新教材蘇教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊5.3導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用

5.3導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用

一、單選題

1.已知函數(shù)卜=礦(%)(尸(X)是函數(shù)“X)的導(dǎo)函數(shù))的圖象如圖所示，貝Ijy=/(x)的大致

【答案】C

【分析】設(shè)函數(shù)y=^'(x)的圖象在x軸上最左邊的一個零點為。，根據(jù)函數(shù)的圖象得到f(x)

的正負(fù)，即得解.

【詳解】解：設(shè)函數(shù)y=9'(x)的圖象在％軸上最左邊的一個零點為。，且-2<。<-1.

當(dāng)一2<x<a時，y=xf'(x)<0,.-.f\x)>0,.,.f{x)在(-2,a)上單調(diào)遞增；

當(dāng)a<x<0時，y=4'(x)>0,，/'(x)<0,;./(x)在(“,())上單調(diào)遞減.

2.設(shè)a為實數(shù)，函數(shù)/。)=/+(“-1)/-(〃+2)彳，且f(x)是偶函數(shù)，則/*)的單調(diào)遞減

區(qū)間為()

A.(0,2)B.(-百，百)C.(-1,DD.(-3,3)

【答案】c

【分析】求導(dǎo)，結(jié)合/co是偶函數(shù)得到r(-x)=r(x),求出。=1,從而根據(jù)(。)=3/一3

小于0,求出單調(diào)遞減區(qū)間.

【詳解】因為/(》)=丁+3-1口2-(0+2?,所以尸(x)=3x?+2(a-l)x-(a+2),

又因為f(x)是偶函數(shù)，所以為(r)=/'(x),

BP3(-x)：-2(a-l)x-(a+2)=3x2+2(a-l)x-(a+2),故a-l=0,即a=l,

所以尸(x)=3f-3,令/'(x)<0,解得

所以/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-1,1).

3.函數(shù)y=/'(x)的圖像如圖所示，則關(guān)于函數(shù)y=/(x)的說法正確的是()

A.函數(shù)y=/(x)有3個極值點

B.函數(shù)y=F(x)在區(qū)間(T?,-4)上是增加的

C.函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(-2,+8)上是增加的

D.當(dāng)X=O時，函數(shù)y=/(x)取得極大值

【答案】C

【分析】結(jié)合導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系可知，函數(shù)單調(diào)遞增，r(x)<0,函數(shù)單

調(diào)遞減，結(jié)合圖像即可判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值.

【詳解】結(jié)合導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系可知，當(dāng)x<-5時，/^x)>0,函數(shù)單調(diào)遞增，

當(dāng)_5<x<-2時;Z(x)<0,函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)x>-2時，函數(shù)單調(diào)遞增，

故當(dāng)x=-5時，函數(shù)取得極大值，當(dāng)x=-2時，函數(shù)取得極小值.所以D錯誤；

故函數(shù)y=/(x)有2個極值點，所以A錯誤；

函數(shù)y=/(x)的單調(diào)性為：單增區(qū)間(,,—5),(2,+8)；單減區(qū)間(—5,—2).故B錯誤，C正

確.

4.函數(shù)/(x)=(x-3)e、的單調(diào)遞減區(qū)間是()

A.(-8,2]B.[0,3]C.[1,41D.[2,+8)

【答案】A

【分析】求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系解不等式/VX0進(jìn)行求解即可.

【詳解】函數(shù)的導(dǎo)數(shù)r(x)=e，+(x-3)e*=(x-2)e，

由廣(“<0得(x-2)e，<0,

即％-2vO得％<2,

即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(YO,2］,

5.函數(shù)y=xe*在xe［2,4］上的最小值為()

142

2

A.2eB.—C.—TD.-7

eee~

【答案】A

【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)/(x)的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性即可求得最小值.

【詳解】Vy=xe\

y'=e*+xe*=(1+x)e',

當(dāng)XG［2,4］時,y=(l+x)e，>0

函數(shù)y=xe，在區(qū)間［2,4］上單調(diào)遞增，

2

...當(dāng)x=2時，函數(shù)y=xe，取得最小值,>'min=2e,

，函數(shù)y=xe*在xe［2,4］上的最小值為2e2.

