2024學年高二數(shù)學上學期同步精講精練(人教A版選擇性必修第二冊)拓展二：數(shù)列求和(精講)(原卷版+解析)

拓展二：數(shù)列求和（精講）（精講）目錄第一部分：知識點精準記憶第二部分：典型例題剖析重點題型一：倒序相加法重點題型二：分組求和法重點題型三：裂項相消法角度1：等差型角度2：無理型角度3：指數(shù)型角度4：通項裂項為“”型重點題型四：錯位相減法重點題型五：奇偶項討論求和角度1：求的前項和角度2：求的前項和重點題型六：通項含絕對值數(shù)列求和重點題型七：插入新數(shù)列混合求和第一部分：知識點精準記憶第一部分：知識點精準記憶知識點一：倒序相加法即如果一個數(shù)列的前項中，距首末兩項“等距離”的兩項之和都相等，則可使用倒序相加法求數(shù)列的前項和.知識點二：分組求和法1如果一個數(shù)列可寫成的形式，而數(shù)列，是等差數(shù)列或等比數(shù)列或可轉(zhuǎn)化為能夠求和的數(shù)列，那么可用分組求和法.2如果一個數(shù)列可寫成的形式，在求和時可以使用分組求和法.知識點三：裂項相消法1、等差型=1\*GB3①特別注意②如：（尤其要注意不能丟前邊的）2、無理型=1\*GB3①如：3、指數(shù)型①如：4、通項裂項為“”型如：①②本類模型典型標志在通項中含有乘以一個分式.知識點四：錯位相減法錯位相減法求和：如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應項之積構(gòu)成的，那么這個數(shù)列的前項和即可用此法來求.倍錯位相減法：若數(shù)列的通項公式，其中、中一個是等差數(shù)列，另一個是等比數(shù)列，求和時一般可在已知和式的兩邊都乘以組成這個數(shù)列的等比數(shù)列的公比，然后再將所得新和式與原和式相減，轉(zhuǎn)化為同倍數(shù)的等比數(shù)列求和．這種方法叫倍錯位相減法．知識點五：奇偶項討論求和1、通項公式分奇、偶項有不同表達式；例如：角度1：求的前項和角度2：求的前項和2、通項含有的類型；例如：第二部分：第二部分：典型例題剖析重點題型一：倒序相加法典型例題例題1．(2023·全國·高二課時練習）已知為等比數(shù)列，且，若，求的值．例題2．(2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，數(shù)列的前項和為，點均在函數(shù)的圖象上，函數(shù).(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求的值；(3)令，求數(shù)列的前2020項和.同類題型歸類練1．(2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，，正項等比數(shù)列滿足，則值是多少？.2．(2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)對任意的，都有，數(shù)列滿足….求數(shù)列的通項公式.重點題型二：分組求和法典型例題例題1．(2023·四川·射洪中學高二開學考試）已知各項都不相等的等差數(shù)列，，又，，成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設，求數(shù)列的前項和.例題2．(2023·四川·成都七中高三開學考試（理））已知公差不為0的等差數(shù)列的前項和為，，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若數(shù)列，，求數(shù)列的前項和.同類題型歸類練1．(2023·全國·高二課時練習）在公差為2的等差數(shù)列中，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前20項和．2．(2023·廣東·南海中學高二階段練習）已知數(shù)列的前n項和滿足且．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，，數(shù)列的前n項和，求的值．重點題型三：裂項相消法角度1：等差型典型例題例題1．(2023·四川省高縣中學校高二階段練習）已知數(shù)列的前項和為，且.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)令，求數(shù)列的前項和.例題2．(2023·安徽·高三開學考試）已知數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)求數(shù)列的前項和.例題3．(2023·吉林·東北師大附中高三開學考試）已知二次函數(shù)，當時，把在此區(qū)間內(nèi)的整數(shù)值的個數(shù)表示為．(1)求和，并求時的表達式；(2)令，數(shù)列的前項和為，求證：．同類題型歸類練1．(2023·全國·高三專題練習）若數(shù)列滿足(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)若，求數(shù)列的前項和.2．