2024春七年級數(shù)學(xué)下冊專題04二元一次方程組的應(yīng)用壓軸題四種模型全攻略含解析新版浙教版

Page1專題04二元一次方程組的應(yīng)用壓軸題四種模型全攻略【類型一方案問題】例1．（四川青羊·八年級期末）已知：用2輛A型車和1輛B型車裝滿貨物一次可運貨10噸；用1輛A型車和2輛B型車裝滿貨物一次可運貨11噸．某物流公司現(xiàn)有31噸貨物，支配同時租用A型車m輛，B型車n輛，一次運完，且恰好每輛車都裝滿貨物．依據(jù)以上信息，解答下列問題：(1)1輛A型車和1輛B型車都裝滿貨物一次可分別運貨多少噸？(2)請你幫該物流公司設(shè)計租車方案，且分別求出m，n的值；(3)若A型車每輛需租金100元/次，B型車每輛需租金120元/次．請選出最省錢的租車方案，并求出最少租車費．【答案】(1)一輛A型車裝滿貨物可運貨3噸，一輛B型車裝滿貨物可運貨4噸；(2)物流公司共有以下三種租車方案，方案一：租A型車1輛，B型車7輛；方案二：租A型車5輛，B型車4輛；方案三：租A型車9輛，B型車1輛．(3)方案一：租A型車1輛，B型車7輛，最省錢，最少租車費為940元．【解析】【分析】（1）設(shè)一輛A型車裝滿貨物可運貨x噸，一輛B型車裝滿貨物可運貨y噸，由題意：用兩輛A型車和一輛B型車裝滿貨物一次可運貨10噸；用一輛A型車和兩輛B型車裝滿貨物一次可運貨11噸．列出二元一次方程組，解方程組即可；（2）由題意：某物流公司現(xiàn)有31噸貨物，支配同時租用A型車和B型車，一次運完，且恰好每輛車都裝滿貨物．列出二元一次方程，求出正整數(shù)解即可．（3）分別計算三種方案的費用，比較大小即可．(1)設(shè)一輛A型車裝滿貨物可運貨x噸，一輛B型車裝滿貨物可運貨y噸，依據(jù)題意，得：，解得：，答：一輛A型車裝滿貨物可運貨3噸，一輛B型車裝滿貨物可運貨4噸；(2)由題意得：3m+4n=31，∵m、n均為正整數(shù)，∴或或，∴該物流公司共有以下三種租車方案，方案一：租A型車1輛，B型車7輛；方案二：租A型車5輛，B型車4輛；方案三：租A型車9輛，B型車1輛．(3)方案一費用：100×1+120×7=940（元），方案二費用：100×5+120×4=980（元），方案三費用：100×9+120×1=1020（元），∵940＜980＜1020，∴方案一：租A型車1輛，B型車7輛，最省錢，最少租車費為940元．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及二元一次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組和二元一次方程是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練1】（廣西玉林·九年級期末）已知：用2輛型車和1輛型車載滿貨物一次可運貨13噸；用1輛型車和2輛型車載滿貨物一次可運貨14噸．某物流公司現(xiàn)有45噸貨物，支配租用型車輛，型車輛（一種或兩種車型都可），一次運完，且恰好每輛車都載滿貨物．依據(jù)以上信息，解答下列問題：(1)1輛型車和1輛車型車都載滿貨物一次可分別運貨多少噸？(2)若型車每輛需租金110元次，型車每輛需租金150元次，請選出最省錢的租車方案，并求出最少租車費．【答案】(1)1輛型車載滿貨物一次可運貨4噸，1輛型車載滿貨物一次可運貨5噸(2)最省錢的租車方案為：租用10輛型車，1輛型車，最少租車費為1250元【解析】【分析】（1）設(shè)1輛A型車載滿貨物一次可運貨噸，1輛B型車載滿貨物一次可運貨噸，依據(jù)“用2輛A型車和1輛B型車載滿貨物一次可運貨13噸；用1輛A型車和2輛B型車載滿貨物一次可運貨14噸”，即可得出關(guān)于，的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）依據(jù)“一次性運45噸貨物，且恰好每輛車都載滿貨物”，即可得出關(guān)于，的二元一次方程，結(jié)合，均為自然數(shù)，即可得出各租車方案，再求出選擇各租車方案所需租車費，比較后即可得出結(jié)論．(1)設(shè)1輛A型車載滿貨物一次可運貨噸，1輛B型車載滿貨物一次可運貨噸，依題意得：，解得：．答：1輛A型車載滿貨物一次可運貨4噸，1輛B型車載滿貨物一次可運貨5噸；(2)依題意得：，．又，均為自然數(shù)，或或，共有3種租車方案，方案1：租用9輛B型車，所需總租金為（元；方案2：租用5輛A型車，5輛B型車，所需總租金為（元；方案3：租用10輛A型車，1輛B型車，所需總租金為（元．，最省錢的租車方案為：租用10輛A型車，1輛B型車，最少租車費為1250元．【點睛】此題主要考查二元一次方程組的實際應(yīng)用和二元一次方程有整數(shù)解的實際意義．在解與實際問題有關(guān)的二元一次方程組時，要結(jié)合未知數(shù)的實際意義求解．【變式訓(xùn)練2】（河南·七年級期末）一家商店進(jìn)行裝修，若請甲、乙兩個裝修隊同時施工，8天可以完成，需付兩隊費用3520元，若先請甲隊單獨做6天，再請乙隊單獨做16天可以完成，需付費用4040元．（1）甲、乙兩隊工作一天，商店各應(yīng)付多少錢？（2）若裝修完，商店每天可盈利200元，則如何支配施工更有利于商店？請說明理由．【答案】（1）甲、乙兩隊工作一天，商店各應(yīng)付300元和140元；（2）甲單獨做施工更有利于商店，理由詳見解析．【解析】【分析】（1）設(shè)甲隊工作一天商店應(yīng)付x元，乙隊工作一天商店付y元，依據(jù)題意列出二元一次方程組求解即可；（2）設(shè)甲的工作效率為m，乙的工作效率為n，求出甲和乙單獨完成須要的時間，再計算三種狀況的損失，進(jìn)行比較即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）設(shè)甲隊工作一天商店應(yīng)付x元，乙隊工作一天商店付y元．