高中數學講義微79 利用點的坐標解決圓錐曲線問題

微專題79利用點的坐標處理解析幾何問題

有些解析幾何的題目，問題的求解不依賴于傳統(tǒng)的“設點，聯(lián)立，消元，韋達定理整體

代入”步驟，而是能夠計算出交點的坐標，且點的坐標并不復雜，然后以點的坐標作為核心

去處理問題。

一、基礎知識：

1、韋達定理的實質：在處理解析幾何的問題時，韋達定理的運用最頻繁的，甚至有的學生將

其視為“必備結構”，無論此題是否有思路，都先聯(lián)立方程，韋達定理。然而使用''韋達定理”

的實質是什么？實質是“整體代入”的一種方式，只是因為在解析幾何中，一些問題的求解

經常與須+々,匹七,必+必，%%相關，利用“韋達定理”可進行整體代入，可避免因為這幾

個根的形式過于復雜導致運算繁瑣。所以要理解“韋達定理”并不是解析幾何的必備工具，

只是在需要進行整體代入時，才運用的一種手段。

2、利用點坐標解決問題的優(yōu)劣：

（1）優(yōu)點：如果能得到點的坐標，那么便可應對更多的問題，且計算更為靈活，不受

/+x2,xix2,yi+%，%%形式的約束

（2）缺點：有些方程的根過于復雜（例如用求根公式解出的根），從而使得點的坐標也變得

復雜導致運算繁瑣。那么此類問題則要考慮看能否有機會進行整體的代入

3、求點坐標的幾種類型：

（1）在聯(lián)立方程消元后，如果發(fā)現(xiàn)交點的坐標并不復雜（不是求根公式的形式），則可考慮

把點的坐標解出來（用核心變量進行表示）

（2）直線與曲線相交，若其中一個交點的坐標已知，則另一交點必然可求（可用韋達定理或

因式分解求解）

4、在利用點的坐標處理問題時也要注意運算的技巧，要將運算的式子與條件緊密聯(lián)系，若能

夠整體代入，也要考慮整體代入以簡化運算。（整體代入是解析幾何運算簡化的精髓）

二、典型例題：

22

例1：已知橢圓C：鼻+斗=1（。＞。＞0）上的點到它的兩個焦點的距離之和為4,以橢圓C

的短軸為直徑的圓。經過這兩個焦點，點AB分別是橢圓C的左右頂點

（1）求圓。和橢圓C的方程

（2）已知P,Q分別是橢圓和圓上的動點（P,Q位于y軸的兩

側），且直線PQ與x軸平行，直線AR8P分別與y軸交于點

M,N,求證：NMQN為定值

解：（1）依題意可得2a=4=>a=2,過焦點，且廠=。

:.b=c,再由6+。2=/=4可得8=0=0

22

橢圓方程為±+2-=1,圓方程為f+y2=2

42

（2）思路：條件主要圍繞著P點展開，所以以P為核心，設尸（事,％）,由尸。與x軸平行,

可得。（%,%）。若要證明NMQN為定值，可從NMQV的三角函數值下手，在解析中角的

余弦值可以與向量的數量積找到聯(lián)系，從而能夠轉化為坐標運算。所以考慮

QMQN

,模長并不利于計算，所以先算兩?麗，考慮利用條件設出

COSMQN=.口叫....|_叫_3-

方程，進而M,N坐標可用核心變量司,為表示，再進行數量積的坐標運算可得

QMQN=Q,從而NMQN=C,即為定值

~'2

解：設P。與x軸平行,

.?.設。（%,%），由P,Q所在橢圓和圓方程可得:

22

X0,y0.

-------1-------_11片=4-2第

42=>

%)2=2—yQ

X+>=2

由橢圓可知：A(-2,0),B(2,0)AkAP=^-AP-y=^~x+2)

x04-2x0+2

令x=0,可得：-

、x0+2

同理：3P:y=」一(x-2)可得N0,二^

x。-2<4-2

(、

2%2yo丫七%

：.QM^一%，—^一為一千，二3=一%T”------7

I*o—2J

%+27-2

2+&L,代入

:.QMQN=x^-

片—4

x0+2<入?！?,

兩曲=2"+中=2"+（巾-2）=。

TT

：.QMrQN,即NMQN=,為定值

思路二：本題還可以以AP,5P其中一條直線為入手點（例如AP）,以斜率左作為核心變量,

直線AP與橢圓交于AP兩點，已知A點坐標利用韋達定理可解出P點坐標（用人表示），從

而可進一步將涉及的點的坐標都用女來進行表示，得計算麗?麗=（）也可以，計算步驟如

下：

解：設P（方,%），由橢圓方程可得：A（-2,0）,5（2,0）

所以設直線AP:y=Z（x+2）,聯(lián)立方程:

