滬教版七年級數(shù)學下冊滿分沖刺卷特訓03實數(shù)(題型歸納)(原卷版+解析)

特訓03實數(shù)（題型歸納）目錄：一、數(shù)的開方（規(guī)律題，無理數(shù)的估算，數(shù)的開方的應用）；二、實數(shù)與數(shù)軸；三、新定義下的實數(shù)運算。解答題一、數(shù)的開方（規(guī)律題，無理數(shù)的估算，數(shù)的開方的應用）1．（1）利用求平方根、立方根解方程：①3x2=27②2（x﹣1）3+16=0．（2）觀察下列計算過程，猜想立方根．13=1，23=8，33=27，43=64，53=125，63=216，73=343，83=512，93=729（ⅰ）小明是這樣試求出19683的立方根的．先估計19683的立方根的個位數(shù)，猜想它的個位數(shù)為，又由203＜19000＜303，猜想19683的立方根十位數(shù)為，驗證得19683的立方根是（ⅱ）請你根據(jù)（?。┲行∶鞯姆椒ǎ瓿扇缦绿羁眨孩?；②=；③=．2．新定義：若無理數(shù)的被開方數(shù)（為正整數(shù)）滿足（其中為正整數(shù)），則稱無理數(shù)的“青一區(qū)間”為；同理規(guī)定無理數(shù)的“青一區(qū)間”為．例如：因為，所以，所以的“青一區(qū)間”為，的“青一區(qū)間”為．請解答下列問題：(1)的“青一區(qū)間”是；的“青一區(qū)間”是；(2)若無理數(shù)（為正整數(shù)）的“青一區(qū)間”為，的“青一區(qū)間”為，求的值；(3)實數(shù)x，y，m滿足關(guān)系式：，求的算術(shù)平方根的“青一區(qū)間”．3．先閱讀材料，再解答問題：我國數(shù)學家華羅庚在一次出國訪問途中，看到飛機上鄰座的乘客閱讀的雜志上有一道智力題：求59319的立方根，華羅庚脫口而出，給出了答案，眾人十分驚訝，忙問計算的奧妙，你知道華羅庚怎樣迅速而準確地計算出結(jié)果嗎？請你按下面的步驟也試一試：（1）我們知道，，那么，請你猜想：59319的立方根是_______位數(shù)（2）在自然數(shù)1到9這九個數(shù)字中，________，________，________．猜想：59319的個位數(shù)字是9，則59319的立方根的個位數(shù)字是________．（3）如果劃去59319后面的三位“319”得到數(shù)59，而，，由此可確定59319的立方根的十位數(shù)字是________，因此59319的立方根是________．（4）現(xiàn)在換一個數(shù)103823，你能按這種方法得出它的立方根嗎？4．觀察下列各式，并用所得出的規(guī)律解決問題：（1），，，……，，，……由此可見，被開方數(shù)的小數(shù)點每向右移動______位，其算術(shù)平方根的小數(shù)點向______移動______位．（2）已知，，則_____；______．（3），，，……小數(shù)點的變化規(guī)律是_______________________．（4）已知，，則______．5．數(shù)學家華羅庚在一次出國訪問途中，看到飛機上鄰座的乘客閱讀的雜志上有一道智力題：求59319的立方根．華羅庚脫口而出：39．眾人感覺十分驚奇，請華羅庚給大家解讀其中的奧秘．你知道怎樣迅速準確的計算出結(jié)果嗎？請你按下面的問題試一試：①，又，，∴能確定59319的立方根是個兩位數(shù)．②∵59319的個位數(shù)是9，又，∴能確定59319的立方根的個位數(shù)是9．③如果劃去59319后面的三位319得到數(shù)59，而，則，可得，由此能確定59319的立方根的十位數(shù)是3因此59319的立方根是39．（1）現(xiàn)在換一個數(shù)195112，按這種方法求立方根，請完成下列填空．①它的立方根是_______位數(shù)．②它的立方根的個位數(shù)是_______．③它的立方根的十位數(shù)是__________．④195112的立方根是________．（2）請直接填寫結(jié)果：①________．②________．6．閱讀下列材料：我們可以通過下列步驟估計的大?。谝徊剑阂驗?2=1，22=4，1＜2＜4，所以1＜＜2．第二步：通過取1和2的平均數(shù)縮小所在的范圍：取，因為1.52=2.25，2＜2.25，所以1＜＜1.5．（1）請仿照第一步，通過運算，確定界于哪兩個相鄰的整數(shù)之間？（2）在1＜＜1.5的基礎上，重復應用第二步中取平均數(shù)的方法，將所在的范圍縮小至m＜＜n，使得n－m=．7．觀察下列計算過程，猜想立方根．13=1