由題意得，解得，答：甲、乙兩隊工作一天，商店各應(yīng)付300元和140元．（2）甲單獨做施工更有利于商店，理由：設(shè)甲的工作效率為m，乙的工作效率為n，則．解得．即：甲單獨做須要10天完成，乙單獨做須要40天完成．甲單獨做，需費用3000元，少贏利200×10＝2000元，相當(dāng)于損失5000元；乙單獨做，需費用5600元，少贏利200×40＝8000元，相當(dāng)于損失13600元；甲乙合作，需費用3520元，少贏利200×8＝1600元，相當(dāng)于損失5120元；因為13600＞5120＞5000，所以甲單獨做損失費用最少．答：甲單獨做施工更有利于商店．【點睛】本題考查二元一次方程組的實際應(yīng)用，依據(jù)題意列出方程組是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練3】（上海普陀·期末）以“花開中國夢”為主題的第十屆中國花卉博覽會于2024年5月21日至7月2日在上海市崇明區(qū)東平國家森林公園舉辦，本屆花博會的門票分為平日票、指定日票等種類，其中平日票每張120元，指定日票每張180元，小明支配用2100元購買平日票和指定日票共15張．(1)求小明支配購買平日票和指定日票各幾張？(2)為了激勵大家提前購買，主辦方確定，凡是在5月21日前購票的，平日票和指定日票都可以享受低于原價的預(yù)售價．小明確定依據(jù)預(yù)售價提前購票，在購票時小明發(fā)覺：假如不變更原支配購買的門票種類及相應(yīng)的張數(shù)，總金額可以節(jié)約300元；假如不變更原支配購票的總金額，那么可以購買5張平日票和10張指定日票，求平日票和指定日票的預(yù)售價分別是多少元？【答案】(1)小明支配購買平日票為10張，指定日票為5張(2)平日票的預(yù)售價為100元，指定日票的預(yù)售價為160元【解析】【分析】（1）設(shè)小明支配購買平日票為張，指定日票為張，由題意：平日票每張120元，指定日票每張180元，小明支配用2100元購買平日票和指定日票共15張．列出方程組，解方程組即可；（2）設(shè)平日票的預(yù)售價為元，指定日票的預(yù)售價為元，由題意：不變更原支配購買的門票種類及相應(yīng)的張數(shù)，總金額可以節(jié)約300元；不變更原支配購票的總金額，那么可以購買5張平日票和10張指定日票，列出方程組，解方程組即可．(1)解：設(shè)小明支配購買平日票為張，指定日票為張，由題意得：，解得：，答：小明支配購買平日票為10張，指定日票為5張；(2)解：設(shè)平日票的預(yù)售價為元，指定日票的預(yù)售價為元，由題意得：，解得：，答：平日票的預(yù)售價為100元，指定日票的預(yù)售價為160元．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，解題的關(guān)鍵是正確列出二元一次方程組．【類型二支配問題】例2．（海南文昌·七年級期末）某寄宿制學(xué)校有大、小兩種類型的學(xué)生宿舍共50間，大宿舍每間可住10人，小宿舍每間可住8人，該校420名住宿生恰好住滿這50間宿舍．求大、小宿舍各有多少間．【答案】大宿舍有10間，小宿舍有40間【解析】【分析】設(shè)學(xué)校大的宿舍有間，小的宿舍有間．依據(jù)宿舍50間；大的宿舍每間可住10人，小的每間可住8人，該校420個住宿生恰好住滿這50間宿舍．這兩個等量關(guān)系列方程求解．【詳解】解：設(shè)學(xué)校大的宿舍有間，小的宿舍有間．依題意有，解得，答：學(xué)校大的宿舍有10間，小的宿舍有40間．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是依據(jù)題意列出方程組進(jìn)行求解．【變式訓(xùn)練1】（浙江·嵊州市初級中學(xué)七年級期中）某車間有14名工人生產(chǎn)一種螺栓和螺母，每人每天平均能生產(chǎn)螺栓6個或螺母9個，要求1個螺栓配2個螺母，應(yīng)怎樣支配工人才能使每天生產(chǎn)的螺栓和螺母恰好配套？【答案】6人生產(chǎn)螺栓，8人生產(chǎn)螺母【解析】【分析】設(shè)人生產(chǎn)螺栓，人生產(chǎn)螺母，依據(jù)題意列二元一次方程組解決問題．【詳解】解：設(shè)人生產(chǎn)螺栓，人生產(chǎn)螺母，由題意得，解得答：6人生產(chǎn)螺栓，8人生產(chǎn)螺母能使每天生產(chǎn)的螺栓和螺母恰好配套．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，依據(jù)題意列出方程組是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練2】（陜西榆林·八年級期末）學(xué)校支配從某花卉供應(yīng)商家定制一批花卉來裝扮校內(nèi)（花盆全部為同一型號），該商家托付某貨運公司負(fù)責(zé)這批花卉的運輸工作．該貨運公司有甲、乙兩種特地運輸花卉的貨車，已知1輛甲型貨車和3輛乙型貨車滿載一次可運輸1700盆花卉；2輛甲型貨車比3輛乙型貨車滿載一次少運輸200盆花卉．1輛甲型貨車滿載一次可運輸多少盆花卉？1輛乙型貨車滿載一次可運輸多少盆花卉？【答案】1輛甲型貨車滿載一次可運輸500盆花卉,1輛乙型貨車滿載一次可運輸400盆花卉．【解析】【分析】設(shè)1輛甲型貨車滿載一次可運輸x盆花卉,1輛乙型貨車滿載一次可運輸y盆花卉,依據(jù)等量關(guān)系：1輛甲型貨車和3輛乙型貨車滿載一次可運輸1700盆花卉；2輛甲型貨車比3輛乙型貨車滿載一次少運輸200盆花卉，列方程組，解方程組即可．