高中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平考試(合格考)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

高中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平考試(合格考)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

2020.12.1

第一章集合與常用邏輯

1.常用數(shù)集

N：自然數(shù)集或非負(fù)整數(shù)集；N*或N+：正整數(shù)集；

Z：整數(shù)集；Q：有理數(shù)集；R：實(shí)數(shù)集；C：復(fù)數(shù)集

2.集合間的運(yùn)算

并集：A3={x|xwA,或xeB}；交集：A3={x|xwA,且xeB}；

補(bǔ)集：C0A={x|xeU,且xeA}.

3.包含關(guān)系

AB=AoA^B；AB=AoB<^A

4.空集(0)是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集

5.集合{《,《，，%}的子集個(gè)數(shù)共有2"個(gè)；真子集有(2n-l)個(gè)；

非空子集有(2"-1)個(gè)；非空的真子集有(2"-2)個(gè).

6.充分、必要條件

若pnq，則”是q的充分條件，4是P的必要條件；

若p=>q，q=>p，則p是q的充分必要條件，簡(jiǎn)稱充要條件；

(1)若〃=>q,q^>p,則〃是4的充分不必要條件；

(2)若pw>q,q=p,則p是q的必要不充分條件；

(3)若〃=>q,q=>p,則p是q的充要條件；

(4)若p工>q,q^>p,則〃是4的既不充分又不必要條件；

7.含有一個(gè)量詞的命題的否定

全稱命題p：VxeM,q(x)；—p：切

特稱命題p：Hx0eA/,(7(X0)；—p：VxeA/,—.

第二章一元二次函數(shù)、方程和不等式

1.不等式的基本性質(zhì)

性質(zhì)1a>bob<a；性質(zhì)2：a>b,b>cna>c；

性質(zhì)3a>h<^>a+c>b+c；T生質(zhì)4：a>h,c>0=>ac>bc,a>b,c<0=>ac<bc；

性質(zhì)5：a>b,c>dna+c>b+d；性質(zhì)6：a>b>O,c>d>O=>ac>bdi

性質(zhì)7：a>3〉0=>a"性質(zhì)8：a>b>0=>>Ja>\/^(?>2).

2.基本不等式：設(shè)a>0,4>0,則

(1)a+b>2y/^b；(2)4《等卜當(dāng)且僅當(dāng)。=人時(shí)，等號(hào)成立.

注：應(yīng)用基本不等式的條件：一正，二定，三相等

3.二次函數(shù)y=or+fer+c(aH0)的性質(zhì)

(1)開口方向：。>0,開口向上；a<0,開口向下；(2)對(duì)稱軸：x=--—；

2a

b4ac-b2

(3)頂點(diǎn)坐標(biāo):

2。'4。,

2

①當(dāng)時(shí)，在上遞減,

4>01-8,—-上遞增;

I2a2±r

②當(dāng)〉時(shí)，在［上遞增,

a0-00,-2-上遞減.

\2a2r

4.二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的解的對(duì)應(yīng)關(guān)系

(a>0)A>0A=0A<0

二次函數(shù)V/T/

2

y=ax+Ox+c"X

V

的圖象X

(fl>0)X\=X2X

一元二次方程

有兩相異實(shí)根有兩相等實(shí)根

ax2+bx+c=Ob無實(shí)根

X|,X2(X|<x)…二-五

(a>0的根2

ax2+力x+c>0

(x|x<x1^U>x2}R

(a〉0)的解集l2al

ax1+0x+c<0

{Rx<x<x2}00

(。>0)的解集

第三章函數(shù)概念與性質(zhì)

1.求函數(shù)定義域

函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=/(x)：①含分式：要求分母不為0；

②偶次方根：要求被開方數(shù)以；③含對(duì)數(shù)式：要求真數(shù)>0.

2.函數(shù)y=/(x)的單調(diào)性

增函數(shù)：當(dāng)占<蒞時(shí)，/(%)</(%)；反映在圖像上，從左往右圖像上升；

減函數(shù)：當(dāng)再<歷時(shí)，/(%)>〃王)；反映在圖像上，從左往右圖像下降.