23=8

33=27

43=64

53=125

63=216

73=343

83=512

93=729（1）小明是這樣試求出19683的立方根的．先估計19683的立方根的個位數(shù)，猜想它的個位數(shù)為，又由203＜19000＜303，猜想19683的立方根十位數(shù)為，驗證得19683的立方根是（2）請你根據(jù)（1）中小明的方法，猜想;.請選擇其中一個立方根寫出猜想、驗證過程．8．我國數(shù)學家華羅庚在一次出國訪問途中，看到飛機上鄰座的乘客閱讀的雜志上有一道智力題，求的立方根.華羅庚脫口而出,你知道怎樣迅速準確地計算出結(jié)果的嗎？請按照下面的問題試一試：（1）由,確定的立方根是位數(shù)；（2）由的個位數(shù)是確定的立方根的個位數(shù)是；（3）如果劃去后面的三位得到數(shù),而,由此能確定的立方根的十位數(shù)是；所以的立方根是；（4）用類似的方法，請說出的立方根是.9．我們知道，是一個無理數(shù)，將這個數(shù)減去整數(shù)部分，差就是小數(shù)部分，即的整數(shù)部分是1，小數(shù)部分是，請回答以下問題：(1)的小數(shù)部分是________，的小數(shù)部分是________．(2)若a是的整數(shù)部分，b是的小數(shù)部分，求的平方根．(3)若，其中x是整數(shù)，且，求的值．10．閱讀下面的文字，解答問題．對于實數(shù)a，我們規(guī)定：用符號[a]表示不大于a的最大整數(shù)；用{a}表示a減去[a]所得的差．例如：[]＝1，[2.2]＝2，{}＝﹣1，{2.2}＝2.2﹣2＝0.2．（1）仿照以上方法計算：[]＝{5﹣}＝；（2）若[]＝1，寫出所有滿足題意的整數(shù)x的值：．（3）已知y0是一個不大于280的非負數(shù)，且滿足{}＝0．我們規(guī)定：y1＝[]，y2＝[]，y3＝[]，…，以此類推，直到y(tǒng)n第一次等于1時停止計算．當y0是符合條件的所有數(shù)中的最大數(shù)時，此時y0＝，n＝．11．單項式“a2”可表示邊長為a的正方形的面積，這就是數(shù)學中的數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)．康康由此探究的近似值，以下是他的探究過程：面積為2的正方形邊長為，可知＞1，因此設＝1＋r，畫出示意圖：圖中正方形的面積可以用兩個正方形的面積與兩個長方形面積的和表示，即S正方形＝x2＋2×r＋1，另一方面S正方形＝2，則x2＋2×r＋1＝2，由于r2較小故略去，得2r＋1≈2，則r≈0.5，即≈1.5(1)仿照康康上述的方法，探究的近似值．（精確到0.01）（畫出示意圖，標明數(shù)據(jù)，并寫出求解過程）；(2)繼續(xù)仿照上述方法，在（1）中得到的的近似值的基礎上，再探究一次，使求得的的近似值更加準確，精確到0.001（畫出示意圖，標明數(shù)據(jù)，并寫出求解過程）；(3)綜合上述具體探究，已知非負整數(shù)n，m，b，若n＜＜n＋1，且b＝n2＋m，試用含m和n式子表示的估算值．12．對于一個實數(shù)m（m≥0），規(guī)定其整數(shù)部分為a，小數(shù)部分為b，如：當m＝3時，則a＝3，b＝0；當m＝4.5時，則a＝4，b＝0.5．（1）當m=π時，b＝；當m＝時，a＝；（2）當m＝9?時，求a－b的值；（3）若a－b＝，則m＝．二、實數(shù)與數(shù)軸13．如圖1，把兩個邊長為1的小正方形沿對角線剪開，所得的4個直角三角形拼成一個面積為2的大正方形．由此得到了一種能在數(shù)軸上畫出無理數(shù)對應點的方法．（1）圖2中A、B兩點表示的數(shù)分別為___________，____________；（2）請你參照上面的方法：①把圖3中的長方形進行剪裁，并拼成一個大正方形．在圖3中畫出裁剪線，并在圖4的正方形網(wǎng)格中畫出拼成的大正方形，該正方形的邊長___________．（注：小正方形邊長都為1，拼接不重疊也無空隙）②在①的基礎上，參照圖2的畫法，在數(shù)軸上分別用點M、N表示數(shù)a以及．（圖中標出必要線段的長）14．【算一算】如圖①，點A、B、C在數(shù)軸上，B為AC的中點，點A表示﹣3，點B表示1，則點C表示的數(shù)為，AC長等于；【找一找】如圖②，點M、N、P、Q中的一點是數(shù)軸的原點，點A、B分別表示實數(shù)﹣1、+1，Q是AB的中點，則點是這個數(shù)軸的原點；【畫一畫】如圖③，點A、B分別表示實數(shù)c﹣n、c+n，在這個數(shù)軸上作出表示實數(shù)n的點E（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；【用一用】學校設置了若干個測溫通道，學生進校都應測量體溫，已知每個測溫通道每分鐘可檢測a個學生．凌老師提出了這樣的問題：假設現(xiàn)在校門口有m個學生，每分鐘又有b個學生到達校門口．如果開放3個通道，那么用4分鐘可使校門口的學生全部進校；如果開放4個通道，那么用2分鐘可使校門口的學生全部進校．在這些條件下，a、m、b會有怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？愛思考的小華想到了數(shù)軸，如圖④，他將4分鐘內(nèi)需要進校的人數(shù)m+4b記作+(m+4b)，用點A表示；將2分鐘內(nèi)由4個開放通道檢測后進校的人數(shù)，即校門口減少的人數(shù)8a記作﹣8a，用點B表示．①用圓規(guī)在小華畫的數(shù)軸上分別畫出表示+（m+2b）、﹣12a的點F、G，并寫出+(m+2b)的實際意義；②寫出a、m的數(shù)量關(guān)系：．15．在平面直角坐標系中，對于任意兩點，，如果，則稱與互為“距點”．例如：點，點，由，可得點與互為“距點”．（1）在點，，中，原點的“距點”是_____(填字母)；（2）已知點，點，過點作平行于軸的直線．①當時，直線上點的“距點”的坐標為_____；②若直線上存在點的“點”，求的取值范圍．（3）已知點，，，的半徑為，若在線段上存在點，在上存在點，使得點與點互為“距點”，直接寫出的取值范圍．16．已知a是最大的負整數(shù)，b是多項式2m2n﹣m3n2﹣m﹣2的次數(shù)，c是單項式﹣2xy2的系數(shù)，且a、b、c分別是點A、B、C在數(shù)軸上對應的數(shù)．（1）求a、b、c的值，并在數(shù)軸上標出點A、B、C．（2）若M點在此數(shù)軸上運動，請求出M點到AB兩點距離之和的最小值；（3）若動點P、Q同時從A、B出發(fā)沿數(shù)軸負方向運動，點P的速度是每秒個單位長度，點Q的速度是每秒2個單位長度，求運動幾秒后，點Q能追上點P？（4）在數(shù)軸上找一點N，使點M到A、B、C三點的距離之和等于10，請直接寫出所有的N對應的數(shù)．（不必說明理由）三、新定義下的實數(shù)運算17．若一個四位數(shù)M的個位數(shù)字與十位數(shù)字的和與它們的差之積恰好是M去掉個位數(shù)字與十位數(shù)字后得到的兩位數(shù)，則這個四位數(shù)M為“和差數(shù)”．例如：，∵，∴1514是“和差數(shù)”．又如：，∵，∴2526不是“和差數(shù)”．(1)判斷2022，2046是否是“和差數(shù)”，并說明理由；(2)一個“和差數(shù)”M的千位數(shù)字為a，百位數(shù)字為b，十位數(shù)字為c，個位數(shù)字為d，記，且．當均是整數(shù)時，來出所有滿足條作的M．18．若一個四位數(shù)的個位數(shù)字與千位數(shù)字的和的五倍恰好是去掉個位與千位數(shù)字后得到的兩位數(shù)，則稱這個四位數(shù)為“和五倍數(shù)”．例如：，∵，，∴3201是“和五倍數(shù)”．又如：，∵，，∴4609不是“和五倍數(shù)”．(1)判斷1101，5351是否是“和五倍數(shù)”，并說明理由；(2)一個“和五倍數(shù)”的千位數(shù)字為，百位數(shù)字為，十位數(shù)字為，個位數(shù)字為（、、、是整數(shù)且，，，），交換的千位數(shù)字和個位數(shù)字得到新的四位數(shù)，記，，當、均為整數(shù)時，求出所有滿足條件的．19．對于任意一個四位數(shù)，如果N滿足各個數(shù)位上的數(shù)字互不相同，且個位數(shù)字為奇數(shù)，N的千位上的數(shù)字與百位上的數(shù)字之差是十位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字之差的3倍，則稱這個四位數(shù)N為“雙減數(shù)”．對于一個“雙減數(shù)”，將它的十位和千位構(gòu)成的兩位數(shù)記為，個位和百位構(gòu)成的兩位數(shù)記為，規(guī)定：．例如：，因為，且各個數(shù)位上的數(shù)字互不相同，個位數(shù)字為奇數(shù)，故是一個“雙減數(shù)”，則．(1)判斷是否是“雙減數(shù)”，并說明理由，如果是，并求出的值；(2)若自然數(shù)M為“雙減數(shù)”，是2的整數(shù)倍，且M各個數(shù)位上的數(shù)字之和能被14整除，求M的值．20．若一個四位正整數(shù)若滿足：或，且各個數(shù)位上的數(shù)字都不為0，我們就稱該數(shù)是“九天數(shù)”，如對于四位數(shù)3567，，是“九天數(shù)”，對于四位數(shù)2353，，是“九天數(shù)”，對于四位數(shù)2345，∵且，不是“九天數(shù)”．(1)判斷2376，6425是不是“九天數(shù)”，并說明理由；(2)若一個“九天數(shù)”滿足千位數(shù)字與百位數(shù)字的平方差是十位數(shù)字的平方，且這個“九天數(shù)”能被3整除．