【詳解】解：設(shè)1輛甲型貨車滿載一次可運輸x盆花卉,1輛乙型貨車滿載一次可運輸y盆花卉,依據(jù)題意得：，把②代入①×2得，解得，把代入②得，解得x=500,∴，答1輛甲型貨車滿載一次可運輸500盆花卉,1輛乙型貨車滿載一次可運輸400盆花卉．【點睛】本題考查列二元一次方程組解應(yīng)用題，駕馭列二元一次方程組解應(yīng)用題的方法與步驟，抓住等量關(guān)系1輛甲型貨車和3輛乙型貨車滿載一次可運輸1700盆花卉；2輛甲型貨車比3輛乙型貨車滿載一次少運輸200盆花卉列方程組是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練3】（江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）《九章算術(shù)》被歷代數(shù)學(xué)家尊為“算經(jīng)之首”．下面是其卷中記載的關(guān)于“盈不足”的一個問題：今有共買金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．問人數(shù)、金價各幾何？這段話的意思是：今有人合伙買金，每人出400錢，會剩余3400錢；每人出300錢，會剩余100錢．合伙人數(shù)、金價各是多少？請解決上述問題．【答案】共33人合伙買金，金價為9800錢【解析】【分析】設(shè)共x人合伙買金，金價為y錢，依據(jù)“每人出400錢，會剩余3400錢；每人出300錢，會剩余100錢”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)共x人合伙買金，金價為y錢，依題意得：，解得：．答：共33人合伙買金，金價為9800錢．【點睛】本題考查了二元-次方程組的應(yīng)用以及數(shù)學(xué)常識，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．【類型三銷售利潤問題】例3．（廣東東莞·七年級期末）某社區(qū)超市第一次用6000元購進(jìn)甲、乙兩種商品，其中甲商品的件數(shù)比乙商品件數(shù)的2倍少30件，甲、乙兩種商品的進(jìn)價和售價如表：甲乙進(jìn)價（元/件）2230售價（元/件）2940(1)該超市購進(jìn)甲、乙兩種商品各多少件？(2)該超市將第一次購進(jìn)的甲、乙兩種商品全部賣完后一共可獲得多少利潤？(3)該超市其次次以第一次的進(jìn)價又購進(jìn)甲、乙兩種商品，其中甲商品的件數(shù)不變，乙商品的件數(shù)是第一次的3倍；甲商品按原價銷售，乙商品銷售一部分后出現(xiàn)滯銷，于是超市確定將剩余的乙商品五折促銷，若在本次銷售過程中超市共獲利2350元，則以五折售出的乙商品有多少件？【答案】(1)購進(jìn)甲種商品150件，購進(jìn)乙種商品90件(2)1950元(3)70【解析】【分析】（1）設(shè)購進(jìn)甲，乙商品分別為m，n件，依據(jù)題意列方程求解即可．（2）依據(jù)利潤公式求解即可．（3）設(shè)以五折售出的乙商品有y件，依據(jù)題意列方程求解即可．(1)解：設(shè)購進(jìn)甲，乙商品分別為m，n件，依題意可知：解得：，故購進(jìn)甲種商品150件，購進(jìn)乙種商品90件．(2)解：（元）故該超市將第一次購進(jìn)的甲、乙兩種商品全部賣完后一共可獲得1950元．(3)解：設(shè)以五折售出的乙商品有y件．依據(jù)題意得：解得：故以五折售出的乙商品有70件．【點睛】此題考查了一元一次方程和二元一次方程組的問題，解題的關(guān)鍵是駕馭一元一次方程和二元一次方程組的解法．【變式訓(xùn)練1】（遼寧和平·八年級期末）（列二元一次方程組求解）某商場購進(jìn)商品后，加價30%作為銷售價，商場搞實惠促銷，確定由顧客抽獎確定折扣．某顧客購買甲，乙兩種商品，分別抽到九折和八折，共付款546元，兩種商品原銷售價之和為650元．甲、乙商品進(jìn)價分別為多少元？【答案】甲商品進(jìn)價為200元，乙商品進(jìn)價為300元．【解析】【分析】設(shè)甲商品進(jìn)價為x元，乙商品進(jìn)價為y元，依據(jù)“顧客購買甲，乙兩種商品，分別抽到九折和八折，共付款546元，兩種商品原銷售價之和為650元”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可求出甲、乙兩商品的進(jìn)價．【詳解】解：設(shè)甲商品進(jìn)價為x元，乙商品進(jìn)價為y元，依題意得：解得：．答：甲商品進(jìn)價為200元，乙商品進(jìn)價為300元．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練2】（云南硯山·八年級期末）疫情期間為疼惜學(xué)生和老師的健康，某學(xué)校儲備“抗疫物資”，用19000元購進(jìn)甲、乙兩種醫(yī)用口罩共計900盒，甲、乙兩種口罩的售價分別是20元/盒，25元/盒．(1)求甲、乙兩種口罩各購進(jìn)了多少盒？(2)現(xiàn)已知甲、乙兩種口罩的數(shù)量分別是20個/盒，25個/盒，依據(jù)市教化局要求，學(xué)校必需儲備足夠運用10天的口罩，該校師生共計900人，每人每天2個口罩，問購買的口罩?jǐn)?shù)量是否能滿足市教化局的要求？