忻州市忻府區(qū)忻州實驗中學(xué)校2022-2023學(xué)年七年級下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題【帶答案】

忻州市實驗中學(xué)2022-2023學(xué)年度第二學(xué)期期中學(xué)科素養(yǎng)監(jiān)測七年級數(shù)學(xué)（人教版）滿分120分，考試時間90分鐘．第I卷選擇題（共30分）一、選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分）在每小題列出的四個選項中，只有一項是最符合題目要求的，請將正確選項的字母標號在答題卡相應(yīng)位置涂黑．1.不等式3+2x≥1的解在數(shù)軸上表示正確的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】不等式移項，合并同類項，把x系數(shù)化為1求出解集，表示在數(shù)軸上即可．【詳解】解：不等式3+2x≥1，移項得：2x≥1﹣3，合并同類項得：2x≥﹣2，解得：x≥﹣1，數(shù)軸表示如下：．故選：B．【點睛】本題考查了一元一次不等式的解法，熟練掌握解一元一次不等式的步驟是解答本題的關(guān)鍵．不等式的解集在數(shù)軸上表示時，空心圈表示不包含該點，實心點表示包含該點．2.下列圖形是四所大學(xué)?；盏牟糠謭D案，其中是中心對稱圖形的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形．據(jù)此判斷即可．【詳解】解：A．不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；B．不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；C．不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；D．是中心對稱圖形，故本選項符合題意．故選：D．【點睛】本題考查了中心對稱圖形的概念，把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，這個點叫做對稱中心．3.若，則下列不等式正確的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)不等式基本性質(zhì)，逐項判斷即可．【詳解】解：A、將m＞n兩邊都減去6得：m-6＞n-6，故此選項錯誤，不符合題意；B、將m＞n兩邊都除以6得：，故此選項正確，符合題意；C、將m＞n兩邊都乘以6得：6m＞6n，故此選項錯誤，不符合題意；D、將m＞n兩邊都乘以-6，得：-6m＜-6n，故此選項錯誤，不符合題意；故選：B．【點睛】本題主要考查不等式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握不等式的基本性質(zhì)，尤其是性質(zhì)不等式的兩邊同時乘以（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變．4.下列對△ABC的判斷，不正確的是（）A.若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，則△ABC是直角三角形B.若AB：BC：CA＝1：2：，則△ABC是直角三角形C.若AB＝BC，∠A＝60°，則△ABC是等邊三角形D.若AB＝BC，∠C＝50°，則∠B＝50°【答案】D【解析】【分析】根據(jù)等腰三角形，等邊三角形，直角三角形的判定以及三角形的內(nèi)角和定理即可作出判斷．【詳解】解：A．若∠A：∠B：∠C=1：2：3，則∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°，所以△ABC是直角三角形，故此選項正確，不符合題意；B．若AB：BC：CA＝1：2：，則12+()2=22，那么這個三角形是直角三角形，故此選項正確，不符合題意；C．若AB=BC，∠A=60°，則∠A=∠C=60°，∠B=60°，所以△ABC等邊三角形，故此選項正確，不符合題意；D．若AB=BC，∠C=50°，則∠A=∠C=50°，∠B=80°，故此選項錯誤，符合題意．故選：D．【點睛】本題考查了等腰三角形的判定、直角三角形的判定以及等邊三角形的判定．根據(jù)已知條件解出三角形中的角是解題的關(guān)鍵．5.