高中數(shù)學(xué)選修第一冊：課時跟蹤檢測（十八） 橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程

課時跟蹤檢測(十八)橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程

22

1.若橢圓3+%=1上一點尸到焦點肌的距離為3,則點P到另一焦點尸2的距離為()

A.6B.7

C.8D.9

解析：選B根據(jù)橢圓的定義知，|PFI|+|PF2|=2〃=2X5=10,因為|「耳|=3,所以|尸四

=7.

22

2.若橢圓5+1=1的焦距為2,則m的值為()

A.5B.3

C.5或3D.8

解析：選C由題意得c=l,42=52+。2.當(dāng)m＞4時，機=4+1=5;當(dāng)m＜4時，4=m

+1,.\m=3.

3.(多選)下列說法中正確的是()

A.已知為(一4,0),尸2(4,0),平面內(nèi)到孫，尸2兩點的距離之和等于8的點的軌跡是線

段

B.已知為(一4,0),F2(4,0),平面內(nèi)到右，出兩點的距離之和等于6的點的軌跡是橢

圓

C.平面內(nèi)到點M(—4,0),尸2(4,0)兩點的距離之和等于點M(5,3)到歹1,歹2的距離之和

的點的軌跡是橢圓

D.平面內(nèi)到點尸K一4,0),尸2(4,0)距離相等的點的軌跡是橢圓

解析：選ACA中，IB尸21=8,則平面內(nèi)到尸1,尸2兩點的距離之和等于8的點的軌

跡是線段，所以A正確；B中，到尸1,三兩點的距離之和等于6,小于|尸』2|,這樣的軌跡

不存在，所以B錯誤;C中，點M(5,3)到H,瓦兩點的距離之和為0(5+4)2+32+7(5—4尸+32

=4廝＞|吊尸21=8,則其軌跡是橢圓，所以C正確；D中，軌跡應(yīng)是線段Fi尸2的垂直平分

線，所以D錯誤.故選A、C.

22

4.“1＜機＜3”是“方程—十-=1表示橢圓”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

m-1＞0,

3一帆＞0,所以IVm

mm

{—1W3-9

V3且機22;

當(dāng)機=2時，方程變?yōu)楹?12=1,它表示一個圓.故選B.

5.已知尸為橢圓C上一點，F(xiàn)i,外為橢圓的焦點，且I尸1尸21=2#,若2|昆尸2l=|PFil

十|P尸2|,則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為()

D篇+■曜+$1

解析：選B由已知2c=|吊尸2|=25，:.c=小.

'：2a=|PFi|+|PF2|=2|FIF2|=4V3,

.".a=2\l3..'.b2=a2—c2=9.

2222

故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是3十七=1或卷+%=1.

6.若△4BC的兩個頂點坐標(biāo)為4(-4,0),8(4,0),△ABC的周長為18,則頂點C的軌

跡方程為.

解析：△4BC的兩個頂點坐標(biāo)為A(—4,0),5(4,0),周長為18,V|AB|=8,：.\BC\+\AC\

=10.V|3C|+|AC|>8,...點。到兩個定點A,3的距離之和為定值，，點。的軌跡是以A,

3為焦點，去除直線A3上的點的橢圓...?2“=10,2c=8,.."=3....頂點C的軌跡方程是馬

y2

+/=l(yW0).

答案：言+]=1。2。)

22

7.已知橢圓手+3=1的左、右焦點分別為Fi,三，點尸在橢圓上.若|PFi|=4,貝!IIPF2I

,N尸1P歹2的大小為

解析：尸1I+IP尸2l=2a=6,

.,.|PF2|=6-|PFI|=2.

在△凡尸尸2中，由余弦定理得

222

,rnr|PF1|+|PF2|-|F1F2|

COSZF1PF2-21P尸1HP尸2I

1

16+4-28-

2

=2X4X2...ZF1PF2=12O°.

答案：2120°

8.橢圓的兩焦點為凡(一4,0),尸2(4,0),點尸在橢圓上，若△尸為已的面積最大為12,

則橢圓的方程為.

解析：如圖，當(dāng)P在y軸上時

△PF訴2的面積最大，

乙86=12,:?b=3?

5LVc=4,^.a2=b2+c2=2S.

22

工橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為3+。=1.

