高考數(shù)學大題精做專題07解析幾何中的證明問題(第五篇)(原卷版+解析)

備戰(zhàn)2020年高考數(shù)學大題精做之解答題題型全覆蓋高端精品第五篇解析幾何專題07解析幾何中的證明問題類型對應(yīng)典例證明面積關(guān)系典例1證明共線問題典例2證明過定點問題典例3證明定值問題典例4證明線線垂直典例5證明角度相等典例6證明長度相等典例7【典例1】【福建省2019屆高三畢業(yè)班3月質(zhì)量檢測考試】在平面直角坐標系中,圓外的點在軸的右側(cè)運動,且到圓上的點的最小距離等于它到軸的距離,記的軌跡為.（1）求的方程；（2）過點的直線交于,兩點,以為直徑的圓與平行于軸的直線相切于點,線段交于點,證明：的面積是的面積的四倍.【典例2】【福建省三明市2019屆高三質(zhì)量檢查測試】已知，是動點，以為直徑的圓與圓：內(nèi)切.（1）求的軌跡的方程；（2）設(shè)是圓與軸的交點，過點的直線與交于兩點，直線交直線于點，求證：三點共線.【典例3】【北京市朝陽區(qū)2020屆模擬】已知橢圓的離心率為.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)直線過點且與橢圓相交于兩點.過點作直線的垂線，垂足為.證明直線過軸上的定點.【典例4】【廣東省廣雅中學、執(zhí)信、六中、深外四校2020屆高三8月開學聯(lián)考】設(shè)斜率不為0的直線與拋物線交于，兩點，與橢圓交于，兩點，記直線，，，的斜率分別為，，，．（1）若直線過，證明：；（2）求證：的值與直線的斜率的大小無關(guān)．【典例5】【安徽省蕪湖市2019屆高三5月模擬考試】如圖，已知橢圓P:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的長軸A1A2，長為4，過橢圓的右焦點F作斜率為k（1）求橢圓P的方程；（2）已知直線l:x=4，直線A1B，A1C分別與l相交于M、N兩點，設(shè)E為線段【典例6】【湖南省五市十校教研教改共同體2019屆高三12月聯(lián)考】已知橢圓的離心率為，右焦點為，以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切.（1）求橢圓的方程；（2）如圖，過定點的直線交橢圓于兩點，連接并延長交于，求證：.【典例7】【福建省福州市2019屆高三第一學期質(zhì)量抽測】已知點在橢圓：上，為坐標原點，直線：的斜率與直線的斜率乘積為（1）求橢圓的方程；（2）不經(jīng)過點的直線：（且）與橢圓交于，兩點，關(guān)于原點的對稱點為（與點不重合），直線，與軸分別交于兩點，，求證：.【針對訓練】1.【四川省內(nèi)江市2019屆高三第三次模擬考試】已知橢圓：的離心率為，直線與圓相切.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)，過點的直線交橢圓于，兩點，證明：為定值.2.【安徽省淮北市、宿州市2019屆高三第二次教學質(zhì)量檢測】已知橢圓，右焦點的坐標為，且點在橢圓上.（1）求橢圓的方程及離心率；（2）過點的直線交橢圓于兩點（直線不與軸垂直），已知點與點關(guān)于軸對稱，證明：直線恒過定點，并求出此定點坐標．3.【2020屆河南省許昌市高三年級第一次質(zhì)量檢測】在平面直角坐標系xOy中，橢圓C的中心在坐標原點O，其右焦點為，且點

在橢圓C上．求橢圓C的方程；設(shè)橢圓的左、右頂點分別為A、B，M是橢圓上異于A，B的任意一點，直線MF交橢圓C于另一點N，直線MB交直線于Q點，求證：A，N，Q三點在同一條直線上．4.【河北省示范性高中2019屆高三下學期4月聯(lián)考】已知橢圓的離心率為，橢圓經(jīng)過點.（1）求橢圓的標準方程；（2）設(shè)點是橢圓上的任意一點，射線與橢圓交于點，過點的直線與橢圓有且只有一個公共點，直線與橢圓交于兩個相異點，證明：面積為定值.5．【安徽省六校教育研究會2020屆高三上學期第一次素質(zhì)測試】已知是拋物線上任意一點，，且點為線段的中點．（Ⅰ）求點的軌跡的方程；（Ⅱ）若為點關(guān)于原點的對稱點，過的直線交曲線于、兩點，直線交直線于點，求證：．6.