(2023·安徽·高三開學考試）已知數(shù)列滿足，且數(shù)列的前項和為．(1)求數(shù)列的通項公式;(2)已知，記數(shù)列的前項和為，求證:．3．(2023·福建·廈門海滄實驗中學高二期中）已知數(shù)列的前n項和為，且是和1的等差中項，等差數(shù)列滿足，．(1)求數(shù)列，的通項公式；(2)設，數(shù)列的前n項和為，求的取值范圍．角度2：無理型典型例題例題1．(2023·江西·南城縣第二中學高二階段練習（文））已知數(shù)列的前項和為，且.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設，，求數(shù)列的前項和例題2．(2023·全國·高三專題練習）已知等差數(shù)列的前項和為，，.(1)求的通項公式；(2)設，數(shù)列的前項和為，證明：當，時，.同類題型歸類練1．(2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列中，，，令.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前14項和.2．(2023·黑龍江齊齊哈爾·一模（文））設數(shù)列的前n項和為，滿足.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)記，求數(shù)列的前n項和.角度3：指數(shù)型典型例題例題1．(2023·全國·高二課時練習）設是等比數(shù)列的前項和，已知，(1)求和；(2)若，求數(shù)列的前項和．例題2．(2023·遼寧·遼陽市第一高級中學高二期末）已知數(shù)列的前項和為，______，(1)求數(shù)列的通項公式；(2)記，是數(shù)列的前項和，若對任意的，，求實數(shù)的取值范圍．在下面三個條件中任選一個，補充在上面問題中并作答．①；②；③.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．例題3．(2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列的前項和滿足.(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)設數(shù)列的前項和為，求證：.同類題型歸類練1．(2023·安徽·高三開學考試）已知數(shù)列滿足且，且.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)設數(shù)列的前項和為，求證：.2．(2023·全國·高三專題練習）已知等比數(shù)列的前n項和為（），滿足，，成等差數(shù)列，且.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.3．(2023·廣東·珠海市第二中學高二階段練習）已知數(shù)列和的通項公式：，(1)求數(shù)列的前n項和．(2)求數(shù)列的前n項和．4．(2023·全國·高三專題練習）設數(shù)列的前n項和為，．(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列．(2)若數(shù)列的前m項和，求m的值．角度4：通項裂項為“”型典型例題例題1．(2023·浙江·高三開學考試）已知數(shù)列為公差不為0的等差數(shù)列，且成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設為數(shù)列的前項和，令，求數(shù)列的前2022項和.例題2．(2023·河北·石家莊二中高二期末）已知等差數(shù)列為遞增數(shù)列，(1)求的通項公式；(2)若數(shù)列滿足，求的前項和：(3)若數(shù)列滿足，求的前項和的最大值?最小值.同類題型歸類練1．(2023·湖北·襄陽五中高三開學考試）已知數(shù)列的首項為3，且．(1)證明數(shù)列是等差數(shù)列，并求的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和．2．(2023·湖北·高二階段練習）已知等差數(shù)列{}的公差為2，前n項和為，且，，成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列{}的通項公式；(2)令，設數(shù)列{}的前n項和，求.重點題型四：錯位相減法典型例題例題1．(2023·湖北·高三開學考試）已知數(shù)列前項和為，且.(1)求；(2)設，求數(shù)列的前項和.例題2．(2023·山西大附中高三階段練習）在數(shù)列中，，，，其中.(1)證明數(shù)列是等差數(shù)列，并寫出證明過程；(2)設，且，數(shù)列的前項和為，求；同類題型歸類練1．(2023·廣東深圳·高三階段練習）已知數(shù)列的前項和為，且.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若數(shù)列的前項和為，證明：.2．