蘇教版初升高一初數(shù)學(xué)預(yù)習(xí)專題12集合的概念與表示-初升高數(shù)學(xué)無(wú)憂銜接(學(xué)生版+解析)

專題12集合的概念與表示學(xué)習(xí)目標(biāo)學(xué)習(xí)目標(biāo)1、了解集合的含義；2、理解集合中元素與集合的關(guān)系；3、掌握集合的表示方法，并能用圖形、符號(hào)刻畫(huà)集合；4、能夠用不同的方法表示一些簡(jiǎn)單集合。知識(shí)精講知識(shí)精講一、元素與集合的基本概念：集合：一般地，一定范圍內(nèi)某些確定的、不同的對(duì)象的全體組成一個(gè)集合.元素：集合中的每一個(gè)對(duì)象稱為該集合的元素.元素的特性:確定性、無(wú)序性、互異性二、集合中元素與集合的關(guān)系概念關(guān)系記法讀法如果a是集合中A中的元素屬于aa屬于A如果a不是集合中A中的元素不屬于aa不屬于A三、常用數(shù)集的符號(hào)表示：特別地,全體自然數(shù)組成的集合,叫作自然數(shù)集,記作N；全體正整數(shù)組成的集合,叫作正整數(shù)集,記作N?或N全體整數(shù)組成的集合,叫作整數(shù)集,記作Z；全體有理數(shù)組成的集合,叫作有理數(shù)集,記作Q；全體實(shí)數(shù)組成的集合,叫R.典例剖析典例剖析例題1．下列各對(duì)象可以組成集合的是（）A．與1非常接近的全體實(shí)數(shù)B．某校2015-2016學(xué)年度笫一學(xué)期全體高一學(xué)生C．高一年級(jí)視力比較好的同學(xué)D．與無(wú)理數(shù)相差很小的全體實(shí)數(shù)例題2.已知集合，且，則集合_____.例題3.用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希海?）大于2且小于5的有理數(shù)組成的集合．（2）24的正因數(shù)組成的集合．（3）自然數(shù)的平方組成的集合．（4）由0，1，2這三個(gè)數(shù)字抽出一部分或全部數(shù)字(沒(méi)有重復(fù))所組成的自然數(shù)組成的集合．例題4.設(shè)A是由一些實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合，若a∈A，則∈A，且1?A，（1）若3∈A，求A.（2）證明:若a∈A，則.變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練1．若，則實(shí)數(shù)（）A． B．0 C．1 D．0或12．下列四組對(duì)象能構(gòu)成集合的是（）A．某班所有高個(gè)子學(xué)生 B．某校足球隊(duì)的同學(xué)C．一切很大的書(shū) D．著名的藝術(shù)家3．已知集合，則（）A． B． C． D．4．已知集合，且，則等于（）A． B． C． D．或5．把下列集合用另一種方法表示出來(lái)：（1）；（2）；能力提升能力提升1.已知集合，若，求實(shí)數(shù)的值.對(duì)點(diǎn)精練對(duì)點(diǎn)精練一、單選題1．已知集合，，則集合中的元素的個(gè)數(shù)為（）A．7 B．8 C．9 D．102．設(shè)集合，則下列集合中與集合相等的是（）A． B． C． D．3．設(shè)集合A={1，2，3}，B={4，5}，C={x+y|x∈A，y∈B}，則C中元素的個(gè)數(shù)為（）A．3 B．4 C．5 D．64．已知集合只有一個(gè)元素，則的取值集合為（）A． B． C． D．5．下列集合中，結(jié)果是空集的是()A．{x∈R|x2-1=0} B．{x|x>6或x<1}C．{(x，y)|x2+y2=0} D．{x|x>6且x<1}二、填空題6．若集合中有且僅有一個(gè)元素，則k的值為_(kāi)__________.7．已知集合，用列舉法表示集合，則__________.8．已知集合A={x|ax2+2x+a=0，a∈R}，若集合A有且僅有兩個(gè)子集，則a的值是________.9．已知集合，且，則_________．10．設(shè)集合，若且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________三、解答題11．已知集合.（1）若A是空集，求的取值范圍；（2）若A中只有一個(gè)元素，求的值，并求集合A；（3）若A中至多有一個(gè)元素，求的取值范圍12．