3.證明函數(shù)，(x)在區(qū)間。上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，基本步驟如下：

①設(shè)值：設(shè)不馬6。，且王<工2；②作差：/(-X1)-/U2)；

③變形：對(duì)/(公)-/(々)變形，一般是通分，分解因式，配方等，要注意變形到底;

④判斷符號(hào)，得出函數(shù)的單調(diào)性.

4.函數(shù)y=/(x)的奇偶性

奇函數(shù)：/(-力=-〃力，圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；

偶函數(shù)：/(-6=/(力，圖像關(guān)于y軸對(duì)稱；

5.奇、偶函數(shù)的性質(zhì)

(1)奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性相同；

偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性相反；

(2)若奇函數(shù)y=/(x)在原點(diǎn)有定義，則/⑼=0；

(3)奇、偶函數(shù)的運(yùn)算

①奇函數(shù)土奇函數(shù)=奇函數(shù)；②偶函數(shù)土偶函數(shù)=偶函數(shù)；

③奇函數(shù)x奇函數(shù)=偶函數(shù)；④偶函數(shù)x偶函數(shù)=偶函數(shù)；

⑤奇函數(shù)x偶函數(shù)=奇函數(shù).

6.嘉函數(shù)

(1)定義：形如y=xa(ewR)的函數(shù)叫嘉函數(shù)，其中x是自變量;

(2)五個(gè)基函數(shù)的性質(zhì)

y=x2-1

y=xy=/y=y=x

定義域RRR[0,+oo)(-00,0)5。，+8)

值域RI。,+8)R[0,+oo)(F,0)50,+8)

奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)非奇非偶奇函數(shù)

在J00,0］上遞減在(-00,0),(0,+00)

單調(diào)性增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)

在［0,+OO)上遞增上遞減

定點(diǎn)(1,1)

第四章指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)

1.分?jǐn)?shù)指數(shù)幕

=yja,n；⑵〃"(a>a,m,neN",且〃>1).

a"

2.根式的性質(zhì)

(1)(折)"=a.(2)當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，曲Qa；當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，標(biāo)=|。|=卜'"20.

-a,a<0

3.有理指數(shù)基的運(yùn)算性質(zhì)

rsr+ss

(l)a-a=a(a>0,r,seQ)；(2)=a>~(6?>0,r,5Gg)；

(3)(相)'=a"(a>0,r,seQ)；(4)(而)"=a'br(a>0,匕>0,reQ).

4.指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化：log“N=boa"=N

5.對(duì)數(shù)的換底公式

(l)log=="(a>0,且awl,〃z>0,且加工1,N>0)；

log,,,aIgaIna

(2)logb"=—log((a>0，且a>\,m,”>0,且。I,“w1,N>0)；

ama

(3)loga'logi=1；(4)aioSab=b

6.對(duì)數(shù)的四則運(yùn)算法則

若a>0,a#4，M>0,N>0,則：(l)loga(A/ZV)=logaM+logaN;

M

⑵log“—=log?M-log?N;(3)log?Mn=nlog,,M(neR).

N

7.指數(shù)函數(shù)y="(a>0,aHl)的圖像與性質(zhì)

0<。<1a>l

y=q.\7/y=ax

(0,1)

圖象(0.1)y=1

三

定義域R

值域(0,+oo)

(1)過定點(diǎn)(0,1),即x=0時(shí),y=l

性質(zhì)

(2)在R上是減函數(shù)(2)在R上是增函數(shù)

8.對(duì)數(shù)函數(shù)丫=108“》(。>0,。。1)的圖像與性質(zhì)

定義域(。，+8)

值域R

沖山(1)過定點(diǎn)(1,0),即當(dāng)x=l時(shí)，y=Q.

性質(zhì)

(2)增函數(shù)_(2)減函數(shù)

9.反函數(shù)

指數(shù)函數(shù)y=a'(a>0,aHl)與對(duì)數(shù)函數(shù)丁=1。8〃%(。>0,。/1)互為反函數(shù)，它們

的圖像關(guān)于y=x對(duì)稱

10.函數(shù)零點(diǎn)

⑴定義：把使/(x)=0成立的實(shí)數(shù)尤叫做函數(shù)y=7(x)的零點(diǎn).