(2023·湖南·高三開學考試）已知數(shù)列滿足，且.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設，求證：.3．(2023·甘肅臨夏·高二期末（理））已知等差數(shù)列．請你在①，②中選擇一個求解．①若，；②若，前3項和．注：如果選擇不同的條件分別解答，則按第一個解答計分．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設，求數(shù)列的前n項和．重點題型五：奇偶項討論求和角度1：求的前項和典型例題例題1．(2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列的前項和為，點在曲線上．(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)設，求數(shù)列的前項和．例題2．(2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足，，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列的前項的和.同類題型歸類練1．(2023·江蘇·金沙中學高二階段練習）在等比數(shù)列中，公比，等差數(shù)列滿足，，.(1)求數(shù)列與的通項公式；(2)記，求數(shù)列的前項和.2．(2023·江蘇·高二期末）已知是公差不為0的等差數(shù)列，是等比數(shù)列，，.(1)求和的通項公式；(2)記，求數(shù)列的前2n項和.3．(2023·全國·高三專題練習）已知是數(shù)列的前n項和，且.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)記，求數(shù)列的前項和.角度2：求的前項和典型例題例題1．(2023·全國·高三專題練習）已知正項數(shù)列的前項和滿足：，數(shù)列滿足，且．(1)求的值及數(shù)列的通項公式；(2)設，數(shù)列的前項和為，求．例題2．(2023·廣東佛山·三模）設各項非零的數(shù)列的前項和記為，記，且滿足．(1)求的值，證明數(shù)列為等差數(shù)列并求的通項公式；(2)設，求數(shù)列的前項和．例題3．(2023·山東濰坊·高二階段練習）設數(shù)列的前項和為，且滿足．(1)求；(2)設求數(shù)列的前項和．同類題型歸類練1．(2023·全國·高二課時練習）在等差數(shù)列中，是數(shù)列的前n項和，已知，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前n項和．2．(2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足，.(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列.(2)求數(shù)列的前n項和.3．(2023·廣東廣州·高二期末）已知數(shù)列的前n項和為(1)求的通項公式；(2)設，求數(shù)列的前n項和．重點題型六：通項含絕對值數(shù)列求和典型例題例題1．(2023·江蘇省鎮(zhèn)江中學高二開學考試）已知數(shù)列中，，數(shù)列滿足：．(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；(2)求的值；(3)求數(shù)列中的最大項和最小項，并說明理由．例題2．(2023·廣東·深圳實驗學校高二階段練習）設數(shù)列的前項和為，已知()．（1）求數(shù)列的通項；（2）求數(shù)列的前項的和．同類題型歸類練1．(2023·海南·嘉積中學高三階段練習）已知是數(shù)列的前項和，且．（1）求；（2）求數(shù)列的前項和為．2．(2023·遼寧·高二期中）已知在前n項和為的等差數(shù)列中，，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列的前20項和．重點題型七：插入新數(shù)列混合求和典型例題例題1．(2023·重慶南開中學高二期末）已知正項等差數(shù)列滿足，且，，成等比數(shù)列．(1)求的通項公式及前項和；(2)保持中各項的先后順序不變，在與之間插入個構(gòu)成新數(shù)列，求數(shù)列的前24項和．例題2．(2023·全國·高三專題練習）已知公差為的等差數(shù)列和公比的等比數(shù)列中，，.(1)求數(shù)列和的通項公式；(2)令，抽去數(shù)列的第3項?第6項?第9項?.....第項?....，余下的項的順序不變，構(gòu)成一個新數(shù)列，求數(shù)列的前2023項和.例題3．(2023·全國·高三專題練習）設數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，滿足，.數(shù)列的前項和為，且滿足.