如圖，AD是△ABC的角平分線，∠C=28°，AB+BD=AC、將△ABD沿AD所在直線翻折，點B在AC邊上的落點記為點E，那么∠AED的度數(shù)為（）A.28° B.50° C.56° D.65°【答案】C【解析】【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得BD=DE，AB=AE，然后根據(jù)AC=AE+EC，AB+BD=AC證得DE=EC，再根據(jù)等邊對等角以及三角形的外角的性質(zhì)求解．【詳解】解：根據(jù)折疊的性質(zhì)可得BD=DE，AB=AE．∵AB+BD=AC，AC=AE+EC，∴AB+BD=AE+EC，∴DE=EC，∴∠EDC=∠C=，∴．故選：．【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)、三角形的外角的性質(zhì)，證明DE=EC是本題的關(guān)鍵．6.如圖，在平面直角坐標系中，將線段平移得到線段，若點的對應(yīng)點為，則點的對應(yīng)點的坐標是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)點、的坐標確定出平移規(guī)律，然后求出點的坐標即可．【詳解】解：點的對應(yīng)點為，平移規(guī)律為向右3個單位，向上2個單位，點，對應(yīng)點的橫坐標為，縱坐標為，點的坐標為．故選：C．【點睛】本題考查了坐標與圖形變化平移，觀察圖形以及點的坐標確定出平移規(guī)律是解題的關(guān)鍵．7.若不等式組的解集為，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)不等式組的解集結(jié)合口訣：“同小取小“確定m的取值范圍即可．【詳解】解：∵不等式組的解集為，根據(jù)同小取小可得，∴，∴的取值范圍是．故選C．【點睛】本題主要考查不等式組的解集的確定，掌握“同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答本題的關(guān)鍵．8.如圖，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點P，與軸交于點，則滿足不等式組的整數(shù)有（）A.2個 B.3個 C.4個 D.無數(shù)個【答案】A【解析】【分析】由圖象可得：不等式組的解集為：，即可求解．【詳解】解：由圖象可得：不等式組的解集為：，∴整數(shù)有，，有2個，故選：A【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)與一元一次不等式組的關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合思想求不等式組解集是解題的關(guān)鍵．9.如圖，在正三角形網(wǎng)格中，以某點為中心，將旋轉(zhuǎn)，得到，則旋轉(zhuǎn)中心是（）A.點A B.點B C.點C D.點D【答案】B【解析】【分析】連接、、，作的垂直平分線，作的垂直平分線，作的垂直平分線，交點為旋轉(zhuǎn)中心．【詳解】解：如圖，繞某點旋轉(zhuǎn)一定的角度，得到△，連接、、，作的垂直平分線，作的垂直平分線，作的垂直平分線，三條線段垂直平分線正好都過點，即旋轉(zhuǎn)中心是．故選：B．【點睛】本題考查了學(xué)生的理解能力和觀察圖形的能力，注意：旋轉(zhuǎn)時，對應(yīng)頂點到旋轉(zhuǎn)中心的距離應(yīng)相等且旋轉(zhuǎn)角也相等，對稱中心在連接對應(yīng)點線段的垂直平分線上．10.如圖，在中，，，以A為圓心，任意長為半徑畫弧分別交AB、AC于點M和點N，再分別以M、N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點P，連結(jié)AP并延長交BC于點D，則下列說法：①AD是∠BAC的平分線；②；③點D在AB的中垂線上；④．其中正確的個數(shù)有（）A.4個 B.3個 C.2個 D.1個【答案】B【解析】【分析】①根據(jù)作圖的過程可以判定AD是∠BAC的角平分線；②利用角平分線的定義可以推出∠CAD=30°，即可由含角的直角三角形的性質(zhì)得出；③利用等角對等邊可以證得△ADB為等腰三角形，由等腰三角形的“三合一”的性質(zhì)可以證明點D在AB的中垂線上；④由②和③可推出，再結(jié)合三角形面積公式即可得出結(jié)論．【詳解】解：根據(jù)作圖的過程可知，AD是∠BAC的平分線，故①正確；如圖，∵在中，，，∴．