6.對任意xe(O,2e),|x—41nxWe恒成立，則實數(shù)。的取值范圍為()

A.(e,2e)B.-^-,2e

/

c.2e_:\,2e2e------,2e

Iln(2e)ln(2e)

【答案】D

【分析】由x￡(0,2e),|x—dlnxKe得x--—<a<x+—,g(x}=x+—,h(x)=x---,

InxInxInxInx

利用導(dǎo)函數(shù)求最小值、最大值即可.

【詳解】當(dāng)X￡((M］時，InxWO,不等式顯然成立；

當(dāng)x￡(1,2e)時，lx-6f|ln.￥<e<=>x----KaKxM----,

InxInx

2

令g(x)=x+jg'(x)=l-_xlnx-e

x\n2xx\n2x

令p(x)=xln2x-e,則y=p(x)是xe(l,2e)上的增函數(shù)旦p(e)=O,

當(dāng)xe(l,e)時p(x)<0,此時g(x)遞減，xw(e,2e)時,p(x)>0此時g(x)遞增.

故g(x)的最小值為g(e)=2e=a42e,

令&I弋，則W島>。，

故我(X)是增函數(shù)，〃(力的最大值為力(2e)=2e-記點可，^a>2e----^t

綜上所述，2e-向4442e,

7.設(shè)a=Lb^—,c=3(31n3),()

e2e3

A.c<a<bB.b<a<cC.b<c<aD.c<b<a

【答案】D

【分析】將“，c變?yōu)榕c人相同的形式，構(gòu)造函數(shù)〃x)=/，通過對函數(shù)求導(dǎo)，得到單調(diào)性,

判斷大小關(guān)系.

.43(3-ln3)3-ln3

1Ine,In2ln4c=—~~-=——--

【詳解】???〃b----—ee

24

3

令/(%)=邛，則。=/(e),〃=/(4),c=

1-lnx,當(dāng)x>e時，r(x)vO,

X

即/("=?在(孰+8)上單調(diào)遞減.

,；—>4>e,

3

“圖<〃4)</(e),

即cvAva.

8.已知〃X),g(x)分別為定義域為R的偶函數(shù)和奇函數(shù),且/(無)+g(x)=e，,若關(guān)于X

的不等式2/(x)-ag2(x"0在(O,ln3)上恒成立，則正實數(shù)a的取值范圍是()

A.￡'+00)B.[0,+oo)C.D.(。,￡

【答案】C

【分析】由奇偶性求得了(x)，g(x)的解析式，化簡不等式，并用分離參數(shù)法變形為

公港異'設(shè)e、+e--,換元后利用函數(shù)的單調(diào)性求得不等式右邊的取值范圍，從而

可得”的范圍.

【詳解】因為f(x),g(x)分別為R上的偶函數(shù)和奇函數(shù),〃x)+g(x)=e，①,

所以〃—x)+g(—x)=eT,即/(x)—g(x)=eT②,

聯(lián)立①②可解得〃X)=￡7，g(x)=W;，

/.t_-x\2

所以不等式2/(x)—知2(x)w0可化為e*+e*-a.20,

4(ex+e-x)

因為X￡((),ln3),則H>0,故〃4

(eA-e-A)2

<4r_4

設(shè)e，+e-，=/，則(e'-eT)2=(e，+eT)2—4=*-4,故"一百=7,

t

因為，=e"+eT,XG(0,ln3),所以r二e“一?-”>0，

故"e'+e-*在(01n3)上是增函數(shù)，則與｝

4(10^432-^―>—

又因為y=-2在止2,丁時是增函數(shù)，所以0々一則4,8,

tI3Jt15t——

4(e'+e-J)

因為在x?0,ln3)恒成立,所以

C-e-fO

二、多選題

9.定義在(0,+8)上的函數(shù)“X)的導(dǎo)函數(shù)為了'(X),且r3>與.則對任意當(dāng)€(0,+0>),

其中為二々，則下列不等式中一定成立的是()

A./(9)</(1)爐B.

C./(西+々)>/(芭)+/(毛)D./(-XI)+/(X2)>T'/(XI)+TL/(X2)

X\X2

【答案】BCD

【分析】構(gòu)造函數(shù)8(犬)=/尸，求出導(dǎo)數(shù)，利用已知可得g(x)在(。,也)上單調(diào)遞增，根據(jù)

單調(diào)性依次判斷每個選項可得.