【答案】(1)甲種口罩購進(jìn)了700盒，乙種口罩購進(jìn)了200盒(2)購買的口罩?jǐn)?shù)量能滿足市教化局的要求【解析】【分析】（1）設(shè)甲種口罩購進(jìn)了x盒，乙種口罩購進(jìn)了y盒，依據(jù)總價=單價×數(shù)量，結(jié)合用19000元購進(jìn)甲、乙兩種醫(yī)用口罩共計900盒，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出甲、乙兩種口罩購進(jìn)數(shù)量；（2）利用購進(jìn)口罩的總數(shù)量=每盒的個數(shù)×購進(jìn)數(shù)量，可求出購進(jìn)口罩的總數(shù)量，利用市教化局的要求數(shù)=2×該校師生人數(shù)×10，可求出學(xué)校須要口罩的總數(shù)量，比較后即可得出購買的口罩?jǐn)?shù)量能滿足市教化局的要求．(1)解：設(shè)甲種口罩購進(jìn)了x盒，乙種口罩購進(jìn)了y盒，依題意得：，解得：．答：甲種口罩購進(jìn)了700盒，乙種口罩購進(jìn)了200盒；(2)解：20×700+25×200=14000+5000=19000（個），2×900×10=18000（個）．∵19000＞18000，∴購買的口罩?jǐn)?shù)量能滿足市教化局的要求．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及有理數(shù)的混合運算，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）利用購進(jìn)口罩的總數(shù)量=每盒的個數(shù)×購進(jìn)數(shù)量，求出購進(jìn)口罩的總數(shù)量．【變式訓(xùn)練3】（山東濟(jì)南·八年級期末）為了響應(yīng)“陽光運動一小時”校內(nèi)體育活動，我校支配再購買一批籃球，已知購買2個A品牌的籃球和3個B品牌的籃球共需380元；購買4個A品牌的籃球和2個B品牌的籃球共需360元．(1)求A、B兩種品牌的籃球的單價．(2)我校打算網(wǎng)購20個A品牌的籃球和3個B品牌的籃球，“雙十一”期間，京東購物打折促銷，其中A品牌打八折，B品牌打九折，問：打折后學(xué)校購買籃球需用多少錢？【答案】(1)A品牌的籃球的單價為40元，B品牌的籃球的單價為100元(2)910元【解析】【分析】（1）設(shè)A品牌的籃球的單價為x元，B品牌的籃球的單價為y元，依據(jù)“購買2個A品牌的籃球和3個B品牌的籃球共需380元；購買4個A品牌的籃球和2個B品牌的籃球共需360元”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出A、B兩種品牌的籃球的單價；（2）利用總價=單價×數(shù)量，即可求出打折后學(xué)校購買籃球所需費用．(1)設(shè)A品牌的籃球的單價為x元，B品牌的籃球的單價為y元，依題意得：，解得：．答：A品牌的籃球的單價為40元，B品牌的籃球的單價為100元．(2)40×80%×20+100×90%×3＝640+270＝910（元）．答：打折后學(xué)校購買籃球需用910元．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及有理數(shù)的混合運算，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）依據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，列式計算．【類型四幾何問題】例4．（湖南新田·七年級期中）如圖，在長方形ABCD中，放入六個形態(tài)、大小相同的長方形，所標(biāo)尺寸如圖所示，則圖中陰影部分的面積是多少？【答案】圖中陰影部分的面積是【解析】【分析】設(shè)小長方形的長為xcm，寬為ycm，視察圖形即可列出關(guān)于x、y的二元一次方程組，解之即可得出x、y的值，再依據(jù)陰影部分的面積＝大長方形的面積﹣6個小長方形的面積，即可求出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)小長方形的長為xcm，寬為ycm，依據(jù)題意得：，解得：，∴S陰影＝14×（6+2×2）﹣8×2×6＝44（cm2）．答：圖中陰影部分面積是44cm2．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，視察圖形列出關(guān)于x、y的二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練1】（遼寧和平·八年級期末）如圖，8塊相同的小長方形地磚拼成一個大長方形，則每塊小長方形地磚的周長為（

）A．2cm B．6cm C．12cm D．16cm【答案】D【解析】【分析】設(shè)每塊小長方形地磚的長為xcm，寬為ycm，由圖示可得等量關(guān)系：①1個長=3個寬，②一個長+一個寬=8cm，列出方程組，解方程組即可．【詳解】解：設(shè)每塊小長方形地磚的長為xcm，寬為ycm，由題意得：，解得：，則每塊小長方形地磚的周長為2（x+y）=2×（6+2）=16（cm），故選：D．【點睛】此題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練2】（山東鄒平·七年級期末）在“實踐與探究”的數(shù)學(xué)活動中，讓一組和二組分別用8個一樣大小的長方形紙片進(jìn)行拼圖．一組拼成一個如圖1所示的大長方形：二組拼成一個如圖2所示的正方形，但中間留下一個邊長為的小正方形，據(jù)此計算出每個小長方形的面積是______【答案】135【解析】【分析】要求每個長方形的面積，就要先求出它們的長和寬，再利用面積公式計算．所以首先要設(shè)每個長方形的寬為，長為，依據(jù)題中的等量關(guān)系：①5個長方形的寬個長方形的長，②大矩形面積大正方形的面積，列方程求解．