(2)函數(shù)零點(diǎn)與方程根的關(guān)系：方程?r)=0有實(shí)根Q函數(shù)y=/(x)的圖象與x軸有

交點(diǎn)Q函數(shù)y=?x)有零點(diǎn).

⑶零點(diǎn)存在定理：如果函數(shù)y=/W在區(qū)間3,句上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線,

并且有/（。）"（。）＜0,那么函數(shù)yq/a）在區(qū)間伍，加內(nèi)有零點(diǎn).

第五章三角函數(shù)

1.角度制與弧度制的互化：360。=2兀180。=兀

1rad=—°~57.30°=57°18,1°=—rad=0.0174rad

兀180

2.特殊角的弧度與角度互化如下:

0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°

717V7T7T2不37r57r3兀

07T2兀

~67~2丁2

3.弧長及扇形面積公式

弧長：/=|a|r,扇形面積：S^-lr=-ar2（a是圓心角弧度數(shù)，r是扇形半徑）

1122

4.任意角的三角函數(shù)_____

設(shè)a是一個(gè)任意角，它的終邊上一點(diǎn)P（x,y）,r=Jx?+曠.

（1）正弦sina=—,余弦cosc=2,正切tana=2.

rrx

（2）各象限的符號(hào)：一全正，二正弦，三正切，四余弦.

5.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系：

平方關(guān)系：sWa+cos2a=1；商數(shù)關(guān)系：*=tana(aM+k兀,keZ)

cosa2

6.誘導(dǎo)公式

(1)sin(2E+a)=sina,cos(2E+a)=cosa,tan(2E+a)=tana(%￡Z)

(2)sin(兀+a)=-sina,cos(7r+a)=-cosa,tan(7i+a)=tana

(3)sin(-a)=-sina,cos(-a尸cos。,tan(-a)=-tana

(4)sin(兀-a)=sina,cos(K-a)=-cosa,tan(7c-a)=-tana

JI

(5)sin(—-a)=cosa,cos(-a)=sina

JI

(6)sin(一+a)=cosacos(—+a)—sina

口訣：奇變偶不變，符號(hào)看象限

7.特殊角的三角函數(shù)值

0°30°45°60°90°120°135°150°180°

11

since0旦正1迫近0

222222

1_j_

cosa1在旦0也—也-1

222222

V3

tana010無意義-10

~T3

8.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)

三角函數(shù)y=sinay=cosay=tana

k

yyUJ

圖像35

(\227fVff

Z

0￥0X/\(\

z.TC.7T.

定義域(-00,+oo)(-00,+oo)(Kit---，攵兀+—)

22

值域[-1,1][-1,1](-00,+oo)

最大（?。┊?dāng)戶22兀+—時(shí)，)max-1；當(dāng)X=2A兀時(shí)，）'max=l；

2

無

值（ZeZ）

當(dāng)x=2kn--時(shí)，Nmin=J當(dāng)x=2E+兀時(shí)，^min=-1

2

奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)

周期性T=2兀T=2nT=TI

_,71_.兀

在2k?！?2ZzrH—上增

單調(diào)性.22.在[2E-TT,2E]上增在,gk"])

(k￡z)3，在[2lat,2kn+兀]上減內(nèi)增

在—I4CI上減

2上工■+',2上)+T_

對(duì)稱性對(duì)稱中心:（左乃,0）對(duì)稱中心：（攵］+李0）,

jr對(duì)稱中心(攵1,0)