22

工+匕=1

42=>(2^2+1)X2+8^2X+8A:2-4=0

?=心+2)

8V-44/一2AL

，代入到直線方程可得：y=-^-

20

"°2/+1°2k+14K十1

-12/+1'2/+1

4k

?k=2PT1=__L

2

,‘BP4k-2.2k

-2FZI-2

BP:y^--(x-2),由AP:y=Z(x+2),令x=0可得:

2k

M(O,2A),N(O,(

設Q(玉,%)，則QM=(_玉，2%-y0),QN=(一玉一%

QM-QN=x；+(2Z-=X；+y；+2-"J%

co4k

由。在圓上可得：x；+y：=2,再由%=「一代入可得：

2K+1

CC2&2+14kc

QM?QN=2+2---------------------=0

k2攵2+1

7T

QM±QN,即NMQN=彳為定值

V2V2

例2：設橢圓r+{=1（。>8>0）的左右焦點分別為大，居，右頂點為A,上頂點為3,

?'b~

已知IM耳用

（1）求橢圓的離心率

（2）設P為橢圓上異于其頂點的一點，以線段PB為直徑的圓經過點匕，經過原點。的直線

/與該圓相切，求直線/的斜率

解：⑴由橢圓方程可知:A（a,0）,8（。,。）,耳（-c,0）,瑪（c,0）

,-.|AB|=，上+從,忻'=2c

\Ja2+h2=-2c=>a2+h2=3c2

2

a2

(2)由(1)可得。：〃：。=夜：1:1

22

橢圓方程為券+色=1設P(面,%),8(0?

F{P=(x0+c,y0),F1B=(c,c)

???以線段PB為直徑的圓經過點片

：.FiPFiB=c(x0+c)+c%=0=%=一(%o+c)

V=-X~C「/、？r

聯(lián)立方程：，，2,=>/+2(%+°一=2。2,整理可得:

x+2j=2c

3/+45=0,解得：%=一作，代入直線方程：%=]

.,?尸（-3夕）?.?B（O,c）

可知PB的中點為T（—gc,gc],

圓方程為jx+^c]+（y—2。）=—

\3J13J9

設直線/：y=kx

22

——kc——Cr-

dT,=3==%,整理可得：

VFTi3

~k+~j=§k2+1）=左2_8%+i=o,解得:

k=4士厲

直線l的斜率為4+715^4-715

V2、，2

例3：（2014,重慶）如圖所示，設橢圓方+>6>0）的左右焦點分別為片,工，點

。在橢圓上，。耳，尸尸2,驚1=2后,△。耳心的面積為奪

（1）求橢圓的標準方程

（2）設圓心在y軸上的圓與橢圓在X軸的上方有兩個交點，且圓在

這兩個交點處的兩條切線相互垂直并分別過不同的焦點，求圓的半徑

解：⑴設片（一c,0），E（c,0）,由口^=20可得：|。用=但"=也

2>/22

\DFl\

:用=g忻用M用=g,2c.￥c=乎，解得/=inc=i

閨聞=2護引=丁

在AO/但中，|。入「二0￡「+恒用2=|一0周=乎

2a=|￡＞用+|。用=2夜=＞0=及

2

..力=1.?.橢圓方程為：—+/=1

2

x2

（2）如圖：設圓與橢圓一

2

[(%,y),8(9,%)是兩個交點

乂＞0,%＞0,K4，K5是圓的切線,

稱性可得:

尤2=一%，弘=力二山閭=2㈤

由（1）可得耳（一1,0）,瑪（1,0）

.?.耳6=（為+1,y）,竊=（々-1,為）=（一玉_1，凹）

2

4港±F2P2=>FiPX,F2P2=0=>—(%j+1)+y；=0,

22

-(x1+l)+yl=0

4

聯(lián)立方程4r2=>3x；+4X]=0,解得斗=0(舍)或無]

