2025版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)考點(diǎn)突破第10章計(jì)數(shù)原理概率隨機(jī)變量及其分布第3講隨機(jī)事件的概率古典概型考點(diǎn)2古典概型

古典概型1.(2024·浙江金華一中月考)奧林匹克標(biāo)記由五個(gè)互扣的環(huán)圈組成，五環(huán)象征五大洲的團(tuán)結(jié)．五個(gè)奧林匹克環(huán)總共有8個(gè)交點(diǎn)，從中任取3個(gè)點(diǎn)，則這3個(gè)點(diǎn)恰好位于同一個(gè)奧林匹克環(huán)上的概率為(A)A.eq\f(3,14) B．eq\f(5,14)C．eq\f(3,7) D．eq\f(1,7)[解析]從8個(gè)點(diǎn)中任取3個(gè)點(diǎn)，共有Ceq\o\al(3,8)＝56種狀況，這3個(gè)點(diǎn)恰好位于同一個(gè)奧林匹克環(huán)上有3×Ceq\o\al(3,4)＝12種狀況，則所求的概率P＝eq\f(12,56)＝eq\f(3,14).故選A.2．(2024·河北邢臺(tái)質(zhì)檢聯(lián)盟月考)將甲、乙、丙、丁四名志愿者隨機(jī)支配到A，B，C，D四個(gè)社區(qū)做環(huán)保宣揚(yáng)，每個(gè)志愿者只能去其中一個(gè)社區(qū)且每個(gè)社區(qū)只能支配一名志愿者，則甲不被分到A社區(qū)的概率是(C)A.eq\f(7,8) B．eq\f(3,5)C．eq\f(3,4) D．eq\f(2,3)[解析]甲、乙、丙、丁四名志愿者隨機(jī)支配到A，B，C，D四個(gè)社區(qū)，共有Aeq\o\al(4,4)種狀況，其中甲不被分到A社區(qū)有Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,3)種狀況，故甲不被分到A社區(qū)的概率是eq\f(C\o\al(1,3)A\o\al(3,3),A\o\al(4,4))＝eq\f(3,4).故選C.3．(2024·河南豫東名校摸底)為進(jìn)一步強(qiáng)化學(xué)校美育育人功能，構(gòu)建“五育并舉”的全面培育的教化體系，某校開(kāi)設(shè)了傳統(tǒng)體育、美育、書(shū)法三門選修課程，該校某班級(jí)有6名同學(xué)分別選修其中的一門課程，每門課程至少有一位同學(xué)選修，則恰有2名同學(xué)選修傳統(tǒng)體育的概率為(D)A.eq\f(5,36) B．eq\f(1,6)C．eq\f(7,36) D．eq\f(7,18)[解析]6名同學(xué)分別選修一門課程，每門課程至少有一位同學(xué)選修，共有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(C\o\al(2,6)C\o\al(2,4)C\o\al(2,2),A\o\al(3,3))＋C\o\al(4,6)＋C\o\al(1,6)C\o\al(2,5)C\o\al(3,3)))·Aeq\o\al(3,3)＝540種．恰有2名同學(xué)選修傳統(tǒng)體育的狀況：Ceq\o\al(2,6)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C\o\al(1,4)＋\f(C\o\al(2,4)C\o\al(2,2),A\o\al(2,2))))·Aeq\o\al(2,2)＝210種．∴P＝eq\f(210,540)＝eq\f(7,18).故選D.4．(2024·湖北省調(diào)研)生活中人們常用“通五經(jīng)貫六藝”形容一個(gè)人才識(shí)技藝過(guò)人，這里的“六藝”其實(shí)源于中國(guó)周朝的貴族教化體系，具體包括“禮、樂(lè)、射、御、書(shū)、數(shù)”．為弘揚(yáng)中國(guó)傳統(tǒng)文化，某校在周末學(xué)生業(yè)余愛(ài)好活動(dòng)中開(kāi)展了“六藝”學(xué)問(wèn)講座，每藝支配一節(jié)，連排六節(jié)，則滿足“數(shù)”必需排在前兩節(jié)，“禮”和“樂(lè)”必需分開(kāi)支配的概率為(C)A.eq\f(7,60) B．