（AGz）對(duì)稱軸：X=kjr+—對(duì)稱軸：x=k兀

2

注：y=Asin（69x+^）g￡y=ACOS（69X+^9）的最小正周期為丁

y=Atan（mr+0）的最小正周期為T

9.兩角和與差的正弦、余弦、正切

Sm+夕)：sin(a+/7)=sinacosp+cosasin0；S{a_p)：sin(a-/?)二sinacos￡-cosasin^

Cg+伊：cos(<74-/?)=cos<zcos/?-sincrsinp；C的一為:cosa一4)=cosacos夕+sinasin夕

tana+tan07/tana-tanB

T(a+p)：tan(a+尸)=J：tan…

1—tanatan/3

______b

10.輔助角公式：asinx+bcosx=sin(x-i-(p),其中：tan(p=—

11.二倍角公式：S2a：sin2a=2sincrcoscir

2tana

C：cos2a=cos2cr-sin2a=l-2sin2a=2cos2a-\；T：tan2a

2a2a1-tan2a

12.降募公式：sinc^cosa=—sin2?,sin2a=--8s2a,cos2a=1+cos2a

222

13.函數(shù)丫=Asin（⑷r+e）的圖象變換

由函數(shù)丁=sinx的圖象通過變換得到y(tǒng)=Asin（@c+⑶的圖象，有兩種途徑:

法一：先平移后伸縮

y=sinx向左”>o）或向右（e<o）>y=sin(x+(p)

平移網(wǎng)個(gè)單位

橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼摹?/p>

舞笛工ising。）

-----------------@——>y=sin（①九+（p）

縱坐標(biāo)不變

法二：先伸縮后平移

橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼摹?/p>

向左">o）或向右（*<o）

y=sinx---------------------->y=sincux=sin(媛+9)

,縱坐標(biāo)不變

平移力|個(gè)單位

f^AsinU。)

14.函數(shù)y=Asin（mr+e）的物理意義

當(dāng)函數(shù)y=松山（0%+同（4>0,0〉0/€[0,+0）））表示一個(gè)振動(dòng)量時(shí),

振幅A：表示這個(gè)量振動(dòng)時(shí)離開平衡位置的最大距離；

周期7=強(qiáng)：往復(fù)振動(dòng)一次所需要的時(shí)間；

CD

頻率/=!=生：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)往復(fù)振動(dòng)的次數(shù);

T（D

相位：3C+0；

初相：。（即當(dāng)尤=0時(shí)的相位）.

第六章平面向量及其應(yīng)用

1.平面向量的相關(guān)概念：

（1）平面向量：在平面內(nèi)，具有大小和方向的量稱為平面向量.向量可用一條

有向線段來表示.有向線段的長度表示向量的大小，箭頭所指的方向表示向量的

方向.向量。的大小稱為向量的模（或長度），記作時(shí).

（2）模（或長度）為0的向量稱為零向量；模為1的向量稱為單位向量.

（3）與向量。長度相等且方向相反的向量稱為a的相反向量，記作-a.

（4）方向相同且模相等的向量稱為相等向量.

(5)平行向量(或共線向量)：方向相同或相反的兩個(gè)向量，規(guī)定：零向量與任

意向量平行

2.向量的加法運(yùn)算：

(1)三角形法則：首尾相連，連首尾，如AB+BC=AC；

(2)平行四邊形法則：公共起點(diǎn)，對(duì)角線

3.向量的減法運(yùn)算：三角形法則，要求共起點(diǎn)，指向被減向量，如AB-AC=CB

4.數(shù)乘向量：實(shí)數(shù)/I與空間向量a的乘積而是一個(gè)向量，稱為向量的數(shù)乘向量.

當(dāng)4>0時(shí)，義。與。方向相同；當(dāng)；1<0時(shí)，/la與。方向相反；

當(dāng)4=0時(shí)，而為零向量，記為0.的長度是a的長度的日倍.

5.實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算律：設(shè)，〃為實(shí)數(shù)，那么

(1)X(ga)=(X(i)a;(2)(X+g)a=X5+g5;(3)九(2+6)=入2+入B.

6.共線向量定理：向量a,正N0),a//8o存在實(shí)數(shù)4,使0=勸.

7.兩向量的夾角：已知兩個(gè)非零向量。和b,在平面任取一點(diǎn)O,作OA=a,

0B=。，則NAOB稱為向量a,。的夾角，記作〈。力〉，〈a,?！礶[0,司.

8.向量垂直：對(duì)于兩個(gè)非零向量a和6,若8,b)=；,則a,b垂直，記作

9.數(shù)量積：已知兩個(gè)非零向量a和。，則同Wcos〈a,b〉稱為a,。的數(shù)量積，記

作即=同人卜05〈4,?！?規(guī)定：零向量與任何向量的數(shù)量積為0.