/+3]3

：.過片，鳥且分別與片6,鳥鳥垂直的直線的交點即為圓心c

由是圓的切線，且可得：C[_LCE

因為|。制=|鵬|=r為等腰直角三角形

,=1。用==夜㈤=

22

例4：已知橢圓二+2=1（。＞方＞°）的焦距為4,設右焦點為月，離心率為e

ah

V2

（1）若6=宮—，求橢圓的方程

2

（2）設AB為橢圓上關于原點對稱的兩點，Af；的中點為86的中點為N,若原點。

在以線段MN為直徑的圓上

①證明：點A在定圓上

②設直線A8的斜率為女，若女N百，求e的取值范圍

解：（1）依題意可得：c=2:.a=-=2y[2

e

22

.■,b2=a2-c2=4所以橢圓方程為：—+^-=1

84

（2）①思路：設4（/,%），則8（一.，一%），由此可得M,N坐標（用先進行表示），

而。在以為直徑的圓上可得：OMON=0,所以得到關于%,知的方程，由方程便可

判定出A點的軌跡

解：設A（Xo，%）,則3（—/,—%）。因為耳（一2,0）,且M,N為A￡,8片的中點

所以有〃（當2.,N（奇匚V）

。在以MN為直徑的圓上

：.OMYON

.+出/。

向.麗=

22

/.-—--&=0=>X；+y：=4

44°0

A點在定圓V+V=4上

②\—+^=1=>\a~b~消去X可得：-7+y=w（攵2+l）（*）

T6oz.?4（/

224片+（丘）=

￡+y~=41、）

丁C2.心2224-4,4=2

而6=—=—,h=a—c=―-—

aaee

.4_2/1

代入（*）可得：E=——；----->3

2e2

_2z72+41i—

———>0v0<e<l所以解得：一<e2<4—

2e2-l2

例5：已知橢圓三+[=l(a>b>0)的上頂點為8,左焦點為尸，離心率為冷

(1)求直線8戶的斜率

(2)設直線BF與橢圓交于點P(P異于點B),過點8且垂直于BP的直線與橢圓交于點。

(。異于點5),直線PQ與y軸交于點“，|尸徵=川"。|

①求/I的值

7R

②若|PMsin8QP=q—,求橢圓方程

解：(1)由e=￡=且可知。：〃：。=石：2:1

a5

設尸（一。,0）,6（0力）=（0,2c）

（2）①設。（5,乂）,。（*2，%）

/.BP:y=2x-k2c

22

?.?。?：。=石：2:1橢圓方程為：泉+#=1

聯(lián)立方程：+5y=20cn4x2+5（2x+2c『=20。2,整理后可得:

y=2x+2c

24爐+40。*=0可解得：X（=-y

因為BQLBP'設BQ:y=—gx+2c

22

4X+5/=20C（1Y

聯(lián)立方程：\1=4?+5一一x+2c=2002,整理后可得:

y=——x+2cI2）

[2

21f_40cx=0,解得％=等，即小當，堂）

設M（0,%）,PQ斜率為左，由弦長公式可知:

|QM|=Jl+公等

-0=等"

x\PM\__7

DM40cHF8

21

②由①可得：產4=2=—=>|PM|=—|P0|

\MQ\8閘15111511

|sinBQP=亭怛目=|PQ|sinBQP=y|PM|sinBQP=；逐

由B（0,2c）,P卜了,—《J可得:

:占在.

33

橢圓方程為二+2-=1

54

例6：已知橢圓，+譽=1（。>6>0）的左焦點為F（—。,0）,離心率為今，點M在橢圓

上且位于第一象限，直線被圓/+日截得的線段的長為0,|月0|=年

（1）求直線RW的斜率

（2）求橢圓的方程

（3）設動點P在橢圓上，若直線口的斜率大于3,求直線OP（。為原點）斜率的取值

范圍

解：(1)由已知可得e=￡=——，a:b:c=6：6：l

a3

/.a—>/3c,b—\flc

元2v2

橢圓方程為彳+會=1n2d+3/=6c2

設直線fM:y=Z(x+c)=>依-y+k?=O,其中Z>0

(iA2

d()-FM=/,?,由^O-fM+c=,可得：

yjk+1[27

(kc\b2k2c22?2

2-+J=±-解得：k

+4c_4n入144

(2)由(1)可得：FM:y=±3(x+c)

y=-(x+c]n

「3''=>2x2'+3--=6c?