【詳解】由題意可設(shè)g(x)=?,則g<x)=

4(x)>、"，)，x>0,

g'(x)>0在(0,+巧上恒成立，所以g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

對于A：由于爐＞1,所以g（e8）＞g⑴，即/（叫＞四,所以⑴爐，故A不

eA,1

正確；

1（1＞

對于B：由于馬+—*2,當(dāng)且僅當(dāng)％=1時取等號，所以g馬+—Ng（2）,即

芻（x2）

,k2所以々/!\+，卜誓21〃2）,故B正確；

x,+l2I^2）2

2W

對于c：由g&+%）＞ga）得：/（…）＞z（±）,即：十〃%+占）＞/（%），

X,+x2X,西+工2

同理：＞，（與）.

兩式相加得：/（%+赴）＞/（%）+/（%）,故c正確；

對于D：/（3）-}〃3）=當(dāng)歪”3）,4/（幻一/（々）=^

兩式相減得：“xj-上"xj-%/（*2）+/（々）=上上/（占）-忙上/（超）

%%2%%2

所以」（再）-5/（占）-今/（*2）+/（*2）＞。，

即fOH"%）嚀）（3+（/⑸,故D正確.

10.已知函數(shù)/（x）=21nx-a?則下列結(jié)論正確的有（）

A.當(dāng)4=1時，x=l是產(chǎn)/（X）的極值點

B.當(dāng)時，/（x）＜0恒成立

C.當(dāng)時，y=〃x）有2個零點

D.若和天是關(guān)于x的方程/（￡）=0的2個不等實數(shù)根，則玉色＞e

【答案】ABD

【分析】對于A,代入。=1后對〃x）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值的關(guān)系即可得證；對于B,

構(gòu)造函數(shù)8（尤）=號（》＞0）,利用導(dǎo)數(shù)求得8（磯3=（，從而可證得〃力＜0：對于C,舉

反例排除即可；對于D,利用極值點偏移的證明方法即可證得%F＞e.

【詳解】對于A,當(dāng)a=l時，/(x)=21nx-x2(x>0),則/⑴=2-2犬=社匕」，

XX

令4x)>0,得Ovxvl；令/'(x)<0,得x>l；

所以“X)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,一)上單調(diào)遞減，

所以*=1是y=〃x)的極大值點，故A正確；

對于B,令f(x)=21nx-?v2=0,得@=也？，

2%2

i—x2-2xlnx.

令g(x)=^n(rx>。)，則g，(x)='一=匕O1坐，

(x)x

令g，(x)=O,解得x=6，

故當(dāng)xe(o,五)，gr(x)>0,g(x)單調(diào)遞增；當(dāng)xe(五,E),g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減；

所以g(xLx=g(五)V,

因為a>L所以故§>與，整理得21nx-―<0,即〃x)<0恒成立，故B正確；

eLzeLx

對于C,令a=0,則〃x)=21nx,令/(x)=0,解得x=l,故y=〃x)只有1個零點，故

C錯誤；

對于D,因為玉,當(dāng)是關(guān)于x的方程/(力=0的2個不等實數(shù)根，

gj21nx「渥=0Jlnx：=ox；

所以彳c2c，卬|2??

21nx2-書=°［lnx2-ax1

所以問題等價于lnr=a有兩個零點％出,證明回>e2,

不妨設(shè)％%>0，貝IJ由［：%一的得至］Jmy，,

a=

Int2=at2-t2

要證他>e?,只需要證明In/i+lnf?>2,

即只需證明：lnf|+lnf2=aa+G)=a+，2)則」吆>2,

Z1-/2

_2但一］

2(，f2)

只需證明：lnr,-ln/2>］~,即-k

乙+4t2￡+)

令〃?=上>1,

只需證明：ln，n>豈竺二。(加>1),

/n+1、)

令s(m)=Inm——~加>1)，

則/(加)=(：1)>0,即s(〃7)在(l,+oo)上單調(diào)遞增，

〃2(加+1)

乂$6=0,所以s(”?)>s(l)=0,即In加>2('：；)(加>i)恒成立,

綜上所述，原不等式成立，即演々>e成立，故D正確.

