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一、函數(shù)極限的定義1、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限觀察函數(shù)當時,當時,y=21-3函數(shù)的極限yxo當時,當時,時函數(shù)的極限如果記為:或者記為:當時則有:注意:該定義與數(shù)列極限的定義中的區(qū)別
X,
恒有定義:則A是時的極限.當使當時,時函數(shù)的極限記為:或者記為:則有:當時對于那么?那么?如果恒有定義:則A是的極限.當時時,使當x<-X記為:或者記為:當時則有:3)x→∞時函數(shù)f(x)的極限則A是的極限.當從定義中得到:包含了和所以:包含了和于是有不存在.如果恒有定義:定理:使當時,使當時恒有當x<-X或x>X時,函數(shù)y=f(x)的圖形完全落在以直線y=A為中心線,寬為帶形區(qū)域內(nèi).幾何解釋:yxo或說不存在不存在觀察圖像2、自變量趨向有限值時函數(shù)的極限求xyo24yxo13觀察圖像oxyyx1o2在x=0處無極限.1)定義:定義:如果恒有(無論多么?。?,當時,記為:時的極限.那么常數(shù)A就叫函或者記為:當時,總注意:當數(shù)
表示任意??;
表示的過程,是點的去心是體現(xiàn)x與a的接近程度.鄰域,的注意:使得當時,恒有成立.1.函數(shù)極限與在點a是否有定義無關(guān).2.與任意給定的正數(shù)有關(guān).3.是以任意方式,包括從a的左邊、或者從a的兩邊同時接近于a.從a的右邊、2)函數(shù)極限的幾何意義當時,函數(shù)f(x)的圖形完全落在以直線y=A為中心線,形區(qū)域內(nèi).一個后,越小越好.A使得當時,恒有成立.寬為的帶顯然,找到例1證證任給任取當時,成立,取當時,成立,證明(C為常數(shù))例2證明例3發(fā)現(xiàn):其中:表示x從0的左邊接近0.其中:表示x從0的右邊接近0.求觀察當x<0當x=0當x>0xyo1-1不存在3、左極限與右極限例1
設(shè)求解不存在.但左極限右極限若求呢?呢?oxy112-1。.單側(cè)極限的定義左極限:右極限:記作:或記作:或使當時,恒有使當時,恒有證例2驗證不存在.不存在.則解例3
設(shè)求即xy1-1o
1.有界性定理1:若(或時函數(shù)f(x)的極限存在,則存在(或N>0)使得f(x)在該鄰域內(nèi)(或內(nèi))有界.2.唯一性定理2:若存在,則極限唯一.二、函數(shù)極限的性質(zhì)3.保號性定理3:推論若且當時,(或則(或我們省去以上定理的證明,但是以后我們經(jīng)常用到他們,請同學們熟記.1.時f(x)的極限.定理:定理:2.時,f(x)的極限.包含了和兩個極限過程.包含了和兩個極限過程.說明:(1)該定理常用于判斷分段函數(shù)在分界點的極限(2)實際上是
x在
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