2x2+3y2=6c2

.?.3/+2以:-5c2=0解得：x=上或x=c

3

M在第一象限

X—CZr-、

迪c'即Mc,一C1

4c4g

,-.|FM|=y|c-(-c)|

=方=亍

可得：C=1

22

.二橢圓方程為：一十^—=1

32

（3）由（2）可知尸（一1,0）,設P（x,y）,設FP的斜率為2

PF:y=k^x+\）

y=k(x+1)

聯(lián)立方程:2X2+3^2(X+1)2=6

3x2+2/=6

y

設直線OP的斜率為m,即機=_=y=iwc

X

?/3x2+2y2=1=>3x2+2m2%2=1=>m2=--——

2x22x22

當冗時，可知y=左(1+1)<0

V3)V2

/.m=—>0m=，由--,—1可得："2￡

x2J(33J

當％￡(—1,0)時，可知y=《(x+l)>()

V八

/.m=~<0me—00,—

x

綜上所述：me

例7：已知橢圓G的離心率為芋，其短軸的兩端點分別為A(0』),5((),—l).

(1)求橢圓G的方程;

(2)若C,。是橢圓G上關于y軸對稱的兩個不同點，直線與尢軸分別交于點M,N.

試判斷以MV為直徑的圓是否過定點，如經過，求出定點坐標；如不過定點，請說明理由.

解：(1)*:e---:.a\b\c-V2:1:1

a2

由短軸頂點A(0,l),3((),—1)可得：b=\

2

:.a=y[2橢圓方程為、+丁=1

(2)設。(玉),％),則對稱點。(一斤,先)

.?.怎°=%二\&。=一/山從而直線AC,3。的方程為:

/X。

AC:y=^^-x+\,BD:y=-^^-x-1,令y=0解得:

%與

/\(\

M-^,0,N二紇,0,設MN中點、為E

(If)(1+%)

%?F玉）乂）

1一九1+%

半徑廠=_J_入0_____"o_闖

，2-21-y0\+y0-1-^

<\22

.?.以MV為直徑的圓方程為：x——粵+丁=—反方

【i-/,0-^r

22

代入費+邸=1=￡=1-y可得:

竺與+分丁二。,代入五=1一火可得:

玉）玉）2

即％2+,2_”“2=0①

：.%=04=±0時，無論無0，%為何值

等式①均成立

.??圓E恒過（0,±0）

例8：如圖，設拋物線。］：產=4/3（加>0）的準線與犬軸交于￡,焦點為工，以1,居為

焦點，離心率e=g的橢圓C2與拋物線G在x軸上方的交點

為P,延長尸工交拋物線于點。，m是拋物線G上一動點，

且"在P,。之間運動

（1）當m=1時，求橢圓G的方程

（2）當的邊長恰好是三個連續(xù)的自然數時，求AMPQ面積的最大值

解：（1）根=1時，G：〉2=4X,焦點坐標6（1,0）

/.b1=a2-c2=3

22

橢圓G的方程為：亍+（=1

（2）由￡:丁=4/nx（m>0）可得：月（加,0）,即c=m

c1

a=2mB=a2-c2=3m2

a-2

??.橢圓方程為:

4m23m2

3x2+4y2=12m2,

<、=>3x~2+167nx-12m"2=0

y~=

2x76771

/.（x+6/??）（3x-2m）=0=>x=不"代入"="如解得：>=—3一'

,p（22瓜、

133）

,,\PF\=x+P=^.+m=^.