2

11.已知函數(shù)/(x)=e*-5ax3有三個不同的極值點演，巧，與，且士<々<七，則下列結(jié)論

正確的是()

2

A.a>—eB.玉v—1

8

C.4為函數(shù)/(X)的極大值點D./(x3)<y

【答案】ACD

【分析】由已知可知方程5=2a(xR0)有三個根，然后利用導(dǎo)數(shù)討論g(x)=捺的單調(diào)性，

結(jié)合圖象可判斷A、B選項；結(jié)合圖象分析在演處/(X)的正負(fù)，即可得出函數(shù)/(x)在々附

近的單調(diào)性,即可判斷C選項；將=代入/(%),然后利用導(dǎo)數(shù)討論其單調(diào)性,由單

調(diào)性可判斷D選項.

2

【詳解】由函數(shù)/(x)=e，-§以3有三個不同的極值點/，X。,玉,

只需八x)=e*-2+有三個零點，即方程5=2。(xH0)有三個根，

設(shè)函數(shù)8⑴斗，則g，(x)=e'(：2),

令g'(x)<0,即0<x<2,；令g'(x)>0,即x<0或x>2,

所以函數(shù)g(x)在(田,0)和(2,依)上單調(diào)遞增，在(0,2)上單調(diào)遞減,

所以函數(shù)g(x)的極小值為g(2)=?,且當(dāng)x#0時，g(x)>0,

即函數(shù)f(x)有三個不同的極

值點，故A正確；

對于B,觀察圖象可知為>T,故B不正確;

對于C,由圖象可知,當(dāng)0<xv巧時,g(x)=1>2a,BPf'^xj=ex-2ax2>0,

當(dāng)W<x<2時，g(x)=\<2a,即/'(x)=e*-2or2<0,

所以函數(shù)/(x)在(0,々)上單調(diào)遞增，在(移2)上單調(diào)遞減,

所以演為函數(shù)"X)的極大值點，故C正確：

對于D,由g(w)=『=2a,即〃X3)=e

令夕(x)=(l_：卜，xe(2,+oo),

則“(X)=—e<0,故函數(shù)8(X)在(2,+8)上單調(diào)遞減，

2

故S(天)=/(七)<夕⑵=],故D正確.

12.已知函數(shù)/(力=加-"+8-*,g(x)=：+lnx,當(dāng)xe[l,+e)時，/(x)2g(x)恒成立,

則實數(shù)〃的可能取值為()

A.—B.0C.!D.2

22

【答案】CD

【分析】原不等式轉(zhuǎn)化為工€[1,y)時，Mx)=ar2-a+ei-g-lnxN0恒成立，

只需證明X21時，〃(x)20恒成立，對力(外求導(dǎo)得〃'(力=2以-/'+!-%則”(l)=2a—l,

分別討論和aN；,即可求解.

【詳解】由題意得：xe[l,+8)時，奴2-。+3"wj+inx恒成立，

即xe[1,+8)時，cu?-“+eI一?！-]nx20恒成立，

^h(x)=ax2-a+e'"'---Inx(x>l),則〃⑴=0,,

所以x21時，〃(力20恒成立.

乂〃'(x)=2ar-ei+5-J則”(l)=2a—1,

①a<；時，"(1)=24-1<0,

設(shè)%>1,存在工叩,天>)時，廳(x)<0,即//(%)在口,％)上是減函數(shù),

此時，/；(x)<A(l)=0,不滿足題意；

②aNg時，4卜2-1)之312-1)在xe[l,+8)上恒成立，

所以/?(x)=ax2-a+e1-A---\nx=a^x1-l)+e1*A---lnx>-1)+eHx---Inxit

xe[l,+8)上恒成立，

設(shè)F(x)=g(x2-l)+ei-'-lnx(xe[l,+a>)),gpF(l)=0,

貝l]尸'(司=工_8-*+5―/,

令f(x)=e*T-x(x>l),則，(x)=e，T—l,

當(dāng)時，(x)NO,所以f(x)在[1,W)上是增函數(shù),

則x21時，r(x)>/(l)=e'-|-l=0,

即x21時，e,i2x=x21時，一^4—,

ex

所以x21時，e'-x<-.