(1)求數(shù)列和的通項公式；(2)在和之間插入1個數(shù)，使，，成等差數(shù)列；在和之間插入2個數(shù)，，使，，，成等差數(shù)列；……；在和之間插入個數(shù)，，…，，使，，，…，，成等差數(shù)列.（i）求；（ii）是否存在正整數(shù)，，使成立？若存在，求出所有的正整數(shù)對；若不存在，請說明理由.同類題型歸類練1．(2023·上海普陀·二模）設是各項為正的等比數(shù)列的前項的和，且，，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)在數(shù)列的任意與項之間，都插入（）個相同的數(shù)，組成數(shù)列，記數(shù)列的前項的和為，求的值.2．(2023·四川省瀘縣第二中學模擬預測（理））已知數(shù)列滿足．(1)求的通項公式；(2)在和中插入k個相同的數(shù)，構(gòu)成一個新數(shù)列，，求的前45項和．3．(2023·四川宜賓·高一期末）已知數(shù)列滿足，．(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；(2)在0和之間插入n個數(shù)，使得這n＋2個數(shù)成等差數(shù)列且公差記為，求數(shù)列的前n項和．拓展二：數(shù)列求和（精講）（精講）目錄第一部分：知識點精準記憶第二部分：典型例題剖析重點題型一：倒序相加法重點題型二：分組求和法重點題型三：裂項相消法角度1：等差型角度2：無理型角度3：指數(shù)型角度4：通項裂項為“”型重點題型四：錯位相減法重點題型五：奇偶項討論求和角度1：求的前項和角度2：求的前項和重點題型六：通項含絕對值數(shù)列求和重點題型七：插入新數(shù)列混合求和第一部分：知識點精準記憶第一部分：知識點精準記憶知識點一：倒序相加法即如果一個數(shù)列的前項中，距首末兩項“等距離”的兩項之和都相等，則可使用倒序相加法求數(shù)列的前項和.知識點二：分組求和法1如果一個數(shù)列可寫成的形式，而數(shù)列，是等差數(shù)列或等比數(shù)列或可轉(zhuǎn)化為能夠求和的數(shù)列，那么可用分組求和法.2如果一個數(shù)列可寫成的形式，在求和時可以使用分組求和法.知識點三：裂項相消法1、等差型=1\*GB3①特別注意②如：（尤其要注意不能丟前邊的）2、無理型=1\*GB3①如：3、指數(shù)型①如：4、通項裂項為“”型如：①②本類模型典型標志在通項中含有乘以一個分式.知識點四：錯位相減法錯位相減法求和：如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應項之積構(gòu)成的，那么這個數(shù)列的前項和即可用此法來求.倍錯位相減法：若數(shù)列的通項公式，其中、中一個是等差數(shù)列，另一個是等比數(shù)列，求和時一般可在已知和式的兩邊都乘以組成這個數(shù)列的等比數(shù)列的公比，然后再將所得新和式與原和式相減，轉(zhuǎn)化為同倍數(shù)的等比數(shù)列求和．這種方法叫倍錯位相減法．知識點五：奇偶項討論求和1、通項公式分奇、偶項有不同表達式；例如：角度1：求的前項和角度2：求的前項和2、通項含有的類型；例如：第二部分：第二部分：典型例題剖析重點題型一：倒序相加法典型例題例題1．(2023·全國·高二課時練習）已知為等比數(shù)列，且，若，求的值．答案：2021【詳解】因為為等比數(shù)列，，所以，因為，所以，同理可得，所以例題2．(2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，數(shù)列的前項和為，點均在函數(shù)的圖象上，函數(shù).(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求的值；(3)令，求數(shù)列的前2020項和.答案：(1)(2)(3)（1）因為點均在函數(shù)的圖象上，所以，當時，，當時，，適合上式，所以.（2）因為，所以，所以.（3）由（1）知，可得，所以，①又因為，②因為，所以①②，得，所以.同類題型歸類練1．(2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，，正項等比數(shù)列滿足，則值是多少？.答案：【詳解】因為，所以.因為數(shù)列是等比數(shù)列，所以，即.設①，又＋…＋②，①+②，得，所以.2．(2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)對任意的，都有，數(shù)列滿足….求數(shù)列的通項公式.答案：【詳解】因為，.故….①….②①+②，得，.所以數(shù)列的通項公式為.重點題型二：分組求和法典型例題例題1．(2023·四川·射洪中學高二開學考試）已知各項都不相等的等差數(shù)列，，又，，成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設，求數(shù)列的前項和.答案：(1)(2)（1）∵為各項都不相等的等差數(shù)列，設的公差為，，且，，成等比數(shù)列.