泰勒公式及泰勒級(jí)數(shù)的應(yīng)用

泰勒公式及泰勒級(jí)數(shù)的應(yīng)用摘要：泰勒公式及泰勒級(jí)數(shù)在數(shù)學(xué)分析中有著很大的作用，是重要的數(shù)學(xué)工具。除了我們熟悉的應(yīng)用方面外，在其他問題解決中也有妙用。本文舉例介紹了泰勒公式及泰勒級(jí)數(shù)在求極限、求高階導(dǎo)數(shù)值、判定級(jí)數(shù)和廣義積分的斂散性、函數(shù)的不等式證明和近似計(jì)算中的應(yīng)用等問題。這對(duì)學(xué)生解決問題的能力及綜合運(yùn)用知識(shí)的能力有著很好的指導(dǎo)作用?？梢蚤_闊學(xué)生的解題思路，提高學(xué)生的分析問題的能力。關(guān)鍵詞：泰勒公式泰勒級(jí)數(shù)應(yīng)用TheApplicationofaTaylorFormulaandTaylorSeriesAbstract:TaylorformulaandTaylorserieshavemanyimportantapplicationsinmathematicalanalysis.Thispapergivessomeexamplestoshowseveralapplicationswhichincludelimitanddifferentialcoefficientcalculation,judgementofconvergenceanddivergenceofprogressionandimproperintegral,provingvariablefunctionequationandsoon.Itisanimportantguideforustoexploitstudents’thinkingtostudyproblems,toimprovestudents’abilityinanalyzingandsolvingproblemsKeywords:TaylorformulaTaylorseriesapplication0引言泰勒公式和泰勒級(jí)數(shù)是極重要的數(shù)學(xué)工具。在各個(gè)領(lǐng)域中都有重要的應(yīng)用。在高等數(shù)學(xué)中，我們學(xué)到的用泰勒公式來解決在求函數(shù)的極限，求函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)值、函數(shù)近似計(jì)算、判別級(jí)數(shù)和廣義積分的斂散性以及證明不等式方面的應(yīng)用。通過學(xué)習(xí)，我們深入了解泰勒公式和泰勒級(jí)數(shù)的應(yīng)用，用一些簡單的例子來歸納說明其應(yīng)用的方法。在實(shí)踐中靈活運(yùn)用，對(duì)學(xué)生理解、掌握泰勒公式的內(nèi)容和解決較復(fù)雜的問題有事半功倍的作用，可以使問題變得簡單易解。下面就結(jié)合一些例題給以說明。1泰勒公式和泰勒級(jí)數(shù)泰勒公式和泰勒級(jí)數(shù)在數(shù)學(xué)分析中是一個(gè)重要內(nèi)容，它一般形式有：假設(shè)函數(shù)在點(diǎn)存在直至n階導(dǎo)數(shù)，那么有(1)稱(1)為帶有佩亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式。假設(shè)，那么泰勒公式為(2)稱(2)為帶有佩亞諾余項(xiàng)的麥可勞林公式。假設(shè)函數(shù)在上存在直至n階的連續(xù)導(dǎo)函數(shù)，在內(nèi)存在階導(dǎo)函數(shù)，那么對(duì)任意給定的，，至少存在一點(diǎn)，使得(3)稱(3)為帶有拉格朗日型余項(xiàng)的泰勒公式。假設(shè)=0，那么泰勒公式為〔〕(4)稱(4)為帶有拉格朗日型的麥克勞林公式.如果在〔3〕中去掉余項(xiàng)，那么在附近可用〔3〕式右邊的多項(xiàng)式來近似代替。如果函數(shù)在處存在任意階的導(dǎo)數(shù)，這時(shí)稱形式為的級(jí)數(shù)為函數(shù)在的泰勒級(jí)數(shù).常用函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)展開式，如：2泰勒公式的假設(shè)干應(yīng)用2.1求極限應(yīng)用泰勒公式求極限的方法是當(dāng)時(shí)，把所求的極限表達(dá)式中的各個(gè)不同類型的初等函數(shù)都代換為其適當(dāng)階在點(diǎn)處的泰勒公式.使原來的極限轉(zhuǎn)化為關(guān)于的有限分式的極限，這樣就易求得其極限值.這種方法要求我們必須熟練掌握根本函數(shù)的泰勒公式.例1求極限解：因?yàn)榉帜傅拇螖?shù)是2，所以=，=故===此題也可以用洛比達(dá)法那么，但假設(shè)求導(dǎo)次數(shù)多時(shí)，那么求導(dǎo)和化簡過程較麻煩，用泰勒公式那么方便很多.注:關(guān)鍵是分子與分母應(yīng)該展開到多少階。為了使原極限存在，應(yīng)把分子中函數(shù)的泰勒公式展開到與分母中冪函數(shù)的最高次冪數(shù)相同的階數(shù)為宜。假設(shè)碰到分子與分母都需要展開為泰勒公式的，方法相似。例2求極限解：因?yàn)樗运?2.2求高階導(dǎo)數(shù)值例3寫出的麥克勞林公式，并求，，解：用代替泰勒公式中的.得到的麥克勞林公式為=由泰勒公式系數(shù)的定義知，在上述的麥克勞林公式中，的系數(shù)為==0所以=—，=0注：求函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)。