X

n"廠，/\ill、11112

XXXXTXXX

又時，力0<一"KI,\/x—120,

X

所以X+3二N2,/rZ_2=2二=2(6TWo,當(dāng)且僅當(dāng)x=l時等號成立，

故時，F(xiàn),(.r)=x-e'-x+-4--+-Y--=X+^--—>0.

%"XXX'XXX

所以尸(x)在[1,M)上是增函數(shù)，

則尸(X)之尸(1)=。

所以“2；時，/?(x)>F(x)>0^[1,+?>)上恒成立.

綜上，42；時，y(x)2g(x)在xe[l,y)恒成立，

三、填空題

13.如圖是函數(shù)y=/(x)的導(dǎo)函數(shù)y=/'(x)的圖象：

①函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,3)上嚴(yán)格遞減；

②川)<〃2)；

③函數(shù)fM在x=1處取極大值；

④函數(shù)〃x)在區(qū)間(-2,5)內(nèi)有兩個極小值點.

則上述說法正確的是.

【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)圖象分析得到函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而判斷是否為極值點，比較出函數(shù)值的

大小，判斷出正確答案.

【詳解】由導(dǎo)函數(shù)y=f(x)的圖象可知：函數(shù)/(X)在(1,2)上單調(diào)遞增，在(2,3)上單調(diào)遞減，

故〃1)<〃2),故①錯誤,②正確;

由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知：f(x)在(-1,2)匕均單調(diào)遞增，故x=l不是函數(shù)的極大值點，③錯誤;

由導(dǎo)函數(shù)圖象可得:在區(qū)間(-2,5)內(nèi)有/'(-1)=/'(4)=0,且在(-2,-1)與(3,4)上導(dǎo)函數(shù)小

于0,在(一L0)和(4,5)上導(dǎo)函數(shù)大于0,

故彳=_1和x=4為函數(shù)的兩個極小值點，故在區(qū)間(-2,5)內(nèi)有兩個極小值點，④正確.

14.若函數(shù)〃幻=2X3-3f+c的極小值為5,那么。的值為.

【答案】6

【分析】對函數(shù)求導(dǎo)，再求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極小值即可.

【詳解】/(x)=2/-3尤2+c,f\x)=6x2-6x=6x(x-1),

令;(%)=0,解得％=0或x=l,

當(dāng)x<0或x>1時，f'(x)>0,當(dāng)0cx<1時,f\x)<0,

.?J(x)在(7,0)和(1,+oo)上單調(diào)遞增，在(0,1)上單調(diào)遞減，

.,?當(dāng)尤=1時，f(x)取得極小值，

極小值為/⑴=2-3+C=5,解得C=6.

15.方程d-3x+a=0在xe[-2,w)上有三個不同的實根，則實數(shù)。的取值范圍是.

【答案】(一2,2)

【分析】方程d—3x+a=0在》?-2,依)匕有三個不同的實根，則y與g(x)=—d+3x有

3個不同的交點，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)g(x)=-/+3x的單調(diào)性，作出圖象，即可求解

【詳解】由d-3x+a=0得a=-x，+3x,

令g(x)=_f+3x,

則g，(x)=-3/+3,

令g[x)>0,解得一1cx<1,

令g[x)<0,解得x<-1或x〉l,

所以g(x)在上遞減,在上遞增,在(1,y)上遞減,

所以在x=-l處取得極小值，且為g(-l)=-2；

在x=l處取得極大值，且為g⑴=2；

畫出g(x)的大致圖像如下：

方程V一3x+a=0在xe[-2,+<?)上有三個不同的實根,

貝！]y=a與g(x)=-%3+3x有3個不同的交點，

由圖象可知實數(shù)。的取值范圍是(-2,2)

16.函數(shù)/(x)的定義域為(7,+<?),其導(dǎo)函數(shù)為/'(x),=/(--*■)-2sinx,且當(dāng)x20

時，f'(x)>-cosx,貝I」不等式/(x+］)>f(x)+sinx-cosx的解集為.