所以，解得，∴數(shù)列的通項公式.（2）由（1）知，，記數(shù)列的前項和為，則.記，，則，.故數(shù)列的前項和.例題2．(2023·四川·成都七中高三開學考試（理））已知公差不為0的等差數(shù)列的前項和為，，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若數(shù)列，，求數(shù)列的前項和.答案：(1)；(2).（1）由題設，則，即，所以，而，易得，則，故.（2）由（1）知：，則，所以.同類題型歸類練1．(2023·全國·高二課時練習）在公差為2的等差數(shù)列中，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前20項和．答案：(1)(2)270（1）由，得，所以，故．（2）因為，所以，又，，，所以．2．(2023·廣東·南海中學高二階段練習）已知數(shù)列的前n項和滿足且．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，，數(shù)列的前n項和，求的值．答案：(1)(2)(1)當時，，解得或0（舍去）當時，，，兩式相減得：，即，，又因為，所以；所以，即，數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列，(2)因為，所以，，，…，所以.重點題型三：裂項相消法角度1：等差型典型例題例題1．(2023·四川省高縣中學校高二階段練習）已知數(shù)列的前項和為，且.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)令，求數(shù)列的前項和.答案：(1)(2)（1）當時，，即，當時，，因為滿足上式，所以，（2）由（1）得，所以數(shù)列的前n項和為例題2．(2023·安徽·高三開學考試）已知數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)求數(shù)列的前項和.答案：(1)(2)（1）解：因為，，令，則，即，解得，由題知，由，兩邊同除以，得，所以數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，所以，即.（2）解：由（1）及條件可得，所以例題3．(2023·吉林·東北師大附中高三開學考試）已知二次函數(shù)，當時，把在此區(qū)間內(nèi)的整數(shù)值的個數(shù)表示為．(1)求和，并求時的表達式；(2)令，數(shù)列的前項和為，求證：．答案：(1)，，，；(2)證明見解析（2）由（1）可得當時，利用裂項相消法求和即可得證.（1）解：二次函數(shù)對稱軸為，當時函數(shù)單調(diào)遞減，又，，即在上的值域為，所以；當時函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，即在上的值域為，所以；當時在上單調(diào)遞增，又，所以，（2）解：由（1），所以當時，所以數(shù)列的前項和.同類題型歸類練1．(2023·全國·高三專題練習）若數(shù)列滿足(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)若，求數(shù)列的前項和.答案：(1)證明見解析(2).（1）證明：因為an≠0，∵an＋1＝，∴＝，∴－＝，又a1＝，則＝2，∴數(shù)列是以2為首項，為公差的等差數(shù)列.（2）由（1）知，＝2＋（n－1）＝，即an＝，∴bn＝＝4，∴Sn＝4＝4＝.2．(2023·安徽·高三開學考試）已知數(shù)列滿足，且數(shù)列的前項和為．(1)求數(shù)列的通項公式;(2)已知，記數(shù)列的前項和為，求證:．答案：(1)(2)證明見解析（1）記數(shù)列的前n項和為，則．當時．，當時，，則，∴．（2）由題意得，，∴．3．(2023·福建·廈門海滄實驗中學高二期中）已知數(shù)列的前n項和為，且是和1的等差中項，等差數(shù)列滿足，．(1)求數(shù)列，的通項公式；(2)設，數(shù)列的前n項和為，求的取值范圍．答案：(1)，；(2).（1）∵是和1的等差中項，∴，當時，，∴,當時，，∴，即,∴數(shù)列是以為首項，2為公比的等比數(shù)列，∴，，設的公差為d，，，∴，∴；（2）∵，∴，∵，∴，又，∴數(shù)列是一個遞增數(shù)列，∴，綜上所述，．角度2：無理型典型例題例題1．(2023·江西·南城縣第二中學高二階段練習（文））已知數(shù)列的前項和為，且.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設，，求數(shù)列的前項和答案：(1)(2)(1)當時，，解得：；當時，，即，數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，.(2)由（1）得：，，.例題2．(2023·全國·高三專題練習）已知等差數(shù)列的前項和為，，.(1)求的通項公式；(2)設，數(shù)列的前項和為，證明：當，時，.