函數(shù)的圖象教學(xué)案

1.5函數(shù)y=Asin（皿+0）的圖象

一、教材分析

三角函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，它既是解決生產(chǎn)實(shí)際問題的工具，又是學(xué)習(xí)高等

數(shù)學(xué)及其它學(xué)科的基礎(chǔ).本節(jié)課是在學(xué)習(xí)了任意角的三角函數(shù)，正、余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)

后，進(jìn)一步研究函數(shù)了=45山（39?。┑暮唸D的畫法，由此揭示這類函數(shù)的圖象與正弦曲線

的關(guān)系，以及A、3、6的物理意義，并通過圖象的變化過程，進(jìn)一步理解正、余弦函數(shù)的

性質(zhì)，它是研究函數(shù)圖象變換的一個延伸，也是研究函數(shù)性質(zhì)的一個直觀反映.

二、教學(xué)目標(biāo)

1.分別通過對三角函數(shù)圖像的各種變換的復(fù)習(xí)和動態(tài)演示進(jìn)一步讓學(xué)生了解三角函數(shù)

圖像各種變換的實(shí)質(zhì)和內(nèi)在規(guī)律。

2.通過對函數(shù)y=Asin（wx+4）（A>0,w>0）圖象的探討，讓學(xué)生進(jìn)一步掌握三角函數(shù)圖

像各種變換的內(nèi)在聯(lián)系。

3.培養(yǎng)學(xué)生觀察問題和探索問題的能力。

三、教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)

重點(diǎn)：通過五點(diǎn)作圖法正確找出函數(shù)p=sin入到y(tǒng)=sin（3x+<j>）的圖象變換規(guī)律。

難點(diǎn)：對周期變換、相位變換先后順序調(diào)整后，將影響圖象平移量的理解.

四、學(xué)法分析

本節(jié)課是在學(xué)習(xí)了三角函數(shù)的性質(zhì)和圖象的基礎(chǔ)上來學(xué)習(xí)y=Asin（3T+0）的

圖像，應(yīng)用三角函數(shù)的基本知識來解決實(shí)際問題對學(xué)生來說應(yīng)該不會很陌生，所以對本節(jié)的

學(xué)習(xí)應(yīng)讓學(xué)生能夠多參與多思考，培養(yǎng)他們的分析解決問題和解決問題的能力，提高應(yīng)用所

學(xué)知識的能力。

在教師的引導(dǎo)下，積極、主動地提出問題，自主分析，再合作交流，達(dá)到殊途同歸.在

思維訓(xùn)練的過程中，感受數(shù)學(xué)知識的魅力，成為學(xué)習(xí)的主人.

五、教法分析

教學(xué)的目的是以知識為平臺，全面提升學(xué)生的綜合能力.本節(jié)課突出體現(xiàn)了以學(xué)生能力

的發(fā)展為主線，應(yīng)用啟發(fā)式、講述式引導(dǎo)學(xué)生層層深入，培養(yǎng)學(xué)生自主探索以發(fā)現(xiàn)問題、分

析問題和解決問題的能力，注重利用非智力因素促進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識價值、思維

價值和人文價值的高度統(tǒng)一。

六、課時安排：2課時

七、教學(xué)程序及設(shè)計意圖

（一）復(fù)習(xí)引入：在現(xiàn)實(shí)生活中，我們常常會遇到形如尸/sin（3x+p）的函數(shù)解析

式（其中兒3,。都是常數(shù)）.下面我們討論函數(shù)尸力sin（3x+p）,xGR的簡圖的畫法.

（二）講解新課：

九兀

例1、畫出函數(shù)丫=5皿仁+§）,xGR,y=sin（x--）,xGR的簡圖.

解：列表

717127171571

X

-I6~6

717134

x+一071271

32T

71

sin(x+y)010-10

描點(diǎn)畫圖:

兀3兀5萬7兀9兀

X

4TT丁T

71713萬

X——0712乃

45T

71

sin(x—-)010-10

4

通過比較，發(fā)現(xiàn):

7TTT

(1)函數(shù))，=5皿。+§),*《11的圖象可看作把正弦曲線上所有的點(diǎn)向左平行移動耳個單

位長度而得到.