【詳解】解：設(shè)每個長方形的寬為，長為，那么可列出方程組為：，解得：．所以每個長方形的面積為．故答案是：135．【點睛】本題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是留意圖片給出的等量關(guān)系即，①5個長方形的寬個長方形的長，②大矩形面積大正方形的面積，以此可得出答案．【變式訓(xùn)練3】（江西石城·七年級期末）如圖，在長方形ABCD中，放入六個形態(tài)大小相同的小長方形，所標(biāo)尺寸如圖所示，請你利用方程組的思想方法解決以下問題：（1）求小長方形的長和寬；（2）求出圖中陰影部分面積．【答案】（1）小長方形的長為8cm，寬為2cm．（2）44cm2【解析】【分析】（1）設(shè)小長方形的長為xcm，寬為ycm，依據(jù)題意列二元一次方程組，進(jìn)而解方程組解決問題；（2）依據(jù)（1）的結(jié)論，依據(jù)陰影部分面積等于大長方形的面積減去6個小長方形的面積即可求得【詳解】（1）解：設(shè)小長方形的長為xcm，寬為ycm，由題意得;解得：．答：小長方形的長為8cm，寬為2cm．（2）由題意可得：=44（）所以陰影部分面積為44．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，依據(jù)圖形列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．【課后訓(xùn)練】1．（甘肅肅州·八年級期末）5年前母親的年齡是女兒年齡的15倍，15年后，母親的年齡比女兒年齡的2倍多6歲．那么現(xiàn)在這對母女的年齡分別是多少？【答案】母親現(xiàn)在年齡35歲，女兒現(xiàn)在7歲【解析】【分析】設(shè)母親現(xiàn)在年齡x歲，女兒現(xiàn)在y歲，然后依據(jù)5年前母親的年齡是女兒年齡的15倍，15年后，母親的年齡比女兒年齡的2倍多6歲，列出方程組求解即可．【詳解】解：設(shè)母親現(xiàn)在年齡x歲，女兒現(xiàn)在y歲，則解得答：母親現(xiàn)在年齡35歲，女兒現(xiàn)在7歲．【點睛】本題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于正確理解題意列出方程求解．2．（廣東·深圳中學(xué)八年級期中）一個兩位數(shù)，個位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字之和為9，把這個兩位數(shù)的十位數(shù)字和個位數(shù)字對調(diào)所得新兩位數(shù)比原兩位數(shù)大27，請利用二元一次方程組求這個兩位數(shù)．【答案】這個兩位數(shù)為36【解析】【分析】設(shè)這個兩位數(shù)的個位數(shù)為x，則十位數(shù)為y，然后依據(jù)題意可干脆列方程組進(jìn)行求解．【詳解】解：設(shè)這個兩位數(shù)的個位數(shù)為x，則十位數(shù)為y，由題意得：，解得：，∴這個兩位數(shù)為36．【點睛】本題主要考查二元一次方程組的應(yīng)用，嫻熟駕馭二元一次方程的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．3．（云南五華·七年級期末）為了主動推動軌道交通建設(shè)，某城市支配修建總長度36千米的有軌電車軌道該任務(wù)由甲、乙兩工程隊先后接力完成，甲工程隊每天修建0.06千米，乙工程隊每天修建0.08千米，兩工程隊共需修建500天．求甲、乙兩工程隊分別修建有軌電車軌道多少千米？【答案】甲、乙兩工程隊分別修建有軌電車軌道為千米【解析】【分析】設(shè)甲、乙兩工程隊分別修建有軌電車軌道為千米，依據(jù)題意列二元一次方程組，求解即可．【詳解】解：設(shè)甲、乙兩工程隊分別修建有軌電車軌道為千米，由題意可得：，化簡得解得答：甲、乙兩工程隊分別修建有軌電車軌道為千米．【點睛】此題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用，理解題意列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．4．（山東天橋·八年級期末）某學(xué)校實行“疫情防控”宣揚活動，故購買A、B兩種獎品以激勵主動參與的學(xué)生．經(jīng)市場調(diào)查發(fā)覺，若購買A種6件、B種1件，共需100元；若購買A種5件、B種2件，共需88元．(1)A、B兩種獎品每件各多少元?(2)學(xué)校確定現(xiàn)要購買A種獎品8件、B種獎品15件，那么總費用是多少元？【答案】(1)A種獎品16元/件，B種獎品4元/件(2)188元【解析】【分析】（1）由題意可知兩條等量關(guān)系分別為：6×A獎品價格+1×B獎品價格=100，5×A獎品價格+2×B獎品價格=88，依據(jù)等量關(guān)系列出二元一次方程組求解即可；（2）依據(jù)：總價=單價×數(shù)量，分別求出A，B兩種獎品的總價，相加即可．(1)解：設(shè)A種獎品x元/件，B種獎品y元/件，由題意可列方程：，由①得：，將③代入②中得：，解得：，答：A種獎品16元/件，B種獎品4元/件．(2)由題意得：（元），答：總費用為188元．【點睛】本題考查用二元一次方程組解決實際問題，能夠依據(jù)題意列出等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．5．（重慶·西南高校附中七年級期末）一艘輪船在相距120千米的甲、乙兩地之間勻速航行，從甲地到乙地順流航行用6小時，從乙地到甲地逆流航行用10小時．