【天津市和平區(qū)耀華中學2019屆高三第一次校模擬考試】已知A是圓x2+y2=4上的一個動點，過點A作兩條直線l（Ⅰ）若A?2,0，求直線l（Ⅱ）①求證：對于圓上的任意點A，都有l(wèi)1②求ΔAMN面積的取值范圍.7.【廣東省珠海市2019屆高三9月摸底考試】已知橢圓，是其左右焦點，為其左右頂點，為其上下頂點，若，．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）過分別作軸的垂線，橢圓的一條切線，與交于二點，求證：．8.【2020屆浙江省重點中學模擬】已知橢圓：的長軸長是短軸長的2倍，且過點.（1）求橢圓的方程；（2）若在橢圓上有相異的兩點，（，，三點不共線），為坐標原點，且直線，直線，直線的斜率滿足.（i）求證：是定值；（ii）設(shè)的面積為，當取得最大值時，求直線的方程.備戰(zhàn)2020年高考數(shù)學大題精做之解答題題型全覆蓋高端精品第五篇解析幾何專題07解析幾何中的證明問題類型對應(yīng)典例證明面積關(guān)系典例1證明共線問題典例2證明過定點問題典例3證明定值問題典例4證明線線垂直典例5證明角度相等典例6證明長度相等典例7【典例1】【福建省2019屆高三畢業(yè)班3月質(zhì)量檢測考試】在平面直角坐標系中,圓外的點在軸的右側(cè)運動,且到圓上的點的最小距離等于它到軸的距離,記的軌跡為.（1）求的方程；（2）過點的直線交于,兩點,以為直徑的圓與平行于軸的直線相切于點,線段交于點,證明：的面積是的面積的四倍.【思路引導(dǎo)】法一：（1）設(shè)P（x，y），x＞0，F(xiàn)（1，0）．由點P在⊙F外，可得點P到⊙F上的點的最小距離為|PF|﹣1，由題意可得：|PF|﹣1＝x，利用兩點之間的距離公式即可得出．（2）設(shè)N（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2）．則D（，）．由題意可設(shè)直線AB的方程為：y＝k（x﹣1）（k≠0）．與拋物線方程聯(lián)立化為：k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0．利用根與系數(shù)的關(guān)系、中點坐標公式可得D，M，N的坐標．再利用三角形面積計算公式即可得出．法二：（1）由題意得，點到圓的距離等于到直線的距離，根據(jù)拋物線的定義求得軌跡方程.（2）設(shè)，，由題意可設(shè)直線AB的方程為：與拋物線方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系、中點坐標公式可得D的坐標，結(jié)合，可得，進而求出N的坐標，利用點的位置關(guān)系得到面積的關(guān)系.法三：（1）與法一同；（2）設(shè)，，由題意可設(shè)直線AB的方程為：與拋物線方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系、中點坐標公式可得D，M的坐標，利用斜率公式計算得到，再利用長度關(guān)系得到面積的關(guān)系.【詳解】解法一：（1）設(shè)，依題意，.因為在圓外，所以到圓上的點的最小距離為依題意得，即，化簡得的方程為.（2）設(shè)，，，則.依題意可設(shè)直線的方程，由得.因為，所以，則有，故，由拋物線的定義知.設(shè)，依題意得，所以.又因為，所以，解得，所以.，因為在拋物線上，所以，即，所以，，故解法二：（1）設(shè)，依題意.因為在圓外，所以到圓上的點的最小距離為.依題意得，點到圓的距離等于到直線的距離，所以在以為焦點，為準線的拋物線上.所以的方程為..（2）設(shè)，，因為直線過，依題意可設(shè)其方程由得，因為，所以，則有.因為是的中點，所以.由拋物線的定義得.，設(shè)圓與相切于，因為與拋物線相交于，所以，且，所以，即，解得，設(shè)，則，且，所以，因為，所以為的中點，所以，又因為為的中點，，所以.解法三：（1）同解法一.（2）設(shè)，，連結(jié)，.因為直線過，依題意可設(shè)其方程由得.，因為，所以，所以.因為，，又因為，所以，解得，所以，所以，故.又因為，所以，從而.所以，又，所以.