那么易寫出在點(diǎn)處的泰勒公式。從逆向思維考慮，在點(diǎn)處的泰勒公式那么根據(jù)函數(shù)的泰勒公式的唯一性以及它與泰勒公式的系數(shù)關(guān)系為，那么我們就得到函數(shù)在處的各階導(dǎo)數(shù)值為=.利用泰勒公式和泰勒級(jí)數(shù)求近似值例4求數(shù)的值，精確到.解：〔〕當(dāng)時(shí)，<<,取因?yàn)?3！6.2由于<所以2.718281828例5計(jì)算〔精確到0.0001〕解：的麥克勞林冪級(jí)數(shù)展開式是======因?yàn)椴皇浅醯群瘮?shù)，可運(yùn)用泰勒級(jí)數(shù)來表示計(jì)算。這是一個(gè)交叉級(jí)數(shù).所以=又因?yàn)?，所以?故=1.5023利用泰勒公式判別級(jí)數(shù)、廣義積分的斂散性在級(jí)數(shù)斂散性理論中，要判斷一個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性或是發(fā)散性時(shí)，我們可以用比擬判別法來判定。也就是利用一個(gè)其斂散性的“比擬簡單”的級(jí)數(shù)，如，我們稱為級(jí)數(shù)。為了有效的選取適當(dāng)?shù)募?jí)數(shù)中p的值，我們往往要用泰勒公式來研究無窮小量或無窮大量的階，以此來選取適當(dāng)?shù)闹?，根?jù)的取值范圍來判定的斂散性。再用極限判別法來判定的斂散性。假設(shè)時(shí)，那么級(jí)數(shù)與級(jí)數(shù)的斂散性時(shí)相同的。假設(shè)時(shí)，那么當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí)，級(jí)數(shù)也收斂。假設(shè)時(shí)，那么級(jí)數(shù)發(fā)散時(shí)，級(jí)數(shù)也發(fā)散。定理1：設(shè)定義在上，兩個(gè)函數(shù)和都在有限區(qū)間上可積，且滿足，那么當(dāng)收斂，那么也收斂?！不蛘弋?dāng)發(fā)散時(shí)，也發(fā)散?！惩普摚涸O(shè)定義與上對(duì)任何有限區(qū)間上可積，且。當(dāng)，時(shí)，收斂。當(dāng)，時(shí)，發(fā)散?！沧⒁猓菏諗?，那么也收斂。〕例6判斷級(jí)數(shù)]的斂散性。解：利用泰勒展開式=〔〕設(shè)===故有=，其中，又〔〕是二階，而收斂，所以極限判別法知級(jí)數(shù)]也收斂。例7判別廣義積分的斂散性。解：由的泰勒展開式得又因?yàn)?，又比擬判別法的推論知時(shí)，且發(fā)散。所以廣義積分發(fā)散。2.5求初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式例8求函數(shù)的麥克勞林級(jí)數(shù)展開式。解：=證明不等式例9證明不等式證明：令那么因?yàn)椋?由泰勒公式知，，所以注：多項(xiàng)式與初等函數(shù)混合時(shí)，我們可以做一個(gè)輔助函數(shù)并在適當(dāng)?shù)恼归_點(diǎn)寫出的泰勒公式，再根據(jù)它們的余項(xiàng)的符號(hào)大小來判斷不等式成立。2.7證明定積分不等式〔中值定理〕例10設(shè)在上二階可導(dǎo)，且，證明：證明：將在點(diǎn)處的一階泰勒公式因?yàn)?，所以，在與之間。注：有關(guān)不等式的證明或所給的條件中涉及函數(shù)在某區(qū)間具有二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)，且最高階導(dǎo)數(shù)的大小可知的命題那么可以考慮用泰勒公式來證明。證明方法：〔1〕寫出比最高階導(dǎo)數(shù)低一階的Taylor公式；〔2〕根據(jù)所給的最高階導(dǎo)數(shù)的大小對(duì)展開式進(jìn)行適當(dāng)?shù)摹胺糯蟆被颉翱s小”.通過以上實(shí)例，我們可以對(duì)泰勒公式和泰勒級(jí)數(shù)的應(yīng)用進(jìn)一步的了解。在一些較復(fù)雜的問題上，不管泰勒公式的哪一種應(yīng)用，建立所給函數(shù)的泰勒公式是關(guān)鍵。利用泰勒公式可以到達(dá)事半功倍的作用，使解題過程更加簡捷。參考文獻(xiàn)：[1]華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.《數(shù)學(xué)分析》〔上，下冊(cè)〕[M].華中師范大學(xué)出版社，2001，134-141.[2]曹愛民.高等數(shù)學(xué)中求極限的幾種方法[J].濟(jì)南教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2001，〔6〕：57-60.[3]邵劍，李大侃.高等數(shù)學(xué)專題梳理與解讀[M].同濟(jì)大學(xué)出版社.2008，94-102.[4]徐海娜.泰勒公式的應(yīng)用舉例[J].浙江海洋學(xué)院數(shù)理與信息學(xué)院.2008.[5]朱永生，劉利.基于泰勒公式應(yīng)用的幾個(gè)問題[J].長春師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2006.[6]錢吉林主編.數(shù)學(xué)分析題解精粹第二版[M].湖北長江出版集團(tuán).2009