711T

(2)函數(shù)y=sin(x——),xGR的圖象可看作把正弦曲線上所有點(diǎn)向右平行移動一個單位

44

長度而得到.

一般地，函數(shù)y=sin(x+g),xGR(其中0W0)的圖象，可以看作把正弦曲線上所有點(diǎn)

向左(當(dāng)夕＞0時)或向右(當(dāng)9Vo時=平行移動I(pI個單位長度而得到.(用平移法注意講

清方向：“加左”“減右”)

y=sin(x+e)與y=sinx的圖象只是在平面直角坐標(biāo)系中的相對位置不一樣，這一變換

稱為相位變換.

rrTT

設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)y=sin(x+§■),xCR,y=sin(x——),x6R

圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)和y=sinx的圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系，獲得。對y=sin(x+的圖象的影響

的具體認(rèn)識。

例2、畫出函數(shù)y=2sinxxeR；y=；sinxxwR的圖象(簡圖).

解：畫簡圖，我們用“五點(diǎn)法”

?.?這兩個函數(shù)都是周期函數(shù)，且周期為2萬

...我們先畫它們在［0,2"］上的簡圖.列表:

713萬

X0~2兀2兀

sinx010-10

2sinx020-20

—sinx000

222

作圖:

(l)y=2sinx,xdR的值域是［—2,2］

圖象可看作把y=sinx,xdR上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍而得(橫坐標(biāo)不變).

(2)y=!sinx,xGR的值域是［―—］

222

圖象可看作把y=sinx,xGR上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)縮短到原來的,倍而得(橫坐標(biāo)不變).

2

設(shè)計意圖：研究函數(shù)中A對圖象的影響。

結(jié)論：

1.y=Asinx,xeR(A>0且Axl)的圖象可以看作把正數(shù)曲線上的所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸

長(A>1)或縮短(O<A<1)到原來的A倍得到的.

2.它的值域［-A,A］最大值是A,最小值是-A

例3、畫出函數(shù)丫=$訪2*xeR：y=sin~xxeR的圖象(簡圖).

24

解：函數(shù)y=sin2x,xGR的周期7=—=n

2

我們先畫在［0,乃］上的簡圖，在［0,捫上作圖,列表：

713兀

2x0TnT2TI

7t34

0

X77T7C

y=sin2x010-10

作圖:

我們畫［0,4萬］上的簡圖，列表:

Xn3幾

0712汽

2~2~2

X07127r3兀4兀

.X

sin—010-10

2

（1）函數(shù)y=sin2x,的圖象，可看作把了=5111入，x￡R上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原

來的L倍（縱坐標(biāo)不變）而得到的.

2

（2）函數(shù)尸sin'x,x￡R的圖象，可看作把夕=$111%x￡R上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到

2

原來的2倍（縱坐標(biāo)不變）而得到.

設(shè)計意圖：研究3對函數(shù)圖象的影響。

結(jié)論：與y=sinx的圖象作比較

函數(shù)y=sinox,XGR（<O>0且3制）的圖象，可看作把正弦曲線上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短

（3>1）或伸長（0<3<1）到原來的_1倍（縱坐標(biāo)不變）

（O

TT

例4、畫出函數(shù)片3sin（2x+—）,x￡R的簡圖.

3

2乃

解：（五點(diǎn)法）由7=下，得片》列表：

2

71冗7177r57

X

~61277~6

c717134

2x+-0JT2Ji

3~2T

71

3sin(2戶一030-30

3

描點(diǎn)畫圖:

作產(chǎn)siru?（長度為2兀的某閉區(qū)間）的圖象

沿x軸平移|回個單位橫坐標(biāo)伸長或縮短

得產(chǎn)sin（x+。）的圖象得產(chǎn)sin的圖象

沿x軸平移I2|個單位

橫坐標(biāo)伸長或縮短CD

得）=sin（3x+。）的圖象得y=sin（3x+。）的圖象

縱坐標(biāo)伸長或縮短縱坐標(biāo)伸長或縮短

得尸Asin（3x+0）的圖象，先在一個周期閉區(qū)間上

再擴(kuò)充到R上.

