高中數(shù)學聯(lián)賽

高中數(shù)學聯(lián)賽

第一場：九月上旬，廣東省內自行舉辦的“內戰(zhàn)”。題目覆蓋面是整個高中，并且比高考略有提高，介乎復賽

的一試與二試之間?！皟葢?zhàn)”優(yōu)勝者晉級下一輪。

第二場：十月中旬的第一個星期天?！皟葢?zhàn)”優(yōu)勝者將要在此時參加兩次考試。這兩次考試屬于“全國高中數(shù)

學聯(lián)賽”，將評選出省一等獎、二等獎和三等獎?？荚囆问饺缦拢?/p>

一試：

內容為一張沒有微積分和概率的比較難的高考試卷?？荚嚂r間為上午8：00-9：20,共80分鐘。試題分填空

題和解答題兩部分，滿分120分。其中填空題8道，每題8分；解答題3道，分別為16分、20分、20分。

二試：

時間為9：40-12：10,內容覆蓋面比較廣，包含代數(shù)（一元n次方程、復數(shù)、韋達定理、函數(shù)）、幾何（三

角形、圓、圓錐曲線、立體、向量以及一些常見的特殊定理）、初等數(shù)論、集合、微積分（極值、面積、體積）、

排列組合（直線型、環(huán)型、抽屜原理、容斥原理、圖論）、不等式（調和-幾何-算術-平方平均不等式、柯西不

等式以及常見的不等式證明方法）、、統(tǒng)計和概率等等，著重于證明而不是實際計算，所以不允許帶計算器。

滿分180分。

心態(tài)：個人認為，面對數(shù)學不應該以競賽的心態(tài)，而是以感受數(shù)學之美的心態(tài)的面對。也許在高中階段大家

面對的都是枯燥的數(shù)學計算和證明，一點都感受到數(shù)學有什么美可言。但是在后續(xù)的共同交流中，我將企圖

讓大家進一步領略數(shù)學之美，學會數(shù)學研究的思想和方法，學會創(chuàng)新，然后Fallinlovewithmathematics!

另外，請不要認為追求興趣和高考應試是矛盾的。正如大家都看過的《三傻》中談到：“追求卓越，成功會不

經意地找上門來。”而《功夫熊貓2》中的胖熊貓也能夠“用功夫打敗能夠毀滅功夫的武器”，為什么？太極

哲理所在：以不變應萬變！你的基礎扎實了，“功力”深厚了，還用得著整天題海嗎？而我也自信，這些東西

無法從題海中獲得。

同時，也只有以這樣的心態(tài)，我們的數(shù)學探討才能一直延續(xù)下去，甚至是競賽過后也不會放棄。

廢話說多了。大家自己看著辦……總之，盡管發(fā)揮出你們在數(shù)學方面那敏銳的洞察力和敏捷的思維能力吧。

參考網址：

勿;〃WUM.mathl5.com

aoshoo.com/bbsl/

matrix67.com/blog/

2010年全國高中數(shù)學聯(lián)賽廣東省賽區(qū)預賽試題

一、填空題：本大題共8小題，每小題8分，共64分.把答案填在橫線上.

1.方程log.X+sinx=2在區(qū)間（0,j]上的實根個數(shù)為.

I2

2.設數(shù)列18x（-I的前〃項和為，則滿足不等式|S“-61〈圭的最小整數(shù)〃是.

3.已知〃（〃wN,〃22）是常數(shù)，且須，z，…，匕是區(qū)間0,~內任意實數(shù)，則函數(shù)

f（xt,x2,---,xn）-sinX]cosx2+sinx2cosx3H■…+sinx“cosx1的最大值等于.

4.圓周上給定10個點，每兩點連一條弦，如果沒有三條弦交于圓內一點，那么，這些弦在圓內一共有

個交點.

5.一只蟲子沿三角形鐵圈爬行，在每個頂點，它都等機會地爬向另外兩個頂點之一，則它在〃次爬行后恰好

回到起始點的概率為.

6.設O是平面上一個定點，A,B,C是平面上不共線的三個點，動點尸滿足。尸-丸/匕=。4+/1g，

\AC\\AB\

其中/le[0,+oo）,則點P的軌跡為

7.對給定的整數(shù)機，符號夕（⑼表示｛1,2,3｝中使相+例⑼能被3整除的唯一值，那么

eq?"。-1）+夕（2刈°_2）+夕（2刈°—3）=.

8.分別以直角三角形的兩條直角邊a,b和斜邊c為軸將直角三角形旋轉一周，所得旋轉體的體積依次為Va,

匕，匕，則匕2+匕2與（2匕了的大小關系是.