答案：(1)；(2)證明見解析﹒（1）由題可知，，解得，∴；（2），，，，．同類題型歸類練1．(2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列中，，，令.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前14項和.答案：(1)(2)（1）當時，，又，得，由①得②，①②兩式相除可得，則，且，所以數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，故.（2）當n為奇數(shù)時，；當n為偶數(shù)時，，.所以數(shù)列的前14項和為.2．(2023·黑龍江齊齊哈爾·一模（文））設數(shù)列的前n項和為，滿足.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)記，求數(shù)列的前n項和.答案：(1)(2)(1)當時，，解得，當時，，，即，即，所以數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，所以.(2)由（1）知，，所以.角度3：指數(shù)型典型例題例題1．(2023·全國·高二課時練習）設是等比數(shù)列的前項和，已知，(1)求和；(2)若，求數(shù)列的前項和．答案：(1)，；(2)（1）設的公比為q，由題可得，又，所以，又，所以，，所以，；（2）由（1）得，所以例題2．(2023·遼寧·遼陽市第一高級中學高二期末）已知數(shù)列的前項和為，______，(1)求數(shù)列的通項公式；(2)記，是數(shù)列的前項和，若對任意的，，求實數(shù)的取值范圍．在下面三個條件中任選一個，補充在上面問題中并作答．①；②；③.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．答案：(1)(2)（1）解：選①：當時，，，，時，，兩式相減得，數(shù)列是以2為首項2為公比的等比數(shù)列，；選②：，時，，兩式相減得，即，又當時，，，滿足上式，；選③：，時，，兩式相除得，當時，，滿足上式，；（2）解：∵∴，∵對任意的，即對任意的都成立，∴對任意的都成立，，令，則，∵，，即，數(shù)列是遞減數(shù)列，，，，∴的取值范圍是.例題3．(2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列的前項和滿足.(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)設數(shù)列的前項和為，求證：.答案：(1)證明見解析(2)證明見解析（1）證明：當時，∴當時，，∴∴數(shù)列是以2為公比，首項的等比數(shù)列（2）由（1）知，，代入得∴由，，，所以∴綜上所述同類題型歸類練1．(2023·安徽·高三開學考試）已知數(shù)列滿足且，且.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)設數(shù)列的前項和為，求證：.答案：(1)(2)證明見解析（1）解：因為，所以，兩式相減得，當時，，又，所以，所以，所以是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，所以；（2）證明：，所以，由，得，所以，綜上，.2．(2023·全國·高三專題練習）已知等比數(shù)列的前n項和為（），滿足，，成等差數(shù)列，且.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.答案：(1)(2)Tn＝－1－.（1）設數(shù)列的公比為q，依題意得，所以即，因為，所以，解得或，因為，所以，

又因為，所以即，所以；（2）題意可得，則.3．(2023·廣東·珠海市第二中學高二階段練習）已知數(shù)列和的通項公式：，(1)求數(shù)列的前n項和．(2)求數(shù)列的前n項和．答案：(1)(2)(1)，，，相減得，所以．(2)因為，所以.4．(2023·全國·高三專題練習）設數(shù)列的前n項和為，．(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列．(2)若數(shù)列的前m項和，求m的值．答案：(1)證明見解析(2)8（1）當時，，．當時，，兩式相減得，即，，則數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列．（2）由（1）得，，當時，，數(shù)列的通項公式為．，，令，得，解得．角度4：通項裂項為“”型典型例題例題1．(2023·浙江·高三開學考試）已知數(shù)列為公差不為0的等差數(shù)列，且成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設為數(shù)列的前項和，令，求數(shù)列的前2022項和.答案：(1)(2)數(shù)列的前2022項和為（1）設數(shù)列的公差為，則，由題意可得：解得：∴數(shù)列的通項公式為；（2）由(1)，，設數(shù)列的前項和為，所以數(shù)列的前2022項和例題2．