121233

\PFi\=2a-\PF2\=4m-^-=^-忻用=2c=2m=券

?.?△「片鳥邊長為3個連續(xù)的自然數.<.777=3

???拋物線方程為V=12%，尸（2,26）,工（3,0）

即PQ：y=—2遍（為-3）,代入拋物線方程可得：

O

24（x—3）9-=12xn2f_13X+18=O解得=不

-276-

：2、

設M—,t,re(-376,276)

112J

—t2+t-6\/6

6郛76+倔-36卜*75

?d-

一U

M-PQ-724+12JT

2

75

聞-3#,2甸-----G

2-圣。

75V6755/7

???(Z/"Q)max=與=--------二一

2T3024

IJmax

由網2,2C),Q(|,25

可得：|P2|=V1+24|X-X|

PGT

(S“P。)max=；IPQt(。…。)max=；弓

例9：在平面直角坐標系宜為中，點P(a,8)(a>b>0)為動點，居分別為橢圓

「+2=1的左，右焦點，已知A-PB為等腰三角形

a'b~

(1)求橢圓的離心率e

(2)設直線尸鳥與橢圓相交于A,3兩點，M是直線尸入上的點，滿足AA/-3A/=—2,求

點M的軌跡方程

解：⑴設耳(一。,0),6(。,0),由圖可知,人耳尸鳥為等腰三角形即忸國=忻閭

;上周=J(a+c)2+心忸用=2c,代入可得：

《(a+c)~+b1=2cn(a+c)~+b2=^c~

：.2a~+2ac—4c2=0=>2e2—e—1-0,解得：e=—l(舍)或e=，

2

(2)思路：由(1)可將橢圓方程化簡為：3x2+4y2=12c2,與直線「鳥的方程聯(lián)立，即

3x2+4y2=12c2,

?l消元后發(fā)現(xiàn)方程形式為5f—8cx=0,形式極其簡單，所以直接求出點

y=V3(x-c)

的坐標可得：A|孰￥，,網0,-&),進而設所求點M(x,y)。將川法,兩坐標化后，

再利用AM-BM=-2即可得到關于x,y的方程：

-?!(?)+y--^-c(y+Gc)=-2,方程中含有c,所以考慮利用直線方程

丫=6(%—。)將。消掉：c=x—￡y,代入即可得到軌跡方程

解：'：e=—=—a=2c,b=a1—c1=6c

a2

22

.??橢圓方程轉化為：J+當=1即3/+4尸=12c2

4c23c2,

P（a,。）即P（2C,6C）kpF,--~=-x/3

:.PF：的方程為:y=g(x—c),設A(X”X),3(X2，%)，聯(lián)立方程可得:

3x2+4y2=12c2

一、，消去y,方程轉化為：

y=6x-c)

3x2+4?3（x-c）2=12c2=>5x2-Sex=0

8’836

解得：%,=—c,x=0A,網0,一⑸

25

8

設M（x,y）,則AA/=,BM=（x,y+Gc）

由無必?麗r=—2可得：x-2,化簡可得:

/一二十八空勺一力+2=0①

55-5

因為y=J5（x-c）,所以c=x一定，代入①式化簡可得:

18/一16Gxy-15=0

18/—1510A:2+5

將曠=代入C=X--可得:>0=>x>0

16A/3X>/316x

M的軌跡方程為：18X2-1孫-15=0（x>0）

例10：如圖，耳,工分別為橢圓C:^+4=l（a>0>0）的左右焦點，橢圓C上的點到月距

礦b~

2

離的最大值為5,離心率為A,8是橢圓C上位于x軸上方的兩點，且直線A￡與BF?平

行。

（1）求橢圓C的方程

⑵設A鳥與8片的交點為P,求證：忱用+|P閭為定值

c2

解：（1）e=_=_,依橢圓性質可得：橢圓上的點到焦點的距離最大值為=5

a3

.,.a=3,c=2b2=a1—c2=5

所以橢圓方程為二+匕=1

95

（2）

解：由⑴可得:耳（—2,0）,6（2,0）,設4（石,〉］）,3（芍,y2）

設直線A耳：x=/2—2,與橢圓聯(lián)立方程：

x=my-2._，

<，'，=>5（my-2）2'+9/=45,整理可得：

5/+9y2=45V-7

（9+5m2）y2-20/?>--25=0

、_20/〃±］（20加）2+100（9+5>）_10一±15，/〃2+1

一,―2（9+5也―9+5病

,c-1"/且10m+15j〃?2+1

由y〉°可得：%=5/+9

22

二|A"|=\l\+m\y}-0|=\J\+m-+匚史①

5m~+9

同理，設直線3工：工="），+2,與橢圓聯(lián)立方程:

Xmy+Z..,

《「，=>5（m>'+2）2-+9y2=45

l5x2+9/=45V7

整理可得：

（9+5m2）V+