【答案】［全內(nèi))

【分析】構(gòu)造〃(x)=f(x)+sinx,得到其在R上為偶函數(shù)，且/l(x)在［0,+功上單調(diào)遞增，

?/(x+，)>/(x)+sinx-cosx變形得到八1+升碎)，從而得到x+^>|x|,求出答案.

【詳解】令〃(x)=/(x)+sinx,貝lj〃(一x)=/(—x)-sinx,

又/(x)=/(-x)-2sinX,所以得/(X)+sinA-=/(-x)-sinx,

即〃(-%)=〃(力，所以力(同為R上的偶函數(shù)，

又％N0時,“(X)=((x)+cosx>0,所以〃(X)在[0,+>)上單調(diào)遞增,

乂為R上的偶函數(shù)，所以Mx)在(F,0］上單調(diào)遞減,

由工嗚>/(x)+sinx-COSX,得+]+cosx>/(x)+sinx,

所以/卜+以+如卜+］>/(x)+sinx,

即小+生近),所以得X+牛此解得：x>~,

72)24

所以不等式/卜+/)>〃力+$出》-8$》的解集為(-：,+8).

四、解答題

17.已知函數(shù)/(X)=-X3-3X2+9X+3.

⑴求f(x)的極值；

⑵求,X)在區(qū)間［-2,2］上的最大值與最小值.

【分析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的

極值即可；

(2)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性以及極值，結(jié)合/(-2),/(2)的值，求出函數(shù)的最值即可.

【詳解】(1):/(x)=—%3—3f+9x+3,

/'(x)=-3x2—6x+9=—3(x+3)(x-l),

令r(x)>0,解得—3<X<1,令/'(x)<0,解得X>1或x<—3,

故/(x)在(-8,-3)遞減,在(-3,1)遞增,在(1,物)遞減，

故/⑴的極大值是〃1)=8,極小值是“-3)=-24：

⑵令尸(x)=-3x2-6x+9=-3(x+3)(x—1)=0,得x=-3(舍)或x=l,

當(dāng)xw（—2,1）時，r（x）＞0,所以"X）在xw（—2,1）時單調(diào)遞增,

當(dāng)xw（l,2）時尸（力＜。所以Ax）在xe（l,2）時單調(diào)遞減，

又〃一2）=—19,〃2）=1,41）=8；

即函數(shù)/（x）在區(qū)間［-2,2］上的最大值為8,最小值為T9.

18.己知函數(shù)/（犬）=/-/-*+2.

⑴求曲線Ax）在點（2,/（2））處的切線方程；

（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間.

【答案】（l）7x-y-10=0

（2）遞增區(qū)間為（-8,-；）,（1,+?））；遞減區(qū)間為F1）

【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再求得/'（2）=7與/（2）=4,利用點斜式可求得曲線/（%）在

點（2,/（2））處的切線方程；

（2）由r（x）=3f—2x—l=（x—l）（3x+l）,利用導(dǎo)函數(shù)/'（X）與函數(shù)/*）的單調(diào)性的關(guān)系可

得答案.

【詳解】（1）/（X）=X3-X2-X+2,

=3x2-2x-1=（x-l）（3x+1）,

.-r（2）=7,又"2）=4,

???曲線/（x）在點（2J（2））處的切線方程為y-4=7（x-2）,

B［J7x-y-10=0；

（2）/f（x）=3x2-2x-l=（x-l）（3x+l）,

.?.當(dāng)=時，r（x）＞0,當(dāng)時，r（x）＜0,

?,./。）在（7,-；）,（1,田＞）上單調(diào)遞增，在［;,1）上單調(diào)遞減.

的遞增區(qū)間為s，T）,—遞減區(qū)間為

19.己知函數(shù)/。）=4奴2+2inx-3（aeR）.

⑴討論函數(shù)/（x）的單調(diào)性；

（2）若。為整數(shù)，且〃可＜2犬111》+2恒成立，求。的最大值.

【分析】（1）求出函數(shù)的定義域和尸（x）,分情況討論a20和〃＜0,即可得到函數(shù)的單調(diào)性；

(2)不等式/(x)<2dlnx+2恒成立，可轉(zhuǎn)化為"殍-獲+*在(0,+8)上恒成立，令

g(x)=殍-券+白，則只需a〈g(xL,即可.求出g'(x)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)求出最值即可.本題

中，因為g'(x)=0不好求解，兩次求導(dǎo)得到導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為隱零點問題，得到

切e(2,g),使得g'(%)=0,逐步得到0<g(W<l,從而求得。的最大值.

