar—3cosx)

—sin2x—2sinxcosx+3cos2x=2+cos2x—sin2x=2+V2sin(2x+/

4

所以，/)的最大值為2+痣，最小正周期是券=萬.

(II)由sin(2x+網(wǎng))=0得2x+四=k.?，BPx=---,ZreZ,

4428

十日，/k兀3乃I|I,kjr37r2?.~

于是d=(―-—，-2),|7J|=(―-—)2+4,A：GZ.

Zovzb

因為人為整數(shù)，要使圖最小，則只有k=1,此時”=(-p-2)即為所求.

【點評】本小題主要考查平面向量數(shù)量積的計算方法、三角公式、三角函數(shù)的性質(zhì)及圖像的基本知識,

考查推理和運算能力。

四、正弦定理、余弦定理、解斜三角形

TT

【例7】(2005年江蘇卷)Z\ABC中，A=一,8C=3,則4ABC的周長為

3

(A)4V3sin(S+y)+3(B)4^/3sin(5+—)+3

6

兀

(C)6sin(B+y)+3(D)6sin(B+—)+3

AT3l

解答：在A4BC中，由正弦定理得：——=〒，化簡得AC=2Qsin8,

sin873

2

-------------=%，化簡得AB=2sin(——B),

sin［乃-(8+")xl3

32

所以三角形的周長為：3+AC+AB=3+2百sin6+2百sin(胃-B)

=3+3-73sinB+3cosB=6sin(B+^-)+3.故選D.

【點評】本題考查了在三角形正弦定理的的運用，以及三角公式恒等變形、化簡等知識的運用.

3

【例8】(2006年天津卷)如圖，在AA6C中，AC=2,BC=1,cosC=—.

4

(1)求AB的值；

(2)求sin(2A+C)的值.

解答：(I)由余弦定理

3

AB2AC2+BC2-2AC.BC.cosC=4+l-2x2xlx—=2.

4

(II)山cosC且0<C〈乃，得sinC=Vl-cos2C=

44

卜丁》士由ABBC..BCsinCV14

由正弦定理-----=-----，解得sinA=--------=

sinCsinAAB8

cosA=由倍角公式sin2A=sin2A-COSA=^紅

816

cos2A=l-2sin2A-—,故sin(2A+C)=sin2AcosC+cos2AsinC=

168

【點評】本小題考查同角三角函數(shù)關(guān)系、兩角和公式、倍角公式、正弦定理、余弦定理等基礎知識.考查

基本運算能力及分析和解決問題的能力.

五、平面向量的工具性應用

【例9】（2007年四川卷）設片、B分別是橢圓、+〉'2=1的左、右焦點.

（1）若P是該橢圓上的一個動點，求PF1%的最大值和最小值;

（H）設過定點M（0,2）的直線/與橢圓交于不同的兩點A、B,且NAOB為銳角（其中。為坐標原點），

求直線/的斜率上的取值范圍.

解答：（I）解法一：易知。=2,匕=l,c=JJ

所以耳卜6,0）,工（石,0）,設P（x,y）,則

=（-V3-x,-y）,（V3-x,-y）=x2+/-3=x2+l-y-3=^-（3x2-8）

因為xe[—2,2],故當x=0,即點P為橢圓短軸端點時，石子工有最小值—2

當x=±2,即點P為橢圓長軸端點時，西?麗有最大值1

解法二：易知a=2,b=l,c=也,所以片「百,0）,工（行,0）,設P（x,y）,則

|所『+|成”詞2

西鉉=冏.隹卜cos〃PE=叵川際.

222

=，(x+V3)+y+(x-V3)+/-12=f+y2_3(以下同解法一)

2__

（II）顯然直線x=0不滿足題設條件，可設直線/:y=fcv—2,4（M,%），8（%2，%），

y=kx-2

聯(lián)立＜%22]，消去y，整理得：（公+；卜+4履+3=0

4k3

X

&+無2=-------------7，玉?2=------T

k2+-k2+~

44

由△=（4k）2—4（女+；）x3=4/一3>0得：k<

B或人-2

22

又0°<ZA06<90°ocos/A05>Oo刀?歷〉0

1?OA?OB=x]x2+y]y2>0

2

23k2-8kA-k-+1

又=（3+2）（履2+2）=kx1x2+2&（再+/）+4=------------------+4=

k2+-P+-k2+-

444

3-k2+l

k2+-+>0,即22<4：.-2<k<2

4

故由①、②得-2<%或<2

22

【點評】本題主要考察直線、橢圓、平面向量的數(shù)量積等基礎知識，以及綜合應用數(shù)學知識解決問題及推

理計算能力.