【典例2】【福建省三明市2019屆高三質(zhì)量檢查測試】已知，是動點，以為直徑的圓與圓：內(nèi)切.（1）求的軌跡的方程；（2）設(shè)是圓與軸的交點，過點的直線與交于兩點，直線交直線于點，求證：三點共線.【思路引導(dǎo)】（1）設(shè)出，根據(jù)相切得出關(guān)于的方程，由方程對應(yīng)的幾何意義得出的軌跡的方程；（2）設(shè)出，，解出點坐標，從而得出的坐標，設(shè)過點的直線并與橢圓聯(lián)立方程組，借助韋達定理進行化簡、證明.【詳解】解：（1）設(shè)，則的中點的坐標為，因為圓與圓內(nèi)切，點在圓內(nèi)，所以，即，整理得，設(shè)，則，即的軌跡是以，為焦點，長軸長為4的橢圓.由，，得，所以的方程為.（2）設(shè)，.因為是圓與軸的交點，不妨設(shè)，，則.因為直線的方程為，所以，則.依題意，因為直線過，斜率不為0，故可設(shè)其方程為，由消去并整理得，則，，因為，所以，故三點共線.【典例3】【北京市朝陽區(qū)2020屆模擬】已知橢圓的離心率為.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)直線過點且與橢圓相交于兩點.過點作直線的垂線，垂足為.證明直線過軸上的定點.【思路引導(dǎo)】（1）由離心率列方程可求得橢圓方程；（2）當直線AB的斜率不存在時，直線BD過點（2，0）．當直線AB的斜率存在時，設(shè)直線AB為y=k（x-1），聯(lián)立方程組，消去y整理得：（1+3k2）x2-6k2x+3k2-3=0．利用韋達定理、直線方程，結(jié)合已知條件求出直線BD過x軸上的定點．【詳解】（1）解：由題意可得,

解得，所以橢圓C的方程為．（2）直線BD恒過x軸上的定點N（2，0）．證明如下（a）當直線l斜率不存在時，直線l的方程為x=1，不妨設(shè)A（1，），B（1，），D（3，）．此時，直線BD的方程為：y=（x-2），所以直線BD過點（2，0）．（b）當直線l的斜率存在時，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），直線AB為y=k（x-1），D（3，y1）．由得：（1+3k2）x2-6k2x+3k2-3=0．所以x1+x2=，x1x2=．……（*）直線BD：y-y1=（x-3），只需證明直線BD過點（2，0）即可.令y=0，得x-3=，所以x===即證，即證.將（*）代入可得.所以直線BD過點（2，0）綜上所述，直線BD恒過x軸上的定點（2，0）．【典例4】【廣東省廣雅中學、執(zhí)信、六中、深外四校2020屆高三8月開學聯(lián)考】設(shè)斜率不為0的直線與拋物線交于，兩點，與橢圓交于，兩點，記直線，，，的斜率分別為，，，．（1）若直線過，證明：；（2）求證：的值與直線的斜率的大小無關(guān)．【思路引導(dǎo)】（1）設(shè)直線方程為：，設(shè)出，兩點坐標，聯(lián)立直線與拋物線方程，得到和的值，從而用向量法證明即可，（2）由直線的方程與拋物線方程聯(lián)立，求得，，得到，再由直線方程與橢圓方程聯(lián)立，求得，，得到，代入化簡，即可得到結(jié)論?！驹斀狻拷馕觯海?）設(shè)直線方程為：設(shè)，，兩式相乘得：將直線方程代入拋物線，得∴∴，∴∴∴（2）設(shè)直線，，，，．聯(lián)立和，得，則，，，聯(lián)立和得，在此式可不求解的情況下，，，，所以是一個與無關(guān)的值．【典例5】【安徽省蕪湖市2019屆高三5月模擬考試】如圖，已知橢圓P:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的長軸A1A2，長為4，過橢圓的右焦點F作斜率為k（1）求橢圓P的方程；（2）已知直線l:x=4，直線A1B，A1C分別與l相交于M、N兩點，設(shè)E為線段【思路引導(dǎo)】（1）由長軸長為4可得a，設(shè)出點B，C的坐標，利用斜率之積為?34，可得?b2（2）設(shè)直線BC的方程為：y＝k（x﹣1）與橢圓方程聯(lián)立，得到根與系數(shù)的關(guān)系，直線A1B的方程為：y=y1x1+2（x+2）與x=4聯(lián)立，可得點M，N的坐標，可得線段MN【詳解】（1）設(shè)Bx1,y1，C故y12=b2所以kBA1?kB故橢圓P的方程為x2（2）設(shè)直線BC的方程為：y=kx?1，Bx1聯(lián)立方程組x24+4k2+3x2直線A1B的方程為y=y1x同理，yN所以yE代入化簡得yE=?3k，即點所以kEFkBC【典例6】【湖南省五市十校教研教改共同體2019屆高三12月聯(lián)考】已知橢圓的離心率為，右焦點為，以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切.