答案:l+9=1

9.求符合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

⑴過點售,5)和^1);

22

(2)過點(一3,2)且與橢圓方+》=1有相同的焦點.

m^n).,橢圓過點小)和

解：⑴設(shè)所求橢圓方程為mx2+ny2=l(m>0,n>0,

(陪

初(^)2+n-(y[S)2=1,

m=l9

解得1

22

m-(^]+n-l=lf

.?.所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為好+卷=1.

22

(2)由題意得已知橢圓]+；=1中a=3,b=2f

且焦點在x軸上，/.c2=9—4=5.

二設(shè)所求橢圓方程為七+義=1.

azaz-5

??,點(-3,2)在所求橢圓上，

94

2_5=1?；?〃'2=15或/2=3(舍去).

22

所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為卷+若=1.

10.已知點尸在橢圓上，且尸到橢圓的兩個焦點的距離分別為5,3.過尸且與橢圓的長

軸垂直的直線恰好經(jīng)過橢圓的一個焦點，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

2222

解：法一：設(shè)所求的橢圓方程為方=l(a>Z?0)或%+本=l(a>b>0),

2a=5+3,「”=4,

由已知條件得八、2口,,2解得，

l(2c)2=52-32,[C=2,

所以b2=a2—c2=12.

于是所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為a+★=1或表+a=1.

1O12lo12

2222

法二：設(shè)所求的橢圓方程為今+==13>5>0）或方+條=l（a>Z?O）,兩個焦點分別為Fi,

F2.

由題意知2a=|PFI|+|PF2|=3+5=8,所以a=4.

在方程9+方=1中，令x=±c，得M="；

避工2

在方程5+笛=i中，令y=±c，得陽=5.

依題意有了=3,得"=12.

于是所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為W+W=l或哈+W=1.

lo1Zlo1Z

[B級綜合運用]

11.橢圓唱+卷=1的焦點為Fi,Fi,尸為橢圓上的一點，已知函?成=0,則△FiP4

的面積為（）

A.9B.12

C.10D.8

解析：選AI?麗?示=0,：.PFI±PF2.

222

/.|PFi|+|PF2|=|FIF2|且|PFI|+\PF2\=2a.

又a=5,b=3,.??c=4,

IP尸IF+IPr2F=64,①

?〈

,1|尸尸1|+|尸尸2|=10.②

②2一①，得2|尸尸1卜|尸尸2|=36,

|PF1|-|PF2|=18,

.'.△MP廠2的面積為S=1-|PFI|-|PF2|=9.

22

12.已知尸為橢圓真+巳=1上的一點，M,N分別為圓（x+3）2+y2=i和圓（%—3戶+

,2=4上的點，則|PAf|+|PN|的最小值為（）

A.5B.7

C.13D.15

解析：選B由題意知橢圓的兩個焦點為，已分別是兩圓的圓心，且|尸為|+|尸尸2|=10,

從而1PM+|PN|的最小值為|P尸1I+IP歹2|-1-2=7.

13.橢圓具有如下的光學(xué)性質(zhì)：從一個焦點發(fā)出的光線經(jīng)過橢圓內(nèi)壁反射后恰好穿過

22

另一個焦點.現(xiàn)從橢圓方+方=1的左焦點尸發(fā)出的一條光線，經(jīng)過橢圓內(nèi)壁兩次反射后，

回到點F,則光線所經(jīng)過的總路程為.

解析：依題意可知光線經(jīng)兩次橢圓壁反射后回到p點，故根據(jù)橢圓的定義可知所走的

路程正好是4a=4X3=12.

答案：12

22

14.已知橢圓%十條=1320)的焦點分別是肌(0,-1),F2(0,l),且3a2=4比

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)點尸在這個橢圓上，且|PFI|-|PF2|=1,求NHPF2的余弦值.

解：(1)依題意，知。2=1,又。2=層一加，且3〃2=452,

所以〃2一邛312=1,即于2=1,所以。2=4,52=3,

故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為］+§=1.

(2)由于點尸在橢圓上，所以|尸西|+|尸尸2|=2Q=2X2=4.又|P凡|一|尸尸2|=1,所以|尸凡|

53SHA?3

=5，|尸尸2|='.又嗎g|=2c=2,所以由余弦定理得cos