上海市浦東新區(qū)四校2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末監(jiān)測試題含解析

2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象A．向左平移個單位長度B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度D．向右平移個單位長度2．已知函數(shù)在區(qū)間上恰有四個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．3．復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則等于（）A．3 B．C．2 D．4．運行如圖所示的程序框圖，若輸出的的值為99，則判斷框中可以填（）A． B． C． D．5．在正方體中，，分別為，的中點，則異面直線，所成角的余弦值為（）A． B． C． D．6．已知七人排成一排拍照，其中甲、乙、丙三人兩兩不相鄰，甲、丁兩人必須相鄰，則滿足要求的排隊方法數(shù)為（）.A．432 B．576 C．696 D．9607．下列說法正確的是（）A．“若，則”的否命題是“若，則”B．“若，則”的逆命題為真命題C．，使成立D．“若，則”是真命題8．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的，則輸出的()A．9 B．31 C．15 D．639．已知函數(shù)，若時，恒成立，則實數(shù)的值為（）A． B． C． D．10．已知中內(nèi)角所對應(yīng)的邊依次為，若，則的面積為（）A． B． C． D．11．已知為坐標(biāo)原點，角的終邊經(jīng)過點且，則()A． B． C． D．12．已知雙曲線的一條漸近線方程是，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，則_____.14．若，則的最小值是______.15．在四面體中，與都是邊長為2的等邊三角形，且平面平面，則該四面體外接球的體積為_______．16．已知橢圓Г：，F(xiàn)1、F2是橢圓Г的左、右焦點，A為橢圓Г的上頂點，延長AF2交橢圓Г于點B，若為等腰三角形，則橢圓Г的離心率為___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)不等式的解集為M，.（1）證明：；（2）比較與的大小，并說明理由.18．（12分）已知數(shù)列的前項和為，且點在函數(shù)的圖像上；（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列滿足：，，求的通項公式；（3）在第（2）問的條件下，若對于任意的，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍；19．（12分）設(shè)等差數(shù)列滿足，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求的前項和及使得最小的的值.20．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，直線的的參數(shù)方程為（其中為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，點的極坐標(biāo)為，直線經(jīng)過點．曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求直線的普通方程與曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）過點作直線的垂線交曲線于兩點(在軸上方)，求的值.21．（12分）近年來，隨著“霧霾”天出現(xiàn)的越來越頻繁，很多人為了自己的健康，外出時選擇戴口罩，在一項對人們霧霾天外出時是否戴口罩的調(diào)查中，共調(diào)查了人，其中女性人，男性人，并根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)畫出等高條形圖如圖所示：（1）利用圖形判斷性別與霧霾天外出戴口罩是否有關(guān)系并說明理由；（2）根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)建立一個列聯(lián)表；（3）能否在犯錯誤的概率不超過的前提下認為性別與霧霾天外出戴口罩的關(guān)系.附：22．（10分）已知曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)),以直角坐標(biāo)系原點為極點,以軸正半軸為極軸并取相同的單位長度建立極坐標(biāo)系.（1）求曲線的極坐標(biāo)方程,并說明其表示什么軌跡；（2）若直線的極坐標(biāo)方程為,求曲線上的點到直線的最大距離.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

先將化為，根據(jù)函數(shù)圖像的平移原則，即可得出結(jié)果.【詳解】因為，所以只需將的圖象向右平移個單位.【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的平移，熟記函數(shù)平移原則即可，屬于基礎(chǔ)題型.2、A【解析】

函數(shù)的零點就是方程的解，設(shè)，方程可化為，即或，求出的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得出函數(shù)的單調(diào)性和最值，由此可根據(jù)方程解的個數(shù)得出的范圍．【詳解】由題意得有四個大于的不等實根，記，則上述方程轉(zhuǎn)化為，即，所以或．因為，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增；所以在處取得最小值，最小值為．因為，所以有兩個符合條件的實數(shù)解，故在區(qū)間上恰有四個不相等的零點，需且．故選：A．【點睛】本題考查復(fù)合函數(shù)的零點．考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，函數(shù)零點轉(zhuǎn)化為方程的解，方程的解再轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)的性質(zhì)，本題考查了學(xué)生分析問題解決問題的能力．3、D【解析】

利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，從而求得，然后直接利用復(fù)數(shù)模的公式求解.【詳解】，所以，，故選：D.【點睛】該題考查的是有關(guān)復(fù)數(shù)的問題，涉及到的知識點有復(fù)數(shù)的乘除運算，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)的模，屬于基礎(chǔ)題目.4、C【解析】

模擬執(zhí)行程序框圖，即可容易求得結(jié)果.【詳解】運行該程序：第一次，，；第二次，，；第三次，，，…；第九十八次，，；第九十九次，，，此時要輸出的值為99.此時.故選：C.【點睛】本題考查算法與程序框圖，考查推理論證能力以及化歸轉(zhuǎn)化思想，涉及判斷條件的選擇，屬基礎(chǔ)題.5、D【解析】