eq\f(1,6)C.eq\f(13,60) D．eq\f(1,4)[解析]解法一：當(dāng)“數(shù)”位于第一位時(shí)，“禮”“樂(lè)”分開(kāi)有Aeq\o\al(5,5)－Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(2,2)種排法；當(dāng)“數(shù)”位于其次位時(shí)，“禮”“樂(lè)”分開(kāi)有Aeq\o\al(5,5)－Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(2,2)種排法．故滿足條件的事務(wù)的概率為：eq\f(A\o\al(5,5)－C\o\al(1,3)A\o\al(2,2)A\o\al(3,3)＋A\o\al(5,5)－A\o\al(4,4)A\o\al(2,2),A\o\al(6,6))＝eq\f(13,60)，故選C.解法二：當(dāng)“數(shù)”位于第一位時(shí)，有Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(2,4)種；當(dāng)“數(shù)”位于其次位時(shí)，有Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,3)種，總排法有Aeq\o\al(6,6)種，∴所求概率P＝eq\f(A\o\al(3,3)A\o\al(2,4)＋C\o\al(1,2)A\o\al(4,4)＋C\o\al(1,3)A\o\al(2,2)A\o\al(2,3),A\o\al(6,6))＝eq\f(13,60).[引申]本例4中，(1)“必需分開(kāi)”改為“相鄰”，則概率為eq\f(7,60)；(2)“必需分開(kāi)”改為“不和數(shù)相鄰”的概率為eq\f(3,20).[解析](1)P＝eq\f(A\o\al(4,4)A\o\al(2,2)＋C\o\al(1,3)A\o\al(3,3)A\o\al(2,2),A\o\al(6,6))＝eq\f(7,60).(2)P＝eq\f(C\o\al(1,3)A\o\al(4,4)＋C\o\al(1,3)C\o\al(1,2)A\o\al(3,3),A\o\al(6,6))＝eq\f(3,20).名師點(diǎn)撥：求古典概型的概率的關(guān)鍵是求試驗(yàn)的基本事件的總數(shù)和事務(wù)A包含的基本事件的個(gè)數(shù)，這就須要正確列出基本事件，基本事件的表示方法有列舉法、列表法和樹(shù)狀圖法，較困難事務(wù)的基本事件數(shù)可用排列、組合學(xué)問(wèn)求得，具體應(yīng)用時(shí)可依據(jù)須要靈敏選擇．含有“至多”“至少”等類型的概率問(wèn)題，從正面求解比較困難或者比較煩瑣時(shí)，可考慮其反面，即對(duì)立事務(wù)，然后應(yīng)用對(duì)立事務(wù)的性質(zhì)P(A)＝1－P(eq\x\to(A))進(jìn)一步求解．【變式訓(xùn)練】1．(2024·廣東南粵名校聯(lián)考)從正整數(shù)1,2，…，10中隨意取出兩個(gè)不同的數(shù)，則取出的兩個(gè)數(shù)的和等于某個(gè)正整數(shù)的平方的概率為(C)A.eq\f(1,9) B．eq\f(6,45)C．eq\f(7,45) D．eq\f(8,45)[解析]從1,2，…，10中隨意取出兩個(gè)不同的數(shù)，共有Ceq\o\al(2,10)＝45種選擇，其中(1,3)，(1,8)，(2,7)，(3,6)，(4,5)，(6,10)，(7,9)滿足取出的兩個(gè)數(shù)的和等于某個(gè)正整數(shù)的平方，故取出的兩個(gè)數(shù)的和等于某個(gè)正整數(shù)的平方的概率為eq\f(7,45).故選C.2．甲、乙、丙、丁四位同學(xué)站成一排照相，則甲、乙兩人中至少有一人站在兩端的概率為(A)A.eq\f(5,6) B．eq\f(1,2)C．eq\f(1,3) D．eq\f(2,3)[解析]∵甲、乙、丙、丁四位同學(xué)站成一排照相，基本事件總數(shù)n＝Aeq\o