10.投影向量：i在Lh的投影向量等于同cos。￡(其中；為與人司向的單位向量)

11.數(shù)量積的性質(zhì)：

(1)a2-a-a-kz|2<=>\a\->Ja-a；(2)aLbd-b\(3)cos(a,b)="

'/徘|

12.向量的數(shù)量積的運(yùn)算律：(1)ab=b-a(交換律)；

(2)(Aa)-b=A(a-b)=Aa-b=a-(Ab);(3)(a+b)-C=a-C+bc；

(4)(a±Z?)=|a|2+2a-/>+|/?|,(a+b)-b)=忖.

13.平面向量基本定理：如果耳、a是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于

這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)入I、九2,使得G=Xie,+九2瓦.

不共線的向量不、瓦叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.

14.坐標(biāo)運(yùn)算：（1）設(shè)a=（項(xiàng)，x）,6=（%2,刈），貝”：

fTT/\/\TT

口±/?=（尤1土/，》士丫2），入a=2（內(nèi)，3）=（而a-b^xlx2+yiy2

（2）設(shè)A、8兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（xi,yi）,（X2,y2）,則e=（&-再,力一片）.（終

點(diǎn)減起點(diǎn)），IA81=NABAB=）2+（%-y）2

（3）向量。的模|a|：\a\2-a-a-x2+y2=y/x2+y2

（4）向量a=（X|，M）,。=（彳2，%）的夾角8，則cos0=/7J?+：i*『.

yl^+y^yjx^+y^

15.向量平行與垂直的坐標(biāo)表示：

（1）兩個(gè)向量平行：allboa-Ab（2e/?）>a//bo匹內(nèi)—%2>1=。

（2）兩個(gè)非零向量垂直：a_L8。用工2+y%=0

16.向量中一些常用的結(jié)論：

（1）在AA8C中，

①若A&，%），8（々,必）,。（七,%），則其重心坐標(biāo)為G［白+；+.,且士苧?）;

②PG=g（PA+PB+PC）0G為MBC重心、；

特別地，PA+P8+PC=0oP為AA8C的重心；

③尸428=心，。=尸。2402為八45。的垂心；

④向量旦+^^）（幾豐0）所在直線過AABC的內(nèi)心（是N84C的角平分線所在

|AB||AC|

直線）；

（2）A、B、。共線o存在實(shí)數(shù)入〃使得APB+R；C且；l+〃=L

17.三角形的四心

垂心.——三角形的三邊上的高相交于一點(diǎn)

重心——三角形三條中線的相交于一點(diǎn)

外心.—三角形三邊垂直平分線相交于一點(diǎn)

內(nèi)心——三角形三內(nèi)角的平分線相交于一點(diǎn)

18.三角形中的重要結(jié)論

（1）在三角形中，大邊對(duì)大角，小邊對(duì)小角（a>b=A>BosinA>sinB）

⑵三角形內(nèi)角的正弦值一定大于0,銳角的余弦值大于0,直角的余弦值等于

0,鈍角的余弦值小于0.

19.三角形中的誘導(dǎo)公式

sin（B+C）=sinAcos（B+C）=-cosAtan（5+C）=-tanA

sin（A+C）=sinBcos（A+B）=-cosCtan（A+B）=-tanC

sin（A+jB）=sinCcos（A+C）=-cosBtan（A+C）=-tanB

20.正弦定理和余弦定理

定理正弦定理余弦定理

-2-=-5—=-^―=2RQ2=〃+/-2bccosA,

sinXsinfisinC

內(nèi)容。2=〃2+/-2tzccosB,

(R是△ABC外接圓半徑)

c2=a2+h2-2ahcosC

①Q(mào)=2RsinA,b=2RsinB,c=2/?sinC；b2^c2^a2

cosAA=

2bc

a2-￥c2~b2

②sinA=—,sinB=—,sinC=—；COSD=

變形2A2Jt2ac

萬小+爐一C2

形式(3)asmB=bsinA,bsinC=csinB,asinC=csinAcosC=-u

2ab

④a：bxc=sinA：sinB：sinC

21.三角形常用面積公式

S=—absinC=—acsinB=—besinA==—(a+b+c)r(分別為△ABC外

2224R2

接圓，內(nèi)切圓半徑)

第七章復(fù)數(shù)

1.復(fù)數(shù)的概念

形如a+4(a,Z?WR)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中i叫做虛數(shù)單位，。叫做實(shí)部，8叫做虛

部。全體復(fù)數(shù)所成的集合C叫做復(fù)數(shù)集。復(fù)數(shù)通常用字母z表示.