（請列方程或方程組解答）(1)求該輪船在靜水中的速度和水流速度；(2)若在甲、乙兩地之間的丙地新建一個碼頭，使該輪船從甲地到丙地和從乙地到丙地所用的航行時間相同，問甲、丙兩地相距多少千米？【答案】(1)靜水中的速度是16千米/小時，水流速度是4千米/小時(2)75千米【解析】【分析】（1）設(shè)該輪船在靜水中的速度是x千米/小時，水流速度是y千米/小時，依據(jù)路程=速度×?xí)r間，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)甲、丙兩地相距a千米，則乙、丙兩地相距（120-a）千米，依據(jù)時間=路程÷速度，即可得出關(guān)于a的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．【小題1】解：設(shè)該輪船在靜水中的速度是x千米/小時，水流速度是y千米/小時，依題意，得：，解得：，答：該輪船在靜水中的速度是16千米/小時，水流速度是4千米/小時．【小題2】設(shè)甲、丙兩地相距a千米，則乙、丙兩地相距（120-a）千米，依題意，得：，解得：a=75，答：甲、丙兩地相距75千米．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程．6．（云南昆明·七年級期末）甲、乙兩名同學(xué)都以不變的速度在環(huán)形路上跑步，假猶如時同地動身，反向而行，每隔分鐘相遇一次；假猶如時同地動身，同向而行，每隔分鐘快的追上慢的一次，已知甲比乙跑得快，求甲、乙兩名同學(xué)每分鐘各跑多少圈？【答案】甲同學(xué)每分鐘跑圈，乙同學(xué)每分鐘跑圈．【解析】【分析】設(shè)甲同學(xué)每分鐘跑x圈，乙同學(xué)每分鐘跑y圈，依據(jù)“同時同地動身，反向而行，每隔分鐘相遇一次；假猶如時同地動身，同向而行，每隔分鐘快的追上慢的一次”，列出方程組，解出即可．【詳解】（1）解：設(shè)甲同學(xué)每分鐘跑x圈，乙同學(xué)每分鐘跑y圈．依題意列方程組得：，解方程組得：，答：甲同學(xué)每分鐘跑圈，乙同學(xué)每分鐘跑圈．【點睛】本題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用，明確題意，精確得到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．7．（廣東番禺·七年級期末）（1）2臺大收割機和5臺小收割機同時工作2小時共收割小麥3.6公頃，3臺大收割機和2臺小收割機同時工作5小時共收割小麥8公頃．1臺大收割機和1臺小收割機每小時各收割小麥多少公頃？（2）從甲地到乙地有一段上坡與一段平路．假如保持上坡每小時走，平路每小時走，下坡每小時走，那么從甲地到乙地需0.9小時，從乙地到甲地需0.7小時．甲地到乙地全程是多少？【答案】（1）1臺大收割機每小時收割小麥0.4公頃，1臺小收割機每小時收割小麥0.2公頃；（2）甲地到乙地全程是3.1km【解析】【分析】（1）設(shè)1臺大收割機每小時收割小麥x公頃，1臺小收割機每小時收割小麥y公頃，依據(jù)“2臺大收割機和5臺小收割機同時工作2小時共收割小麥3.6公頃，3臺大收割機和2臺小收割機同時工作5小時共收割小麥8公頃”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)從甲地到乙地上坡路長mkm，平路長nkm，利用時間=路程÷速度，結(jié)合“從甲地到乙地需0.9小時，從乙地到甲地需0.7小時”，即可得出關(guān)于m，n的二元一次方程組，解之即可得出m，n的值，再將其代入（m+n）中即可求出結(jié)論．【詳解】解：（1）設(shè)1臺大收割機每小時收割小麥x公頃，1臺小收割機每小時收割小麥y公頃，依題意得：，解得：，答：1臺大收割機每小時收割小麥0.4公頃，1臺小收割機每小時收割小麥0.2公頃．（2）設(shè)從甲地到乙地上坡路長mkm，平路長nkm，依題意得：，解得：，∴m+n=1.5+1.6=3.1（km）．答：甲地到乙地全程是3.1km．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．8．（重慶市其次十九中學(xué)校七年級階段練習(xí)）一名34歲的男子帶著他的兩個孩子一同進(jìn)行晨跑，下面是兩個孩子與記者的對話：依據(jù)對話內(nèi)容，請你用方程的學(xué)問幫記者求出哥哥和妹妹的年齡．【答案】妹妹的年齡是6歲，哥哥的年齡是10歲．【解析】【分析】設(shè)妹妹的年齡是x歲，哥哥的年齡是y歲，依據(jù)“今年妹妹和哥哥的年齡和是16歲，兩年后，妹妹年齡的3倍和哥哥的年齡相加等于爸爸的年齡”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)妹妹的年齡是x歲，哥哥的年齡是y歲，依題意，得：，解得：．答：妹妹的年齡是6歲，哥哥的年齡是10歲．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．9．（廣西富川·七年級期末）在某外環(huán)公路改建工程中，某路段長6140米，現(xiàn)打算由甲、乙兩個工程隊擬在25天內(nèi)(含25天)合作完成，已知兩個工程隊各有20名工人(設(shè)甲、乙兩個工程隊的工人全部參與生產(chǎn)，甲工程隊每人每天工作量相同，乙工程隊每人每天工作量相同)，甲工程隊1天、乙工程隊2天共修路400米；甲工程隊2天、乙工程隊3天共修路700米．（1）試問：甲、乙兩個工程隊每天分別修路多少米?（2）甲、乙兩個工程隊施工8天后，由于工作須要需從甲隊調(diào)離m人去其他工程工作，總部要求在規(guī)定時間內(nèi)完成，請問：甲工程隊最多可以調(diào)離多少人?