若集合A中含有三個(gè)元素，，，且，求實(shí)數(shù)a的值.13．已知集合．（1）若中只有一個(gè)元素，求的值；（2）若中至少有一個(gè)元素，求的取值范圍；（3）若中至多有一個(gè)元素，求的取值范圍.14．設(shè)數(shù)集由實(shí)數(shù)構(gòu)成，且滿足：若(且)，則.（1）若，試證明中還有另外兩個(gè)元素；（2）集合是否為雙元素集合，并說(shuō)明理由.專題12集合的概念與表示學(xué)習(xí)目標(biāo)學(xué)習(xí)目標(biāo)1、了解集合的含義；2、理解集合中元素與集合的關(guān)系；3、掌握集合的表示方法，并能用圖形、符號(hào)刻畫(huà)集合；4、能夠用不同的方法表示一些簡(jiǎn)單集合。知識(shí)精講知識(shí)精講一、元素與集合的基本概念：集合：一般地，一定范圍內(nèi)某些確定的、不同的對(duì)象的全體組成一個(gè)集合.元素：集合中的每一個(gè)對(duì)象稱為該集合的元素.元素的特性:確定性、無(wú)序性、互異性二、集合中元素與集合的關(guān)系概念關(guān)系記法讀法如果a是集合中A中的元素屬于aa屬于A如果a不是集合中A中的元素不屬于aa不屬于A三、常用數(shù)集的符號(hào)表示：特別地,全體自然數(shù)組成的集合,叫作自然數(shù)集,記作N；全體正整數(shù)組成的集合,叫作正整數(shù)集,記作N?或N全體整數(shù)組成的集合,叫作整數(shù)集,記作Z；全體有理數(shù)組成的集合,叫作有理數(shù)集,記作Q；全體實(shí)數(shù)組成的集合,叫R.典例剖析典例剖析例題1．下列各對(duì)象可以組成集合的是（）A．與1非常接近的全體實(shí)數(shù)B．某校2015-2016學(xué)年度笫一學(xué)期全體高一學(xué)生C．高一年級(jí)視力比較好的同學(xué)D．與無(wú)理數(shù)相差很小的全體實(shí)數(shù)【答案】B【分析】根據(jù)集合定義與性質(zhì)一一判斷即可.【詳解】A中對(duì)象不確定，故錯(cuò)；B中對(duì)象可以組成集合；C中視力比較好的對(duì)象不確定，故錯(cuò)；D中相差很小的對(duì)象不確定，故錯(cuò).故選：B例題2.已知集合，且，則集合_____.【答案】【分析】根據(jù)，分類討論，結(jié)合集合中元素的互異性，即可求解.【詳解】由題意，集合，且，若，可得，此時(shí)集合不滿足集合中元素的互異性，（舍去）；若，可得或（舍去），當(dāng)時(shí)，可得，即.故答案為：.例題3.用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希海?）大于2且小于5的有理數(shù)組成的集合．（2）24的正因數(shù)組成的集合．（3）自然數(shù)的平方組成的集合．（4）由0，1，2這三個(gè)數(shù)字抽出一部分或全部數(shù)字(沒(méi)有重復(fù))所組成的自然數(shù)組成的集合．【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）答案見(jiàn)解析；（3）答案見(jiàn)解析；（4）答案見(jiàn)解析．【分析】（1）集合有無(wú)限個(gè)元素，利用描述法求解；（2）集合中元素較少，利用列舉法求解；（3）集合有無(wú)限個(gè)元素，利用描述法求解；（4）集合中元素較少，利用列舉法求解；【詳解】（1）用描述法表示為{x|2<x<5且x∈Q}．（2）用列舉法表示為{1，2，3，4，6，8，12，24}．（3）用描述法表示為{x|x=n2，n∈N}．（4）用列舉法表示為{0，1，2，10，12，20，21，102，120，210，201}．例題4.設(shè)A是由一些實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合，若a∈A，則∈A，且1?A，（1）若3∈A，求A.（2）證明:若a∈A，則.【答案】（1）;（2）證明見(jiàn)解析.【分析】根據(jù)題意求依次求解即可.【詳解】(1)因?yàn)?∈A，所以，所以，所以，所以.(2)因?yàn)閍∈A，所以，所以.變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練1．若，則實(shí)數(shù)（）A． B．0 C．1 D．0或1【答案】C【分析】根據(jù)集合的確定性，互異性，即可求得答案.【詳解】因?yàn)?，根?jù)集合性質(zhì)可得：.故選：C2．