2.復(fù)數(shù)的分類

a+5為實(shí)數(shù)08=0

z=a+Z?i(a,Z?￡7?)a+bi為虛數(shù)QbWO

a+bi為純虛數(shù)=a=0且8W0

3.復(fù)數(shù)相等：a+bi=c+dioa=c,b=d(a,b,c,deR)

也就是說，兩個(gè)復(fù)數(shù)相等，充要條件是他們的實(shí)部和虛部分別相等

4.復(fù)數(shù)的幾何意義：z=a+尻(a,beR)</應(yīng)->Z(a,b)<小廠>OZ=(a,b)

5.復(fù)數(shù)的模

向量OZ的模叫復(fù)數(shù)z=a+次的模，記作同或k+可，\z\=\a+bi\=y]a2+b2

6.共扼復(fù)數(shù)

實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)，z=a+沅的共血復(fù)數(shù)記作2-萬

7.復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則

設(shè)zi=〃+/?i,Z2=c+di,。，b,c,d￡R

①4±z2=Q+bi±(c+Qi)=(Q±c)+S±d)i

(2)Zj-z2=(?+Z?z)?(c+t/z)=(ac-bd)+(he+ad)i

③Z]_(〃+》，)_(a-hbi)(c-di)_(ac+bd)+(be-ad)i

z2(c+di)(c+di)?(c—di)

8.實(shí)系數(shù)一元二次方程的復(fù)數(shù)根

對(duì)于實(shí)系數(shù)一元二次方程加+fot+c=O(awO),其判別式A=/-4",則:

⑴當(dāng)相。時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根：寸土絆逅-b-ylb^-4ac

2a

一b+14cle-b2i-b-y]4ac-b2i

(2)當(dāng)AvO時(shí)，方程有兩個(gè)虛數(shù)根:

^ia，”^

(3)若Z]=。+歷是實(shí)系數(shù)一元二次方程or2+6x+c=0(aH0)的一個(gè)虛數(shù)根，則

其共軌虛數(shù)-為也是它的一個(gè)虛數(shù)根，即方程的虛數(shù)根一定成對(duì)出現(xiàn).

第八章立體幾何初步

1.空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征

(1)棱柱：有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且相鄰兩個(gè)四邊形的公

共邊都互相平行.

(2)棱錐：有一個(gè)面是多邊形,其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形.

(3)棱臺(tái)：用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面和截面之間那部分，

棱臺(tái)側(cè)棱延長線必交于一點(diǎn).

(4)圓柱：以矩形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的

幾何體

(5)圓錐：以直角三角形的一條直角邊所在直線為旗轉(zhuǎn)軸,其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形

成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體

(6)圓臺(tái)：用一個(gè)平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面與截面之間的部分；

圓臺(tái)也可以看作是以直角梯形垂直于底邊的腰所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)

而形成的曲面所圍成的幾何體

(7)球：以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體

2.直觀圖

(1)斜二測(cè)畫法規(guī)則

①在己知圖形中取互相重直的x軸或y軸，兩軸相交于點(diǎn)O,畫直觀圖時(shí)，把它

們畫成對(duì)應(yīng)的x'軸與y'軸，兩軸相交于點(diǎn)0',且Zx'O'y'=45。(或135。)；

②已知圖形中平行于X軸或y軸的線段,在直觀圖中分別畫成平行于￡軸與y軸

的線段；

③已知圖形中平行于X軸的線段，在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線

段，在直觀圖中長度為原來的一半.

（2）原平面圖形與直觀圖面積之間關(guān)系：S直=^S原，S原=2&S直.

3.棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積與體積

（1）表面積：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積就是圍成它們的各個(gè)面的面積的和.