連接，，因為，所以為異面直線與所成的角（或補角），不妨設(shè)正方體的棱長為2，取的中點為，連接，在等腰中，求出，在利用二倍角公式，求出，即可得出答案.【詳解】連接，，因為，所以為異面直線與所成的角（或補角），不妨設(shè)正方體的棱長為2，則，，在等腰中，取的中點為，連接，則，，所以，即：，所以異面直線，所成角的余弦值為.故選：D.【點睛】本題考查空間異面直線的夾角余弦值，利用了正方體的性質(zhì)和二倍角公式，還考查空間思維和計算能力.6、B【解析】

先把沒有要求的3人排好，再分如下兩種情況討論：1.甲、丁兩者一起，與乙、丙都不相鄰，2.甲、丁一起與乙、丙二者之一相鄰.【詳解】首先將除甲、乙、丙、丁外的其余3人排好，共有種不同排列方式，甲、丁排在一起共有種不同方式；若甲、丁一起與乙、丙都不相鄰，插入余下三人產(chǎn)生的空檔中，共有種不同方式；若甲、丁一起與乙、丙二者之一相鄰，插入余下三人產(chǎn)生的空檔中，共有種不同方式；根據(jù)分類加法、分步乘法原理，得滿足要求的排隊方法數(shù)為種.故選：B.【點睛】本題考查排列組合的綜合應(yīng)用，在分類時，要注意不重不漏的原則，本題是一道中檔題.7、D【解析】選項A，否命題為“若，則”，故A不正確．選項B，逆命題為“若，則”，為假命題，故B不正確．選項C，由題意知對，都有，故C不正確．選項D，命題的逆否命題“若，則”為真命題，故“若，則”是真命題，所以D正確．選D．8、B【解析】

根據(jù)程序框圖中的循環(huán)結(jié)構(gòu)的運算，直至滿足條件退出循環(huán)體，即可得出結(jié)果.【詳解】執(zhí)行程序框；；；；；，滿足，退出循環(huán)，因此輸出，故選:B.【點睛】本題考查循環(huán)結(jié)構(gòu)輸出結(jié)果，模擬程序運行是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.9、D【解析】

通過分析函數(shù)與的圖象，得到兩函數(shù)必須有相同的零點，解方程組即得解.【詳解】如圖所示，函數(shù)與的圖象，因為時，恒成立，于是兩函數(shù)必須有相同的零點，所以，解得．故選：D【點睛】本題主要考查函數(shù)的圖象的綜合應(yīng)用和函數(shù)的零點問題，考查不等式的恒成立問題，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.10、A【解析】

由余弦定理可得，結(jié)合可得a，b，再利用面積公式計算即可.【詳解】由余弦定理，得，由，解得，所以，.故選：A.【點睛】本題考查利用余弦定理解三角形，考查學(xué)生的基本計算能力，是一道容易題.11、C【解析】

根據(jù)三角函數(shù)的定義，即可求出，得出，得出和，再利用二倍角的正弦公式，即可求出結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意，，解得，所以，所以，所以.故選：C.【點睛】本題考查三角函數(shù)定義的應(yīng)用和二倍角的正弦公式，考查計算能力.12、D【解析】雙曲線的漸近線方程是，所以，即，，即，，故選D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

對原方程兩邊求導(dǎo)，然后令求得表達式的值.【詳解】對等式兩邊求導(dǎo)，得，令，則.【點睛】本小題主要考查二項式展開式，考查利用導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)化已知條件，考查賦值法，屬于中檔題.14、8【解析】

根據(jù)，利用基本不等式可求得函數(shù)最值.【詳解】，，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時，等號成立.時，取得最小值.故答案為：【點睛】本題考查基本不等式，構(gòu)造基本不等式的形式是解題關(guān)鍵.15、【解析】

先確定球心的位置，結(jié)合勾股定理可求球的半徑，進而可得球的面積.【詳解】取的外心為，設(shè)為球心，連接，則平面，取的中點，連接，，過做于點，易知四邊形為矩形，連接，，設(shè)，.連接，則，，三點共線，易知，所以，.在和中，，，即，，所以，，得.所以.【點睛】本題主要考查幾何體的外接球問題，外接球的半徑的求解一般有兩個思路：一是確定球心位置，利用勾股定理求解半徑；二是利用熟悉的模型求解半徑,比如長方體外接球半徑是其對角線的一半.16、【解析】