請求出所有滿足條件的“九天數(shù)”．21．對于一個各個數(shù)位均不為零的四位數(shù)M，若M的千位與百位組成的兩位數(shù)能被它的個位和十位數(shù)字之和整除，則稱M是“整除數(shù)”．例如：M：9176：∵，∴9176是“整除數(shù)”．又如：M：6726：∵，∴6726不是“整除數(shù)”(1)判斷7923，8457是否是“整除數(shù)”，并說明理由；(2)四位數(shù)（，，且a，b，c，d均為整數(shù)）是“整除數(shù)”，且，記，當為整數(shù)時，求出所有滿足條件的M．22．若整數(shù)a能被9整除，那么稱整數(shù)a為“長久數(shù)”．例如，因為能被9整除，所以是“長久數(shù)”．(1)判斷和是否為“長久數(shù)”？請說明理由；(2)已知三位正整數(shù)t的百位數(shù)字為x，十位數(shù)字為y，個位數(shù)字為1(，其中x，y為自然數(shù)），交換其十位上的數(shù)字和百位上的數(shù)字得到新數(shù)，如果s加上t的和是“長久數(shù)”，求所有符合條件的三位正整數(shù)t．23．某數(shù)學興趣小組在一次課外學習與探究中遇到一個新的數(shù)學符號，規(guī)定如下：對于三個實數(shù)，用表示這三個數(shù)中最大的數(shù)，例如，．請結(jié)合上述材料，解決下列問題：(1)______，______；(2)若，求的取值范圍；(3)若，求的值．24．若一個正整數(shù)a可以表示為，其中b為大于2的正整數(shù)，則稱a為“十字數(shù)”，b為a的“十字點”．例如．(1)“十字點”為7的“十字數(shù)”為；130的“十字點”為(2)若b是a的“十字點”，且a能被7整除，其中b為大于2且小于15的正整數(shù)，求a的值．(3)m的“十字點”為p，n的“十字點”為q，當時，求的值．25．對于由若干不相等的整數(shù)組成的數(shù)組和有理數(shù)，給出如下定義：如果在數(shù)軸上存在一條長為1個單位長度的線段，使得將數(shù)組中的每一個數(shù)乘以之后，計算的結(jié)果都能夠用線段上的某個點來表示，就稱為數(shù)組的收納系數(shù)．例如，對于數(shù)組：1，2，3，因為，，，取為原點，為表示數(shù)1的點，那么這三個數(shù)都可以用線段上的某個點來表示，可以判斷是的收納系數(shù)．已知是數(shù)組的收納系數(shù)，此時線段的端點，表示的數(shù)分別為，．(1)對數(shù)組：1，2，，在1，，這三個數(shù)中，可能是______；(2)對數(shù)組：1，2，，若的最大值為，求的值；(3)已知100個連續(xù)整數(shù)中第一個整數(shù)為，從中選擇個數(shù)，組成數(shù)組．①當，且時，直接寫出的最大值；②當時，直接寫出的最大值和相應的的最小值．26．在數(shù)軸上，為原點，點，對應的數(shù)分別是，（，），為線段的中點．給出如下定義：若，則稱是的“正比點”；若，則稱是的“反比點”．例如，時，是的“正比點”；，時，是的“反比點”．(1)若，則對應的數(shù)為，下列說法正確的是（填序號）．①是的“正比點”；②是的“反比點”；③是的“正比點”；④是的“反比點”；(2)若，且是的“正比點”，求的值；(3)若，且既是，其中一點的“正比點”，又是另一點的“反比點”，直接寫出的值．27．將個0或1排列在一起組成了一個數(shù)組，記為，其中，都取0或1，稱是一個元完美數(shù)組（且為整數(shù)）．例如：，都是2元完美數(shù)組，，都是4元完美數(shù)組，但不是任何完美數(shù)組．定義以下兩個新運算：新運算1：對于和，，新運算2：對于任意兩個元完美數(shù)組和，，例如：對于3元完美數(shù)組和，有．(1)在，，，中是3元完美數(shù)組的有：______；(2)設，則______；(3)已知完美數(shù)組求出所有4元完美數(shù)組，使得；(4)現(xiàn)有個不同的元完美數(shù)組，是正整數(shù)，且對于其中任意的兩個完美數(shù)組，均有：；則的最大可能值是多少？寫出答案，并給出此時這些完美數(shù)組的一個構(gòu)造．28．一個多位數(shù)m（數(shù)位大于等于4）的末三位數(shù)與末三位數(shù)以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差記為，如果能被整除，則這個多位數(shù)就一定能被整除．例如：判斷能不能被整除，這個數(shù)的末三位數(shù)字是，末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)是，則，能被整除，因此，也一定能被整除．反之，若一個多位數(shù)m（數(shù)位大于等于4）能被整除，則m的末三位數(shù)與末三位數(shù)以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差一定能被整除．(1)＝，（能或不能）被整除．(2)若兩個四位數(shù)m，n均為的倍數(shù)，且，n的千位數(shù)字為，百位數(shù)字為5，十位數(shù)字為5，個位數(shù)字為．規(guī)定，當時，求的最小值．29．事實：我們知道若一個正整數(shù)的各個數(shù)位上的數(shù)字之和能被3整除，則這個數(shù)就能被3整除，反之也成立．定義：對于一個兩位數(shù)m和一個三位數(shù)n，它們各個數(shù)位上的數(shù)字都不為0，將數(shù)m任意一個數(shù)位上的數(shù)字作為一個新的兩位數(shù)的十位數(shù)字，將數(shù)n任意一個數(shù)位上的數(shù)字作為該新的兩位數(shù)的個位數(shù)字，按照這樣方式產(chǎn)生的所有新的兩位數(shù)的和我們稱之為“二三聯(lián)合”，用表示．例如數(shù)與的“二三聯(lián)合”為．(1)填空：_________；__________；(2)若一個兩位數(shù)，一個三位數(shù)(其中，，且x，y均為整數(shù))，交換三位數(shù)t的百位數(shù)字和個位數(shù)字得到新數(shù)，當與s的個位數(shù)字的3倍的和能被整除，稱這樣的兩個數(shù)s和t為“珊瑚數(shù)對”，求所有“珊瑚數(shù)對”中的“二三聯(lián)合”的最大值．30．材料分析題：對于任意一個四位正整數(shù)M，若千位和十位數(shù)字和為7，百位與個位數(shù)字和也為7，且各數(shù)位上的數(shù)字均不相同，那么稱這個數(shù)M為“奇跡”數(shù)，例如：，∵，，∴2354是個“奇跡”數(shù)：再例如：，∵，但是數(shù)位上有相同數(shù)字，∴3443不是一個“奇跡”數(shù)．(1)請判斷1364是否為一個“奇跡”數(shù)，并說明理由．(2)證明：任意一個“奇跡”數(shù)M都是11的倍數(shù)．(3)若M為“奇跡”數(shù)，設．且是14的倍數(shù)，請求出所有滿足題意的四位正整數(shù)M．31．對于一個百位數(shù)字與十位數(shù)字之和為3的四位正整數(shù)m，其各數(shù)位上數(shù)字均不為零且小于9，交換千位與個位上的數(shù)字得到數(shù)，令，若為正整數(shù)，則稱m為“三中全會”數(shù)．例如：對于8212，，，∵18是正整數(shù)，∴8212是“三中全會”數(shù)；對于3216，，，∵不是正整數(shù)，∴3216不是“三中全會”數(shù)．(1)請判斷6214，4127是否是“三中全會”數(shù)，并說明理由；(2)對“三中全會”數(shù)m，若其百位數(shù)字小于十位數(shù)字，去掉它的百位和十位后得到的兩位數(shù)與m的百位、十位和個位上的數(shù)字之和記為，若是整數(shù)，則稱m為“南開全對”數(shù)，請求出所有“南開全對”數(shù)．特訓03實數(shù)（題型歸納）目錄：一、數(shù)的開方（規(guī)律題，無理數(shù)的估算，數(shù)的開方的應用）；二、實數(shù)與數(shù)軸；三、新定義下的實數(shù)運算。解答題一、數(shù)的開方（規(guī)律題，無理數(shù)的估算，數(shù)的開方的應用）1．（1）利用求平方根、立方根解方程：①3x2=27②2（x﹣1）3+16=0．（2）觀察下列計算過程，猜想立方根．13=1，23=8，33=27，43=64，53=125，63=216，73=343，83=512，93=729（?。┬∶魇沁@樣試求出19683的立方根的．先估計19683的立方根的個位數(shù)，猜想它的個位數(shù)為，又由203＜19000＜303，猜想19683的立方根十位數(shù)為，驗證得19683的立方根是（ⅱ）請你根據(jù)（?。┲行∶鞯姆椒?，完成如下填空：①=；②=；③=．【答案】（1）①x=±3；②x=﹣1；（2）（ⅰ）7，2，27；（ⅱ）①49，②﹣72，③0.81．【分析】（1）直接利用解方程的基本步驟求解；（2）分別根據(jù)題中所給的分析方法先求出這幾個數(shù)的立方根都是兩位數(shù)，然后根據(jù)閱讀知識求出個位數(shù)和十位數(shù)即可．【解析】（1）①3x2=27,∴x2=9，∴x=±3;②∵2（x﹣1）3+16=0，∴（x﹣1）3=﹣8，∴x﹣1=﹣2，∴x=﹣1．（2）（?。┫裙烙?9683的立方根的個位數(shù)，猜想它的個位數(shù)為7，又由，猜想19683的立方根十位數(shù)為2，驗證得19683的立方根是27（ⅱ）①；②；③．故答案為：（1）7，2，27；（2）①49，②﹣72，③0.81．【點睛】本題主要考查了數(shù)的立方，理解一個數(shù)的立方的個位數(shù)就是這個數(shù)的個位數(shù)的立方的個位數(shù)是解題的關(guān)鍵，有一定難度．