（2）體積

棱柱：柱體的底面面積為S,高為h,則V=Sh

棱錐：錐體的底面面積為S,高為h,則丫=工助

3

棱臺(tái)：臺(tái)體的上、下底面面積分別為S',S,高為/z,則V=；（5'+阿+s）〃

4.圓柱、圓錐、圓臺(tái)的表面積與體積

（1）表面積

側(cè)面積底面積表面積

2

圓柱（底面半徑廠，母線長/）2m7萬廣2門（r+/）

圓錐（底面半徑r,母線長/）7irlnr14廣（廠+/）

圓臺(tái)（上、下底面半徑分別為S上二乃/2,

乃（/+尸）/"4-r2+//+〃）

r；r,母線長/）S上52

（2）體積

圓柱體積：/柱=+〃（r是底面半徑，〃是高）

2

圓錐體積：Vmf=^/rrh（r是底面半徑，力是高）

圓臺(tái)體積：/臺(tái)=3萬人（/2+/r+，）（//分別是上、下底面半徑，力是高）

5.球的表面積與體積

4

球的表面積：S球=4成\球的體積：V^=—7rr.

6.平面的三個(gè)基本事實(shí)

（1）過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.

（2）如果一條直線上兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi).

（3）如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公

共直線.

（4）推論

①經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面

②經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面

③經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面

7.空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

（1）空間中直線與直線的位置關(guān)系

相交：在同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)

平行：在同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)

異面：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)，既不相交又不平行

（2）空間中直線與平面的位置關(guān)系

直線在平面內(nèi)——有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)

直線與平面相交——有且只有一個(gè)公共點(diǎn)

直線與平面平行——沒有公共點(diǎn)

（3）空間中平面與平面的位置關(guān)系

兩個(gè)平面平行——沒有公共點(diǎn)；兩個(gè)平面相交——有一條公共直線

8.空間角

（1）異面直線所成的角

定義：經(jīng)過空間任一點(diǎn)。作直線b'//b,我們把熊與》所成的銳角（或直

角）叫做異面直線a與b所成的角（或夾角）.

特殊情況：異面直線。與。所成的角為90°時(shí)，

稱直線。與。垂直，記作a_Lb.

范圍：（0°,90°]

（2）直線與平面所成的角心

定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角，\

叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角，如圖NA8O=。即/V/年/

為直線AB與平面a所成的角.久一^——

范圍：

（3）二面角

定義：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二

面角的棱，這兩個(gè)半平面叫做二面角的面.

二面角的平面角：以二面角的公共直線上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂

直于公共直線的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角.二面角的

大小可用平面角表示.

范圍：[0；180°]

9.空間直線、平面的平行

（1）線面平行的判定定理和性質(zhì)定理

文字語言圖形語言符號(hào)語言

平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條1ea

判定

直線平行，則該直線與此平面平行aua?=>///a

定理

（簡(jiǎn)記為“線線平行=線面平行”）Z__/Illa

一條直線與一個(gè)平面平行，則過這

///a

性質(zhì)條直線的任一平面與此平面的交

/邙,=l〃b

定理線與該直線平行

anp=i

（簡(jiǎn)記為“線面平行=線線平行”）

（2）面面平行的判定定理和性質(zhì)定理

文字語言圖形語言符號(hào)語言

aua

一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一bua

判定

個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行acb=A-=>a//p

定理

（簡(jiǎn)記為“線面平行=面面平行”）口a//0

z?//p

如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)a//p

性質(zhì)6^7

平面相交，那么它們的交線平行acy=a

定理

（簡(jiǎn)記為“面面平行=線線平行”）0cy=力

10、空間直線、平面的垂直

（1）線面垂直判定定理和性質(zhì)定理

文字語言圖形語言符號(hào)語言

lla

一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交/

判定lA.b

直線都垂直，則該直線與此平面垂直-=>/±a

定理7anb=O

（簡(jiǎn)記為“線線垂直=線面垂直”）

aua,bua

ah

性質(zhì)垂直于同一平面的兩條直線平行a-La

定理（簡(jiǎn)記為“線面垂直=線線平行”）7Z?±a

（2）面面垂直的判定定理與性質(zhì)定理

文字語言圖形語言符號(hào)語言

一個(gè)平面過另一個(gè)平面的

判定4/±a

垂線，則這兩個(gè)平面垂直/>=>a±p

定理

（簡(jiǎn)記為“線面垂直=面面垂直”）1

兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)a_Lp

性質(zhì)垂直于交線的直線與另一個(gè)平ac0=。

/*=>/±a

定理面垂直/up

（簡(jiǎn)記為“面面垂直=線面垂直”）47lla

第九章統(tǒng)計(jì)