9

【詳解】(1)/。)=4以2+21nx-3的定義域為{x|x>0},fr(x)=Sax+-.

當(dāng)。20時，>0,則/(x)=4ax2+21nx-3在(0,+e)上單調(diào)遞增；

當(dāng)a<0時，解/'(x)=o,即8or+：=0,得工=士;舊(舍去負(fù)值)；

91，所以“X)在(0［欄)上單調(diào)遞增；解

解盟x)>0,即8ar+*>0,W0<x<-

x2

r(x)<0,即86+：<0,得所以〃x)在;J-/，+8上單調(diào)遞減.

綜上所述，當(dāng)aNO時,/(1)=4加+21n為-3在(0,+8)上單調(diào)遞增；當(dāng)"0時,/(x)在

上單調(diào)遞增,在+℃>上單調(diào)遞減.

(2)由已知可得,4af+21nx-3〈2門1+2恒成立，x>0,

即〃〈^^一^^+^^在他+⑹上恒成立.

令g(x)=殍-自+京，則只需avgG).即可.

I--2x2-4xlnxq

x2+21nx-6

g'(x)=----------o----2x--=

㈠2x畫)24x32x3

令〃(力=寸+21門-6,〃'(x)=2x+：>0在(0,+s)上恒成立，所以/i(x)單調(diào)遞增.

且M2)=4+21n2-6=21n2-2<0,h+21n--6=-+21n->0

(泊242

所以，叫使得力(毛)=0,且當(dāng)0cx<毛時，/z(x)<0,當(dāng)x>x()時，/?(x)>0.

即加421)，使得8'(不)=0,且當(dāng)0<x<x°時，g'(x)<0,g(x)在(0,%)上單調(diào)遞減;

當(dāng)x>x0時,gz(x)>0,g(x)在(%,??)上單調(diào)遞增.

所以，8(力=學(xué)-普+=在x=x。處取得唯一極小值，也是最小值.

22x4廣

又g'(%)=轉(zhuǎn)竽4=0,則inx°=3-4.

2

所以

令制力=-；卜+!卜(，/=/,&?)=,+；,f>i,

則==當(dāng)r>i時，r(r)>0,

所以，&(/)=/+；在(1,y)上單調(diào)遞增，

從而加(X)=-；k+/■]+(在(l,+=o)上單調(diào)遞減，則，”圖<根(%)<加2),

又加2)=-3卜+另+〉巳<1254

一十一

4254400

所以0cm所以0<g(為)<1.

又。為整數(shù)，4<g(%)，所以。的最大值為0.

20.己知函數(shù)/(x)=lnx-ox+b在x=l處的極值是2,a,h&R.

(1)求。，力的值；

⑵函數(shù)g(x)=/(x)-&有兩個零點，求人的取值范圍.

【分析】(1)根據(jù)函數(shù)/(x)=lnx-ax+匕在x=l處的極值是2,聯(lián)立解方程組得到a=l"=3,

代入f(x)檢驗即可確定。，b的值;

(2)將問題轉(zhuǎn)化為對數(shù)函數(shù)/x)=lnx與一次函數(shù)Q(x)=x-3+無有兩個交點，畫出兩個函

數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合分析即可.

【詳解】(1)因為/(x)=lnx-奴+6,所以尸(x)=g-a,

又函數(shù)f(x)=lnx-ar+b在x=l處的極值是2,

/⑴=2-a+h=[a=\

所以《,解得k

J()=0'\-a=

1]-T

檢驗：故/(x)=lnx-x+3(x>0),/,(x)=--l=——,

令廣(力<0,得x>l；令第x)>0,得0<x<l；

所以/(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,m)上單調(diào)遞減，

所以在x=l取得極大值，且極大值為了⑴=2,

所以。=l,b=3

(2)g(x)=/(x)—左=lnx-x+3-,令g(%)=(),得ln%=x-3+A,

令〃(元)=Inx,Q(x)=x-3+k(Q(x)的斜率恒為1),

所以=j當(dāng)X=1時，"⑴=1,

又妝1)=如1=0,所以在x=i處的切線為y=x-i，

所以當(dāng)&=2時，Q(x)=x-1為〃(x)在x=l處的切線，此時，Q(X)與〃(X)有一個零點，如圖,

要使g(x)有兩個零點，即Q(x)與枚)有兩個交點，

所以Q(x)比與h(x)相切時的位置還要向下平移，

又因為Q(x)與〃(x)相切時，k=2,

所以％<2,即%€(-8,2).