【答案】（1）甲、乙兩工程隊每天分別修路200米和100米；（2）8人【解析】【分析】（1）設(shè)甲工程隊每天修路x米，乙工程隊每天修路y米．，依據(jù)題意列出方程組求解即可；（2）設(shè)甲工程隊最多可以調(diào)走m人，依據(jù)路段長6140米，在25天內(nèi)合作完成和甲、乙工程每天修路的米數(shù)，列出方程，求出m的值即可；【詳解】解：（1）設(shè)甲工程隊每天修路x米，乙工程隊每天修路y米．依題意，得：解之得：答：甲、乙兩工程隊每天分別修路200米和100米．（2）設(shè)甲工程隊最多可以調(diào)走m人．依題意，得：8×(200＋100)＋(25－8)×100＋(25－8)×(200÷20)×(20－m)=6140．解之得：m=8．答：甲工程隊最多可以調(diào)走8人．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，讀懂題目信息，理清題中的數(shù)量關(guān)系，找準(zhǔn)等量關(guān)系列出方程組是解題的關(guān)鍵；10．（山東寧陽·七年級期末）已知：用3輛型車和1輛型車載滿貨物一次可運貨13噸；用1輛型車和2輛型車載滿貨物一次可運貨11噸．依據(jù)以上信息，解答下列問題．（1）1輛型車和1輛型車載滿貨物一次可分別運貨多少噸？（2）某物流公司現(xiàn)有貨物若干噸要運輸，支配同時租用型車6輛，型車8輛，一次運完，且恰好每輛車都滿載貨物，請求出該物流公司有多少噸貨物要運輸？【答案】（1）1輛A型車載滿貨物一次可運貨3噸，1輛B型車載滿貨物一次可運貨4噸（2）該物流公司有50噸貨物要運輸【解析】【分析】（1）設(shè)1輛A型車載滿貨物一次可運貨x噸，則1輛B型車載滿貨物一次可運貨y噸，依據(jù)題意可得出二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）依據(jù)貨物質(zhì)量＝6輛A型車的滿載量＋8輛B型車的滿載量，代入數(shù)據(jù)即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）設(shè)1輛A型車載滿貨物一次可運貨x噸，則1輛B型車載滿貨物一次可運貨y噸，依據(jù)題意得：，解得：，答：1輛A型車載滿貨物一次可運貨3噸，1輛B型車載滿貨物一次可運貨4噸．（2）該批貨物的質(zhì)量為3×6＋4×8＝50（噸）．答：該物流公司有50噸貨物要運輸．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，依據(jù)數(shù)量關(guān)系列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．11．（廣東和平·八年級期末）為了響應(yīng)“陽光運動一小時”校內(nèi)體育活動，我校支配再購買一批籃球，已知購買2個品牌的籃球和3個品牌的籃球共需380元；購買4個品牌的籃球和2個品牌的籃球共需360元．（1）求、兩種品牌的籃球的單價．（2）我校打算網(wǎng)購20個品牌的籃球和3個品牌的籃球，“雙十一”期間，京東購物打折促銷，其中品牌打八折，品牌打九折，問：學(xué)校購買打折后的籃球所花的費用比打折前節(jié)約了多少錢？【答案】（1）A品牌的籃球的單價為40元/個，B品牌的籃球的單價為100元/個；（2）學(xué)校購買打折后的籃球所花的費用比打折前節(jié)約了190元．【解析】【分析】（1）設(shè)A品牌的籃球的單價為x元/個，B品牌的籃球的單價為y元/個，依據(jù)“購買2個A品牌的籃球和3個B品牌的籃球共需380元；購買4個A品牌的籃球和2個B品牌的籃球共需360元”，即可得出關(guān)于x、y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）依據(jù)總價=單價×數(shù)量，列式計算，即可求出結(jié)論．【詳解】解：（1）設(shè)A品牌的籃球的單價為x元/個，B品牌的籃球的單價為y元/個，依據(jù)題意得：，解得：．答：A品牌的籃球的單價為40元/個，B品牌的籃球的單價為100元/個；（2）20×40×（1-0.8）+3×100×（1-0.9）=190（元）．答：學(xué)校購買打折后的籃球所花的費用比打折前節(jié)約了190元．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，列出關(guān)于x、y的二元一次方程組；（2）依據(jù)總價=單價×數(shù)量，列式計算．12．（全國·八年級課時練習(xí)）列方程組解古算題：“今有甲、乙二人持錢不知其數(shù)．甲得乙半而錢五十，乙得甲太半而亦錢五十．甲、乙持錢各幾何？”題目大意是：甲、乙兩人各帶了若干錢．假如甲得到乙全部錢的一半，那么甲共有錢50．假如乙得到甲全部錢的，那么乙也共有錢50．甲、乙兩人各帶了多少錢？【答案】甲帶錢，乙?guī)уX25．【解析】【分析】設(shè)甲帶錢x，乙?guī)уXy，利用等量關(guān)系“甲得到乙全部錢的一半，那么甲共有錢50．假如乙得到甲全部錢的，那么乙也共有錢50．”列方程組求解即可．【詳解】解：設(shè)甲帶錢x，乙?guī)уXy，依據(jù)題意，得，①×2得：③，③-②得：，把代入③得，∴．【點睛】本題考查列二元一次方程組解應(yīng)用題，駕馭列二元一次方程組解應(yīng)用題步驟與解法，抓住等量關(guān)系是解題關(guān)鍵．13．（湖南荷塘·七年級期末）我國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》記載：“今有牛五、羊二，直金十九兩；牛二、羊五，直金十六兩．問牛、羊各直金幾何？”