八、小試牛刀，當(dāng)堂檢測

71

已知函數(shù)y=2sin(3x+y),xeR

（1）作出簡圖；2）指出經(jīng)過怎樣的變換可得到y(tǒng)=sinx,xeR的圖象.

設(shè)計意圖：教師組織學(xué)生反思總結(jié)本節(jié)課的主要內(nèi)容，并進(jìn)行當(dāng)堂檢測。

九、發(fā)導(dǎo)學(xué)案、布置預(yù)習(xí)。

設(shè)計意圖：布置下節(jié)課的預(yù)習(xí)作業(yè)，并對本節(jié)課鞏固提高。教師課后及時批閱本節(jié)的延

伸拓展訓(xùn)練。

十、板書設(shè)計

三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用

例1.例3.練習(xí)：

例2例4.小結(jié)：

H—、教后反思

新理念下數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的探索是一個長期的過程，充分挖掘數(shù)學(xué)的應(yīng)用價

值、思維價值和人文價值，需要我們教育工作者的不斷創(chuàng)新，與時俱進(jìn).

1.5函數(shù)y=Asin（皿+0）的圖象

課前預(yù)習(xí)學(xué)案

一、預(yù)習(xí)目標(biāo)

預(yù)習(xí)圖像變換的過程，初步了解圖像的平移。

二、預(yù)習(xí)內(nèi)容

1.函數(shù)y=sin（x+g）,XGR（其中RHO）的圖象，可以看作是正弦曲線上所有的

點(diǎn)（當(dāng)夕>0時）或（當(dāng)a〈0時）平行移動附個單位長度而得

到.

2.函數(shù)y=（其中<y>0且①#1）的圖象，可以看作是把正弦曲線上

所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)（當(dāng)時）或（當(dāng)0<。<1時）到原

來的德（縱坐標(biāo)不變）而得到.

CD

3.函數(shù)y=Asin為xeR（A>0且Awl）的圖象，可以看作是把正弦曲線上所有點(diǎn)的縱

坐標(biāo)（當(dāng)A>1時）或（當(dāng)O<A<1）到原來的A倍（橫坐標(biāo)不變）

而得到的，函數(shù)y=Asinx的值域?yàn)?最大值為,最小值為

4.函數(shù)y=Asin@v+e）,xeR其中的（A>0,?>0）的圖象，可以看作用下面的方法

得到：先把正弦曲線上所有的點(diǎn)（當(dāng)。>0時）或（當(dāng)9<0時）

平行移動網(wǎng)個單位長度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)（當(dāng)。>1時）或

（當(dāng)0<^<1）到原來的L倍（縱坐標(biāo)不變），再把所得各點(diǎn)的縱橫坐標(biāo)

CO

（當(dāng)A>1時）或（當(dāng)O<A<1時到原來的A倍（橫坐標(biāo)不變）而

得至U.

課內(nèi)探究學(xué)案

一、學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.會用“五點(diǎn)法"作出函數(shù)y=Asn^wx+（p）以及函數(shù)y=Acos（wx+°）的圖象的圖象。

2.能說出0、W.A對函數(shù)y=Asin（wx+?）的圖象的影響.

3.能夠?qū)=sinx的圖象變換到y(tǒng)=Asin（wx+9）的圖象，并會根據(jù)條件求解析式.

學(xué)習(xí)重難點(diǎn):

重點(diǎn)：由正弦曲線變換得到函數(shù)y=Asin@r+0）的圖象。

難點(diǎn)：當(dāng)“工1時，函數(shù)必=Asin@x+%）與函數(shù)為=Asin@x+82）的關(guān)系。

二、學(xué)習(xí)過程

1、復(fù)習(xí)鞏固；

作業(yè)評講一一作出函數(shù)）=新》在一個周期內(nèi)的簡圖并回顧作圖方法？

2、自主探究；

問題一、函數(shù)圖象的左右平移萬變乃換

如在同一坐標(biāo)系下，作出函y=sm（x+g）數(shù)、=$血。一1）和的簡圖，并指出

它們與y=sinx圖象之間的關(guān)系。

問題二、函數(shù)圖象的縱向伸縮變換

1.

