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文檔簡介
函數(shù)的概念與性質(zhì)
(時間:120分鐘滿分:150分)
一、單項選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,
只有一項是符合題目要求的)
1.函數(shù)/'(x)=4甲+T的定義域是()
A.[-1,+8)B.(-8,0)U(0,+8)
C.[-1,0)U(0,+8)D.R
l+x20,
解析:選C要使函數(shù)有意義,需滿足
xWO,
即—1且AC.
2.已知函數(shù)F(x+l)=ei,則〃2)=()
A.1B.0
C.eD.e2
解析:選AV/a+D=ev-1,
AA2)=Al+l)=e1-1=l.
[%+1,xWO,
3.已知函數(shù)f(x)=c、若〃方)=10,則a的值是()
[2%,x>0,
A.一3或5B.3或一3
C.-3D.3或一3或5
解析:選A若aWO,則f(a)=3+1=10,解得d=-3(a=3舍去);若a>0,則F(a)
=2a=10,解得a=5.
綜上可得,a=5或a=-3,故選A.
4.下列函數(shù)中,既是偶函數(shù)又在(0,+8)上單調(diào)遞增的是()
A.y=xB.y=Ix|+1
2.1
C.y=-x+1D.y=--
解析:選B尸x是奇函數(shù),故A不符合題意;y=R+l是偶函數(shù),在(0,+8)上
單調(diào)遞增,故B正確;尸一f+l是偶函數(shù),在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞減,C不合題意;y
=一」是奇函數(shù),D不合題意.
X
〃WR)的圖象過點(;,碼,則4+。等于()
5.已知幕函數(shù)f(x)=kxa(AeR,
1
-
2B.1
3
C-2D.2
解析:選A'騫函數(shù)/'(x)=Ax"(〃WR,aWR)的圖象過點生m),;.A=1,?=
I-111
y]2,:.a=:.A+c=1—2="-
6.已知/1(x)為奇函數(shù),當(dāng)*>0時,f(x)——x+2x,則/1(*)在[―3,—1]上()
A.單調(diào)遞增,最小值為一1
B.單調(diào)遞增,最大值為一1
C.單調(diào)遞減,最小值為一1
D.單調(diào)遞減,最大值為一1
解析:選Cf(x)=-*+2x,圖象為開口向下,對稱軸為x=l的拋物線,所以x〉0
時/Xx)在[1,3]上單調(diào)遞減.
因為f(x)為奇函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱,所以函數(shù)/'(x)在[-3,—1]也單調(diào)遞減.
8,0],當(dāng)時總
)
R的偶函數(shù),
/(—f>0可得/U—2x)>(一:)=/0),即
故/Xx)在[0,+8)上單調(diào)遞減.由/'(1—2x)一
f(1l—2x|)>/(;),所以11—2x|g,解得,<矛<|.
(a—3)x+5,
8.已知函數(shù)f(x)=<2a是R上的減函數(shù),那么a的取值范圍是
—,x>\
X
()
A.(0,3)B.(0,3]
C.(0,2)D.(0,2]
((a-3)x+5,xWl,
解析:選D?函數(shù)F(x)=(2a是R上的減函數(shù),
一,x>\
1x
時,f(x)單調(diào)遞減,即a—3<0,①
x>l時,F(xiàn)(x)單調(diào)遞減,即a〉0,②
9Q
且(。-3)-1+52了,③
聯(lián)立①②③解得0〈aW2,故選D.
二、多項選擇題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的四個選項中,
有多個選項是符合題目要求的,全部選對的得5分,選對但不全的得3分,有選錯的得0
分)
9.已知f(2x—1)=4/,則下列結(jié)論正確的是()
A.f⑶=9B.£(-3)=4
C./1(*)=/D./■(*)=(;(■+1產(chǎn)
解析:選BD因為A2x—1)=(2x—l)z+2(2x—1)+1,故f(x)=x+2x+l=(x+l))
故選項C錯誤,選項D正確;/(3)=16,f(—3)=4,故選項A錯誤,選項B正確.故選B、
D.
1+y
10.設(shè)/'(x)==,則下列結(jié)論一定正確的有()
A.f{—x)=—f(,x)B.=—f{x)
C.《一:)=/(x)D.F(—x)=f(x)
1+x1+(—-
解析:選BD因為f(x)=2J,所以F(—X)=^~——=/U),D正確,A錯誤;
X1—X)
f(x),B正確;
C錯誤.故選B、D.