下列四組對(duì)象能構(gòu)成集合的是（）A．某班所有高個(gè)子學(xué)生 B．某校足球隊(duì)的同學(xué)C．一切很大的書(shū) D．著名的藝術(shù)家【答案】B【分析】根據(jù)集合的定義，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】根據(jù)集合的定義，可得：對(duì)于A中，某班所有高個(gè)子學(xué)生，其中元素不確定，不能構(gòu)成集合；對(duì)于B中，某校足球隊(duì)的同學(xué)，滿足集合的定義，能構(gòu)成集合；對(duì)于C中，一切很大的書(shū)，其中元素不確定，不能構(gòu)成集合；對(duì)于D中，著名的藝術(shù)家，其中元素不確定，不能構(gòu)成集合.故選：B.3．已知集合，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求得集合M，再根據(jù)元素與集合的關(guān)系，集合與集合的關(guān)系可得選項(xiàng).【詳解】因?yàn)榧?，所以，故選：D.4．已知集合，且，則等于（）A． B． C． D．或【答案】B【分析】轉(zhuǎn)化條件為或，驗(yàn)證集合元素的互異性即可得解.【詳解】因?yàn)榧?，且，所以?dāng)即時(shí)，，不滿足集合中元素的互異性；當(dāng)時(shí)，解得或（舍），此時(shí)，滿足題意；綜上，.故選：B.5．把下列集合用另一種方法表示出來(lái)：（1）；（2）；【答案】（1）{且}；（2）.【分析】（1）根據(jù)集合中的元素都是偶數(shù)用描述法進(jìn)行表示即可；（2）用列舉法表示即可.【詳解】（1）因?yàn)榧现械脑囟际桥紨?shù)，所以{且}；（2）.能力提升能力提升1.已知集合，若，求實(shí)數(shù)的值.【答案】【分析】根據(jù)題意，可得或，然后根據(jù)結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證即可.【詳解】由題可知：集合，所以或，則或當(dāng)時(shí)，，不符合集合元素的互異性，當(dāng)時(shí)，，符合題意所以【點(diǎn)睛】本題考查元素與集合的關(guān)系求參數(shù)，考查計(jì)算能力，屬基礎(chǔ)題.對(duì)點(diǎn)精練對(duì)點(diǎn)精練一、單選題1．已知集合，，則集合中的元素的個(gè)數(shù)為（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【分析】由題知以，即，故，進(jìn)而得答案.【詳解】解：因?yàn)?，，所以，即所以，故，即集合中的元素的個(gè)數(shù)為個(gè).故選：C2．設(shè)集合，則下列集合中與集合相等的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)集合相等的定義判斷選項(xiàng).【詳解】?jī)蓚€(gè)集合的元素相同，兩個(gè)集合相等，集合中有2個(gè)元素，分別是1和2，所以與集合相等的集合是.故選：C3．設(shè)集合A={1，2，3}，B={4，5}，C={x+y|x∈A，y∈B}，則C中元素的個(gè)數(shù)為（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】直接求出集合C即可.【詳解】集合A={1，2，3}，B={4，5}，C={x+y|x∈A，y∈B}，所以C={5，6，7,8}.即C中元素的個(gè)數(shù)為4.故選：B.4．已知集合只有一個(gè)元素，則的取值集合為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】對(duì)參數(shù)分類討論，結(jié)合判別式法得到結(jié)果.【詳解】解：①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)滿足條件；②當(dāng)時(shí)，中只有一個(gè)元素的話，，解得，綜上，的取值集合為，．故選：D．5．下列集合中，結(jié)果是空集的是()A．{x∈R|x2-1=0} B．{x|x>6或x<1}C．{(x，y)|x2+y2=0} D．{x|x>6且x<1}【答案】D【分析】分析是否有元素在各選項(xiàng)的集合中，再作出判斷.