2．新定義：若無理數(shù)的被開方數(shù)（為正整數(shù)）滿足（其中為正整數(shù)），則稱無理數(shù)的“青一區(qū)間”為；同理規(guī)定無理數(shù)的“青一區(qū)間”為．例如：因為，所以，所以的“青一區(qū)間”為，的“青一區(qū)間”為．請解答下列問題：(1)的“青一區(qū)間”是；的“青一區(qū)間”是；(2)若無理數(shù)（為正整數(shù)）的“青一區(qū)間”為，的“青一區(qū)間”為，求的值；(3)實數(shù)x，y，m滿足關(guān)系式：，求的算術(shù)平方根的“青一區(qū)間”．【答案】(1)，(2)2或(3)【分析】（1）仿照題干中的方法，根據(jù)“青一區(qū)間”的定義求解；（2）先根據(jù)無理數(shù)和的“青一區(qū)間”求出a的取值范圍，再根據(jù)為正整數(shù)求出a的值，代入即可求解；（3）先根據(jù)，，得出，進而得出，，兩式相減可得，再根據(jù)“青一區(qū)間”的定義即可求解．【解析】（1）解：，，，，的“青一區(qū)間”是，的“青一區(qū)間”是，故答案為：，；（2）解：無理數(shù)的“青一區(qū)間”為，，，即，的“青一區(qū)間”為，，，即，，，為正整數(shù)，或當時，，當時，，的值為2或；（3）解：，，，，，，，，兩式相減，得，，的算術(shù)平方根為，，，的算術(shù)平方根的“青一區(qū)間”是．【點睛】本題考查算術(shù)平方根、立方根、不等式、解方程等知識點，題目較為新穎，解題的關(guān)鍵是理解題目中“青一區(qū)間”的定義．3．先閱讀材料，再解答問題：我國數(shù)學家華羅庚在一次出國訪問途中，看到飛機上鄰座的乘客閱讀的雜志上有一道智力題：求59319的立方根，華羅庚脫口而出，給出了答案，眾人十分驚訝，忙問計算的奧妙，你知道華羅庚怎樣迅速而準確地計算出結(jié)果嗎？請你按下面的步驟也試一試：（1）我們知道，，那么，請你猜想：59319的立方根是_______位數(shù)（2）在自然數(shù)1到9這九個數(shù)字中，________，________，________．猜想：59319的個位數(shù)字是9，則59319的立方根的個位數(shù)字是________．（3）如果劃去59319后面的三位“319”得到數(shù)59，而，，由此可確定59319的立方根的十位數(shù)字是________，因此59319的立方根是________．（4）現(xiàn)在換一個數(shù)103823，你能按這種方法得出它的立方根嗎？【答案】（1）兩；（2）125，343，729，9；（3）3，39；（4）47【分析】（1）根據(jù)夾逼法和立方根的定義進行解答；（2）先分別求得1至9中奇數(shù)的立方，然后根據(jù)末位數(shù)字是幾進行判斷即可；（3）先利用（2）中的方法判斷出個數(shù)數(shù)字，然后再利用夾逼法判斷出十位數(shù)字即可；（4）利用（3）中的方法確定出個位數(shù)字和十位數(shù)字即可．【解析】（1）∵1000＜59319＜1000000，∴59319的立方根是兩位數(shù)；（2）∵125，343，729，∴59319的個位數(shù)字是9，則59319的立方根的個位數(shù)字是9；（3）∵，且59319的立方根是兩位數(shù)，∴59319的立方根的十位數(shù)字是3，又∵59319的立方根的個位數(shù)字是9，∴59319的立方根是39；（4）∵1000＜103823＜1000000，∴103823的立方根是兩位數(shù)；∵125，343，729，∴103823的個位數(shù)字是3，則103823的立方根的個位數(shù)字是7；∵，且103823的立方根是兩位數(shù)，∴103823的立方根的十位數(shù)字是4，又∵103823的立方根的個位數(shù)字是7，∴103823的立方根是47．【點睛】考查了立方根的概念和求法，解題關(guān)鍵是理解一個數(shù)的立方的個位數(shù)就是這個數(shù)的個位數(shù)的立方的個位數(shù)．4．觀察下列各式，并用所得出的規(guī)律解決問題：（1），，，……，，，……由此可見，被開方數(shù)的小數(shù)點每向右移動______位，其算術(shù)平方根的小數(shù)點向______移動______位．（2）已知，，則_____；______．（3），，，……小數(shù)點的變化規(guī)律是_______________________．（4）已知，，則______．【答案】（1）兩；右；一；（2）12.25；0.3873；（3）被開方數(shù)的小數(shù)點向右（左）移三位，其立方根的小數(shù)點向右（左）移動一位；（4）-0.01【分析】（1）觀察已知等式，得到一般性規(guī)律，寫出即可；（2）利用得出的規(guī)律計算即可得到結(jié)果；（3）歸納總結(jié)得到規(guī)律，寫出即可；（4）利用得出的規(guī)律計算即可得到結(jié)果．【解析】解：（1），，，……，，，……由此可見，被開方數(shù)的小數(shù)點每向右移動兩位，其算術(shù)平方根的小數(shù)點向右移動一位．故答案為：兩；右；一；（2）已知，，則；；故答案為：12.25；0.3873；（3），，，……小數(shù)點的變化規(guī)律是：被開方數(shù)的小數(shù)點向右（左）移三位，其立方根的小數(shù)點向右（左）移動一位；（4）∵，，∴，∴，∴y=-0.01．【點睛】此題考查了立方根，以及算術(shù)平方根，弄清題中的規(guī)律是解本題的關(guān)鍵．5．數(shù)學家華羅庚在一次出國訪問途中，看到飛機上鄰座的乘客閱讀的雜志上有一道智力題：求59319的立方根．華羅庚脫口而出：39．眾人感覺十分驚奇，請華羅庚給大家解讀其中的奧秘．你知道怎樣迅速準確的計算出結(jié)果嗎？請你按下面的問題試一試：①，又，，∴能確定59319的立方根是個兩位數(shù)．②∵59319的個位數(shù)是9，又，∴能確定59319的立方根的個位數(shù)是9．③如果劃去59319后面的三位319得到數(shù)59，而，則，可得，由此能確定59319的立方根的十位數(shù)是3因此59319的立方根是39．（1）現(xiàn)在換一個數(shù)195112，按這種方法求立方根，請完成下列填空．①它的立方根是_______位數(shù)．②它的立方根的個位數(shù)是_______．③它的立方根的十位數(shù)是__________．④195112的立方根是________．（2）請直接填寫結(jié)果：①________．②________．【答案】（1）①兩；②8；③5；④58；（2）①24；②56．【分析】（1）①根據(jù)例題進行推理得出答案；②根據(jù)例題進行推理得出答案；③根據(jù)例題進行推理得出答案；④根據(jù)②③得出答案；（2）①先判斷它的立方根是幾位數(shù)，再判斷個位、十位上的數(shù)字，即可得到結(jié)論；②先判斷它的立方根是幾位數(shù)，再判斷個位、十位上的數(shù)字，即可得到結(jié)論.【解析】（1）①，，∴，∴能確定195112的立方根是一個兩位數(shù)，故答案為：兩；②∵195112的個位數(shù)字是2，又∵，∴能確定195112的個位數(shù)字是8，故答案為：8；③如果劃去195112后面三位112得到數(shù)195，而，∴，可得，由此能確定195112的立方根的十位數(shù)是5，故答案為：5；④根據(jù)②③可得：195112的立方根是58，故答案為：58；（2）①13824的立方根是兩位數(shù)，立方根的個位數(shù)是4，十位數(shù)是2，∴13824的立方根是24，故答案為：24；②175616的立方根是兩位數(shù)，立方根的個位數(shù)是6，十位數(shù)是5，∴175616的立方根是56，故答案為：56.【點睛】此題考查立方根的性質(zhì)，一個數(shù)的立方數(shù)的特點，正確理解題意仿照例題解題的能力，掌握一個數(shù)的立方數(shù)的特點是解題的關(guān)鍵.6．閱讀下列材料：我們可以通過下列步驟估計的大小．第一步：因為12=1，22=4，1＜2＜4，所以1＜＜2．第二步：通過取1和2的平均數(shù)縮小所在的范圍：取，因為1.52=2.25，2＜2.25，所以1＜＜1.5．（1）請仿照第一步，通過運算，確定界于哪兩個相鄰的整數(shù)之間？（2）在1＜＜1.5的基礎上，重復應用第二步中取平均數(shù)的方法，將所在的范圍縮小至m＜＜n，使得n－m=．【答案】（1）界于8和9相鄰的整數(shù)之間；（2）1.375＜＜1.5．【分析】（1）根據(jù)第一步，由82=64，92=81，即可確定界于哪兩個相鄰的整數(shù)之間；（2）先根據(jù)第二步中取平均數(shù)的方法，求1和1.5的平均數(shù)，再求得1.25＜＜1.5；同理再求1.25和1.5的平均數(shù)，得到1.375＜＜1.5，從而得出結(jié)論.【解析】解：（1）因為82=64，92=81，64＜66＜81，所以8＜＜9；（2）通過取1和1.5的平均數(shù)確定所在的范圍：取,因為1.252=1.5625，1.5625＜2，所以1.25＜＜1.5，n-m=1.5-1.25=0.25＞；通過取1.25和1.5的平均數(shù)確定所在的范圍：取,因為1.3752=1.890625，1.890625＜2，所以1.375＜＜1.5，n-m=1.5-1.375=0.125=．故1.375＜＜1.5．【點睛】本題為閱讀理解題，主要考查算術(shù)平均數(shù)的定義以及估算無理數(shù)的大?。诮忸}時注意對題目中所給知識的正確理解，考查了閱讀所給材料的理解和運用的能力，運用類比的方法，難度適中．7．觀察下列計算過程，猜想立方根．13=1