（1）求橢圓的方程；（2）如圖，過定點的直線交橢圓于兩點，連接并延長交于，求證：.【思路引導(dǎo)】（1）設(shè)出圓的方程，利用圓心到直線的距離等于半徑，求出b，利用離心率求出a，即可求出橢圓C的標準方程；（2）依題意可知直線斜率存在，設(shè)方程為，代入整理得，與橢圓有兩個交點，.設(shè)，，直線，的斜率分別為，，利用韋達定理證明即可.【詳解】解：（1）依題意可設(shè)圓方程為，圓與直線相切，.，由解得，橢圓的方程為.（2）依題意可知直線斜率存在，設(shè)方程為，代入整理得，與橢圓有兩個交點，，即.設(shè)，，直線，的斜率分別為，則，.，即.【典例7】【福建省福州市2019屆高三第一學期質(zhì)量抽測】已知點在橢圓：上，為坐標原點，直線：的斜率與直線的斜率乘積為（1）求橢圓的方程；（2）不經(jīng)過點的直線：（且）與橢圓交于，兩點，關(guān)于原點的對稱點為（與點不重合），直線，與軸分別交于兩點，，求證：.【思路引導(dǎo)】（Ⅰ）根據(jù)橢圓的中點弦所在直線的斜率的性質(zhì)，得到，得到，再結(jié)合橢圓所過的點的坐標滿足橢圓方程，聯(lián)立方程組，求得，進而求得橢圓的方程；（Ⅱ）將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元，利用韋達定理得到兩根和與兩根積，將證明結(jié)果轉(zhuǎn)化為證明直線，的斜率互為相反數(shù)，列式，可證.【詳解】（Ⅰ）由題意，，即①又②聯(lián)立①①解得所以，橢圓的方程為：.（Ⅱ）設(shè)，，，由，得，所以，即，又因為，所以，，，，解法一：要證明，可轉(zhuǎn)化為證明直線，的斜率互為相反數(shù)，只需證明，即證明.∴∴，∴.解法二：要證明，可轉(zhuǎn)化為證明直線，與軸交點、連線中點的縱坐標為，即垂直平分即可.直線與的方程分別為：，，分別令，得，而，同解法一，可得，即垂直平分.所以，.【針對訓練】1.【四川省內(nèi)江市2019屆高三第三次模擬考試】已知橢圓：的離心率為，直線與圓相切.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)，過點的直線交橢圓于，兩點，證明：為定值.【思路引導(dǎo)】（1）根據(jù)題意布列關(guān)于a，b的方程組，即可得到橢圓的方程；（2）設(shè)的方程：.聯(lián)立方程可得，利用韋達定理表示，即可得到結(jié)果.解：（1）∵橢圓的離心率為，∴,∵直線與圓相切，∴，∴，∴橢圓的方程為.（2）設(shè)，，當直線與軸不重合時，設(shè)的方程：.由得，，∴，，.當直線與軸重合時，.∴故為定值.2.【安徽省淮北市、宿州市2019屆高三第二次教學質(zhì)量檢測】已知橢圓，右焦點的坐標為，且點在橢圓上.（1）求橢圓的方程及離心率；（2）過點的直線交橢圓于兩點（直線不與軸垂直），已知點與點關(guān)于軸對稱，證明：直線恒過定點，并求出此定點坐標．【思路引導(dǎo)】（1）由題意得到關(guān)于a,b,c的方程組，求解方程組確定a,b,c的值即可確定橢圓方程和橢圓的離心率；(2)設(shè)，，，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，由題意可得，結(jié)合韋達定理和直線斜率的定義得到m與k的關(guān)系，代入直線PB的方程即可證得直線過定點.【詳解】（1）由已知得，解得，∴橢圓的標準方程，∴橢圓的離心率.(2)設(shè)，，則，可設(shè)的直線方程為，聯(lián)立方程，整理得，∴，，∴，整理得，，∴，解得，∴的直線方程為：，直線恒過定點.3.【2020屆河南省許昌市高三年級第一次質(zhì)量檢測】在平面直角坐標系xOy中，橢圓C的中心在坐標原點O，其右焦點為，且點