(2023·河北·石家莊二中高二期末）已知等差數(shù)列為遞增數(shù)列，(1)求的通項公式；(2)若數(shù)列滿足，求的前項和：(3)若數(shù)列滿足，求的前項和的最大值?最小值.答案：(1)(2)(3)最大值為，最小值為(1)因為，所以，所以，又，且為遞增數(shù)列，則可解得，所以公差為2，所以.(2)因為，所以①，②，①-②得，；(3)，記的前項和為，則，當為奇數(shù)時隨著的增大而減小，可得，當為偶數(shù)時隨著的增大而增大，可得，所以的最大值為，最小值為.同類題型歸類練1．(2023·湖北·襄陽五中高三開學考試）已知數(shù)列的首項為3，且．(1)證明數(shù)列是等差數(shù)列，并求的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和．答案：(1)證明見解析；(2)（1）因為，所，則，所以數(shù)列是以為首項，公差等于1的等差數(shù)列，∴，即；（2），則；綜上，，.2．(2023·湖北·高二階段練習）已知等差數(shù)列{}的公差為2，前n項和為，且，，成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列{}的通項公式；(2)令，設數(shù)列{}的前n項和，求.答案：(1)(2)(1)因為等差數(shù)列{}的公差為2，前n項和為，所以，因為，，成等比數(shù)列，由題意得，解得，所以(2)由題意可知，當n為偶數(shù)時，所以.重點題型四：錯位相減法典型例題例題1．(2023·湖北·高三開學考試）已知數(shù)列前項和為，且.(1)求；(2)設，求數(shù)列的前項和.答案：(1)(2)（1）解：，，，，數(shù)列為等差數(shù)列，且，又時，，，；（2），，，，兩式相減得，，，，.例題2．(2023·山西大附中高三階段練習）在數(shù)列中，，，，其中.(1)證明數(shù)列是等差數(shù)列，并寫出證明過程；(2)設，且，數(shù)列的前項和為，求；答案：(1)證明見解析(2)（1）解：因為，，，所以，又，所以數(shù)列是以為公差，為首項的等差數(shù)列；（2）解：由（1）可得，所以，所以①，②，所以①②得，所以.同類題型歸類練1．(2023·廣東深圳·高三階段練習）已知數(shù)列的前項和為，且.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若數(shù)列的前項和為，證明：.答案：(1)(2)證明見解析（1）解：當時，，故.當時，①，②，由①②，得，可得，所以數(shù)列是以首項為，公比為的等比數(shù)列，故.（2）解：，則，所以，，上述兩個等式作差可得，所以，.2．(2023·湖南·高三開學考試）已知數(shù)列滿足，且.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設，求證：.答案：(1)(2)證明見解析（1）由得，兩式相除得，所以都是公比為2的等比數(shù)列，由及得，所以為奇數(shù)時，，為偶數(shù)時，，所以（2），則，兩式相減得，所以，因為，所以單調(diào)遞增所以成立，所以.3．(2023·甘肅臨夏·高二期末（理））已知等差數(shù)列．請你在①，②中選擇一個求解．①若，；②若，前3項和．注：如果選擇不同的條件分別解答，則按第一個解答計分．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設，求數(shù)列的前n項和．答案：(1)(2)（1）選擇①，設數(shù)列的公差為d，因為等差數(shù)列滿足，，得，解得所以；選擇②，設數(shù)列的公差為d，因為等差數(shù)列滿足，，得，，得，得，所以；（2）由（1）可得，所以，，兩式相減得：，，化簡得重點題型五：奇偶項討論求和角度1：求的前項和典型例題例題1．(2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列的前項和為，點在曲線上．(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)設，求數(shù)列的前項和．答案：(1)證明見解析(2)（1）因為點在曲線上，所以，．當時，；當時，，當時上式也成立，所以數(shù)列的通項公式為，，所以數(shù)列為等差數(shù)列．（2）由（1）知，，，故數(shù)列的前項和．例題2．(2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足，，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列的前項的和.答案：(1)(2)（1）當為奇數(shù)時，，所以所有奇數(shù)項構(gòu)成以為首項，公差為－1的等差數(shù)列，所以，當為偶數(shù)時，，所以所有偶數(shù)項構(gòu)成以為首項，公比為3的等比數(shù)列，所以，所以；（2）.