23=8

33=27

43=64

53=125

63=216

73=343

83=512

93=729（1）小明是這樣試求出19683的立方根的．先估計19683的立方根的個位數(shù)，猜想它的個位數(shù)為，又由203＜19000＜303，猜想19683的立方根十位數(shù)為，驗證得19683的立方根是（2）請你根據(jù)（1）中小明的方法，猜想;.請選擇其中一個立方根寫出猜想、驗證過程．【答案】（1）7；2；27；（2）答案見解析（答案不唯一）【分析】(1)觀察所給數(shù)的立方，7的立方的個位數(shù)是3，由此估計19683的立方根的個位數(shù)為7，繼而由203＜19000＜303猜想19683的立方根的十位數(shù)這2，由此進行驗證即可；(2)根據(jù)(1)中的方法先進行猜想，然后進行驗證即可．【解析】解：(1)先估計19683的立方根的個位數(shù)，猜想它的個位數(shù)為7，又由203＜19000＜303，猜想19683的立方根的十位數(shù)為2，驗證得19683的立方根是27，故答案為：7，2，27；(2)猜想：117649的立方根為49；373248的立方根為72；(本題答案不唯一)；驗證：先估計117649的立方根的個位數(shù)，猜想它的個位數(shù)是9，又由403＜117000＜503，猜想117649的立方根的十位數(shù)為4，驗證得117649的立方根是49；先估計373248的立方根的個位數(shù)，猜想它的個位數(shù)是2，又由703＜373000＜803，猜想373248的立方根的十位數(shù)為7，驗證得373248的立方根是72.【點睛】本題考查了數(shù)的立方，理解一個數(shù)的立方的個位數(shù)就是這個數(shù)的個位數(shù)的立方的個位數(shù)是解題的關(guān)鍵，本題有一定的難度．8．我國數(shù)學家華羅庚在一次出國訪問途中，看到飛機上鄰座的乘客閱讀的雜志上有一道智力題，求的立方根.華羅庚脫口而出,你知道怎樣迅速準確地計算出結(jié)果的嗎？請按照下面的問題試一試：（1）由,確定的立方根是位數(shù)；（2）由的個位數(shù)是確定的立方根的個位數(shù)是；（3）如果劃去后面的三位得到數(shù),而,由此能確定的立方根的十位數(shù)是；所以的立方根是；（4）用類似的方法，請說出的立方根是.【答案】（1）兩；（2）9；（3）3，39；（4）【分析】（1）根據(jù)59319大于1000而小于1000000，即可確定59319的立方根是兩位數(shù)；（2）根據(jù)一個數(shù)的立方的個位數(shù)就是這個數(shù)的個位數(shù)的立方的個位數(shù)，據(jù)此即可確定；（3）根據(jù)數(shù)的立方的計算方法即可確定；（4）首先根據(jù)一個數(shù)的立方的個位數(shù)就是這個數(shù)的個位數(shù)的立方的個位數(shù)確定個位數(shù)，然后依次確定十位數(shù)，即可求得立方根．【解析】解：（1）∵1000＜59319＜1000000，∴，∴的立方根是兩位數(shù)，故答案為：兩；（2）只有個位數(shù)是9的立方數(shù)的個位數(shù)依然是9，∴的立方根的個位數(shù)是9，故答案為9；（3）∵27＜59＜64，∴，∴的十位數(shù)是3，∴，故答案為3，39；（4）根據(jù)上述知識可知，∵-1000000＜-110592＜-1000，∴，∴-110592的立方根的個位數(shù)是-8，∵-125＜-110＜-64，∴，∴的十位數(shù)是-4，則，故答案為．【點睛】本題主要考查了數(shù)的立方，理解一個數(shù)的立方的個位數(shù)就是這個數(shù)的個位數(shù)的立方的個位數(shù)是解題的關(guān)鍵．9．我們知道，是一個無理數(shù)，將這個數(shù)減去整數(shù)部分，差就是小數(shù)部分，即的整數(shù)部分是1，小數(shù)部分是，請回答以下問題：(1)的小數(shù)部分是________，的小數(shù)部分是________．(2)若a是的整數(shù)部分，b是的小數(shù)部分，求的平方根．(3)若，其中x是整數(shù)，且，求的值．【答案】(1)，；(2)；(3)11．【分析】（1）確定的整數(shù)部分，即可確定它的小數(shù)部分；確定的整數(shù)部分，即可確定的整數(shù)部分，從而確定的小數(shù)部分；（2）確定的整數(shù)部分，即知a的值，同理可確定的整數(shù)部分，從而求得它的小數(shù)部分，即b的值，則可以求得代數(shù)式+1的值，從而求得其平方根；（3）由得即，從而得x=9，y=，將x、y的值代入原式即可求解．【解析】（1）解：∵，∴的整數(shù)部分為3，∴的小數(shù)部分為，∵，∴，∴即，∴的整數(shù)部分為1，∴的小數(shù)部分為，故答案為：，；（2）解：∵，a是的整數(shù)部分，∴a=9，∵，∴的整數(shù)部分為1，∵b是的小數(shù)部分，∴，∴∵9的平方根等于，∴的平方根等于；（3）解：∵，∴即，∵，其中x是整數(shù)，且，∴x=9，y=，∴．【點睛】本題考查了無理數(shù)的估算、求平方根以及求代數(shù)式的值，關(guān)鍵是掌握二次根式的大小估算方法．10．閱讀下面的文字，解答問題．對于實數(shù)a，我們規(guī)定：用符號[a]表示不大于a的最大整數(shù)；用{a}表示a減去[a]所得的差．例如：[]＝1，[2.2]＝2，{}＝﹣1，{2.2}＝2.2﹣2＝0.2．（1）仿照以上方法計算：[]＝{5﹣}＝；（2）若[]＝1，寫出所有滿足題意的整數(shù)x的值：．（3）已知y0是一個不大于280的非負數(shù)，且滿足{}＝0．我們規(guī)定：y1＝[]，y2＝[]，y3＝[]，…，以此類推，直到y(tǒng)n第一次等于1時停止計算．當y0是符合條件的所有數(shù)中的最大數(shù)時，此時y0＝，n＝．【答案】（1）2；3﹣；（2）1、2、3；（3）256，4【分析】（1）依照定義進行計算即可；（2）由題可知，，則可得滿足題意的整數(shù)的的值為1、2、3；（3）由，可知，是某個整數(shù)的平方，又是符合條件的所有數(shù)中最大的數(shù)，則，再依次進行計算．【解析】解：（1）由定義可得，，，．故答案為：2；．（2），，即，整數(shù)的值為1、2、3．故答案為：1、2、3．（3），即，可設，且是自然數(shù)，是符合條件的所有數(shù)中的最大數(shù)，，，，，，即．故答案為：256，4．【點睛】本題屬于新定義類問題，主要考查估算無理數(shù)大小，無理數(shù)的整數(shù)部分和小數(shù)部分，理解定義內(nèi)容是解題關(guān)鍵．11．單項式“a2”可表示邊長為a的正方形的面積，這就是數(shù)學中的數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)．康康由此探究的近似值，以下是他的探究過程：面積為2的正方形邊長為，可知＞1，因此設＝1＋r，畫出示意圖：圖中正方形的面積可以用兩個正方形的面積與兩個長方形面積的和表示，即S正方形＝x2＋2×r＋1，另一方面S正方形＝2，則x2＋2×r＋1＝2，由于r2較小故略去，得2r＋1≈2，則r≈0.5，即≈1.5(1)仿照康康上述的方法，探究的近似值．（精確到0.01）（畫出示意圖，標明數(shù)據(jù)，并寫出求解過程）；(2)繼續(xù)仿照上述方法，在（1）中得到的的近似值的基礎上，再探究一次，使求得的的近似值更加準確，精確到0.001（畫出示意圖，標明數(shù)據(jù)，并寫出求解過程）；(3)綜合上述具體探究，已知非負整數(shù)n，m，b，若n＜＜n＋1，且b＝n2＋m，試用含m和n式子表示的估算值．【答案】(1)2.65(2)2.646(3)【分析】（1）設＝2.6＋r，面積為7的正方形由一個邊長為2.6的正方形和一個邊長為r的正方形以及兩個長方形組成，根據(jù)圖形建立等式即可得到答案；（2）設＝2.64＋r，面積為7的正方形由一個邊長為2.64的正方形和一個邊長為r的正方形以及兩個長方形組成，根據(jù)圖形建立等式即可得到答案；（3）設，面積為b的正方形由一個邊長為n的正方形和一個邊長為的正方形以及兩個長方形組成，根據(jù)圖形建立等式即可得到答案．【解析】（1）解：∵，∴＞2.6，設＝2.6＋r，如下圖所示，面積為7的正方形由一個邊長為2.6的正方形和一個邊長為r的正方形以及兩個長方形組成，∴，∵r2較小故略去，得5.2r＋6.76≈7，∴r≈0.05，即≈2.65；（2）∵，∴＞2.64，設＝2.64＋r，如下圖所示，面積為7的正方形由一個邊長為2.64的正方形和一個邊長為r的正方形以及兩個長方形組成，∴，∵r2較小故略去，得5.28r＋6.970≈7，∴r≈0.006，即≈2.646；（3）∵n＜＜n＋1，且b＝n2＋m∴設，如下圖所示，面積為b的正方形由一個邊長為n的正方形和一個邊長為的正方形以及兩個長方形組成，∴，∵r2較小故略去，得，∴，∵b＝n2＋m，∴，∴．【點睛】本題考查二次根式、正方形、矩形的面積，解題的關(guān)鍵是仿照案例畫出圖形，再根據(jù)圖形建立等式．12．對于一個實數(shù)m（m≥0），規(guī)定其整數(shù)部分為a，小數(shù)部分為b，如：當m＝3時，則a＝3，b＝0；當m＝4.5時，則a＝4，b＝0.5．（1）當m=π時，b＝；當m＝時，a＝；（2）當m＝9?時，求a－b的值；（3）若a－b＝，則m＝．