又∵AD是∠BAC的平分線，∴，∴，故②正確；∵，∴，∴點D在AB的中垂線上，故③正確；∵，∴，∵，，∴，故④錯誤．綜上所述，正確的結(jié)論是：①②③，共有3個．故選B．【點睛】本題考查了角平分線的判定、線段垂直平分線的判定和性質(zhì)、含角的直角三角形的性質(zhì)以及等腰三角形的判定和性質(zhì)．利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題的關(guān)鍵．第II卷非選擇題（共90分）二、填空題（本大題共5個小題，每小題3分，共15分）11.不等式的解集為___________．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)解一元一次不等式基本步驟：去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1可得．【詳解】解：去括號得：，移項、合并同類項得：，系數(shù)化為1得：，∴不等式的解集為，故答案為：．【點睛】本題主要考查解一元一次不等式的基本能力，嚴格遵循解不等式的基本步驟是關(guān)鍵，尤其需要注意不等式兩邊都乘以或除以同一個負數(shù)不等號方向要改變．12.如圖，在中，平分，，那么點到直線的距離是___________．【答案】2【解析】【分析】先求出的長，過點作于點，根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)可得，從而得解．詳解】解：如圖，過點作于點，，，，，平分，，即點到直線的距離是．故答案：2．【點睛】本題考查了解平分線的性質(zhì)，熟練掌握角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13.如圖，在中，，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)后得到（點的對應(yīng)點是點，點的對應(yīng)點是點），連接，若，則的大小是______．【答案】68°【解析】【分析】先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠B=∠AB′C′，AC=AC′，∠CAC′=90°，則可判斷△ACC′為等腰直角三角形，所以∠ACC′=∠AC′C=45°，然后根據(jù)三角形外角性質(zhì)計算出∠AB′C′，從而得到∠B的度數(shù)．【詳解】解：∵△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到的△AB′C′，∴∠B=∠AB′C′，AC=AC′，∠CAC′=90°，∴△ACC′為等腰直角三角形，∴∠ACC′=∠AC′C=45°，∴∠AB′C′=∠B′CC′+∠CC′B′=45°+23°=68°，∴∠B=68°．故答案為：68°．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．14.如圖，將長方形紙片ABCD沿AE折疊，使點D落在BC邊上的F處，如果∠AEF＝75°，那么∠BAF＝_______°．【答案】60【解析】【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得∠AFE=∠D=90°，∠EAF=∠DAE，再由∠AEF＝75°，可得∠EAF=15°，從而得到∠DAF=30°，即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得：∠AFE=∠D=90°，∠EAF=∠DAE，∠BAD=90°，∵∠AEF＝75°，∴∠EAF=90°-∠AEF=15°，∴∠DAE=15°，∴∠DAF=∠DAE+∠EAF=30°，∴∠BAF=∠BAD-∠DAF=60°．故答案為：60【點睛】本題主要考查了折疊問題，直角三角形兩銳角互余，熟練掌握圖形折疊前后對應(yīng)角相等，直角三角形兩銳角互余是解題的關(guān)鍵．15.如圖，在x、y軸上分別截取OA、OB，使OA＝OB，再分別以點A、B為圓心，以大于AB的長度為半徑畫弧，兩弧交于點C．若C的坐標為（3a，﹣a＋8），則a＝_____．【答案】2【解析】【分析】根據(jù)尺規(guī)作圖可知，點C在∠AOB角平分線上，所以C點的橫坐標和縱坐標相等，即可以求出a的值．【詳解】解：根據(jù)題目尺規(guī)作圖可知，交點C是∠AOB角平分線上的一點，∵點C在第一象限，∴點C的橫坐標和縱坐標都是正數(shù)且橫坐標等于縱坐標，即3a=-a+8，得a=2，故答案為：2．