譯文：“假設(shè)有5頭牛、2只羊，值19兩銀子；2頭牛、5只羊，值16兩銀子．問每頭牛、每只羊分別值銀子多少兩？”依據(jù)以上譯文，提出以下兩個問題：（1）求每頭牛、每只羊各值多少兩銀子？（2）若某商人打算用20兩銀子買牛和羊（要求既有牛也有羊，且銀兩須全部用完），請問商人有幾種購買方法？列出全部的可能．【答案】（1）每頭牛3兩銀子，每頭羊2兩銀子；（2）共有三種購買方法：方案一：購買2頭牛，7頭羊；方案二：購買4頭牛，4頭羊；方案三：購買6頭牛，1頭羊【解析】【分析】（1）設(shè)每頭牛值x兩銀子，每只羊值y兩銀子，依據(jù)“5頭牛、2只羊，值19兩銀子；2頭牛、5只羊，值16兩銀子”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)購買a頭牛，b只羊，利用總價＝單價×數(shù)量，即可得出關(guān)于a，b的二元一次方程，結(jié)合a，b均為正整數(shù)，即可得出各購買方案．【詳解】解：（1）設(shè)每頭牛x兩銀子，每頭羊y兩銀子，依據(jù)題意，得解得答：每頭牛3兩銀子，每頭羊2兩銀子．（含設(shè)）（2）設(shè)該商人購買了a頭牛，b頭羊，依據(jù)題意，得∵a、b均為正整數(shù)∴該方程的解為或或所以共有三種購買方法：方案一：購買2頭牛，7頭羊；方案二：購買4頭牛，4頭羊；方案三：購買6頭牛，1頭羊．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用、數(shù)學(xué)常識以及二元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程．14．（陜西城固·八年級期末）某文具專賣店出售甲、乙兩種自動鉛筆，已知該店進(jìn)貨甲種自動鉛筆4支和乙種自動鉛筆2支共需22元，進(jìn)貨甲種自動鉛筆8支所需費用比進(jìn)貨乙種自動鉛筆4支所需費用多4元．(1)請分別求出甲、乙兩種自動鉛筆的進(jìn)價；(2)已知專賣店將甲種自動鉛筆每支提價1元出售，乙種自動鉛筆提價20%出售，小靜在該專賣店購買甲種自動鉛筆m（m≥0）支、乙種自動鉛筆n（n≥0）支，共花費24元，小靜有幾種購買方案？【答案】(1)甲、乙兩種自動鉛筆的進(jìn)價分別為3元，5元(2)小靜一共有三種購買方案【解析】【分析】（1）設(shè)甲、乙兩種自動鉛筆的進(jìn)價分別為x元，y元，然后依據(jù)進(jìn)貨甲種自動鉛筆4支和乙種自動鉛筆2支共需22元，進(jìn)貨甲種自動鉛筆8支所需費用比進(jìn)貨乙種自動鉛筆4支所需費用多4元，列出方程組求解即可；（2）先求出甲、乙兩種自動鉛筆新的售價分別為4元、6元，即可推出，再由m、n都是自然數(shù)，進(jìn)行求解即可．(1)解：設(shè)甲、乙兩種自動鉛筆的進(jìn)價分別為x元，y元，由題意得：，解得，∴甲、乙兩種自動鉛筆的進(jìn)價分別為3元，5元，答：甲、乙兩種自動鉛筆的進(jìn)價分別為3元，5元；(2)解：∵專賣店將甲種自動鉛筆每支提價1元出售，乙種自動鉛筆提價20%出售，∴甲、乙兩種自動鉛筆新的售價分別為4元、6元，∴，∴即，∵m、n都是自然數(shù)，∴當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴小靜一共有三種購買方案，答：小靜一共有三種購買方案．【點睛】本題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用，二元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于能夠依據(jù)題意列出方程（組）求解．15．（福建寧德·七年級期末）為緩解電力供需沖突，促進(jìn)能源綠色低碳發(fā)展，某市推行峰谷分時電價政策．峰谷分時電價為：峰時（8:00～22:00）每度電0.55元，谷時（22:00～次日8:00）每度電0.3元．小穎家10月份用電120度，繳納電費61元．(1)求小穎家10月份，峰時、谷時各用電多少度？(2)為響應(yīng)節(jié)電政策，小穎11月份支配將20%的峰時用電轉(zhuǎn)移至谷時，這樣在她用電量保持不變的狀況下能節(jié)約電費多少元？【答案】(1)小穎家10月份峰時用電100度，谷時用電20度(2)在她用電量保持不變的狀況下能節(jié)約電費5元．【解析】【分析】（1）設(shè)小穎家10月份峰時用電x度，谷時用電y度，依據(jù)“10月份用電120度，繳納電費61元”列出二元一次方程組求解即可；（2）計算出變更后的電費，用61相減即可．(1)設(shè)小穎家10月份峰時用電x度，谷時用電y度，依據(jù)題意得，x+y=120解得，答：小穎家10月份峰時用電100度，谷時用電20度(2)==5（元）答：在她用電量保持不變的狀況下能節(jié)約電費5元．【點睛】此題主要考查了二元一次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，依據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程，再求解．16．（廣東陽山·八年級期末）某小區(qū)為了綠化環(huán)境，支配分兩次購進(jìn)A，B兩種樹苗，第一次購進(jìn)A種樹苗40棵，B種樹苗15棵，共花費1750元；其次次購進(jìn)A種樹苗20棵，B種樹苗6棵，共花費860元．（兩次購進(jìn)的A，B兩種樹苗各自的單價均不變）（1）A，B兩種樹苗每棵的價格分別是多少元？（2）因受季節(jié)影響，A種樹苗價格下降10%，B種樹苗價格上升20%，支配購進(jìn)A種樹苗25棵，B種樹苗20棵，問總費用是多少元？【答案】（1）A種樹苗每棵的價格40元，B種樹苗每棵的價