【答案】（1）π，3；（2）；（3）【分析】正確估算無理數(shù)的大小即可求解.【解析】解：（1）當m=π時∵∴a=3，b=π當m＝時∵∴∴∴a=3，b=（2）當m＝9?時∵∴∴∴∴∴∴∴（3）∵a－b＝∴∴a-1是的整數(shù)部分，1-b是的小數(shù)部分.∵∴∴∴∴∴a-1=41-b=∴a=5,b=∴【點睛】本題考查了估算無理數(shù)的大小的應用，解此題的關(guān)鍵是求出各無理數(shù)的范圍．二、實數(shù)與數(shù)軸13．如圖1，把兩個邊長為1的小正方形沿對角線剪開，所得的4個直角三角形拼成一個面積為2的大正方形．由此得到了一種能在數(shù)軸上畫出無理數(shù)對應點的方法．（1）圖2中A、B兩點表示的數(shù)分別為___________，____________；（2）請你參照上面的方法：①把圖3中的長方形進行剪裁，并拼成一個大正方形．在圖3中畫出裁剪線，并在圖4的正方形網(wǎng)格中畫出拼成的大正方形，該正方形的邊長___________．（注：小正方形邊長都為1，拼接不重疊也無空隙）②在①的基礎上，參照圖2的畫法，在數(shù)軸上分別用點M、N表示數(shù)a以及．（圖中標出必要線段的長）【答案】（1），；（2）①圖見解析，；②見解析【分析】（1）根據(jù)圖1得到小正方形的對角線長，即可得出數(shù)軸上點A和點B表示的數(shù)（2）根據(jù)長方形的面積得正方形的面積，即可得到正方形的邊長，再畫出圖象即可；（3）從原點開始畫一個長是2，高是1的長方形，對角線長即是a，再用圓規(guī)以這個長度畫弧，交數(shù)軸于點M，再把這個長方形向左平移3個單位，用同樣的方法得到點N．【解析】（1）由圖1知，小正方形的對角線長是，∴圖2中點A表示的數(shù)是，點B表示的數(shù)是，故答案是：，；（2）①長方形的面積是5，拼成的正方形的面積也應該是5，∴正方形的邊長是，如圖所示：故答案是：；②如圖所示：【點睛】本題考查無理數(shù)的表示方法，解題的關(guān)鍵是理解題意，模仿題目中給出的解題方法進行求解．14．【算一算】如圖①，點A、B、C在數(shù)軸上，B為AC的中點，點A表示﹣3，點B表示1，則點C表示的數(shù)為，AC長等于；【找一找】如圖②，點M、N、P、Q中的一點是數(shù)軸的原點，點A、B分別表示實數(shù)﹣1、+1，Q是AB的中點，則點是這個數(shù)軸的原點；【畫一畫】如圖③，點A、B分別表示實數(shù)c﹣n、c+n，在這個數(shù)軸上作出表示實數(shù)n的點E（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；【用一用】學校設置了若干個測溫通道，學生進校都應測量體溫，已知每個測溫通道每分鐘可檢測a個學生．凌老師提出了這樣的問題：假設現(xiàn)在校門口有m個學生，每分鐘又有b個學生到達校門口．如果開放3個通道，那么用4分鐘可使校門口的學生全部進校；如果開放4個通道，那么用2分鐘可使校門口的學生全部進校．在這些條件下，a、m、b會有怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？愛思考的小華想到了數(shù)軸，如圖④，他將4分鐘內(nèi)需要進校的人數(shù)m+4b記作+(m+4b)，用點A表示；將2分鐘內(nèi)由4個開放通道檢測后進校的人數(shù)，即校門口減少的人數(shù)8a記作﹣8a，用點B表示．①用圓規(guī)在小華畫的數(shù)軸上分別畫出表示+（m+2b）、﹣12a的點F、G，并寫出+(m+2b)的實際意義；②寫出a、m的數(shù)量關(guān)系：．【答案】（1）5，8；（2）N；（3）圖見解析；（4）①+(m+2b)的實際意義：2分鐘后，校門口需要進入學校的學生人數(shù)，圖見解析；②m＝4a．【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸上點A對應﹣3，點B對應1，求得AB的長，進而根據(jù)AB＝BC可求得AC的長以及點C表示的數(shù)；（2）可設原點為O，根據(jù)條件可求得AB中點表示的數(shù)以及線段AB的長度，根據(jù)AB＝2，可得AQ＝BQ＝1，結(jié)合OQ的長度即可確定N為數(shù)軸的原點；（3）設AB的中點為M，先求得AB的長度，得到AM＝BM＝n，根據(jù)線段垂直平分線的作法作圖即可；（4）①根據(jù)每分鐘進校人數(shù)為b，每個通道每分鐘進入人數(shù)為a，列方程組，根據(jù)m+2b＝OF，m+4b＝12a，即可畫出F，G點，其中m+2b表示兩分鐘后，校門口需要進入學校的學生人數(shù)；②解①中的方程組，即可得到m＝4a．【解析】解：（1）【算一算】：記原點為O，∵AB＝1﹣（﹣3）＝4，∴AB＝BC＝4，∴OC＝OB+BC＝5，AC＝2AB＝8．所以點C表示的數(shù)為5，AC長等于8．故答案為：5，8；（2）【找一找】：記原點為O，∵AB＝+1﹣（﹣1）＝2，∴AQ＝BQ＝1，∴OQ＝OB﹣BQ＝+1﹣1＝，∴N為原點．故答案為：N．（3）【畫一畫】：記原點為O，由AB＝c+n﹣（c﹣n）＝2n，作AB的中點M，得AM＝BM＝n，以點O為圓心，AM＝n長為半徑作弧交數(shù)軸的正半軸于點E，則點E即為所求；（4）【用一用】：在數(shù)軸上畫出點F，G；2分鐘后，校門口需要進入學校的學生人數(shù)為：m＝4a．∵4分鐘內(nèi)開放3個通道可使學生全部進校，∴m+4b＝3×a×4，即m+4b＝12a（Ⅰ）；∵2分鐘內(nèi)開放4個通道可使學生全部進校，∴m+2b＝4×a×2，即m+2b＝8a（Ⅱ）；①以O為圓心，OB長為半徑作弧交數(shù)軸的正半軸于點F，則點F即為所求．作OB的中點E，則OE＝BE＝4a，在數(shù)軸負半軸上用圓規(guī)截取OG＝3OE＝12a，則點G即為所求．+（m+2b）的實際意義：2分鐘后，校門口需要進入學校的學生人數(shù)；②方程（Ⅱ）×2﹣方程（Ⅰ）得：m＝4a．故答案為：m＝4a．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用，實數(shù)與數(shù)軸，作圖．解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找到等量關(guān)系．15．在平面直角坐標系中，對于任意兩點，，如果，則稱與互為“距點”．例如：點，點，由，可得點與互為“距點”．（1）在點，，中，原點的“距點”是_____(填字母)；（2）已知點，點，過點作平行于軸的直線．①當時，直線上點的“距點”的坐標為_____；②若直線上存在點的“點”，求的取值范圍．（3）已知點，，，的半徑為，若在線段上存在點，在上存在點，使得點與點互為“距點”，直接寫出的取值范圍．【答案】（1）；（2）①；②；（3）．【分析】（1）根據(jù)定義判斷即可；（2）①設直線上與點的“距點”的點的坐標為（a，3），根據(jù)定義列出關(guān)于a的方程，解方程即可；②點坐標為，直線上點的縱坐標為b，由題意得，轉(zhuǎn)化為不等式組，解不等式組即可．（3）分類討論，分別取P與點M重合、P與點N重合討論。當點P與點M重合時，設⊙C左側(cè)與x軸交于點Q，則點Q的坐標是（m-，0），根據(jù)定義列出關(guān)于m的絕對值方程，解方程，取較小的值；當點P與點N重合時，設⊙C右側(cè)與x軸交于點Q，則點Q的坐標是（m+，0），根據(jù)定義列出關(guān)于m的絕對值方程，解方程，取較大的值，問題得解．【解析】解：（1）∵，O（0,0），∴，∴點D與原點互為“距點”；∵，O（0,0），∴，所以點D與原點互為“距點”；∵，O（0,0），∴，所以點D與原點互為“距點”；故答案為：；（2）①設直線上與點的“距點”的點的坐標為（a，3），則，解得a=2故答案為（2,3）；②如圖，點坐標為，直線上點的縱坐標為b，設直線上點的坐標為（c，b）則：，∴，∴,∴,即的取值范圍是；（3）如圖（1），當點P與點M重合時，設⊙C左側(cè)與x軸交于點Q，則點Q的坐標是（m-，0），∵點P與點Q互為“5-距點"，P（1,2），∴，解得：，；∵，∴取．當點P與點N重合時，設⊙C右側(cè)與x軸交于點Q，則點Q的坐標是（m+，0），∵點P與點Q互為“5-距點"，則P（3,2），∴，解得：，，∵∴取∴．【點睛】本題為新定義題型，關(guān)鍵要讀懂題目中給出的新概念，建立模型，并結(jié)合所學知識解決即可．16．已知a是最大的負整數(shù)，b是多項式2m2n﹣m3n2﹣m﹣2的次數(shù)，c是單項式﹣2xy2的系數(shù)，且a、b、c分別是點A、B、C在數(shù)軸上對應的數(shù)．（1）求a、b、c的值，并在數(shù)軸上標出點A、B、C．（2）若M點在此數(shù)軸上運動，請求出M點到AB兩點距離之和的最小值；（3）若動點P、Q同時從A、B出發(fā)沿數(shù)軸負方向運動，點P的速度是每秒個單位長度，點Q的速度是每秒2個單位長度，求運動幾秒后，點Q能追上點P？（4）在數(shù)軸上找一點N，使點M到A、B、C三點的距離之和等于10，請直接寫出所有的N對應的數(shù)．（不必說明理由）【答案】（1）a=﹣1，b=5，c=﹣2，數(shù)軸詳見解析；（2）6；（3）運動4秒后，點Q可以追上點P；（4）M對應的數(shù)為2或﹣2．【分析】（1）根據(jù)題意易得a，b，c的值，然后在數(shù)軸上表示出來即可；（2）當M點在線段AB上時，M點到AB兩點距離之和的最小值為AB的長；（3）用AB的長度除以點Q與點P的速度差即可得解；（4）分析M點在不同的位置時，所得到的M的值即可.