11.如圖①是反映某條公交線路收支差額(即營運所得票價收入與付出成本的差)y與乘
客量x之間關(guān)系的圖象.由于目前該條公交線路虧損,公司有關(guān)人員提出了兩種調(diào)整的建議,
如圖②③所示.
則下列說法中,正確的有()
A.圖②的建議:提高成本,并提高票價
B.圖②的建議:降低成本,并保持票價不變
C.圖③的建議:提高票價,并保持成本不變
D.圖③的建議:提高票價,并降低成本
解析:選BC根據(jù)題意和圖②知,兩直線平行即票價不變,直線向上平移說明當(dāng)乘客
量為0時,收入是0但是支出變少了,即說明此建議是降低成本而保持票價不變,故B正確;
由圖③可以看出,當(dāng)乘客量為。時,支出不變,但是直線的傾斜角變大,即相同的乘客
量時收入變大,即票價提高了,即說明此建議是提高票價而保持成本不變,故C正確.
12.具有性質(zhì):/(?=-f(x)的函數(shù),我們稱為滿足“倒負(fù)”變換的函數(shù),下列函數(shù)中
滿足''倒負(fù)"變換的函數(shù)是()
A.B.f(x)=x+,
fix)=:XX
,x,0<Kl,,x,0<Xl,
0,x=l,/.0,x=l,
C.f(x)=<D.f{x)=<
11
—,x>1X>1
IXlx
解析:選AC對于A,/(;)=:一矛=一(*一;)=—/'(*),滿足"倒負(fù)”變換.對于B,
3=‘+X=X+,=/'(X)W—MX),不滿足“倒負(fù)”變換.對于C,當(dāng)時,->1,
X)XXX
=-;=—x=-F(x);當(dāng)x=l時,[=1,,e=0=-F(x)當(dāng)加時,0*1,4+:=
X
(一;)=—f(x),滿足‘'倒負(fù)"變換.對于D,當(dāng)(KK1時,:>1,—f(x),
x
不滿足“倒負(fù)”變換.
三、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.把答案填在題中橫線上)
13.已知事函數(shù)f(x)=(/Dfi,則〃2)=.
解析:因為f(x)=(m+1)/T是塞函數(shù),所以必+1=1,即勿=0,所以/'(x)=/‘,所
以/1(2)=27=*
答案:|
14.已知函數(shù)f(x)是奇函數(shù),當(dāng)%>0時,(x)=x(l—x),則當(dāng)K0時,f(x)=.
解析:因為求0,所以一力0,所以F(—x)=(—x)(l+x),又函數(shù)F(x)是奇函數(shù),所
以F(x)=-f(—x)=—(―x)(1+x)=x(l+x),所以當(dāng)矛<0時,F(xiàn)(x)=x(l+x).
答案:x(l+x)
15.已知/'(x)為定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x20時,f(x)=x,則f(—,5)=,
不等式F(l—2x)〈F(3)的解集是.
解析:由/'(*)為奇函數(shù)且x20時,/■(x)=A?,可得,/■(一4)=一尸(小牙20時,f(x)
=/單調(diào)遞增,根據(jù)奇函數(shù)的對稱性可知,f(x)在R上單調(diào)遞增,故由f(l—2x)<f(3)可得,
1-2K3,解得工〉一1.
答案:一3(―1,+°0)
16.設(shè)某公司原有員工100人從事產(chǎn)品4的生產(chǎn),平均每人每年創(chuàng)造產(chǎn)值1萬元(力為
正常數(shù)).公司決定從原有員工中分流^(0<K100,xGN*)人去進(jìn)行新開發(fā)的產(chǎn)品△的生產(chǎn).分
流后,繼續(xù)從事產(chǎn)品/生產(chǎn)的員工平均每人每年創(chuàng)造產(chǎn)值在原有的基礎(chǔ)上增長了感.若要保
證產(chǎn)品"的年產(chǎn)值不減少,則最多能分流的人數(shù)是.
解析:由題意,分流前每年創(chuàng)造的產(chǎn)值為100C(萬元),分流x人后,每年創(chuàng)造的產(chǎn)值
為(100—XA%)t,
[0<K100,A-EN*,
則由《
[(100-A-A%)i^lOOt,
50
解得
J
因為xGN*,所以x的最大值為16.