21.已知函數(shù)/(x)=lnx—or(a為實數(shù)).

(1)求函數(shù)/(X)的單調(diào)區(qū)間；

2

(2)若存在兩個不相等的正數(shù)、，巧滿足/(%,)=/(&),求證玉+七>,.

⑶若“X)有兩個零點七，々，證明：白+乙>2.

Ill?111-I)

【分析】(1)討論/'(X)的正負(fù)，確定/(X)的單調(diào)區(qū)間；

⑵極值點偏移問題處理：不妨設(shè)0"/<%2,構(gòu)造/(*)=/5)-/(“勸并證得工€(±2)

aaaa

時，F(xiàn)(x)>0,可得/⑷>〃/2一不)即/(石)>/(2士一巧),再利用人幻的單調(diào)性可得為與2--占

aaa

大小關(guān)系，從而證得結(jié)論.

[inx-ax,=0_11,_M

(3)由《八兩式相減用藥,工2表示。，將——化為只有的關(guān)系式，令y=才

[\nx2-ax2=0InXjlnx2x}

可轉(zhuǎn)化為只有一個變量，的函數(shù)，可得結(jié)論.

【詳解】(1)f'M=--a=-,

XX

當(dāng)aWO時，/(X)之。恒成立，???/(x)在(0,+8)上遞增；

當(dāng)a〉0時令/(%)>0=>0<x<—；/V)<0=>x>-

aa

增區(qū)間為(o-)，減區(qū)間為d,+8).

aa

(2)當(dāng)aVO時，人力在(0,+8)上遞增，=與題意矛盾，,?！怠?/p>

222

令尸(x)=f(x)-/(——x)=\nx-ax-ln(——尤)+a(——x)

aaa

2i12?(x--)2

=Inx-ln(—x)-2izx+2,F\x)=—F—-------2a=-----———20

ax22.

???尸㈤在(0,2)上遞增,又因為X,時，F(xiàn)(-)=0,

aaa

]1?

zjX€(0,—)時，尸(x)<。；xG(—,—)時，/(％)>。

aaa

"da>0時〃x)在(0,-)上遞增，d,+a>)上遞減西,々必有一個在(0,-)±,一個在(-,+00)±,

aaaci

不妨設(shè)0<%<」<X2,

a

若％,>三2則%+%>?2顯然成立；

a~a

若一〈X2V—，由xw(—，—)時,若")>0知/(%)—/(x)>0.Q|J/(x,)>/(—x)

aaaaa2a2

又'f(^)=f(^2)，*'-f(X1)>/(--)

a

又?.X，2-X,€(0,3J(X)在(0,3上遞增，則占>2-X2即與+兌>2證畢.

aaaaa

In-ax1=0

(3)不妨設(shè)0＜玉＜W，由,可得In第一In%=a(x)-xj

Inx2-ax2=0

1-x.

即廠內(nèi)嬴

+—--2=—+---2=(—+—)-2

lnx2lnx)ax2axxlnx2-In^^x2

上』_21n當(dāng)

~士-------2，設(shè)三=/>1,則]n強(qiáng)>0,A_21n^-=/-l-21nz

In強(qiáng)不占斗馬為t

設(shè)g⑺則g'd卡>0

即函數(shù)gQ)在(1,3)卜一是單調(diào)增函數(shù)，，gQ)>g⑴=0

11c

即記+記>2得證

22.設(shè)。20,函數(shù)/(x)=(x+l)Inx+(〃-2)x+2.

⑴求證：/(幻存在唯一零點迎；

⑵在(1)的結(jié)論下，若X1+“=sinX］,求證：X!-lnx0<0.

【分析】(1