【解析】（1）∵a是最大的負整數(shù)，∴a=﹣1，∵b是多項式2m2n﹣m3n2﹣m﹣2的次數(shù)，∴b=3+2=5，∵c是單項式﹣2xy2的系數(shù)，∴c=﹣2，如圖所示：（2）當M點在線段AB上時，M點到AB兩點距離之和的最小值為5﹣（﹣1）=6；（3）∵動點P、Q同時從A、B出發(fā)沿數(shù)軸負方向運動，點P的速度是每秒個單位長度，點Q的速度是每秒2個單位長度，∴AB=6，兩點速度差為：2﹣，∴6÷（2﹣）=4，答：運動4秒后，點Q可以追上點P；（4）存在點M，使P到A、B、C的距離和等于10，當M在AB之間，則M對應的數(shù)是2，當M在C點左側(cè)，則M對應的數(shù)是：﹣2.綜上所述，M對應的數(shù)為2或﹣2．【點睛】本題主要考查實數(shù)與數(shù)軸，數(shù)軸上兩點之間的距離.解此題的關(guān)鍵在于根據(jù)題意準確畫出數(shù)軸上各點所表示的數(shù).三、新定義下的實數(shù)運算17．若一個四位數(shù)M的個位數(shù)字與十位數(shù)字的和與它們的差之積恰好是M去掉個位數(shù)字與十位數(shù)字后得到的兩位數(shù)，則這個四位數(shù)M為“和差數(shù)”．例如：，∵，∴1514是“和差數(shù)”．又如：，∵，∴2526不是“和差數(shù)”．(1)判斷2022，2046是否是“和差數(shù)”，并說明理由；(2)一個“和差數(shù)”M的千位數(shù)字為a，百位數(shù)字為b，十位數(shù)字為c，個位數(shù)字為d，記，且．當均是整數(shù)時，來出所有滿足條作的M．【答案】(1)是，理由見詳解(2)1224,，2736，4848，6318【分析】（1）根據(jù)定義，分別代入判斷即可；（2）表示出，然后根據(jù)為“和差數(shù)”、均是整數(shù)等條件，求出的可能數(shù)值即可．【解析】（1）解：，∵，∴2022不是“和差數(shù)”，，∵，∴2046是“和差數(shù)”．（2）解：“和差數(shù)”M的千位數(shù)字為a，百位數(shù)字為b，十位數(shù)字為c，個位數(shù)字為d，，，，，，均是整數(shù)，設，，，，，均為整數(shù)，可得：或或（舍），或，當時，即：，，解得：，，，的數(shù)值為：1224,，2736，4848，當時，即：，，解得：，，的數(shù)值為：6318，綜上，的數(shù)值為：1224,，2736，4848，6318．【點睛】本題考查了新定義、分式的化簡、分類思想等知識點，理解定義的本質(zhì)是解題關(guān)鍵．18．若一個四位數(shù)的個位數(shù)字與千位數(shù)字的和的五倍恰好是去掉個位與千位數(shù)字后得到的兩位數(shù)，則稱這個四位數(shù)為“和五倍數(shù)”．例如：，∵，，∴3201是“和五倍數(shù)”．又如：，∵，，∴4609不是“和五倍數(shù)”．(1)判斷1101，5351是否是“和五倍數(shù)”，并說明理由；(2)一個“和五倍數(shù)”的千位數(shù)字為，百位數(shù)字為，十位數(shù)字為，個位數(shù)字為（、、、是整數(shù)且，，，），交換的千位數(shù)字和個位數(shù)字得到新的四位數(shù)，記，，當、均為整數(shù)時，求出所有滿足條件的．【答案】(1)1101是“和五倍數(shù)”，5351不是“和五倍數(shù)”，理由見解析(2)8553【分析】（1）按照定義計算驗證判斷即可．（2）按照定義結(jié)合確定M，再結(jié)合，、均為整數(shù)，計算即可．【解析】（1）解：1101是“和五倍數(shù)”，5351不是“和五倍數(shù)”．理由如下：∵，，∴1101是“和五倍數(shù)”．∵，，∴5351不是“和五倍數(shù)”．（2）解：∵“和五倍數(shù)”的千位數(shù)字為，百位數(shù)字為，十位數(shù)字為，個位數(shù)字為（、、、是整數(shù)且，，，），∴，且，∵交換的千位數(shù)字和個位數(shù)字得到新的四位數(shù)，∴，∴，∵，且為整數(shù)，∴是5的倍數(shù)，∴是5的倍數(shù)，∴，故，∵，為整數(shù)，∴，∴滿足條件的為8553．【點睛】本題考查了新定義運算，數(shù)的整除性質(zhì)，熟練掌握定義，靈活運用整除的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．19．對于任意一個四位數(shù)，如果N滿足各個數(shù)位上的數(shù)字互不相同，且個位數(shù)字為奇數(shù)，N的千位上的數(shù)字與百位上的數(shù)字之差是十位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字之差的3倍，則稱這個四位數(shù)N為“雙減數(shù)”．對于一個“雙減數(shù)”，將它的十位和千位構(gòu)成的兩位數(shù)記為，個位和百位構(gòu)成的兩位數(shù)記為，規(guī)定：．例如：，因為，且各個數(shù)位上的數(shù)字互不相同，個位數(shù)字為奇數(shù)，故是一個“雙減數(shù)”，則．(1)判斷是否是“雙減數(shù)”，并說明理由，如果是，并求出的值；(2)若自然數(shù)M為“雙減數(shù)”，是2的整數(shù)倍，且M各個數(shù)位上的數(shù)字之和能被14整除，求M的值．【答案】(1)是“雙減數(shù)”，，不是“雙減數(shù)”，理由見解析(2)或【分析】（1）根據(jù)“雙減數(shù)”的定義進行判斷即可；（2）設，根據(jù)定義得到，再由，，得到，，即可推出，再由M各個數(shù)位上的數(shù)字之和能被14整除，得到或，然后分當時，則，當時，則，兩種情況討論求解即可．【解析】（1）解：∵，且各個數(shù)位上的數(shù)字互不相同，個位數(shù)字為奇數(shù)，∴是“雙減數(shù)”，∴，∵，∴不是“雙減數(shù)”；（2）解：設，∴，∵是2的整倍數(shù)，∴（k是整數(shù)），∴，∵，，∴，，∴，∴，∵M各個數(shù)位上的數(shù)字之和能被14整除，∴或，當時，則，∴，∴或，∴或，當，∴或或，∴（舍去）或或（舍去），∴；當，則，即，不符合題意；當時，則，∴，∴或，∴或，當，∴（舍去）或或（舍去），∴∴；當，則，即，不符合題意；綜上所述，或【點睛】本題主要考查了新定義下的實數(shù)運算，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．20．若一個四位正整數(shù)若滿足：或，且各個數(shù)位上的數(shù)字都不為0，我們就稱該數(shù)是“九天數(shù)”，如對于四位數(shù)3567，，是“九天數(shù)”，對于四位數(shù)2353，，是“九天數(shù)”，對于四位數(shù)2345，∵且，不是“九天數(shù)”．(1)判斷2376，6425是不是“九天數(shù)”，并說明理由；(2)若一個“九天數(shù)”滿足千位數(shù)字與百位數(shù)字的平方差是十位數(shù)字的平方，且這個“九天數(shù)”能被3整除．請求出所有滿足條件的“九天數(shù)”．【答案】(1)2376是“九天數(shù)”，6425不是“九天數(shù)”(2)5343，5346，5349【分析】（1）根據(jù)“九天數(shù)”的定義判斷即可；（2）根據(jù)題意得到，或，且，可得，再分和兩種情況分別求解即可．【解析】（1）解：在2376中，∵，∴2376是“九天數(shù)”；在6425中，∵且，∴6425不是“九天數(shù)”；（2）由題意可得：，或，且，∴，即，若，則，∵各個數(shù)位上的數(shù)都不為0，且為的整數(shù)，∴為正整數(shù)，∴b的取值可能為3，6，9，若，則，又，解得：，若，則，解得：，不存在；若，則，不存在；又，∴d的取值為3或6或9，∴該“九天數(shù)”為：5343，5346，5349；若，則或或，∵，∴，∴當時，，∵a，c為的正整數(shù)，∴不存在此種情況；當時，，∴，此時的“九天數(shù)”為5343；當時，，不存在；綜上：滿足條件的“九天數(shù)”為5343，5346，5349．【點睛】本題考查了數(shù)的整除，新定義的實數(shù)運算，平方差公式，理解新定義，并將其轉(zhuǎn)化為實數(shù)的運算是解題的關(guān)鍵．21．對于一個各個數(shù)位均不為零的四位數(shù)M，若M的千位與百位組成的兩位數(shù)能被它的個位和十位數(shù)字之和整除，則稱M是“整除數(shù)”．例如：M：9176：∵，∴9176是“整除數(shù)”．又如：M：6726：∵，∴6726不是“整除數(shù)”(1)判斷7923，8457是否是“整除數(shù)”，并說明理由；(2)四位數(shù)（，，且a，b，c，d均為整數(shù)）是“整除數(shù)”，且，記，當為整數(shù)時，求出所有滿足條件的M．【答案】(1)不是“整除數(shù)”，是“整除數(shù)”，理由見解析(2)或【分析】（1）根據(jù)“整除數(shù)”得定義進行計算并判斷即可；（2）根據(jù)題意可得是11的倍數(shù)，再分別討論是11的1倍、2倍、3倍、4倍及5倍，根據(jù)條件進行求解即可．