答案:16
四、解答題(本大題共6小題,共70分.解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演
算步驟)
17.(本小題滿分10分)已知函數(shù)f(x)=x+4,且/U)=3.
X
(1)求0的值;
(2)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性.
解:(D:f(D=3,即1+加=3,:.m=2.
2
(2)由(1)知,f(x)=*+,其定義域是{x|x#O,xGR},關(guān)于原點對稱,又?."(一%)
=-X—彳=—(x+£)=—f(x),,此函數(shù)是奇函數(shù).
18.(本小題滿分12分)已知/Xx)是R上的奇函數(shù),且當(dāng)x>0時,/Xx)=x2—x—l.
(1)求f(x)的解析式;
(2)作出函數(shù)f(x)的圖象(不用列表),并指出它的單調(diào)遞增區(qū)間.
解:(1)設(shè)水0,則一x>0,
所以F(一才)=(―x)?—(一才)-1=丁+x—1.
又因為函數(shù)/1(x)是奇函數(shù),所以/'(—x)=一『(*),
所以f{x)=-f{-x)=—X—x+l.
當(dāng)x=0時,由F(0)=-F(0),得/'(0)=0,
{x—x—\(%>0),
所以/U)={o(戶0),
[—x—x+l(X0).
(2)作出函數(shù)圖象,如圖所示.
由函數(shù)圖象易得函數(shù)/"(X)的單調(diào)遞增區(qū)間為(一8,一g,&,+8)
f(+f(—v)
19.(本小題滿分12分)已知f(x)是定義在R上的函數(shù),設(shè)g(x)=,,
(1)試判斷g(x)與從X)的奇偶性;
(2)試判斷g(x),AU)與/(%)的關(guān)系;
(3)由此你能猜想出什么樣的結(jié)論?
左力/\\F(—X)+f(x)/\,/\f(—X)—f(X),/\
解:(1)?.?/(—X)=-------------------------=g(x),力(一才)=--------9------------=—/?(%),
,g(x)是偶函數(shù),/?(x)是奇函數(shù).
/c、/、?、f(x)+F(—x).f(x)—F(—x).、
(2)g(x)+/?(x)=-----------------+-----------------=〃x).
(3)如果一個函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱,那么這個函數(shù)就一定可以表示為一個奇函數(shù)
與一個偶函數(shù)的和.
20.(本小題滿分12分)已知二次函數(shù)f(x)滿足F(x+1)—f(x)=-2x+l,且"2)=
15.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)令g(x)=(1—24x—=x).
①若函數(shù)g(x)在區(qū)間[0,2]上不是單調(diào)函數(shù),求實數(shù)〃,的取值范圍;
②求函數(shù)g(x)在區(qū)間[0,2]上的最小值.
解:(1)設(shè)f(x)=a*+Ax+c(aW0),則F(x+1)—F(x)=2ax+Z?+a=—2x+l,.\2a
=—2,a+b=\,Aa=—1,bf(2)=15,c=15,/.f{x)=—x+2x+15.
(2)g(x)=(1—2R)X—f(x)=/—(2%+l)x—15,其圖象的對稱軸為直線入=勿+,.
①,??g(x)在[0,2]上不單調(diào),,0<%+,<2,
②當(dāng)加+;W0,即后一]時,g(x)min=g(0)=—15;當(dāng)0<勿+興2,即一;<欣,時,g(x)
乙乙乙乙乙
/]、613
=J/7/+-J=—m—m—―;當(dāng)〃,十萬22,即加22時,g(x)min=g(2)=-4%一13.
21.(本小題滿分12分)某化學(xué)試劑廠以x千克/小時的速度勻速生產(chǎn)某種產(chǎn)品(生產(chǎn)條
件要求IWxWlO),每小時可獲得的利潤是(5x+l一習(xí)萬元.
(1)要使生產(chǎn)該產(chǎn)品2小時獲得的利潤不低于30萬元,求x的取值范圍;
(2)要使生產(chǎn)120千克該產(chǎn)品獲得的利潤最大,則該工廠應(yīng)該選取何種生產(chǎn)速度?并求
出最大利潤.
解:⑴由題意可知I,2(5x+l一9230.
所以5x2—14^—3=(5x+l)(x—3)20,
所以啟《或眾3.
又IWxWlO,所以3WxW10.
所以x的取值范圍是[3,10].
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