二、解答題：本大題共3小題，共56分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

1.（本小題滿分16分）

是否存在實數(shù)。，使直線y=ax+l和雙曲線3x2-V=i相交于兩點/、B且以/臺為直徑的圓恰好

過坐標系的原點？

2.（本小題滿分20分）

求證：不存在這樣的函數(shù)/：Zf{1,2,3},滿足對任意的整數(shù)X,y,若|x-y|e{2,3,5}，則

3.（本小題滿分20分）

設非負實數(shù)Q,b,c滿足a+b+c=l,求證：9ahc<ab+hc+ca<^(l-^-9abc)

2010年全國高中數(shù)學聯(lián)合競賽一試試題

一、填空題（本題滿分64分，每小題8分）

1.函數(shù)/（x）=7x^5-724-3%的值域是.

2.已知函數(shù)y=（acos?x-3）sinx的最小值為一3,則實數(shù)a的取值范圍是

3.雙曲線》2—卜2=i的右半支與直線x=ioo圍成的區(qū)域內部（不含邊界）整點（縱橫坐標均為整數(shù)的點）

的個數(shù)是_____

4.已知｛a,,｝是公差不為0的等差數(shù)列,｛b?｝是等比數(shù)列，其中%=3,a=\,a2=b23a5=b3,且存在常

數(shù)使得對每一個正整數(shù)〃都有a“=logab“+A，則a+￡=.

5.函數(shù)人＞）=。2、+34、-2（。＞0,。工1）在區(qū)間xe[-1,1]上的最大值為8,則它在這個區(qū)間上的最小值

是.

6.兩人輪流投擲骰子，每人每次投擲兩顆，第一個使兩顆骰子點數(shù)和大于6者為勝，否則輪由另一人投擲.

先投擲人的獲勝概率是

7.正三棱柱/8C—4與G的9條棱長都相等，產是CG的中點，二面角尸—g=a，則

sina=.

8.方程x+y+z=2010滿足Wz的正整數(shù)解（x,%z）的個數(shù)是.

二、解答題（本題滿分56分）

9.（本小題滿分16分）已知函數(shù)/（x）=G?+法2+cx+*0）,當OVxWl時，

l/X%）1＜1,試求a的最大值.

10.（本小題滿分20分）已知拋物線/=6x上的兩個動點4（%,乂）和5。2，8），其中X尸且再+=4.

線段的垂直平分線與x軸交于點C,求A48C1面積的最大值.

1

11.(本小題滿分20分)數(shù)列｛4｝滿足q=-,an+1=--——(〃=1,2,…).

3an-an+1

求證：,一一^<4/,+a2+?■?+??<---—.(1)

232232"

2010年全國高中數(shù)學聯(lián)合競賽加試試題

一、（本題滿分40分）

如圖，銳角三角形ABC的外心為O,K是邊BC上一

點（不是邊8c的中點），。是線段/1K延長線上一點，直線8。與4C交于點N,直線CZ）與交于點求

證：若OKJ_MN,則4,B,D,C四點共圓.

二、（本題滿分40分）

設機和〃是大于1的整數(shù)，求證：

r+r+-+nm=--（?+1）￡CH-z產）

機+1[k=\y=l/=!

三、(本題滿分50分)

設x,gz為非負實數(shù)，求證：

222

(一+：+蕓)3<(x2-xy+y2)(y2-yz+z2)(z2-zx+x2)<(*;*)3.

四、（本題滿分50分）

設上是給定的正整數(shù)，r+g.記/⑴⑺=/（r）="八，/"1）=

/（/*"&））,/22.證明：存在正整數(shù)如使得了""（尸）為一個整數(shù)?這里，「x］表示不小于實數(shù)x的最小

整數(shù)，例如:

2009年全國高中數(shù)學聯(lián)合競賽一試試題

一、填空題：本大題共8小題，每小題7分，共56分.把答案填在橫線上.

1.若函數(shù)/（同:萬^虧，且…/（X）］］,貝以（9鞏1）=_________

V1+%2'----：----'

2.已知直線L：x+y—9=0和圓〃：2X2+2/-8X-8^-1=0,點/在直線L上，B、C為圓”上

兩點，在△ABC中，ABAC=45°,過圓心M,則點/橫坐標范圍

為.

y>0

3.在坐標平面上有兩個區(qū)域M和N,M為:N是隨/變化的區(qū)域，它由不等式+l所

y<2-x

確定，f的取值范圍是04/41,設/和N的公共面積是函數(shù)/(1),則/(?)=.

4.使不等式一匚+」一+…+—1—<4-20071對一切正整數(shù)〃都成立的最小正整數(shù)。的值

〃+1力+22〃+13

為.

fv2

5.橢圓彳+R=1(a>6>0)上任意兩點P,Q,若OPLOQ,則乘積lO/flOQl的最小值

為.

6.若方程lgAx=21g(x+l)僅有一個實根，那么人的取值范圍是.

7.一個由若干行數(shù)字組成的數(shù)表，從第二行起每一行中的數(shù)字均等于其肩上的兩個數(shù)之和，最后一行僅有一

個數(shù)，第一行是前100個正整數(shù)按從小到大排成的行，則最后一行的數(shù)是

(可以用指數(shù)表示).

8.某車站每天8:00—9：00,9：00—10：00都恰有一輛客車到站,但到站的時刻是隨機的，且兩者到站的

時間是相互獨立的，其規(guī)律為

8：108：308：50

到站時刻

9：109:309:50

111

概率-

623

一旅客8：20到車站，則它候車時間的數(shù)學期望為(精確到分).