同類題型歸類練1．(2023·江蘇·金沙中學高二階段練習）在等比數(shù)列中，公比，等差數(shù)列滿足，，.(1)求數(shù)列與的通項公式；(2)記，求數(shù)列的前項和.答案：(1)；；(2)（1）設等差數(shù)列的公差為，因為等比數(shù)列的公比為（），，，，所以，則，解得或（舍）所以數(shù)列的通項公式為：；數(shù)列的通項公式為；（2）由（1）可得，所以數(shù)列的前項和.2．(2023·江蘇·高二期末）已知是公差不為0的等差數(shù)列，是等比數(shù)列，，.(1)求和的通項公式；(2)記，求數(shù)列的前2n項和.答案：(1)，；(2)．(1)設公差為d，公比為q，由，以及，即，而，解得：，，所以，．(2)3．(2023·全國·高三專題練習）已知是數(shù)列的前n項和，且.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)記，求數(shù)列的前項和.答案：(1)(2)（1）變形為，因為，所以，故；（2）當為奇數(shù)時，，當為偶數(shù)時，，則角度2：求的前項和典型例題例題1．(2023·全國·高三專題練習）已知正項數(shù)列的前項和滿足：，數(shù)列滿足，且．(1)求的值及數(shù)列的通項公式；(2)設，數(shù)列的前項和為，求．答案：(1)，(2)（1），當時，，，解得．又，，，當時，，當時上式也成立，．（2）數(shù)列滿足，且．,，當為偶數(shù)時，數(shù)列的前項和為．當為奇數(shù)時，數(shù)列的前項和為,當時也成立，．例題2．(2023·廣東佛山·三模）設各項非零的數(shù)列的前項和記為，記，且滿足．(1)求的值，證明數(shù)列為等差數(shù)列并求的通項公式；(2)設，求數(shù)列的前項和．答案：(1)；證明見解析；(2)(1)由題意可知，，且，解得：或（舍去）又當時，，所以有化簡得：，所以數(shù)列是以為首項，以為公差的等差數(shù)列所以(2)由(1)可知當時，當時，則，①當是奇數(shù)時，②當是偶數(shù)時，綜上所述：例題3．(2023·山東濰坊·高二階段練習）設數(shù)列的前項和為，且滿足．(1)求；(2)設求數(shù)列的前項和．答案：(1)(2)(1)當時，，當時，因為，所以，得，所以數(shù)列為首項為3，公比為3的等比數(shù)列，得；(2)，當n為偶數(shù)時，，當n為奇數(shù)時，，所以同類題型歸類練1．(2023·全國·高二課時練習）在等差數(shù)列中，是數(shù)列的前n項和，已知，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前n項和．答案：(1)(2).（1）解：設數(shù)列的首項為，公差為d，因為，，則，解得，故．（2）解：由（1）得．當n為偶數(shù)時，；當n為奇數(shù)時，．所以．2．(2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足，.(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列.(2)求數(shù)列的前n項和.答案：(1)證明見解析(2)（1）證明：因為，，所以，所以數(shù)列是首項為4，公比為4的等比數(shù)列；（2）解：由（1）可得，即，則.當n為偶數(shù)時，，則，當n為奇數(shù)時，則，綜上所述，.3．(2023·廣東廣州·高二期末）已知數(shù)列的前n項和為(1)求的通項公式；(2)設，求數(shù)列的前n項和．答案：(1)(2)（1）解：當時，，兩式作差，整理得，當時，，所以，故數(shù)列是以1為首項，3為公比的等比數(shù)列，故數(shù)列的通項公式為.（2）由（1）得，，當時，，當時，，綜上，重點題型六：通項含絕對值數(shù)列求和典型例題例題1．(2023·江蘇省鎮(zhèn)江中學高二開學考試）已知數(shù)列中，，數(shù)列滿足：．(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；(2)求的值；(3)求數(shù)列中的最大項和最小項，并說明理由．答案：(1)證明見詳解；(2)(3)，，理由見詳解（1）因為，又，∴數(shù)列是為首項，1為公差的等差數(shù)列．∴.（2）由，得，即時，；時，，∴（3）由，得又函數(shù)在和上均是單調(diào)遞減．由函數(shù)的圖象，可得：，.例題2．(2023·廣東·深圳實驗學校高二階段練習）設數(shù)列的前項和為，已知()．（1）求數(shù)列的通項；（2）求數(shù)列的前項的和．答案：（1）；（2）.【詳解】解：（1）當時當時…

（2）數(shù)列前3項都小于0，第4項等于0，從第5項開始都大于0當時當時

同類題型歸類練1．(2023·海南·嘉積中學高三階段練習）已知是數(shù)列的前項和，且．（1）求；（2）求數(shù)列的前項和為．答案：（1），；（2）.【詳解】（1）由，可得，時，，對也成立，可得，；（2）當時，，即有；當時，，，即有．2．(2