【點睛】本題考查了角平分線尺規(guī)作圖，角平分線的性質(zhì)，以及平面直角坐標系的知識，結(jié)合直角坐標系的知識列方程求解是解答本題的關(guān)鍵．三、解答題（本大題共8個小題，共75分）解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．16.解不等式組把它的解集表示在數(shù)軸上，并求出這個不等式組的整數(shù)解．【答案】，數(shù)軸見解析，整數(shù)解是2，3【解析】【分析】別計算出兩個不等式的解集，再根據(jù)大小小大中間找確定不等式組的解集即可，再找出解集范圍內(nèi)的整數(shù)即可．【詳解】解：解不等式①，得′解不等式②，得表示在數(shù)軸上寫出解集∴這個不等式組的整數(shù)解是2，3【點睛】此題主要考查了解一元一次不等式組，解決此類問題的關(guān)鍵在于正確解得不等式組或不等式的解集，然后再根據(jù)題目中對于解集的限制得到下一步所需要的條件，再根據(jù)得到的條件進而求得不等式組的整數(shù)解．17.如圖，△ABC中，∠B=2∠C，E為BC上一點，且到A、C兩點的距離相等．（1）尺規(guī)作圖：作出點E的位置（保留作圖痕跡）；（2）連接AE，求證：AB=AE．【答案】（1）見解析；（2）見解析．【解析】【分析】作線段AC的垂直平分線，交BC于點E，點E即為所求的點；(2)根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，可得AE=CE，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，可證得∠AEB=2∠C，由∠B=2∠C，可得∠AEB=∠B，據(jù)此即可證得結(jié)論．【小問1詳解】解：如圖：作線段AC的垂直平分線MN，交BC于點E，點E即為所求的點．【小問2詳解】解：∵MN垂直平分AC，∴AE=CE，∴∠EAC=∠C，∴∠AEB=∠EAC+∠C=2∠C，∵∠B=2∠C，∴∠AEB=∠B，∴AB=AE．【點睛】本題考查了線段垂直平分線的作法，線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，作出線段AC的垂直平分線是解決本題的關(guān)鍵．18.如圖1，圖2，圖3的網(wǎng)格均由邊長為1的小正方形組成，圖1是三國時期吳國的數(shù)學(xué)家趙爽所繪制的“弦圖”，它由四個形狀、大小完全相同的直角三角形組成，趙爽利用這個“弦圖”對勾股定理作出了證明，是中國古代數(shù)學(xué)的一項重要成就，請根據(jù)下列要求解答問題．（1）圖1中的“弦圖”的四個直角三角形組成的圖形是對稱圖形（填“軸”或“中心”）．（2）請將“弦圖”中的四個直角三角形通過你所學(xué)過的圖形變換，在圖2，3的方格紙中設(shè)計另外兩個不同的圖案，畫圖要求：①每個直角三角形的頂點均在方格紙的格點上，且四個三角形互不重疊，不必涂陰影；②圖2中所設(shè)計的圖案（不含方格紙）必須是軸對稱圖形而不是中心對稱圖形；圖3中所設(shè)計的圖案（不含方格紙）必須既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形．【答案】（1）中心（2）見解析【解析】【分析】（1）利用中心對稱圖形的意義得到答案即可；（2）①每個直角三角形的頂點均在方格紙的格點上，且四個三角形不重疊，是軸對稱圖形；②所設(shè)計的圖案（不含方格紙）必須是中心對稱圖形或軸對稱圖形．【小問1詳解】圖1中的“弦圖”的四個直角三角形組成的圖形是中心對稱圖形，故答案為：中心；【小問2詳解】如圖2是軸對稱圖形而不是中心對稱圖形；圖3既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形．【點睛】本題考查利用旋轉(zhuǎn)或軸對稱設(shè)計方案，關(guān)鍵是理解旋轉(zhuǎn)和軸對稱的概念，按要求作圖即可．19.如圖，在中，，是的平分線，于E，F(xiàn)在上，．求證：（1）；（2）．【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)“角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等”，可得．再根據(jù)，得；

