數(shù)學(xué)（選修12）課件511合情推理（一）歸納

第5章推理與證明5．1

合情推理與演繹推理5．1.1

合情推理(一)——?dú)w納

1．了解合情推理的含義，能利用歸納進(jìn)行簡單的推理．2．了解歸納在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用．一、閱讀教材開始～例1，完成下列問題1．歸納的定義由一系列有限的__________事例得出__________結(jié)論的推理方法叫作歸納．2．歸納推理的一般步驟首先，通過觀察特例發(fā)現(xiàn)某些__________或__________；然后，把這種共性推廣為____________________；最后，對(duì)所得出的一般性命題進(jìn)行__________.特殊一般共性一般規(guī)律一般性命題(猜想)檢驗(yàn)“金導(dǎo)電、銀導(dǎo)電、銅導(dǎo)電、鐵導(dǎo)電，所以一切金屬都導(dǎo)電”．這種推理方法是________推理．提示：歸納二、閱讀教材例2～例3的有關(guān)內(nèi)容，完成下列問題3．歸納推理的用途用歸納推理可以幫助我們從具體事例中發(fā)現(xiàn)_________，但是僅根據(jù)一系列有限的特殊事例所得出的一般結(jié)論_______________.一般規(guī)律不一定可靠如何說明歸納猜想所得結(jié)論不一定正確？提示：可通過舉反例的方法說明歸納猜想所得結(jié)論不一定正確．代數(shù)中的歸納推理

[互動(dòng)探究]

本例猜想的結(jié)論是否正確？若正確，請(qǐng)給出證明；若不正確，請(qǐng)說明理由．【點(diǎn)評(píng)】由數(shù)列的遞推公式猜想通項(xiàng)公式時(shí)，應(yīng)先由已知的遞推公式求出數(shù)列的前n項(xiàng)，再觀察數(shù)列的項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的關(guān)系，進(jìn)而歸納出通項(xiàng)公式．解析(1)易知數(shù)組的第1個(gè)數(shù)依次成等差數(shù)列，第2個(gè)數(shù)依次成等比數(shù)列，且這兩個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式分別為an＝2n－1，bn＝2n－1；第3個(gè)數(shù)為該數(shù)組前2個(gè)數(shù)的積．∴a＝a5＝9，b＝b5＝16.∴c＝ab＝144.∴a＋b＋c＝169.幾何中的歸納推理

數(shù)一數(shù)圖中的凸多面體的面數(shù)F、頂點(diǎn)數(shù)V和棱數(shù)E，然后用歸納推理得出它們之間的關(guān)系．解正方體：F＝6，V＝8，E＝12；三棱柱：F＝5，V＝6，E＝9；五棱柱：F＝7，V＝10，E＝15；四棱錐：F＝5，V＝5，E＝8；……兩個(gè)同底面的四棱錐組成的組合體：F＝8，V＝6，E＝12；……通過以上觀察，發(fā)現(xiàn)F，V，E滿足以下關(guān)系：F＋V－E＝2.所以歸納出F，V，E的一般性結(jié)論：在凸多面體中，面數(shù)F、頂點(diǎn)數(shù)V和棱數(shù)E滿足以下關(guān)系：F＋V－E＝2.【點(diǎn)評(píng)】解決此類問題可以從兩個(gè)方面入手①從圖形的數(shù)量規(guī)律入手，找到數(shù)值變化與序號(hào)的關(guān)系．②從圖形的結(jié)構(gòu)變化規(guī)律入手，發(fā)現(xiàn)圖形的結(jié)構(gòu)每發(fā)生一次變化，與上一次比較，數(shù)值發(fā)生了怎樣的變化．2．(1)如圖所示①②③④為四個(gè)平面圖形，數(shù)一數(shù)，每個(gè)平面圖形各有多少個(gè)頂點(diǎn)，多少條邊？它們分別圍成了多少個(gè)區(qū)域？請(qǐng)將結(jié)果填入下表．(2)觀察上表，推斷一個(gè)平面圖形的頂點(diǎn)數(shù)、邊數(shù)、區(qū)域數(shù)之間的關(guān)系．(3)現(xiàn)已知某個(gè)平面圖形有999個(gè)頂點(diǎn)，且圍成了999個(gè)區(qū)域，試根據(jù)以上關(guān)系確定這個(gè)平面圖形的邊數(shù)．解(1)②8

12

5

③6

9

4

④10

15

6(2)觀察：8＋5－12＝1,6＋4－9＝1,10＋6－15＝1.通過觀察發(fā)現(xiàn)，它們的頂點(diǎn)數(shù)V、邊數(shù)E和區(qū)域數(shù)F之間的關(guān)系為V＋F－E＝1.(3)由已知，V＝999，F(xiàn)＝999，代入上述關(guān)系式得999＋999－E＝1.∴E＝1997.故這個(gè)圖形有1997條邊．

(1)以下數(shù)表的構(gòu)造思路源于我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算術(shù)》一書中的“楊輝三角形”．?dāng)?shù)表中的歸納推理該表由若干行數(shù)字組成，從第二行起，每一行中的數(shù)字均等于其“肩上”兩數(shù)之和，表中最后一行僅有一個(gè)數(shù)，則這個(gè)數(shù)為(

)A．2017×22015 B．2017×22014C．2016×22015 D．2016×22014(2)將正整數(shù)排成下表：12

3

4

5678910111213141516……則數(shù)表中的數(shù)字2016出現(xiàn)的行數(shù)和列數(shù)是(

)A．第44行81列 B．第45行80列C．第44行80列 D．第45行81列解析(1)由題意，數(shù)表的每一行都是等差數(shù)列，且第一行公差為1，第二行公差為2，第三行公差為4，…，第2015行公差為22014，故第1行的第一個(gè)數(shù)為2×2－1，第2行的第一個(gè)數(shù)為3×20，第3行的第一個(gè)數(shù)為4×21，……第n行的第一個(gè)數(shù)為(n＋1)×2n－2.∵第一行有2016個(gè)數(shù)，且各行數(shù)字個(gè)數(shù)依次少1，∴第2016行只有一個(gè)數(shù)M，則M＝(2016＋1)×22014＝2017×22014.(2)依題意可知第n行有2n－1個(gè)數(shù)字，前n行的數(shù)字個(gè)數(shù)為1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2個(gè)，∵442＝1936,452＝2025，且1936＜2016＜2025，∴2016在第45行．又2025－2016＝9，且第45行有2×45－1＝89個(gè)數(shù)字，∴2016在第89－9＝80列．答案：(1)B

(2)B【點(diǎn)評(píng)】數(shù)表中的歸納推理關(guān)鍵有兩點(diǎn)①分析數(shù)表的排列規(guī)律；②注意常用數(shù)列知識(shí)求解．3．一個(gè)三角形數(shù)表的前5行如下圖所示，第n行的第二個(gè)數(shù)為an(n≥2，n∈N＋)．1 第一行2

2 第二行3

4

3 第三行4

7

7

4 第四行5

11

14

11

5 第五行(1)求a6.(2)歸納出an＋1與an的關(guān)系式(不用證明)，并求出{an}(n≥2)的通項(xiàng)公式．解(1)a6＝5＋11＝16.(2)依題意an＋1＝an＋n(n≥2)，∴an＋1－an＝n(n≥2)．當(dāng)n≥2時(shí)，an－an－1＝n－1，……a3－a2＝2，將上面n－2個(gè)等式相加，得(an－an－1)＋…＋(a3－a2)＝(n