二、解答題：本大題共3小題，共44分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

X2v2

1.(本小題滿分14分)設直線/：y^kx+m(其中左，加為整數(shù))與橢圓上+乂=1交于不同兩點N,B,

1612

22

與雙曲線^--匕=1交于不同兩點c,。，問是否存在直線/,使得向量K+而=6,若存在，指出這

412

樣的直線有多少條？若不存在，請說明理由.

2.（本小題滿分15分）已知p,q（q#0）是實數(shù)，方程V一1+q=0有兩個實根。，（3,數(shù)列｛4｝滿

足q=p,a2p--q,an=pan_x-qan_2（〃=3,4,—）.

（I）求數(shù)列｛q｝的通項公式（用a,，表示）；

（H）若p=l,<7=；，求｛%｝的前〃項和.

3.（本小題滿分15分）求函數(shù)。=，％+27+>/13—%+4的最大值和最小值.

2009年全國高中數(shù)學聯(lián)合競賽加試試題（A卷）

（考試時間:10月11日上午9：40—12：10）

一、如圖，M,N分別為銳角三角形△/BC（NA<NB）的外接圓「上弧8C、NC的中點.過點。作

PC//MN交圓F于P點,/為△ZBC的內心，連接尸/并延長交圓「于T.

（I）求證：當MP-MT=NP?NT；

（H）在弧N8（不含點C）上任取一點。（。/4,T,B）,記△ZQC,△0C8的內心分別為，，12,

求證：。，I2,T四點共圓.

N

M

?k1

二、求證不等式：-----ln〃W—,n=\,2,-

￡rx+i2

三、設左，/是給定的兩個正整數(shù).求證：有無窮多個正整數(shù)機之左，使得《與/互素.

四、在非負數(shù)構成3x9數(shù)表

p

，

中每行的數(shù)互不相同，前6列中每列的三數(shù)之和為1,X\7=J=X39=0X21'尤37'"18'/8,演9'%29

均大于1.如果尸的前三列構成的數(shù)表

‘孫

5X2\

\X3\

滿足下面的性質（O）：對于數(shù)表P中的任意-咧x2i（k=l,2,…，9）均存在某個

\X3k

ze（1,2,3}使得x次4%=min{x“，xj2,xi3）

求證:

（I）最小值%=min{x“，xj2,xi3},i=\,2,3一定取自數(shù)表S的不同列.

（H）存在數(shù)表尸中的唯一的一列Wk*，左*。1，2,3使得3x3數(shù)表

X1A*

S'X2k*

、3k*J

仍然具有性質（O）,即對于數(shù)表產中的任意一列X”（左=1,2,…，9）均存在某個

lX3A>

ze{1,2,3}使得/W%=min{x“，x/2,/*}.

2010年高中數(shù)學聯(lián)賽四川賽區(qū)初賽試題

-、選擇題（本大題共8個小題，每小題5分，共40分）

1>已知條件p：Jl+sin2a=§和條件q：|sin（z+cosa|=y.則p是4的（）.

A、充分但不必要條件B、必要但不充分條件

C、充要條件D、既不充分也不必要條件

2、在5件產品中有4件正品、1件次品.從中任取2件，記其中含正品的個數(shù)個數(shù)為隨機變量則右的數(shù)

學期望是().

3、設正三棱錐S-NBC的底面邊長為3,側棱長為2,則側棱SZ與底面Z8C所成的角的大小是()

A、30°B、45°C、60°D、arctanV2

4、已知函數(shù)/(x)=「++2左「4)*+4的最小值是0,則非零實數(shù)左的值是().

x+2x+4

A、-4B、-2C、2D、4

5、長方體N8CZ>-481G2的八個頂點都在球。的球面上，其中441=1，AB=2日AD=343,則

經過3、C兩點的球面距離是()

2萬44—c

A、B、C、27cD、4萬

331

6、對任意實數(shù)加，過函數(shù)/(口=，+加、+1圖象上的點(2,/(2))的切線恒過一定點。，則點P的坐標為

()

33

A、(0,3)B、(0,-3)C、(-,0)D、(--,0)

X2V2

7、設小、42為橢圓=+彳=1(?！?〉0)的左右頂點，若在橢圓上存在異于小、兒的

ab

點尸，使得麗?西=0,其中O為坐標原點，則橢圓的離心率e的取值范圍是()

1V21V2

A、(0,—)B、(0,C^(―,1)D、(―,1)

8、記/(x))=(x—?+(±+與，(尸0),則尸(x,y)的最小值是()

3y

,1216-18

A、—B->—C、—D、4

555

二、填空題(本大題共4個小題，每小題5分，共20分)

1、/(x)是定義在火上的奇函數(shù)，且/(x)=/(l—x),則/(2010)=.

2、實數(shù)x,歹滿足3|x+l|+2|y—l|K6,則2x—3歹的最大值