【解析】（1）不是“整除數(shù)”，是“整除數(shù)”，理由如下：∵，∴不是“整除數(shù)”；∵，∴是“整除數(shù)”；（2）∵四位數(shù)（，，且a，b，c，d均為整數(shù)）是“整除數(shù)”，且，∴，∵，∴，∵為整數(shù)，∴是11的倍數(shù)，當時，，∵，且c，d均為整數(shù)，∴，∴，∵，，且a，b均為整數(shù)，∴假設不成立；當時，，∵，且c，d均為整數(shù)，∴，∴，∵，，且a，b均為整數(shù)，∴，∴；當時，，∵，且c，d均為整數(shù)，∴或，∴或，∵，，且a，b均為整數(shù)，∴最大值為，∴，∴；當時，，∵，且c，d均為整數(shù)，∴，∴，∵，，且a，b均為整數(shù)，∴最大值為，∴假設不成立；當時，，∵，且c，d均為整數(shù)，∴最大值為63，∴假設不成立；綜上，或．【點睛】本題考查了整除的定義及整式的加減，解題的關(guān)鍵是理解“整除數(shù)”的定義和運用分類討論的數(shù)學方法．22．若整數(shù)a能被9整除，那么稱整數(shù)a為“長久數(shù)”．例如，因為能被9整除，所以是“長久數(shù)”．(1)判斷和是否為“長久數(shù)”？請說明理由；(2)已知三位正整數(shù)t的百位數(shù)字為x，十位數(shù)字為y，個位數(shù)字為1(，其中x，y為自然數(shù)），交換其十位上的數(shù)字和百位上的數(shù)字得到新數(shù)，如果s加上t的和是“長久數(shù)”，求所有符合條件的三位正整數(shù)t．【答案】(1)是“長久數(shù)”，不是“長久數(shù)”，理由見解析；(2)．【分析】（1）根據(jù)“長久數(shù)”的定義，進行計算檢驗即可；（2）根據(jù)題意分別求出t，s的代數(shù)式，然后再求和，根據(jù)“長久數(shù)”的能被9整除，故t，s的和的各數(shù)為數(shù)字之和是9的倍數(shù)進行討論即可．【解析】（1）解：，，答：是“長久數(shù)”，不是“長久數(shù)”；（2）依題意：則s加上t的和是“長久數(shù)”故是9的倍數(shù)當時，不合題意；當，；當，不合題意；當，；故或；當時，且或或或當時，且，，綜上所述：正整數(shù)t的值為：．【點睛】本題考查了新定義的理解、用字母表示數(shù)、被9整除的數(shù)的特點以及分類討論思想；解題的關(guān)鍵是理解新定義和被9整除的數(shù)的特點．23．某數(shù)學興趣小組在一次課外學習與探究中遇到一個新的數(shù)學符號，規(guī)定如下：對于三個實數(shù)，用表示這三個數(shù)中最大的數(shù)，例如，．請結(jié)合上述材料，解決下列問題：(1)______，______；(2)若，求的取值范圍；(3)若，求的值．【答案】(1)，(2)的取值范圍為(3)的值為【分析】（1）根據(jù)題意對于三個實數(shù)，用表示這三個數(shù)中最大的數(shù)，即可得到答案；（2）由得，解不等式組即可得到答案；（3）分三種情況進行討論：當時；當時；當時，分別求解即可得到答案．【解析】（1）解：根據(jù)題意可得：，，故答案為：，；（2）解：，，解得，的取值范圍為：；（3）解：，當，即時，，，解得：，不在范圍內(nèi)，不符合題意；當時，，而，故不符合題意；當時，，，解得：，符合題意；綜上所述，的值為．【點睛】本題考查了最大值、不等式組等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，熟練掌握基本知識，學會用分類討論的思想解決問題．24．若一個正整數(shù)a可以表示為，其中b為大于2的正整數(shù)，則稱a為“十字數(shù)”，b為a的“十字點”．例如．(1)“十字點”為7的“十字數(shù)”為；130的“十字點”為(2)若b是a的“十字點”，且a能被7整除，其中b為大于2且小于15的正整數(shù)，求a的值．(3)m的“十字點”為p，n的“十字點”為q，當時，求的值．【答案】(1)40；12(2)a的值為28，70，154(3)【分析】（1）根據(jù)十字點的定義計算即可；（2）先根據(jù)，a能被7整除，得出或能被7整除，再根據(jù)b為大于2且小于15的正整數(shù)，得出，9，，即可求出a的值；（3）根據(jù)已知得出（且為正整數(shù)），（且為正整數(shù)），再根據(jù)得出，從而得出或，解之即可得出a、b，繼而得出答案．【解析】（1）解：“十字點”為7的“十字數(shù)”，∵，∴130的“十字點”為12；故答案為：40；12．（2）解：∵b是a的“十字點”，∴（且為正整數(shù)），∵a能被7整除，∴或能被7整除，∵b為大于2且小于15的正整數(shù)，∴，9，，當時，；當時，；當時，；綜上分析可知，a的值為28，70，154．（3）解：∵m的“十字點”為p，∴（且為正整數(shù)），∵n的“十字點”為q，∴（且為正整數(shù)），∵，∴，∴，∴，∴，∵，，且p、q為正整數(shù)；∴，；∴；∵，∴或；解得：（不合題意舍去），；∴．【點睛】本題主要考查因式分解的應用，解二元一次方程組，有理數(shù)的混合運算，能夠理解題意，根據(jù)題中所給條件將數(shù)進行正確的拆解是解題的關(guān)鍵．25．對于由若干不相等的整數(shù)組成的數(shù)組和有理數(shù)，給出如下定義：如果在數(shù)軸上存在一條長為1個單位長度的線段，使得將數(shù)組中的每一個數(shù)乘以之后，計算的結(jié)果都能夠用線段上的某個點來表示，就稱為數(shù)組的收納系數(shù)．例如，對于數(shù)組：1，2，3，因為，，，取為原點，為表示數(shù)1的點，那么這三個數(shù)都可以用線段上的某個點來表示，可以判斷是的收納系數(shù)．已知是數(shù)組的收納系數(shù)，此時線段的端點，表示的數(shù)分別為，．(1)對數(shù)組：1，2，，在1，，這三個數(shù)中，可能是______；(2)對數(shù)組：1，2，，若的最大值為，求的值；(3)已知100個連續(xù)整數(shù)中第一個整數(shù)為，從中選擇個數(shù)，組成數(shù)組．①當，且時，直接寫出的最大值；②當時，直接寫出的最大值和相應的的最小值．【答案】(1)、(2)的值為或4(3)①的最大值為21；②的最大值為；相應的最小值為【分析】（1）根據(jù)收納系數(shù)的定義即可解答；（2）根據(jù)已知收納系數(shù)為，得出最大數(shù)和最小數(shù)，分三種情況進行討論，即可得出答案；（3）根據(jù)數(shù)組的收納系數(shù)即可得出答案．【解析】（1）解：對數(shù)組，取為原點，為表示數(shù)的點，那么這六個數(shù)都可以用線段上的某個點來表示是數(shù)對的收納系數(shù)故答案為、（2）解：取收納系數(shù)，將它乘以數(shù)組中的每個數(shù)，得：，，．依題意，的最大值即為，，，中最大的數(shù)與最小的數(shù)的差恰好為．情況1：當時，最大的數(shù)為，最小的數(shù)為，，得；情況2：當時，最大的數(shù)為，最小的數(shù)為，不合題意；情況3：當時，最大的數(shù)為，最小的數(shù)為，，得；綜上，的值為或4．（3）解：的最大值為21；的最大值為；相應的最小值為．【點睛】本題屬于新定義題目，本題考查了數(shù)組的收納系數(shù)，解題關(guān)鍵是讀懂題目中的例子，仿照例子解題．26．在數(shù)軸上，為原點，點，對應的數(shù)分別是，（，），為線段的中點．給出如下定義：若，則稱是的“正比點”；若，則稱是的“反比點”．例如，時，是的“正比點”；，時，是的“反比點”．(1)若，則對應的數(shù)為，下列說法正確的是（填序號）．①是的“正比點”；②是的“反比點”；③是的“正比點”；④是的“反比點”；(2)若，且是的“正比點”，求的值；(3)若，且既是，其中一點的“正比點”，又是另一點的“反比點”，直接寫出的值．【答案】(1)2；③(2)(3)或【分析】（1）由，得，，則中點對應的數(shù)為：，利用“正比點”，“反比點”的定義直接判斷即可；（2）先表示出點對應的數(shù)為：，分析出，，都同號，根據(jù)定義得，得，化簡即可求解；（3）利用定義可得，得，分兩種情況：①，得，解方程即可；②，得，解方程即可求解．【解析】（1）∵，∴，，∵為線段的中點．∴對應的數(shù)為：，①，∴不是的“正比點”；②，∴不是的“反比點”；③，∴是的“正比點”；④，∴是的“反比點”；故答案為：2；③；（2）∵為線段的中點，∴點對應的數(shù)為：，∵，∴，，都同號，∵是的“正比點”，∴，∴，，∴；（3）∵，∴，異號，∵既是，其中一點的“正比點”，又是另一點的“反比點”，∴，或，，化簡都得出：，得，∴得，分兩種情況：①，∴，∴或，解得：（舍去）或，∴；②，∴|，∴或，解得：7b＝a（舍去）或，∴，∴的值為或【點睛】本題考查了閱讀理解能力，非負數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是分類討論的思想．27．將個0或1排列在一起組成了一個數(shù)組，記為，其中，都取0或1，稱是一個元完美數(shù)組（且為整數(shù)）．例如：，都是2元完美數(shù)組，，都是4元完美數(shù)組，但不是任何完美數(shù)組．定義以下兩個新運算：新運算1：對于和，，新運算2：對于任意兩個元完美數(shù)組和，，例如：對于3元完美數(shù)組和，有．(1)在，，，中是3元完美數(shù)組的有：______；(2)設，則______；(3)已知完美數(shù)組求出所有4元完美數(shù)組，使得；(4)現(xiàn)有個不同的元完美數(shù)組，是正整數(shù)，