在橢圓C上．求橢圓C的方程；設(shè)橢圓的左、右頂點分別為A、B，M是橢圓上異于A，B的任意一點，直線MF交橢圓C于另一點N，直線MB交直線于Q點，求證：A，N，Q三點在同一條直線上．【思路引導(dǎo)】（1）設(shè)橢圓的方程為，由題意可得，解方程組即可.（2）設(shè)，，直線MN的方程為，由方程組，消去整理得，根據(jù)韋達定理求出點的坐標，根據(jù)向量即可求出，且向量和有公共點，即可證明．【詳解】（1）不妨設(shè)橢圓的方程為，.由題意可得，解得，，故橢圓的方程.（1）設(shè)，，直線的方程為，由方程組，消去x整理得，，直線的方程可表示為，將此方程與直線成立，可求得點的坐標為，，，，，向量和有公共點，，，三點在同一條直線上．4.【河北省示范性高中2019屆高三下學期4月聯(lián)考】已知橢圓的離心率為，橢圓經(jīng)過點.（1）求橢圓的標準方程；（2）設(shè)點是橢圓上的任意一點，射線與橢圓交于點，過點的直線與橢圓有且只有一個公共點，直線與橢圓交于兩個相異點，證明：面積為定值.【思路引導(dǎo)】（1）根據(jù)橢圓的離心率和把過的點代入橢圓方程，根據(jù)得到的式子求出.（2）當直線斜率不存在時，易得的面積，當直線斜率存在時，設(shè)為，與橢圓相切，得到和的關(guān)系，再由直線和橢圓聯(lián)立方程組，得到、，利用弦長公式表示出，再得到和的關(guān)系，由到的距離，得到到的距離，從而計算出的面積.得到結(jié)論為定值.【詳解】（1）解：因為的離心率為，所以，解得.①將點代入，整理得.②聯(lián)立①②，得，，故橢圓的標準方程為.（2）證明：①當直線的斜率不存在時，點為或，由對稱性不妨取，由（1）知橢圓的方程為，所以有.將代入橢圓的方程得，所以.②當直線的斜率存在時，設(shè)其方程為，將代入橢圓的方程得，由題意得，整理得.將代入橢圓的方程，得.設(shè)，，則，，所以.設(shè)，，，則可得，.因為，所以，解得（舍去），所以，從而.又因為點到直線的距離為，所以點到直線的距離為，所以，綜上，的面積為定值.5．【安徽省六校教育研究會2020屆高三上學期第一次素質(zhì)測試】已知是拋物線上任意一點，，且點為線段的中點．（Ⅰ）求點的軌跡的方程；（Ⅱ）若為點關(guān)于原點的對稱點，過的直線交曲線于、兩點，直線交直線于點，求證：．【思路引導(dǎo)】（Ⅰ）設(shè)，，根據(jù)中點坐標公式可得，代入曲線方程即可整理得到所求的軌跡方程；（Ⅱ）設(shè)，設(shè)，，將直線與曲線聯(lián)立可得；由拋物線定義可知，若要證得只需證明垂直準線，即軸；由直線的方程可求得，可將點橫坐標化簡為，從而證得軸，則可得結(jié)論.【詳解】（Ⅰ）設(shè)，為中點為曲線上任意一點，代入得：點的軌跡的方程為：（Ⅱ）依題意得，直線的斜率存在，其方程可設(shè)為：設(shè)，聯(lián)立得：，則直線的方程為，是直線與直線的交點根據(jù)拋物線的定義等于點到準線的距離在準線上要證明，只需證明垂直準線即證軸的橫坐標：軸成立成立6.【天津市和平區(qū)耀華中學2019屆高三第一次校模擬考試】已知A是圓x2+y2=4上的一個動點，過點A作兩條直線l（Ⅰ）若A?2,0，求直線l（Ⅱ）①求證：對于圓上的任意點A，都有l(wèi)1②求ΔAMN面積的取值范圍.【思路引導(dǎo)】（Ⅰ）設(shè)出直線方程，代入橢圓方程,利用直線與橢圓x23+y2=1都只有一個公共點,求出直線的斜率,即可求直線l1,l2的方程；（Ⅱ）①分類討論,斜率不存在時成立，斜率存在時，利用判別式等于零可得關(guān)于k的一元二次方程，由韋達定理可得k1k2=?1,成立，即可證得結(jié)論；【詳解】（Ⅰ）設(shè)直線的方程為y=kx+2代入橢圓x23+可得1+3k2x2+12k2x+12k2?3=0，

由Δ=0,可得k2?1=0，

設(shè)l1,l2的斜率分別為k1,k2,∴k1=?1,k2=1，

∴∴l(xiāng)2的方程為y=1(或y=?1，l1⊥l2成立，

同理可證，當l1的方程為x=?3時，結(jié)論成