（2）利用角平分線性質(zhì)證明，得到，再將線段進行轉(zhuǎn)化．【小問1詳解】證明：∵是的平分線，，，∴，在和中，，∴，∴；【小問2詳解】證明：在與中，，∴，

∴，

∴．【點睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)．20.閱讀理解：教材呈現(xiàn)：如圖是某數(shù)學(xué)教材的部分內(nèi)容．2.線段垂直平分線我們已經(jīng)知道線段是軸對稱圖形，線段的垂直平分線是線段的對稱軸，如圖，直線是線段的垂直平分線，是上任意一點，連接，將線段沿直線對折，我們發(fā)現(xiàn)與完全重合，由此即有：線段垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等．已知：如圖，，垂足點為，點是直線的任意一點，求證：．（1）請根據(jù)所給教材內(nèi)容，結(jié)合圖①，寫出“線段垂直平分線的性質(zhì)定理”完整的證明過程．定理應(yīng)用：（2）如圖②，在中，的垂直平分線分別交于點，垂足分別為，已知的周長為22，則的長為_________．（3）如圖③，在中，分別是上任意一點，若，，則的最小值是_________．【答案】（1）見解析；（2）22；（3）．【解析】【分析】（1）根據(jù)證明即可；

（2）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)定理證明，，那么的周長就轉(zhuǎn)化為的長，

（3）根據(jù)等腰三角形的三線合一性質(zhì)，可知是的垂直平分線，過點C作，垂足為點E，交于點P，此時，的值最?。驹斀狻浚?）證明：如圖①中，∴，在和中，∴∴．（2）∵的周長為22，∴，∵垂直平分線段，垂直平分線段，∴，，，∴．故答案為：22；（3）過點C作，垂足為點E，交于點P，

∵，，∴∴是的垂直平分線，∴，∴，此時的值最小，最小值為線段的長，在中，∴的面積∵，，∴，∴故答案為：【點睛】本題考查了軸對稱—最短路線問題，線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形分析是解題的關(guān)鍵．21.2022年翻開序章，冬奧集結(jié)號已吹響，冬奧會吉祥物“冰墩墩”和冬殘奧會吉祥物“雪容融”深受人民喜愛．2021年十一月初，奧林匹克官方旗艦店上架了“冰墩墩”和“雪容融”兩款毛絨玩具，當(dāng)月售出了“冰墩墩”200個和“雪容融”100個，銷售總額為32000元．十二月售出了“冰墩墩”300個和“雪容融”200個，銷售總額為52000元．（1）求“冰墩墩”和“雪容融”的銷售單價；（2）已知“冰墩墩”和“雪容融”的成本分別為90元/個和60元/個．進入2022年一月后，這兩款毛絨玩具持續(xù)熱銷，于是旗艦店再購進了這兩款毛絨玩具共600個，其中“雪容融”的數(shù)量不超過“冰墩墩”數(shù)量的2倍，且購進總價不超過43200元．為回饋新老客戶，旗艦店決定對“冰墩墩”降價10%后再銷售，若一月份購進的這兩款毛絨玩具全部售出，則“冰墩墩”購進多少個時該旗艦店當(dāng)月銷售利潤最大，并求出最大利潤．【答案】（1）“冰墩墩”銷售單價為120元，“雪容融”的銷售單價為80元；（2）“冰墩墩”購進200個時該旗艦店當(dāng)月銷售利潤最大，最大利潤為11600元．【解析】【分析】（1）設(shè)“冰墩墩”和“雪容融”的銷售單價分別為x，y元，根據(jù)題意列二元一次方程組求解即可；（2）設(shè)購進“冰墩墩”a個，則購進“雪容融”600a個，列出不等式組，求出的取值范圍，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【小問1詳解】設(shè)“冰墩墩”和“雪容融”的銷售單價分別為x，y元，根據(jù)題意得，，解得答：“冰墩墩”銷售單價為120元，“雪容融”的銷售單價為80元【小問2詳解】設(shè)購進“冰墩墩”a個，則購進“雪容融”600a個，則，解得設(shè)一月份利潤為w，則∵，∴當(dāng)a取最小值時，w取最大值．∵，∴時，w的最大值為（元）．∴“冰墩墩”購進200個時該旗艦店當(dāng)月銷售利潤最大，最大利潤為11600元．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用一次函數(shù)的性質(zhì)解答．22綜合與探究：問題情境：數(shù)學(xué)課上，老師利用兩塊含角的全等三角尺進行圖形變換操作探究，其中，．操作探究：（1）將兩個三角尺按如圖1的方式在