由題意可得等腰三角形的兩條相等的邊，設(shè)，由題可得的長，在三角形中，三角形中由余弦定理可得的值相等，可得的關(guān)系，從而求出橢圓的離心率【詳解】如圖，若為等腰三角形，則|BF1|=|AB|.設(shè)|BF2|=t，則|BF1|=2a?t，所以|AB|=a+t=|BF1|=2a?t，解得a=2t，即|AB|=|BF1|=3t，|AF1|=2t，設(shè)∠BAO=θ，則∠BAF1=2θ，所以Г的離心率e=，結(jié)合余弦定理，易得在中，，所以，即e==，故答案為：.【點睛】此題考查橢圓的定義及余弦定理的簡單應(yīng)用，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析；(2).【解析】試題分析：(1)首先求得集合M，然后結(jié)合絕對值不等式的性質(zhì)即可證得題中的結(jié)論；(2)利用平方做差的方法可證得|1-4ab|＞2|a-b|.試題解析：（Ⅰ）證明：記f(x)=|x-1|-|x+2|，則f(x)=，所以解得-＜x＜，故M=(-,).所以，||≤|a|+|b|＜×+×=.（Ⅱ）由（Ⅰ）得0≤a2＜，0≤b2＜.|1-4ab|2-4|a-b|2=(1-8ab+16a2b2)-4(a2-2ab+b2)=4(a2-1)(b2-1)>0.所以，|1-4ab|＞2|a-b|.18、（1）（2）當(dāng)n為偶數(shù)時，；當(dāng)n為奇數(shù)時，.（3）【解析】

（1）根據(jù),討論與兩種情況,即可求得數(shù)列的通項公式;（2）由（1）利用遞推公式及累加法,即可求得當(dāng)n為奇數(shù)或偶數(shù)時的通項公式.也可利用數(shù)學(xué)歸納法,先猜想出通項公式,再用數(shù)學(xué)歸納法證明.（3）分類討論,當(dāng)n為奇數(shù)或偶數(shù)時,分別求得的最大值,即可求得的取值范圍.【詳解】（1）由題意可知,.當(dāng)時,,當(dāng)時,也滿足上式.所以.（2）解法一：由（1）可知,即.當(dāng)時,,①當(dāng)時,,所以,②當(dāng)時,,③當(dāng)時,,所以,④……當(dāng)時,n為偶數(shù)當(dāng)時,n為偶數(shù)所以以上個式子相加,得.又,所以當(dāng)n為偶數(shù)時,.同理,當(dāng)n為奇數(shù)時,,所以,當(dāng)n為奇數(shù)時,.解法二：猜測：當(dāng)n為奇數(shù)時,.猜測：當(dāng)n為偶數(shù)時,.以下用數(shù)學(xué)歸納法證明：,命題成立；假設(shè)當(dāng)時,命題成立；當(dāng)n為奇數(shù)時,,當(dāng)時,n為偶數(shù),由得故,時,命題也成立.綜上可知,當(dāng)n為奇數(shù)時同理,當(dāng)n為偶數(shù)時,命題仍成立.（3）由（2）可知.①當(dāng)n為偶數(shù)時,,所以隨n的增大而減小從而當(dāng)n為偶數(shù)時,的最大值是.②當(dāng)n為奇數(shù)時,,所以隨n的增大而增大,且.綜上,的最大值是1.因此,若對于任意的,不等式恒成立,只需,故實數(shù)的取值范圍是.【點睛】本題考查了累加法求數(shù)列通項公式的應(yīng)用,分類討論奇偶項的通項公式及求和方法,數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列的應(yīng)用,數(shù)列的單調(diào)性及參數(shù)的取值范圍,屬于難題.19、（1）（2）；時，取得最小值【解析】

（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，結(jié)合已知，聯(lián)立方程組，即可求得答案.（2）由（1）知，故可得，即可求得答案.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由及，得解得數(shù)列的通項公式為（2）由（1）知時，取得最小值.【點睛】本題解題關(guān)鍵是掌握等差數(shù)列通項公式和前項和公式，考查了分析能力和計算能力，屬于基礎(chǔ)題.20、（1），；（2）【解析】

(1)利用代入法消去參數(shù)可得到直線的普通方程，利用公式可得到曲線的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），代入得，根據(jù)直線參數(shù)方程的幾何意義，利用韋達定理可得結(jié)果.【詳解】（1）由題意得點的直角坐標(biāo)為，將點代入得則直線的普通方程為.由得，即.故曲線的直角坐標(biāo)方程為.（2）設(shè)直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），代入得．設(shè)對應(yīng)參數(shù)為，對應(yīng)參數(shù)為．則，，且.．【點睛】參數(shù)方程主要通過代入法或者已知恒等式（如等三角恒等式）消去參數(shù)化為普通方程，通過選取相應(yīng)的參數(shù)可以把普通方程化為參數(shù)方程，利用關(guān)系式，等可以把極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程互化，這類