由于向量具有幾何形式和代數(shù)形式的“雙重身份”，使向量與函數(shù)、三角函數(shù)、解析幾何、立體幾何

之間有著密切聯(lián)系.在高考中就著重突出了對向量與數(shù)學其他分支的結(jié)合考查.

同學們在平時的復習中，需要能熟練地掌握向量語言與其他數(shù)學語言之間的等價轉(zhuǎn)化.

命題走勢(6)

(6)三年的“不等式”考到怎樣難度？

不等式在高考中屬主體內(nèi)容，它與代數(shù)內(nèi)容聯(lián)系密切，高考中所占比例約為1075%.從近三年的高考

試題來看，考查的內(nèi)容及其難度主要以有以下幾點：

一、不等式的性質(zhì)、基本不等式和絕對值不等式的考查，大多出現(xiàn)在選擇題或填空題中，一般屬于容

易題或中檔題.因此，關(guān)于這一部分的知識，考生在備考中要注意理解并深刻記憶基本公式.

【例1】(2006年江蘇卷)設小從c是互不相等的正數(shù)，則下列等式中不但感辛的是

,11

(A)\a-b\<\a-c\+\b-c\(B)a"+—>a+—

aa

(C)\a-b\+-^—>2(D)y/a+3-V^+7<^a+2-^

a-b

解答：運用排除法，C選項h-耳+」一22,當a-b〈0時不成立。

a-b

【點評】本題主要考查.不等式恒成立的條件，由于給出的是不完全提干，必須結(jié)合選擇支，才能得出正確

的結(jié)論.運用公式一定要注意公式成立的條件，如果

a,beR,那么小+b222ab(當且僅當a=匕時取"="號)如果a,h是正數(shù)那么

a+b>疝(當且僅當a=卻寸取"="號).

2

[例2]（2007年陜西卷）某生物生長過程中，在三個連續(xù)時段內(nèi)的增長量都相等，在各時段內(nèi)平均增

長速度分別為V,,也心,該生物在所討論的整個時段內(nèi)的平均增長速度為

V1+v2+%匕匕匕

(A)(B)

33

（C）Vw?(D)

匕匕匕

解答：設三個連續(xù)時間段的時長分別為/4小3,依題意有V山=32=93=/,總的增長量為31,則

（111、3/3

h+t2+t3=l—+—+—.故該生物在所討論的整個時段內(nèi)平均增長速度為一--=--一F-

V+t+

1h%3）2h.L+±+l.

%v2v3

選D.

【點評】有些考生對平均增長速度和各段內(nèi)的增長速度不理解，這就要求考生注意理解教材中的算術(shù)平

均數(shù)，幾何平均數(shù)及調(diào)和平均數(shù)的大小關(guān)系，充分認識高考試題來源于教材又高于教材的意義，并在高三

備考階段，特別是一輪復習階段注重對課本知識的復習.

二、單純考查不等式的解法、不等式的證明的試題很少，通常以不等式與函數(shù)、數(shù)列、解析幾何、三

角等知識的綜合問題的形式出現(xiàn)，此類問題多屬于中檔題甚至是難題，對不等式的知識，方法與技巧要求

較高.

【例3】(2005年遼寧卷)在R上定義運算③：=x(l-y).若不等式(x—。)③(x+a)<1對任

意實數(shù)x成立，則

(A)-l<a<l(B)0<a<2

1331

(C)--<0<一(D)--<a<一

2222

解答：：(x—a)③(x+a)=(x——x—a),.?.不等式(x—a)③(x+a)<l對任意實數(shù)x成立，則

(x—a)(l—x—a)<l時任意實數(shù)x成立，即使十一工一。2+。+1〉0對任意實數(shù)x成立，所以

13

A=l-4(-a2+a+l)<0,解得故選C.

[點評】熟悉一元二次不等式恒成立與對應方程的判別式的關(guān)系.