1.普查與抽樣調(diào)查

普查：對(duì)每一個(gè)調(diào)查對(duì)象都進(jìn)行調(diào)查的方法，又稱普查.

抽樣調(diào)查：從總體中抽取一部分個(gè)體進(jìn)行調(diào)查，并以此為依據(jù)對(duì)總體的情況作出

估計(jì)和推斷的調(diào)查方法.在一個(gè)抽樣調(diào)查中，我們把調(diào)查對(duì)象的全體稱為總體，

組成總體的每一個(gè)調(diào)查對(duì)象成為個(gè)體.

2.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣

（1）抽簽法：①給總體中的N個(gè)個(gè)體編號(hào)；②把所有編號(hào)寫在外觀、質(zhì)地等無

差別的小紙片（也可以是卡片、小球等）上作為號(hào)簽；③將這些小紙片放在一個(gè)

不透明的盒里，充分?jǐn)嚢?；④從盒中不放回地逐個(gè)抽取號(hào)簽，直到抽足樣本所需

要的個(gè)數(shù).

（2）隨機(jī)數(shù)法：①對(duì)總體中的N個(gè)個(gè)體編號(hào)；②用隨機(jī)數(shù)工具產(chǎn)生編號(hào)范圍內(nèi)

的整體隨機(jī)數(shù)；③把產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)作為抽中的編號(hào)，使與編號(hào)對(duì)應(yīng)的個(gè)體進(jìn)入樣

本；④重復(fù)上述過程，直到抽足樣本所需要的個(gè)數(shù).如果生成的隨機(jī)數(shù)有重復(fù)，

即同一編號(hào)被多次抽到，可以剔除重復(fù)的編號(hào)并產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)，直到產(chǎn)生的不同編

號(hào)個(gè)數(shù)等于樣本所需要的個(gè)數(shù).

（3）兩種方法的優(yōu)缺點(diǎn)

優(yōu)點(diǎn)缺點(diǎn)

抽簽法簡(jiǎn)單易行.當(dāng)總體較小時(shí)，號(hào)簽攪拌均當(dāng)總體較大時(shí)，費(fèi)時(shí)、費(fèi)力，

勻很容易，個(gè)體有均等的機(jī)會(huì)被抽取且號(hào)簽很難被攪拌均勻

隨機(jī)數(shù)法很好的解決了抽簽法中遇到的當(dāng)總體當(dāng)總體較大時(shí)，需要的樣本

個(gè)數(shù)較多時(shí)制簽難的問題容量較大時(shí)，不太方便

3.分層隨機(jī)抽樣

一般地，按一個(gè)或多個(gè)變量把總體劃分成若干個(gè)子總體，每個(gè)個(gè)體屬于且僅屬于

一個(gè)子總體，在每個(gè)子總體中獨(dú)立地進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，再把所有子總體中抽取

的樣本合在一起作為總樣本，這樣的抽樣方法稱為分層隨機(jī)抽樣，每一個(gè)子總體

稱為層.在分層隨機(jī)抽樣中，如果每層樣本量都與層的大小成比例，那么稱這種

樣本容量

樣本量的分配方式為比例分配，抽樣比，詈.

總體容量

4.頻率分布表與頻率分布直方圖的制作

（1）求極差：極差是一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差；

（2）決定組距與組數(shù)：確定一個(gè)合適的組距，按照組數(shù)=黠大致分組，一般

組距

數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)越多，所分組數(shù)也越多；

（3）將數(shù)據(jù)分組；（4）列頻率分布表:

(5)畫頻率分布直方圖：小長方形的面積=組距x黑|=頻率.