【詳解】A選項(xiàng)：，不是空集；B選項(xiàng)：{x|x>6或x<1}，不是空集；C選項(xiàng)：(0,0)∈{(x，y)|x2+y2=0}，不是空集；D選項(xiàng)：不存在既大于6又小于1的數(shù)，即：{x|x>6且x<1}=.故選：D二、填空題6．若集合中有且僅有一個(gè)元素，則k的值為_(kāi)__________.【答案】0或1【分析】轉(zhuǎn)化為求方程有且僅有一個(gè)解的條件，分k=0和k≠0，利用一次方程和二次方程的解的個(gè)數(shù)的判定方法求解.【詳解】當(dāng)k=0時(shí)，方程為2x+1=0,有且只有一解，符合題意；當(dāng)k≠0時(shí)，方程有且僅有一個(gè)解等價(jià)于,解得k=1,故答案為：0或1.7．已知集合，用列舉法表示集合，則__________.【答案】【分析】根據(jù)集合的描述法即可求解.【詳解】,故答案為：8．已知集合A={x|ax2+2x+a=0，a∈R}，若集合A有且僅有兩個(gè)子集，則a的值是________.【答案】0或±1【分析】依題意可得出集合A為單元素集合，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為方程ax2+2x+a=0僅有一根，再分a=0和a≠0兩種情況討論可得最后結(jié)果.【詳解】因?yàn)锳有且僅有兩個(gè)子集，所以A僅有一個(gè)元素，即方程ax2+2x+a=0僅有一根，當(dāng)a=0時(shí)，方程化為2x=0，A={0}，符合題意；當(dāng)a≠0時(shí)，Δ=4-4a2=0，解得a=±1.此時(shí)A={-1}或{1}，符合題意.綜上所述a=0或a=±1.故答案為：0或±1.9．已知集合，且，則_________．【答案】-3【分析】由集合，，，且，得或，由此能求出結(jié)果．【詳解】解：集合，，，且，或，解得，或，當(dāng)時(shí)，，，，不合題意，當(dāng)時(shí)，，，，符合題意．綜上，．故答案為：.10．設(shè)集合，若且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________【答案】【分析】直接根據(jù)元素和集合之間的關(guān)系求解即可．【詳解】解：因?yàn)榧?，若且，且；解得；故答案為：．三、解答題11．已知集合.（1）若A是空集，求的取值范圍；（2）若A中只有一個(gè)元素，求的值，并求集合A；（3）若A中至多有一個(gè)元素，求的取值范圍【答案】（1）；（2）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；（3）.【分析】（1）方程ax2﹣3x+2＝0無(wú)解，則，根據(jù)判別式即可求解；（2）分a＝0和a≠0討論即可；（3）綜合（1）（2）即可得出結(jié)論.【詳解】（1）若A是空集，則方程ax2﹣3x+2＝0無(wú)解此時(shí)＝9-8a＜0即a所以的取值范圍為（2）若A中只有一個(gè)元素則方程ax2﹣3x+2＝0有且只有一個(gè)實(shí)根當(dāng)a＝0時(shí)方程為一元一次方程，滿足條件當(dāng)a≠0，此時(shí)＝9﹣8a＝0，解得：a∴a＝0或a當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，（3）若A中至多只有一個(gè)元素，則A為空集，或有且只有一個(gè)元素由（1），（2）得滿足條件的a的取值范圍是.12．若集合A中含有三個(gè)元素，，，且，求實(shí)數(shù)a的值.【答案】或.【分析】由已知得或或，解之可求得實(shí)數(shù)a的值，代入集合中檢驗(yàn)是否滿足元素的互異性，可得答案.【詳解】①若，則，此時(shí)，滿足題意.②若，則，此時(shí)，不滿足元素的互異性.③若，則.當(dāng)時(shí)，，滿足題意；當(dāng)時(shí)，由②知不合題意.綜上可知或.13．已知集合．（1）若中只有一個(gè)元素，求的值；（2）若中至少有一個(gè)元素，求的取值范圍；（3）若中至多有一個(gè)元素，求的取值范圍.【答案】（1）或；（2）；（3）或.【分析】根據(jù)集合中元素的個(gè)數(shù)以及方程的解即可確定的取值范圍.【詳解】解：（1）若中只有一個(gè)元素，則當(dāng)時(shí)，原方程變?yōu)?，此時(shí)符合題意，當(dāng)時(shí)，方程為二元一次方程，，即，故當(dāng)或時(shí)，原方程只有一個(gè)解；（2）中至少有一個(gè)元素，即中有一個(gè)或兩個(gè)元素，由得綜合（1）當(dāng)時(shí)中至少有一