與.y=—sinx

如在同一坐標(biāo)系中作出y=2sinx及2的簡圖，并指出它們的圖象與

y=sinx的關(guān)系。

問題三、函數(shù)圖象的橫向伸縮變換

.1

.y=sm—x.

如作函數(shù)丁=必112》及2的簡圖，并指出它們與y=smx圖象間的關(guān)系。

問題四、作出函數(shù)y=2sin（L）的圖象

問題五、作函數(shù)丁=AsinQux+w）的圖象主要有以下兩種方法:

（1）用“五點(diǎn)法”作圖

（2）由函數(shù)y=sinx的圖象通過變換得到y(tǒng)=Asin（w+0）的圖象，有兩種主要途

徑：“先平移后伸縮”與“先伸縮后平移”。

（三）規(guī)律總結(jié)

①由正弦曲線變換到函數(shù)y=4sin&r+°）的圖象需要進(jìn)行三種變換,順序可

任意改變；先平移變換后周期變換時平移M個單位，先周期變換后平移變換時

平移色個單位。

CD

②常用變換順序一一先平移變換再周期變換后振幅變換（平移的量只與。有

關(guān)）。

（四）當(dāng)堂檢測

1、請準(zhǔn)確敘述由正弦曲線變換得到下列函數(shù)圖象的過程？

?>>=—sin（4x--）?y=2sin（-x+-）

2336

2、已知函數(shù)yfn（4x+爭的圖象為C，為了得到函數(shù)），=2sin（4x+爭的圖

象，只需把C的所有點(diǎn)（）

A、橫坐標(biāo)伸長到原來的10倍，縱坐標(biāo)不變。B、橫坐標(biāo)縮短到原

來的工倍，縱坐標(biāo)不變。

10

C、縱坐標(biāo)伸長到原來的10倍，橫坐標(biāo)不變。D、縱坐標(biāo)縮短到原

來的，倍，橫坐標(biāo)不變。

10

3、已知函數(shù),=加以+等的圖象為C，為了得到函數(shù)yfin(x+學(xué)的圖象,

只需把C的所有點(diǎn)()

A、橫坐標(biāo)伸長到原來的4倍，縱坐標(biāo)不變。B、橫坐標(biāo)縮短到原來

的1倍，縱坐標(biāo)不變。

4

C、縱坐標(biāo)伸長到原來的4倍，橫坐標(biāo)不變。D、縱坐標(biāo)縮短到原來

的_1倍，橫坐標(biāo)不變。

4

4、已知函數(shù)yfin(4x+爭的圖象為C,為了得到函數(shù)yfin4x的圖象，只

需把C的所有點(diǎn)()

A、向左平移2個單位長度B、向右平移三個單位

66

長度

C、向左平移空個單位長度D、向右平移竺個單位

33

長度

5、將正弦曲線上各點(diǎn)向左平移出個單位，再把橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱

3

坐標(biāo)不變，則所得圖象解析式為()

A>y=sin(-1-y)B、y=sin弓+馬C、y=sin(<+為D、y=sin(2x+§

課后練習(xí)與提高

一、選擇題

1、已知函數(shù)丫=心),將Rx)圖象上每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的2

倍，然后把所得的圖形沿著x軸向左平移巳個單位，這樣得到的曲線與y=^sinx的圖象

22

相同，那么已知函數(shù)y=Rx)的解析式為().

AC/、1./X7T1Ji

A.f(x)=—sin(----)B.Rx)=—sin(2xH—)

22222

C.f(x)=—sin(^-+—)D.^x)=—sinQx--)

22222

2、把函數(shù)y=sinx的圖象向右平移王后，再把各點(diǎn)橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，所得

8

到的函數(shù)的解析式為().

A.y=sinjx-馬B.y=sin（-x+—）

2828

C.y=sinQx-（）D.y=sinQx-（）

3、函數(shù)y=3sinQx+為的圖象，可由函數(shù)y=sinx的圖象經(jīng)過下述_______變換而

3

得到（）.

A.向右平移三個單位，橫坐標(biāo)縮小到原來的,，縱坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的3倍

3